1
BAB 5
PENDEKATAN FUNGSI
DEVIDE DIFFERENCE (SELISIH TERBAGI)
A. Tujuan
a. Memahami Polinomial Newton (Selisih Terbagi)
b. Mampu menentukan koefisien-koefisien Polinomial Newton
c. Mampu menentukan koefisien-koefisien Polinomial Newton dengan Matlab
B. Perangkat dan Materi
a. Software Matlab
b. Metode Selisih Terbagi
C. Dasar Teori
Misalkan akan mencari pollinomial interpolasi
P
n(
x
)
untuk menghampiri suatu fungsi)
(
x
f
. Untuk ini data yang diberikan adalah (n + 1) titik ,))
(
,
(
..,
)),...
(
,
(
)),
(
,
(
x
1f
x
1x
2f
x
2x
n1f
x
n1 .Misalkan polynomial interpolasinya kita tulis :
)
)...(
)(
(
...
)
)(
(
)
(
)
(
1 2 1 3 1 2 n1 1 2 nn
x
a
a
x
x
a
x
x
x
x
a
x
x
x
x
x
x
P
(1)dan kit a ingin mencari nilai-nilai koefisien
a
1,
a
2,...,
a
n,
a
n1.Perhatikan bahwa di sini berlaku :
P
n(
x
k)
f
(
x
k)
untuk1
k
(
n
1
)
Jika x x1 disubstitusikan ke dalam persamaan 1 di atas, maka semua suku pada sisi kanan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh :
1 1 1
)
(
)
(
x
P
x
a
f
n
(2)jika x x2 disubstitusikan ke dalam persamaan (1) , maka semua suku pada sisi kanan kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh :
)
(
)
(
)
(
x
2P
x
2a
1a
2x
2x
1f
n
(3)2
sehingga diperoleh :
)
terakhir menjadi :
)
Berikut diperkenalkan pengertian selisih-selisih terbagi dari suatu fungsi : 1. Selisih terbagi ke nol terhadap
x
k3
Teorema POLINOMIAL NEWTON
Misalkan fungsi
f
(
x
)
terdefinisi pada interval [a, b], dan misalkanx
1,
x
2,....,
x
n1 danPolinomial Newton adalah :
)
Koefisien polynomial Newton merupakan selisih terbagi fungsi yang dihampiri.
AKIBAT HAMPIRAN NEWTON
Misalkan
P
n(
x
)
adalah polynomial Newton yang diberikan oleh teorema PolinomialNewton di atas, dan digunakan untuk menghampiri fungsi
f
(
x
)
, yaitu :4
Cara menghitung selisih-selisih terbagi Newton dengan menggunakan tabel:
Tabel 1 : Cara menghitung selisih terbagi Newton
1
x x2
x
3 …….
x
n1x
nx
n1] [x1
f f[x2]
f
[
x
3]
…f
[
x
n1]
f
[
x
n]
f
[
x
n1]
], [x1 x2
f
f
[
x
2,
x
3]
f
[
x
3,
x
4]
…f
[
x
n1,
x
n]
f
[
x
n,
x
n1]
]
,
,
[
x
1x
2x
3f
f
[
x
2,
x
3,
x
4]
f
[
x
3,
x
4,
x
5]
…f
[
x
n1,
x
n,
x
n1]
……. … … …
]
,...,
,
[
x
1x
2x
n1f
… … …Untuk keperluan komputasi nilai-nilai selisih terbagi Newton pada tabel 1 perlu disimpan ke dalam matriks (array), misalkan D(j,k). Jadi koefisien-koefisien
a
k pada persamaan 11 menjadi :],
(
,...,
,
[
)
,
(
j
k
f
x
kx
k 1x
k jD
(14)untuk
1
j
(
n
1
)
dan1
k
[(
n
1
)
j
1
]
dengan demikian
a
j
D
(
j
,
1
)
j = 1,2, …, (n+1)Algoritma SELISIH TERBAGI NEWTON
INPUT :
((
x
1,
f
(
x
1)),
(
x
2,
f
(
x
2)),...,
(
x
n1,
f
(
x
n1))
OUTPUT :
a
1,
a
2,
a
3,....,
a
n1LANGKAH-LANGKAH : 1. for k = 1,2,…., (n+1)
D(1,k) =
f
(
x
k)
2. a1 D(1,1)
3. For j = 1, 2, …, (n+1)
a. For k = 1, 2, …, ((n+1) – j + 1)
)
/(
))
,
1
(
)
1
,
1
(
(
)
,
(
j
k
D
j
k
D
j
k
x
k j 1x
kD
b.
a
j
D
(
j
,
1
)
5
Implementasi dalam MATLAB:
Contoh 1:
Hitunglah selisih-selisih terbagi fungsi f sampai tingkat tiga, jika diketahui data titik-titik sebagai berikut:
Selanjutnya, tentukan polynomial Newton yang menginterpolasikan titik-titik tersebut.
Tabel contoh 1:
k
x
0 1 2 4)
(
x
kf
1 1 2 5Penyelesaian :
Dari data pada tabel contoh 1 dapat disusun tabel selisih terbagi Newton untuk fungsi f sebagai berikut. Nilai-nilai selisih terbagi Newton membentuk transpose matriks segitiga atas. Dari hasil perhitungan tersebut, elemen-elemen pada kolom pertama matriks D merupakan koefisien-koefisien polynomial Newton yang menginterpolasikan data tersebut.
k
x
0 1 2 4)
(
x
kf
1 1 2 5D(1, k) 1 1 2 5
D(2, k) 0 1 3/2 0
D(3, k) 1/2 1/6 0 0
D(4, k) -1/12 0 0 0
Polinomial Newton yang dicari adalah :
)
2
)(
1
(
12
1
)
1
(
2
1
1
)
(
3
x
x
x
x
x
x
P
Contoh Cara Mencari Koefisien :
Misal untuk D(2,1), berarti j = 2 , k =1 0
0 1
1 1 ) 1 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 2 (
1 2
x x
D D
D
function D=selisihN(x,y)
n=length(x);
D(1,1:n)=y;
for j=2:n,
for k=1:n-j+1,
D(j,k)=(D(j-1,k+1)-D(j-1,k))/(x(k+j-1)-x(k));
end
6
Misal untuk D(2,2), berarti j = 2 , k = 2 1
0 2
1 2 ) 2 , 1 ( ) 3 , 1 ( ) 2 , 2 (
2 3
x x
D D
D
…dst
Bila Contoh 1 di atas dikerjakan dengan implementasi program Matlab di atas, dan dirunning dalam command windows, diproleh:
>> x=[0 1 2 4]
x =
0 1 2 4
>> y=[1 1 2 5]
y =
1 1 2 5
>> D=selisihN(x,y)
D =
1.0000 1.0000 2.0000 5.0000
0 1.0000 1.5000 0
0.5000 0.1667 0 0
-0.0833 0 0 0
yang angka (hijau adalah koefisien-koefisien Newton)
Contoh 2:
Misalkan
f
(
x
)
x
3
4
x
. Buatlah tabel selisih terbagi untuk fungsi f tersebut dengan menggunakan titik-titik
x
1
1
,
x
2
2
,.
x
3
3
,
x
4
4
,
x
5
5
,
x
6
6
Tentukan Polinomial Newton
P
3(
x
)
dengan menggunakan notasix
1,
x
2,
x
3 dan x4Penyelesaian: Tabel contoh 2
k
x
x1 1 x2 2x
3
3
x4 4x
5
5
x
6
6
)
(
x
kf
-3 0 15 48 105 192D(1,k) -3 0 15 48 105 192
D(2,k) 3 15 33 57 87 0
D(3,k) 6 9 12 15 0 0
D(4,k) 1 1 1 0 0 0
7
D(6,k) 0 0 0 0 0 0
Selanjutnya, diperoleh koefisien-koefisien
P
3(
x
)
adalah pada kolom kedua pada tabelcontoh 2 di atas :
)
3
)(
2
)(
1
(
1
)
2
)(
1
(
6
)
1
(
3
3
)
(
3
x
x
x
x
x
x
x
P
Penyelesaian dengan implementasi Matlab: >> x=[1 2 3 4 5 6]
x =
1 2 3 4 5 6
>> y=[-3 0 15 48 105 192]
y =
-3 0 15 48 105 192
>> D=selisihN(x,y)
D =
-3 0 15 48 105 192 3 15 33 57 87 0 6 9 12 15 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
TUGAS:
Buatlah tabel selisih terbagi untuk fungsi :
f
(
x
)
cos(
x
)
dengan menggunakan 5 titik5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
2 3 4 4 51
