Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi
Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta oleh konsumen dengan variabel harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri, pendapatan konsumen, harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga produk lain yang saling berhubungan dan selera konsumen
Bentuk Umum Fungsi Permintaan : Q = a – bP atau
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan yaitu apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.
Fungsi Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan oleh produsen dengan variabel harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat teknologi yang tersedia, harga dari faktor produksi (input) yang digunakan, harga produk lain yang berhubungan dalam produksi, harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang Bentuk Umum :
Q = -a + bP atau
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan, hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.
Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.
Syarat Keseimbangan Pasar : Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E = titik keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Qe = jumlah keseimbangan
Contoh Soal :
Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi penawarannya adalah
Qs = – 4 + 9P
a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ? b. Tunjukkan secara geometri !
Jawab :
a.) Keseimbangan pasar : Qd = Qs
10 – 5 P = – 4 + 9P 14P = 14
P = 1 ≡ Pe
Q = 10 – 5P Q = 5 ≡ Qe
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )
Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen : tk = Pe‘ – Pe
Beban pajak yang ditanggung oleh produsen : tp = t – tk
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t x Qe‘
Contoh soal :
Diketahui suatu produk ditunjukkan fungsi permintaan P = 7 + Q dan fungsi penawaran P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit
1. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?
2. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?
3. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?
Jawab :
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 ) Keseimbangan pasar sesudah pajak
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 4,11 )
1. T = t x Qe‘
= 3 . 4
= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )
= 11 – 10
Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah.
Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ – s
Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe – Pe‘
Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp = s – sk
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x Qe‘
Contoh Soal :
Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Qd = 12–2P sedangkan penawarannya Qs
= -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang. a. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?
b. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ? c. Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ? d. Berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?
Jawab ;
a.) Keseimbangan pasar sebelum subsidi Qd = Qs Q = 12 – 2P
12 – 2P = -4 + 2P = 12 – 8 P = 16 Qe = 4
Pe = 4 ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi E = ( 4, 4 ))
b.) Keseimbangan pasar sesudah subsidi : Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6 Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2 Sesudah Subsidi Fungsi Penawaran menjadi P = ½ Q + 2 – 2
P = ½ Q
d.) Subsidi yang diberikan pemerintah S = s x Qe‘
= 2 . 6 = 12
Fungsi Penawaran Khusus
Fungsi penawaran yang normal adalah mempunyai kemiringan positif.Sedangkan fungsi
penawaran khusus adalah fungsi penawaran yang mempunyai kemiringan nol dan tak
terhingga, seperti juga pada fungsi permintaan.Fungsi penawaran seperti ini deapat dilihat pada gambar 6.
1. Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk
Setelah kita mempelajari fungsi permintaan dan fungsi penawaran, maka sekarang kita akan menganalisis interaksinya untuk memperoleh keseimbangan pasar. Interaksi fungsi
permintaan Q = a – bP dan fungsi penawaran Q = a + bP sering disebut keseimbangan
pasar satu macam produk. Karena baik fungsi permintaan maupun fungsi penawaran hanya mempunyai satu variabel bebas.
Keseimbangan pasar ini akan menciptakan harga dan jumlah keseimbangan di pasar. Syarat untuk mencapai keseimbangan pasar ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen
harus sama dengan jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen (Qd = Qs), atau harga
produk yang diminta sama dengan harga produk yang ditawarkan (Pd = Ps). keseimbangan
pasar secara aljabar dapat diperoleh dengan mengerjakan system persamaan linier antara
fungsi permintaan dan fungsi penawaran secara serentak (simultan). Sedangkan secara
geometri ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva permintaan dengan kurva penawaran.Hal ini ditunjukkan oleh pada gambar 7.
di mana: Qd = Jumlah produk yang diminta
Qs = Jumlah produk yang ditawar
E = Keseimbangan pasar
Qe = Jumlah keseimbangan
Pe = Harga keseimbangan
Perhatikan bahwa pada gambar 7 perpotongan antara kurva permintaan dan kurva penawaran
terjadi pada kuadran I. Hal ini mempunyai arti ekonomi, karena baik harga maupun jumlah
kurva permintaan dan kurva penawaran tetapi bukan di kuadran I. Hal ini tentunya tidak mempunyai arti ekonomi (lihat gambar 8).Karena salah satu variabel, yaitu jumlah
keseimbangan pasar (Qe) mempunyai nilai negatif.
Contoh 3
Fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditiunjukkan oleh persamaan berikut:
Qd = 6 – 0,75P
Qs = -5 +2P
Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasara?
Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian:
Syarat keseimbangan pasar Qd = Qs
Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P
-2,75P = -11
P = 4
Untuk memperoleh nilai P = 4 ke dalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,
Q = 6 – 0,75(4)
Q = 6 – 3
Q = 3
Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3, 4).
Menggambarkan keseimbangan pasar:
Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75P.
Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6, 0)
Jika Q = 0, maka P= 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, 8)
Untuk fungsi penawaran Q = -5 + 2P.
Jika Q = 0, maka P= 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, )
Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh gambar 9.
Contoh 4
Fungsi permintaan suatu ditunjukkan oleh Pd = 6 – 2Q dan gungsi penawaran adalah Ps = 12
+ Q,
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar?
Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian
1. Syarat keseimbangan pasar Pd = ps
Bila Pd = ps, maka 6-2Q = 12+Q
-3Q = 6
Q = -2
Untuk memperoleh nilai P subtitusikan nilai Q = -2 ke dalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,
P = 6 – 2 (- 2)
P = 6 + 4
P = 10
Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E (-2, 10).
1. Menggambarkan keseimbangan pasar:
Untuk fungsi permintaan P = 6 – 2Q
Jika Q = 0 maka P = 6, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,6)
Jika, P =0 maka Q = -12 sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-12,0)
Grafik keseimbangan pasar yang tidak mempunyai arti ekonomi ini ditunjukan oleh gambar 10
KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK
fungsi permintaan dan fungsi penawaran menjadi fungsi yang mempunyai dua variabel bebas. Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain yang saling berhubngan.
Misalkan ada dua macam produk X dan Y yang saling berhubungan dimana Qdx adalah
jumlah yang diminta untuk produk X ; Qdy adalah jumlah yang diminta untuk produk Y; Px
adalah harga barang X; dan Py adalah harga barang Y, maka fungsi permintaan untuk kedua
produk tersebut dapat ditulis menjadi
Qdx=a0-a1Px+a2Py
Qdy=b0-b1Px+b2Py
sedangkan fungsi penawaran untuk kedua produk tersebut dapat ditulis menjadi,
Qsx=-m0+m1Px+m2Py
Qsy=-n0+n1Px+n2Py
Dimana :
Qdx = jumlah yang diminta dari produk X
Qdy = jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx = jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy = jumlah yang ditawarkan dari produk Y
Px = harga produk X
Py = harga produk Y
A0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta
Keseimbangan pasara akan terjadi apabila jumlah yang diminta dari produk X sama dengan
jumlah yang ditawarkan dari produ X atau (Qdx = Qsx) ; dan jumlah yang diminta dari produk
Y sama dengn jumlah yang ditawarkan dari produk Y atau (Qdy = Qsy).
Harga dan jumlah keseimbangan dapat diperoleh dengan pemecahan keempat persamaan
linier diatas. Tahap pertama dalam pemecahan ini kita harus menghilangkan variabel Qdx dan
Qsx dengan cara eliminasi pada persamaan 7 dan 9. Tabap kedua, menghilangkann variabel
Qdy dan Qsy dengan cara yang sama, yatu persamaan 8 dan 10. Tahap selanjutnya, kita
kombinasikan hasil dari tahab pertama dan tahap kedua untuk memperoleh nilai-nilai dari variabel Px dan Py. Tahap terakhir, subtitusikan nilai Px dan Py pada fungsi permintaan produk
X dan fungsi permintaan produk Y atau pada fungsi penawaran produk X dan fungsi
penawaran produk y untuk memperoleh nilai Qx dan Qy. Contoh
Qdx = 5 – 2Px + Py
Qdy = 6 + Px – Py
Dan
Qsx = -5 + 4Px – Py
Qsy = -4 – Px + 3Py
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar?
Peenyelesaian
Gunakanlah syarat keseimbangan pasar, kemudian selesaikan persamaan 11 dan 13 serta persamaan 12 dan 14 dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga dipeeroleh:
Qdx = Qsx
Qdx = 5 – 2Px + Py
Qsx = -5 + 4Px – Py
0 = 10 – 6Px + 2Py
Qdy = Qsy
Qdy = 6 + Px – Py
Qsy = -4 – Px + 3Py
=10 + 2Px – 3Py
Persamaan 15 dan 16 dikerjakan lagi secara eliminasi, diperoleh:
0= 10 – 6Px + 2Py 0 = 20 – 12Px + 4Py
0=10 + 2Px – 3Py 0 = 10 + 2Px – 4Py
0 = 30 – 10Px + 0
106Px = 30
Px = 3
Subtitusikan nilai Px = 3 kedalam persamaan 15 untuk memperoleh nilai Py.
2Py = 6Px – 10
2Py = 8
1. Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda
Pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dalam ekonomi makro dialokasikan ke dua kategori penggunaan yaitu penggunaan konsumsi dan ditabung, Jika dimisalkan Y = pendapatan nasional, C = konsumsi, dan S=tabungan maka persamaannya adalah,
Y = C + S
Konsumsi dan tabungan nasional pada umumnya dilambangkan sebagai fungsi linier dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan pendapatan nasional. Jadi apabila semakin besar pendapatan maka konsumsi dan tabungan juga akan semakin besar, hal tersebut berlaku pula untuk kebalikkannya.
sebesar nol (mencerminkan konsumsi nasional minimum/autonomous consumption,
konsumsi otonom) yang pasti harus tersedia walaupun pendapatan nasional nihil. Secara grafik Co merupakan penggal kurva konsumsi pada sumbu vertikal C. Koefisien “c”
mencerminkan besarnya tambahan konsumsi sebagai akibat adanya tambahan pendapatan
nasional. Dalam bahasa ekonomi “c” adalah Marginal Propensity Consume.
1.2. Fungsi Tabungan
Fungsi tabungan menjelaskan hubungan antara tabungan dan pendapatan nasional yang secara umum bentuk persamaannya adalah sebagai berikut,
S = g(Y) = S
o+ sY
Keterangan,
konstanta So menunjukkan besarnya tabungan otonom (autonomous saving) merupakan
penggal kurva tabungan pada sumbu vertikal S. Koefisien “s” adalah Marginal Propensity to
Save merupakan lereng dari kurva tabungan.
Kurva konsumsi dan tabungan dapat digambarkan secara bersama-sama pada sistem sumbu silang seperti di bawah ini,
Garis bantu Y = C + S yang membentuk sudut 450 merupakan penjumlahan grafik kurva C
dan kurva S. Pada titik M nilai S = 0, berarti seluruh pendapatan dialokasikan untuk keperluan konsumsi. Di sebelah kanan titik M pendapatan lebih besar daripada konsumsi sehingga kelebihan pendapatan tersebut bisa ditabung, hal ini tercermin dari positifnya kurva S. Sedangkan di sebelah kiri titik M pendapatan lebih kecil daripada konsumsi, berarti sebagian konsumsi dibiayai bukan dari pendapatan sendiri melainkan dari sumber lain misalnya pinjaman. Dalam kondisi ini t abungannya negatif (dissaving). Pada titik O (0,0) seluruh konsumsi bahkan dibiayai bukan dari pendapatan, besarnya konsumsi sama dengan tabungan negatif.
NON LINIER
3.2.1.Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya
dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs, pada
Keseimbangan Pasar :
Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.
Contoh Soal:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 19 – P2 , sedangkan
fungsi penawarannya adalah Qs = –8 + 2P2 . Berapakah harga dan jumlah keseimbangan
yang tercipta di pasar ?
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 10,3 )
Qs‘ = –8 + 2(P–1)2 = –8 + 2(P2–2P+1) = –6 –4P+ 2P2
Keseimbangan pasar yang baru :
Qd = Qs‘
19 – P2 = –6 – 4P + 2P2
3P2 – 4P – 25 = 0
Dengan rumus abc diperoleh P1= 3,63 dan P2 = –2,30, P2 tidak dipakai karena harga negative
adalah irrasional.
Dengan memasukkan P = 3,63 ke dalam persamaan Qd atau Qs‘ diperoleh Q = 5,82.
Jadi, dengan adanya pajak : Pe‘ = 3,63 dan Qe‘ = 5,82
Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-masing :
tk = Pe‘ – Pe = 3,63 – 3 = 0,63
tp = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37
T = Qe‘ x t = 5,82 x 1 = 5,82
PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA DLM MATEMATIKA
APLIKASI FUNGSI EKSPONENSIAL DALAM EKONOMI & BISNIS
Fungsi pertumbuhan adalah salah satu contoh aplikasi fungsi eksponen dan logaritma dalam bidang ekonomi dan bisnis (analisa ekonomi). Sifat utama fungsi ini adalah meningkat secara menoton. Fungsi pertumbuahan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa asimtut yang merupakan batas atas.
Pembahasan fungsi pertumbuhan pada bagian ini dibatasi hanya pada fungsi bunga majemuk, pertumbuhan penduduk / biologis, kurva (fungsi) Gomperrtz dan kurva (fungsi) pengajaran.
Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal dibungakan
asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesarnya k0 dibungakan k kali per tahun
dengan bunga sebesar 100 r % (atau r) per tahun maka setelah n tahun, modal tersebut akan menjadi :
Kn = K0 (6.2)
Apabila k sangat besar yaitu k → , maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu
atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaan (6.2) di atas akan menjadi :
Kn = Ko.er.k (6.3)
Dengan,
Ko = Modal awal atau besar modal pada tahun yang ke nol.
Kn = Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke n.
e = Bilangan basis dalam logaritma Natural (e = 2,718 ...) k = Kelipatan bunga yang dibayar per tahun
n = Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan r = Besarnya bunga per tahun
jika fungsi Kn = Ko er.n dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut :
Contoh 1
Seseorang menabung uang sebesar 4 juta rupiah dengan bunga 5 % per tahun. Berapakah jumlah uangnya (pokok tabungan + bunga) setelah 10 tahun.
(a) Bila bunga dibayarkan sekali setahun
(b) Bila bunga dibayarkan per triwulan
(c) Bila bunga dibayarkan secara kontinyu per tahun Penyelesaian
(a) Bunga dibayarkan sekali setahun, berarti k = 1
Ko = 4 juta n = 10 tahun r = 5 % = 0,05 Kn = ....?
Kn = Ko (1 + )n.k
= 4 ( 1 + )1x10
= 4 ( 1 + 0,05)10
= 4 (1,05)10
Kn = 6,515785 (pergunakan kalkulator)
Jadi, jumlah uang yang diterima setelah 10 tahun sebanyak 6,515785 juta rupiah
