KALKULUS VISUAL BAGIAN II

DIKTAT PENDUKUNG KULIAH

MA1201 MATEMATIKA 2A

Public domain, tidak untuk komersial

Penyusun:

Drs. Warsoma Djohan M.Si.

Irisan Kerucut, property of WD2011

Program Studi Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung

Matematika merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir semua Pro-gram Studi dan Sekolah di Institut Teknologi Bandung. Berdasarkan kebutuhan yang berbeda pada berbagai Program Studi yang ada, mulai tahun ajaran 2004 perku-liahan Matematika dibagi menjadi dua macam yaitu Matematika A (4 kredit) dan

Matematika B (3 kredit). Perlu diperhatikan, materi Matematika 2B bukan meru-pakan subset dari materi Matematika 2A. Untuk itu, penulis mengembangakn diktat untuk masing-masing Matematika 2A dan 2B secara terpisah.

Diktat ini mulai disusun sejak tahun 2004. Pada awalnya materi disusun dalam bentuk beningan/transparency. Tujuannya adalah untuk meningkatkan proses pembelajaran, dengan cara menyediakan bahan kuliah yang berisi ringkasan teori dan soal-soal latihan terpilih. Dengan adanya beningan ini diharapkan proses pencatatan yang banyak di-lakukan pada perkuliahan konvensional bisa dikurangi. Dengan demikian, waktu yang tersedia dapat digunakan dengan lebih efektif untuk kegiatan ceramah dan diskusi. Diktat ini selalu direvisi secara kontinu dan disesuaikan dengan kebutuhan yang ada. Perkembangan peralatan multimedia saat ini memungkinkan konstruksi tampilan konsep-konsep matematika secara visual melalui bantuan komputer. Hal ini akan sangat mem-bantu proses belajar mahasiswa, karena konsep-konsep yang rumit dan abstrak dapat diperlihatkan secara kongkrit melalui program animasi. Sejalan dengan perubahan ini, mulai tahun ajaran 2011 judul diktat ini diubah menjadi ”Kalkulus Visual”. Melalui mekanisme ini diharapkan para mahasiswa dapat memahami konsep-konsep yang ada dengan lebih cepat dan lebih mudah. Pada diktat ini, bagian yang memuat animasi ditandai dengan ikon berbentuk ♠ atau Animation. Cara menampilkan animasinya

adalah dengan meng-klik tombol mouse pada ikon tersebut.

Untuk dapat memanfaatkan diktat ini secara efektif diperlukan beberapa perangkat lunak pendukung, yaitu: Adobe Acrobat Reader versi 9 atau lebih baru dan Quick Time player. Semua perangkat lunak tersebut bersifat public domain/free dan dapat diunduh/didownload via internet. Untuk memudahkan, penulis telah menempatkan diktat kuliah beserta perangkat lunak pendukung tersebut pada ftp server dengan alamat ftp://167.205.6.17 atau ftp://ftp2.math.itb.ac.id. Gunakan user-name: anonymous, password: anonymous. Diktat Matematika 2A dan Matematika 2B, masing-masing tersimpan di dalam folderBahanKuliah/Warsoma/2015 MA1201

Matematika 2A dan BahanKuliah/Warsoma/2015 MA1202 KMatematika 2B,

BahanKuliah/Warsoma/Software Pendukung. Tatacara instalasi dan penggunaan

diktat ini pada komputer anda dijelaskan pada file —readme1st.doc.

Catatan:

• Sesuai dengan kebijakan dari pihak pengelola internet di ITB, semua ftp-server di ITB hanya dapat diakses dari dalam kampus ITB.

• Akses dari luar kampus ITB masih dimungkinkan melalui fasilitas Virtual Private Network (VPN). Akses ini hanya dapat digunakan oleh mereka yang mempunyai account internet di ITB.

• Untuk dapat memastikan tampilan animasi yang ada berjalan dengan benar, se-mua file PDF yang ada harap dibuka menggunakanAdobe Acrobat Reader. Sejauh ini kelengkapan yang ada di PDF reader yang lain belum sepenuhnya mendukung fasilitas yang diperlukan oleh diktat ini.

Sebagai penutup, Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan Dosen yang telah memberikan masukan terhadap pengembangan diktat ini, diantaranya kepada Dr. Wono Setya Budhi, Prof. Dr. Hendra Gunawan, Prof. Dr. Edy Tri Baskoro, Dr. Sri Redjeki, serta Drs Koko Martono M.S.. Semoga diktat ini dapat berguna un-tuk meningkatkan kualitas pembelajaran Matematika khusunya bidang Kalkulus.

Januari 2015, Penyusun,

Teknik Pengintegralan

Sejauh ini, kita telah membahas fungsi-fungsi elementer dengan cukup lengkap. Fungsi-fungsi tersebut terdiri dari fungsi aljabar, bentuk akar dan harga mutlak, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi invers trigonometri, fungsi hiperbol dengan inversnya, dan kombi-nasi antara fungsi-fungsi tersebut.

Proses untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi tersebut ’relatif mudah’ karena telah ada aturan yang lengkap untuk mengevaluasinya. Berlainan dengan menghitung turunan, proses sebaliknya, yaitu mencari anti turunan / integral dari sebuah fungsi merupakan proses yang jauh lebih sukar. Be-berapa fungsi seperti f(x) = ex2 bahkan tidak memiliki anti turunan.

Pada pembahasan sebelumnya telah diperkenalkan teknik substitusi untuk mencari anti turunan. Teknik ini hanya dapat diterapkan pada sekelompok fungsi tertentu. Pada bagian ini akan dikembangkan beberapa teknik baru untuk menentukan anti turunan dari suatu fungsi.

Berikut ini disajikan rumus-rumus dasar anti turunan yang diperoleh lang-sung dari pembahasan konsep turunan pada bab-bab sebelumnya.

11.

Pengintegralan dengan Metode Substitusi

Pada metode ini, sebagian suku dari integran (fungsi yang diintegralkan) disubstitusikan menjadi variabel baru. Substitusi ini diatur agar bentuk in-tegral semula berubah menjadi salah satu dari 15 bentuk inin-tegral di atas. Selanjutnya setelah diperoleh hasil integralnya, kita kembalikan variabel baru tersebut ke variabel semula.

Pengintegralan Fungsi Trigonometri

Pada pasal ini akan dibahas integral dari sinn x dan cosnx, n _≥ 2. Untuk mendapatkan metodenya secara umum, perhatikanlah ilustrasi berikut ini:

Tentukan (a.)

Z

sin2x dx ♠ (b.)

Z

sin3x dx ♠

Dari dua ilustrasi di atas, terlihat bahwa penyelesaian integral tersebut untuk pangkat genap dan ganjil caranya berbeda. Berikut ini disajikan prosedurnya secara umum:

Pangkat n direduksi melalui hubungan sebagai berikut:

• sinnx = sin2x

Bentuk

Z

sinmx cosnx dx

• Bilam ganjil, lakukan substitusi seperti pada pengintegralan

Z

sinm x dx

dengan m ganjil, sedangkan faktor

Z

cosn x dx tidak dubah.

• Bilan ganjil, lakukan substitusi seperti pada pengintegralan

Z

cosn x dx

dengan n ganjil, sedangkan faktor

Z

sinmx dx tidak dubah.

• Bila m dan n keduanya genap, reduksilah kedua pangkat tersebut

seperti pada pengintegralan

Z

sinn x dxdan

Z

cosmx dx untuk pangkat

genap.

Contoh: Tentukan (a)

Z

Untuk n = 1 hasilnya sudah dicantumkan pada tabel di awal bab ini. Saat

ini akan dibahas untuk n _∈ N _{dengan n ≥ 2. Secara umum, metode}

penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

• Tuliskan tann x = tann−2xtan2x = tann−2x sec2x ₋ 1 • Tuliskan cotn x = cotn−2xcot2x = cotn−2x csc2x ₋1

Contoh: Tentukan (a.)

Z

tan4x dx ♠ (b.)

Z

Bentuk

Contoh: Tentukan (a.)

Z

Ketiga bentuk di atas diselesaikan dengan memanfaatkan identitas berikut:

• sin(mx) cos(nx) = 1₂ [ sin(m +n)x + sin(m ₋n)x]

• sin(mx) sin(nx) = ₋1₂[ cos(m +n)x ₋ cos(m ₋ n)x]

• cos(mx) cos(nx) = 1₂ [ cos(m +n)x + cos(m ₋n)x]

Contoh: Tentukan (a.)

Z

sin(2x) cos(3x)dx _•

(b.) π

Z

−π

Substitusi yang Merasionalkan

Metode ini membahas integran yang memuat tanda akar. Sustitusi rasional adalah substitusi yang dilakukan dengan tujuan menghilangkan tanda akar tersebut. Pada pasal ini fungsi yang berada di bawah tanda akar dibatasi pada fungsi linear dan fungsi kuadrat.

Bentuk pn

Pada ketiga bentuk tersebut, masing-masing gunakan substitusi:

• x = a sint ₋π_{2 ≤} t _≤ π₂ • x = a tant ₋π₂ < t < π₂

• x = a sect 0 _≤ t _≤ π, t ₆= π₂

Dengan substitusi tersebut diperoleh:

• √a2 _{− x}2 _{= a cost}

Contoh: Tentukan integral-integral berikut

Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial merupakan sebuah teknik di mana fungsi yang akan diintegralkan berasal dari perkalian dua buah fungsi. Untuk memperoleh

rumus integral parsial, perhatikanlah proses berikut. Misalkan u = u(x)

dan v = v(x) dua buah fungsi.

Contoh: Tentukan integral-integral berikut

Pengintegralan Fungsi Rasional

Pada pasal ini akan dibahas integral berbentuk

Z

P(x)

Q(x) dx dengan P(x), Q(x) polinom.

Contoh: Tentukan

Z

x5 + 2x3 ₋ x + 1 x3 _{+ 5x} dx

Sebelum kita lakukan proses integrasi, hal pertama yang harus diperhatikan adalah derajat dari pembilang dan penyebut. Bila derajat pembilang ’lebih besar atau sama dengan’ derajat penyebut, lakukan dahulu proses pemba-gian polinom. Untuk contoh di atas, bila dilakukan pembapemba-gian polinom maka diperoleh:

Suku pertama pada ruas kanan mudah untuk diintegralkan karena berupa polinom. Permasalahan tinggal pada suku kedua yang berupa fungsi ra-sional. Dengan demikian, untuk selanjutnya pembahasan cukup kita batasi pada masalah integral fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut.

Pada beberapa soal, integral fungsi rasional dapat diselesaikan dengan

substitusi sederhana. Misalnya

Z _3x2 _{− 5x}

2x3 _{− 5x}2 _{+ 6} dx dapat kita selesaikan

dengan mudah memakai substitusi u = 2x3 ₋ 5x2 + 6.

Bentuk 1: Pembilang konstanta, penyebut terdiri dari satu faktor linear

dengan multiplisitas m _≥ 1.

Z ₁

Bentuk 2: Pembilang polinom derajat _≥ 1, penyebut terdiri dari satu faktor linear dengan multiplisitas m. Integran tersebut kita uraikan atas suku-suku sebagai berikut:

Perhatikan bahwa setiap suku pada ruas kanan merupakan bentuk 1.

Contoh:

Z

x ₋3

(x ₋ 1)2 dx ♠

Bentuk 3: Penyebut terdiri dari beberapa faktor linear dengan multiplisi-tas satu. Pada bentuk ini Kita lakukan penguraian sebagai berikut,

S(x)

Setiap suku pada ruas kanan merupakan bentuk 1.

Contoh: (a)

Z ₇

(2x ₋ 1)(x + 3) dx ♠ (b)

Z _{5x + 3}

Bentuk 4: Penyebut terdiri dari faktor-faktor linear dengan multiplisitas boleh lebih dari satu. Masing-masing faktor kita uraikan mengikuti aturan pada bentuk 2 dan bentuk 3. Hasilnya adalah integran dengan suku-suku seperti bentuk 1.

Bentuk 5: Pembilang konstanta dan penyebut polinom kuadrat definit dengan multiplisitas 1. Penyebut kita susun agar terbentuk suku dengan kuadrat sempurna. Hasil integralnya merupakan fungsi invers tangen (lihat item nomor 14 pada awal bab ini).

Contoh:

Z

1

Bentuk 6: Pembilang polinom derajat satu dan penyebut polinom kuadrat definit dengan multiplisitas 1. Lakukan pengubahan sebagai berikut,

px+ q

Suku pertama pada ruas kanan diselesaikan dengan substitusi u = x2 +bx + c

sedangkan suku kedua diselesaikan seperti pada bentuk 5.

Contoh:

Z _{3x + 10}

x2 _{+ 4x + 8} dx ♠

Bentuk 7: Penyebut terdiri dari beberapa faktor dan memuat faktor kuadrat definit bermultiplisitas 1. Setiap faktor pada penyebut diuraikan masing-masing seperti pada bentuk-bentuk sebelumnya.

S(x)

Bentuk 8: Penyebut memuat faktor kuadrat definit bermultiplisitas 2. Integran kita uraikan sebagai berikut,

Bentuk Tak tentu Limit

Perhatikan tiga buah limit berikut:

(a) lim

Bila masing-masing titik limitnya disubstitusikan, semuanya menghasilkan

bentuk 0₀. Namun demikian, bila dihitung, nilai limit dari ketiga contoh

tersebut berbeda-beda. Bentuk seperti ini dinamakan bentuk tak tentu.

Pada beberapa bab sebelumnya kita telah mempelajari berbagai metode yang dapat diterapkan untuk menghitung bentuk tak tentu di atas. Pada pasal ini, akan disajikan metode lain yang relatif mudah untuk mengeval-uasi limit tersebut.

Aturan L’Hopital 1: Misalkan lim

x_→af(x) = limx_→ag(x) = 0.

Contoh: Tentukan limit-limit berikut:

(a) lim

Aturan L’Hopital 2: Misalkan lim

x_→a|f(x)| = limx_→a|g(x)| = ∞.

Bentuk Tak Tentu 0_{· ∞}.

Bentuk ini diubah jadi bentuk 01

∞ atau

Bentuk ini umumnya merupakan fungsi pecahan dikurangi fungsi pecahan lain. Untuk menyelesaikannya, kita samakan penyebutnya. Selanjutnya akan diperoleh bentuk 0₀ atau ∞_∞

Contoh: Tentukan lim

Contoh: Tentukan limit-limit berikut (a) lim

Catatan: Bentuk-bentuk berikut merupakan bentuk tentu

0

Integral Tak Wajar Jenis 1 : batas _∞

Di bagian depan kita telah mendefinisikan pengertian integral tentu se-bagai limit jumlah Riemann. Konsep integral tentu ini didefinisikan pada sebuah interval tutup [a, b], dengan a, b _∈ R_{. Pada pasal ini akan}

diper-luas arti sebuah integral tentu, bila interval tersebut tak terbatas. Berikut ini disajikan definisi dari integral tak wajar jenis 1, yaitu dengan batas _∞.

a.

Bila suku-suku di ruas kanan nilainya berhingga, dikatakan integral tak wajar tersebut konvergen dan nilainya adalah hasil di ruas kanan.

Contoh:

2. Tentukan k supaya

∞ Z

−∞ k

1 + x2 dx = 1 •

3. Carilah semua nilai p supaya

∞ Z

1

1

Integral Tak Wajar Jenis 2: Integran Tak Hingga

Hasil ini tidak wajar, sebab f(x) = _x12 fungsi yang positif, jadi hasil

inte-gralnya seharusnya positif juga. Ketidakwajaran ini disebabkan f(x) tidak terdefinisi di x = 0 _∈ [₋2,1]. Integral seperti ini disebut integral tak wajar jenis 2. Perhitungannya tidak boleh langsung menerapkan Teorema Dasar Kalkulus Pertama. Berikut disajikan integral tak wajar jenis 2 serta definisi perhitungannya.

2. Carilah semua nilai p supaya

2

Z

0

1

xp dx konvergen. •

3. Periksa kekonvergenan (a)

Deret Tak Hingga

Deret merupakan salah satu bagian yang penting dalam bidang matem-atika. Bila kita menggunakan kalkulator untuk menghitung √4,1,sin(310),

log₂3, dan lain-lain, proses melibatkan konsep deret. Bila seseorang mengkaji sifat-sifat gelombang, konsep deret terlibat didalamnya.

Pada bab ini kita akan mempelajari sifta-sifat dasar sebuah deret. Kajian akan diakhiri dengan sebuah metode aproksimasi untuk menghitung ni-lai fungsi menggunakan deret. Aproksimasi ini mempunyai ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan dengan aproksimasi diferensial yang sudah per-nah kita bahas sebelumnya.

Sebuah deret (deret tak hingga) adalah sebuah jumlahan berbentuk,

a1 + a2 +· · · + an +· · · dengan an ∈ R

Sebelum kita mengkaji deret, akan diperkenalkan dahulu pengertian barisan.

Barisan Tak Hingga

Barisan tak hingga adalah fungsi f : N _→ R_.

Barisan biasanya hanya dituliskan nilai-nilai fungsinya sebagai berikut:

a1, a2, a3,· · · dengan an = f(n), n ∈ N

Barisan biasa dinotasikan dengan _{an}∞_n=1, atau {an}

Contoh-Contoh:

1. an = 1− _n1 0, 1₂, 2₃, 3₄, 4₅,· · · ♠

2. bn = 1 − (−1)n _n1 2, 1₂, 4₃, 3₄, 6₅, 5₆, 8₇, 7₈,· · · ♠

3. cn = (−1)n + _n1 0, 3₂, −₃2, 5₄, −₅4, 7₆, −₇6, 9₈,· · · ♠

4. dn = 0,999 0,999 ; 0,999 ; 0,999 ; 0,999 ; · · · ♠

Definisi Barisan Konvergen: Barisan _{an} disebut konvergen ke L,

ditulis lim

n_→∞an = L, artinya untuk setiap ǫ > 0, dapat dicari bilangan

asli K sehingga untuk n _≥ K =_{⇒ |}an − L| < ǫ. Barisan yang tidak

konvergen disebut divergen. Animation

Contoh: Dengan definisi di atas, tunjukkan an = 1−_n1 konvergen ke 1. ♠

Perhatikan barisan cn = (−1)n + _n1.

Bila kita perhatikan nilai suku-suku barisan tersebut adalah sebagai berikut

0, 3

Perhatikan bahwa sukus-suku ganjil (warna biru), ”cenderung” menuju -1, sedangkan suku-suku yang genap (warna hijau), ”cenderung” menuju 1. Jadi suku-suku barisan akan berosilasi disekitar -1 dan 1. Gunakan definisi di atas untuk membuktikan barisan ini divergen.

Sifat-sifat limit sebuah barisan, sama dengan sifat-sifat limit di tak hingga dari sebuah fungsi real. Hal ini dapat dimaklumi, karena barisan juga meru-pakan fungsi. Berikut disajikan sifat-sifat tersebut,

Barisan Monoton

Pengertian kemonotonan pada barisan sama dengan pengertian

kemono-tonan pada fungsi real. Sebuah barisan _{an} disebut monoton tak

tu-run, dinotasikan _{an}↑, bila memenuhi an ≤ an+1. Barisan {an} disebut monoton tak naik, dinotasikan _{an}↓, bila memenuhi an ≥ an+1.

Untuk menguji kekonvergenan sebuah barisan monoton, selain menggu-nakan sifat-sifat yang telah kita bahas, dapat pula menggumenggu-nakan sifata berikut ini:

Sifat:

• Bila _{an}↑ dan terbatas di atas, maka {an} konvergen.

• Bila _{an}_↓ dan terbatas di bawah, maka {an} konvergen.

Catatan: Pada sifat di atas, kemonotonan barisan yang diuji tidak perlu dari awal, tetapi cukup dimulai dari suatu indeks tertentu.

Contoh: Buktikan barisan _{bn} dengan bn = n

2

2n konvergen • •

Catatan. Untuk menunjukan sebuah barisan _{an} monoton, gunakan

salah satu cara berikut:

• Periksa tanda dari an+1 −an

• Bila an selalu positif atau selalu negatif, periksa nilai dari an_a+1_n .

Deret Tak Hingga

Deret tak hingga merupakan jumlahan dari suku-suku sebuah barisan.

a1 +a2 + a3 + · · · =

∞

X

n=1

an dengan an ∈ R.

Tetapkan barisan _{Sn} sebagai berikut:

a1

Barisan ini disebut barisan jumlah parsial dari deret P∞

n=1

an

Dari definisi ini secara intuitif bila n _{→ ∞} maka Sn → ∞ P n=1

an. Dalam

matematika, kondisi seperti ini kita formalkan dalam bentuk definisi berikut:

Definisi: Sebuah deret

∞

X

n=1

an disebut konvergen ke S bila lim

n_→∞Sn = S.

Secara umum, memeriksa kekonvergenen sebuah deret umumnya sukar. Pada bab ini akan dikaji berbagai bentuk deret yang mempunyai karakter-istik khusus sehingga kekonvergenannya dapat diuji dengan lebih mudah.

Deret Geometri

Sebuah deret disebut deret geometri, bila suku-sukunya memenuhi hubun-gan an+1

Berikut disajikan teorema untuk menguji kekonvergenan deret geometri,

Sifat: Deret geometri P∞

k=1

ark−1 konvergen _{⇐⇒ |}r_| < 1. Bila deret

tersebut konvergen, nilainya S = ₁₋a_r ♠

Suku-suku sebuah deret yang konvergen memiliki sifat khusus,

Sifat: Jika P∞

n=1

an konvergen maka lim

n_→∞an = 0 Kontra positif dari sifat di atas adalah,

Sifat, Uji Suku Ke n: Jika lim

n_→∞an 6= 0 maka

∞

P

n=1

an divergen.

Sifat terakhir ini berguna untuk menguji kedivergenen sebuah deret.

Contoh: Periksa kekonvergenan P∞

n=1

Bila kita periksa dengan uji suku ke n, lim

n_→∞an = limn_→∞

1

n = 0.

Karena limitnya bernilai nol, Uji suku ke n tidak menghasilkan kesimpulan.

Sifat: Deret harmonik divergen ke _∞ ♠

Deret harmonik banyak sekali digunakan sebagai deret pembanding untuk menguji kekonvergenan deret lain. Kita akan membahasnya pada beber-apa pasal berikutnya.

Contoh: Periksa kekonvergenan deret

∞

X ₁

Sifat Linear: Jika P∞

Contoh: Periksa kekonvergenan deret P∞

n=1

Bolehkan kita mengelompokkan suku-suku deret tersebut?

(a1+a2) + (a3+a4+a5+a6) +c7+ (a8+· · ·+a100) +· · ·+an +· · ·

Untuk memeperoleh jawabnya, perhatikan deret berikut:

1 ₋ 1 + 1₋ 1 + 1₋ 1 + _{· · ·} + (₋1)n−1 + _{· · ·} = P∞

= 0, jadi deret ini divergen.

Sekarang kita kelompokkan suku-sukunya sebagai berikut: Pengelompokan a: (1 ₋ 1) + (1 ₋ 1) + (1₋ 1) + _{· · · −→} 0

Pengelompokan b: 1 ₋ (1₋ 1) ₋ (1 ₋1) ₋ (1 ₋ 1) + _{· · · −→} 1

Ternyata hasilnya dapat dibuat konvergen dengan nilai yang berbeda-beda, tergantung pola pengelompokkannya. Hal ini tentu saja salah. Sifat berikut menjamin kapan sebuah deret boleh dikelompokkan,

Sifat: Sebuah deret yang konvergen suku-sukunya boleh dikelompokkan dan nilainya tidak akan berubah.

Deret Positif

Pada pasal sebelumnya kita telah membahas beberapa deret khusus serta pengujian kekonvergenannya. Sebagaimana telah dikemukakan, pengujian kekonvergenan deret secara umum tidaklah mudah. Khusus bila suku-suku deret bersifat tak negatif, kita mempunyai berbagai alat uji. Untuk itu pada pasal ini akan dikaji teorema-teorema untuk menguji kekonverge-nan dari deret yang suku-sukunya tak negatif.

Definisi: Sebuah deret P∞

n=1

an disebut deret positif bila an ≥ 0.

Uji Jumlah Terbatas:

Deret positif P∞

n=1

an konvergen ⇐⇒ jumlah parsialnya, Sn, terbatas di atas.

Contoh: Tunjukkan _1!1 + _2!1 + _3!1 +_{· · ·} konvergen. _•

Uji Integral:Diberikan deret P∞

n=1

Perhatikan, pada uji di atas nilai P∞

n=1

Meskipun nilai deret dan integral tersebut tidak sama, tetapi nilai integral tersebut kadang-kadang dijadikan hampiran dari nilai deretnya.

Contoh2:

1. Uji kekonvergenan deret P∞

k=2

en diaproksimasi nilainya memakai 5 suku pertama

5

P n=1

n en,

se-hingga galatnya adalah P∞

n=6

n

Uji Deret-p: 1 + ₂1p + ₃1p + ₄1p +· · · =

∞

P

k=1 1

kp dengan p konstanta.

Deret-p konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk p _≤ 1 . ♠

Contoh: Periksa kekonvergenan deret P∞

k=1

bn konvergen maka

∞

an divergen maka

∞

P

n=1

bn divergen

Contoh: Periksa kekonvergenan (a) P∞

n=1

bn konvergen maka

∞

P

n=1

an konvergen

Contoh: Periksa kekonvergenan (a) P∞

n=1

Uji Hasil Bagi: Misalkan P∞

n=1

an deret positif dengan lim

n_→∞ a_n+1

an = ρ • Bila ρ < 1 deret konvergen.

• Bila ρ > 1 deret divergen.

• Bila ρ = 1 tidak diperoleh kesimpulan

Contoh: Periksa kekonvergenan (a) P∞

n=1

(untuk soal c, gunakan sifat lim

n_→∞(1 +

1

n)

Ringkasan: Misalkan P∞

n=1

an sebuah deret positif

• Jika lim

n_→∞an 6= 0 maka deret divergen.

• Jika an mengandung n!, rn atau nn, gunakan uji hasil bagi.

• Jika an berbentuk fungsi rasional (pangkat konstan dalan n), gunakan

uji banding limit. Sebagai deret pembanding gunakan pangkat tertinggi dari pembilang dibagi penyebut.

• Jika uji-uji di atas gagal, coba dengan uji banding, uji integral atau uji jumlah terbatas.

Catatan: Item 2, 3, dan 4 hanya dapat dipakai untuk deret positif.

Deret Ganti Tanda

Sebuah deret disebut deret ganti tanda bila berbentuk:

a1−a2 +a3−a4 +a5 −a6+− · · · = ∞

P

n=1

(₋1)n−1an an > 0 ∀n ∈ N

Contoh-contoh:

1. 1 ₋ 1 + 1₋ 1 + 1 ₋1 + _{− · · ·}

2. 1 ₋ 1₂ + 1_{3 −} 1₄ + 1_{5 −} 1₆ +_{− · · ·}

3. 1 ₋ 2 + 3₋ 4 + 5 ₋6 + _{− · · ·}

Tidak ada metode khusus untuk menguji kekonvergenan deret ganti tanda, kecuali untuk deret yang suku-sukunya menurun.

Uji Deret Ganti Tanda

Misalkan a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 +− · · · deret ganti tanda dengan

0 < an+1 < an. Bila lim

n_→∞an = 0 maka deret konvergen. Selanjutnya,

Contoh-contoh:

Periksa kekonvergenan deret-deret berikut:

1. 1 ₋ 1₂ + 1_{3 − 4}1 + 1_{5 −} 1₆ +_{− · · · •} (deret harmonik ganti tanda)

2. P∞

n=1

(₋1)n−1n₂n2 •

Kekonvergenen Mutlak dan Bersyarat

Perhatikan deret berikut:

Deret ini tidak dapat diuji dengan Uji Deret Ganti Tanda karena bukan deret ganti tanda.

Bila setiap suku dari deret tersebut dimutlakkan maka diperoleh deret:

1 + 1

Deret mutlaknya ini konvergen karena merupakan deret p dengan p = 2

Hubungan kekonvergenan sebuah deret dengan kekonvergenan deret mut-laknya diberikan oleh sifat berikut ini,

Sifat Bila P∞

n=1|

an| konvergen maka

∞

P

n=1

an konvergen.

Dengan sifat di atas, maka kita dapat menyimpulkan deret (*) konvergen.

Berikan contoh sebuah deret P∞

n=1

an yang konvergen tapi P∞

n=1|

an_| divergen.

• Bila P∞

n=1|

an_| konvergen, dikatakan deret tersebut konvergen mutlak.

• Bila P∞

n=1

an konvergen tetapi ∞ P n=1|

an| divergen, dikatakan deret

Contoh: Periksa kekonvergenan (mutlak/bersyarat/divergen) deret2 berikut:

Uji Hasil Bagi Mutlak

Misalkan P∞

n=1

an sebuah deret (sebarang). Tetapkan ρ = lim

n_→∞

|a_n+1|

|an| .

a. Jika ρ < 1 deret konvergen mutlak.

b. Jika ρ > 1 deret divergen.

c. Jika ρ = 1 tidak diperoleh kesimpulan

Contoh: Periksa jenis kekonvergenan P∞

n=1

(₋1)n+1 3_nn_{! •}

Teorema Penukaran Tempat

Suku-suku sebuah deret yang konvergen mutlak boleh dipertukarkan po-sisinya, nilai deretnya tidak berubah.

Perhatikan deret harmonik ganti tanda:

1₋ 1

Deret Pangkat

Deret pangkat adalah deret tak hingga yang memuat faktor xn seperti pada polinom. Perbedaannya kalau polinom suku-sukunya berhingga, sedangkan deret pangkat suku-sukunya tak berhingga. Deret pangkat banyak digu-nakan untuk aproksimasi nilai fungsi. Hal ini akan kita bahas pada pasal terakhir dari bab ini.

Deret Pangkat Dalam x

Bentuk Umum: P∞

n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · · dengan x ∈ R

Pada notasi di atas disepakati a0x0 = a0, berapapun nilai x.

Kajian deret pangkat umumnya meliputi dua hal:

• Mencari semua titik x _∈ R _{supaya deret tersebut konvergen.}

• Menentukan nilai dari deret pangkat tersebut.

Sebagai ilustrasi awal, perhatikan deret: a+ax+ax2+_{· · ·}, a konstanta. Deret ini merupakan deret geometri dengan pengali x. Dari pembahasan deret geometri, telah kita ketahui deret ini akan konvergen untuk ₋1 < x < 1. Nilainya adalah S(x) = ₁₋a_x. Perhatikan bahwa nilai deret pangkat tersebut berupa fungsi dari x.

a + ax + ax2 + _{· · ·} = ₁₋a_{x −} 1 < x < 1

Himpunan dari semua nilai x yang menyebabkan suatu deret pangkat kon-vergen disebut Himpunan/Daerah Kekonvergenan.

Pada deret di atas, himpunan kekonvergenannya ₋1 < x < 1.

Contoh: Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret-deret berikut:

Himpunan kekonvergenen deret pangkat selalu berupa salah satu dari:

• Satu titik yaitu _{0_}, dikatakan jari-jari kekonvergenannya 0.

• Sebuah selang/interval buka/tutup/setengah buka, misalnya (₋R, R),

jari-jari kekonvergenannya R.

• Seluruh R_{, dikatakan jari-jari kekonvergenannya ∞.}

Sebuah deret pangkat dikatakan konvergen mutlak pada interval kekonver-genannya bila deret tersebut konvergen pada seluruh interval termasuk ke-dua titik ujungnya. Bila salah satu dari titik ujungnya tidak termasuk dalam himpunan kekonvergenannya, maka deret pangkat tersebut dikatakan kon-vergen mutlak di dalam interval kekonvergenannya. Pada contoh 1 di atas, deret tersebut konvergen mutlak di dalam interval kekonvergenannya.

Deret Pangkat Dalam x ₋ a

Bentuk Umum: P∞

n=0

an(x ₋ a)n = a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + · · ·

Himpunan kekonvergenennya selalu berupa salah satu dari:

• Satu titik yaitu _{a_}, dikatakan jari-jari kekonvergenannya 0.

• Sebuah interval buka/tutup/setengah buka, (a₋R, a+R), dikatakan

jari-jari kekonvergenannya R.

• Seluruh R_{, dikatakan jari-jari kekonvergenannya ∞.}

Contoh: Tentukan interval dan jari-jari kekonvergenan dari P∞

n=0

Operasi Deret Pangkat

Pada pasal ini akan dikaji berbagai operasi pada sebuah deret pangkat. Melalui operasi deret pangkat ini, kita akan mendapatkan deret pangkat lain, di mana himpunan kekonvergenannya langsung diperoleh dari deret pangkat yang dioperasikan. Operasi-operasi deret pangkat yang akan kita bahas meliputi: pendiferensialan, pengintegralan dan Operasi-operasi Al-jabar (tambah, kurang, kali dan bagi)

Perhatikan sebuah deret pangkat yang konvergen ke fungsi S(x).

∞ X

n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · · = S(x)

Misalkan I adalah interval kekonvergenannya dan x titik di dalam I, maka:

S′(x) == a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · · =

Contoh: Lakukan operasi pendiferensialan dan pengintegralan pada deret pangkat ₁₋1_x = 1 + x + x2 + x3 + _{· · · −}1 < x < 1 untuk memperoleh dua rumus deret berikut:

1

1. Lakukan substitusi x = ₋t2 pada deret ₁₋1_x lalu integralkan untuk memperoleh rumus deret dari tan−1(x) _•

2. Diberikan deret S(x) = 1 + x + x_2!2 + x_3!3 + _{· · ·} x _∈ R_{. Lakukan}

Deret Taylor dan Maclaurin

Pada pasal sebelumnya kita telah melihat bahwa sebuah deret pangkat yang konvergen akan konvergen ke suatu fungsi S(x). Pada pasal ini akan dipelajari proses sebaliknya, yaitu menyatakan sebuah fungsi dalam bentuk deret pangkat.

Diberikan sebuah fungsi f(x) dan konstanta a. akan dicari bilangan-bilangan c0, c1, c2,· · · sehingga berlaku hubungan berikut:

f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + · · · (1)

Kita turunkan kedua ruas dari persamaan (??_),



Substitusikan x = a pada tiap persamaan di atas, maka diperoleh:

c0 = f(a), c1 = f′(a), c2 =

Misalkan fungsi f(x) dapat diturunkan secara terus menerus, maka fungsi

tersebut dapat dinyatakan secara tunggal dalam bentuk deret

f(a) + f′(a)(x ₋a) + f′′_2!(a)(x ₋ a)2 + f′′′_3!(a)(x ₋ a)3 + _{· · ·}

Deret tersebut dinamakan Deret Taylor dari f(x) di sekitar x = a.

Dalam hal a = 0 dinamakan Deret MacLaurin.

Apakah sebuah deret Taylor menggambarkan fungsi semula pada setiap titik x _∈ R_{? Sebagai ilustrasi, perhatikan deret} 1

1₋x = 1 + x + x2 + · · ·

Teorema Taylor: Misalkan f(x) dapat diturunkan terus pada interval

(a₋ r, a + r), maka deret Taylor

f(a) + f′(a)(x ₋a) + f′′_2!(a)(x ₋ a)2 + f′′′_3!(a)(x ₋ a)3 + _{· · ·}

akan menggambarkan f(x) pada interval tersebut bila

lim

n_→∞Rn(x) = limn_→∞

f(n+1)(c)

(n+1)! (x − a)n+1 = 0 dengan c ∈ (a − r, a +r)

Suku Rn(x) disebut suku sisa Taylor.

Latihan:

1. Tentukan deret Maclaurin dari f(x) = sin(x) dan tunjukkan hasilnya berlaku untuk semua x _∈ R_{. •}

2. Dengan menguraikan ln(x + 1) atas deret Maclaurin, aproksimasilah

nilai

1

R

0

ln(x + 1)dx memakai 5 suku pertama dari deret tersebut. _•

Berikut ini disajikan beberapa deret Maclaurin yang umum dijumpai: 1. ₁₋1_x = 1 + x + x2 + x3 + _{· · · −}1 < x < 1

2. ln(1 + x) = x ₋ x₂2 + x₃3 ₋ x₄4 + _{· · · −}1 < x < 1

3. tan−1x = x ₋ x₃3 + x₅5 ₋ x₇7 + _{· · · −}1 < x < 1

4. ex = 1 + x + x_2!2 + x_3!3 + _{· · ·}

5. sinx = x ₋ x_3!3 + x_5!5 ₋ x_7!7 + _{· · ·}

6. cosx = 1 ₋ x_2!2 + x_4!4 ₋ x_6!6 + _{· · ·}

7. sinhx = x + x_3!3 + x_5!5 + x_7!7 + _{· · ·}

8. coshx = 1 + x_2!2 + x_4!4 + x_6!6 + _{· · ·}

9. (1 + x)p = 1 + p₁x + p₂x2 + p₃x3 + _{· · · −}1 < x < 1

Aproksimasi Polinom Taylor untuk Fungsi

Dalam perhitungan matematika, terutama untuk fungsi-fungsi transenden, sering sekali dijumpai kesukaran dalam menghitung nilai fungsi tersebut. Sebagai contoh, sin(π₇), √4,1, log₂7, dan lain-lain. Bila kita hitung lainya menggunakan kalkulator/komputer, maka yang diperoleh adalah ni-lai hampirannya. Ada berbagai macam teknik hampiran yang dapat di-gunakan, namun prinsip dasarnya menggunakan polinom. Penggunaan polinom sebagai fungsi hampiran didasarkan dua alasan berikut:

• Setiap fungsi kontinu selalu dapat dihampiri oleh polinom • Nilai sebuah polinom selalu mudah untuk dihitung

Pada pasal ini akan dibahas hampiran menggunakan polinom Taylor. Untuk mendapatkan gambaran intuitif, perhatikanlah animasi di bawah ini. Pada animasi tersebut, fungsi f(x) = x2 sin(x) dihampiri secara berturu-tan oleh polinom derajat 1, 2, 4 dan 8. Semakin tinggi derajat polinom yang digunakan, hampiran tersebut terlihat semakin baik.

Catatan: Untuk menghentikan jalannya animasi, tekan tombol mouse pada gambar tersebut. 2

( ) sin

f x =x x

1( )x

p

4

p

x

y Aproksimasi polinom Taylor derajat 1 terhadap f( )x disekitarx=p4

Aproksimasi Linear / Polinom Taylor derajat satu

Misalkan f(x) sebuah fungsi yang dapat diturunkan pada interval buka

I yang memuat titik a. Akan dikonstruksikan polinom derajat satu yang menghampiri f(x) sebagai berikut:

f(x) _≈ p1(x) = c0 +c1(x − a) (3)

Pada masalah ini, kita harus menentukan nilai c0 dan c1 agar hampiran

tersebut ’baik’, artinya polinom p1(x) ’dekat’ dengan fungsi f(x). Kriteria

yang digunakan adalah:

f(a) = p1(a) dan f′(a) = p′1(a)

Substitusikan masing-masing kriteria di atas pada persamaan (??_{) maka akan}

diperoleh c0 = f(a) dan c1 = f′(a).

p1(x) = f(a) +f′(a)(x − a)

Polinom p1(x) disebut hampiran Taylor

de-rajat 1 dari f(x) disekitar titik x = a.

y Aproksimasi polinom Taylor derajat terhadap1 f( )xdisekitarx 4 p =

Property of WD2011

Contoh: Hampiri nilai ln(0,9) dengan polinom Taylor derajat satu. ♠

Aproksimasi kuadrat / Polinom Taylor derajat dua

Pada hampiran Taylor derajat satu, terlihat bahwa untuk titik yang jauh dari titik a, nilai hampirannya kurang baik. Salah satu upaya perbaikannya adalah dengan meningkatkan derajat dari polinom yang digunakan. Untuk itu kita akan membahas hampiran Taylor derajat dua.

f(x) _≈ p2(x) = c0 +c1(x − a) +c2(x − a)2 (4)

Kita harus menentukan koefisien c0, c1danc2. Kriteria yang digunakan

Substitusikan masing-masing kriteria di atas pada persamaan (??_{) maka akan}

diperoleh c0 = f(a), c1 = f′(a), dan

Polinom p2(x) disebut hampiran Taylor

de-rajat 2 dari f(x) disekitar titik x = a.

Aproksimasi polinom Taylor derajat terhadap2 f x x₌p

Property of WD2011

Contoh: Hampiri nilai ln(0,9) dengan polinom Taylor derajat dua. ♠

Aproksimasi Polinom Taylor derajat n

Bentuk umum polinom Taylor derajat n untuk menghampiri f(x) adalah:

f(x) _≈ pn(x) = c0 +c1(x − a) + c2(x − a)2 +· · · + cn(x − a)n (5)

dengan kriteria

f(a) = p2(a), f′(a) = p′₂(a) f′′(a) = p′′₂(a),· · ·f(n)(a) = p(_nn)(a)

Substitusikan masing-masing syarat tersebut pada (??_{), maka diperoleh:}

c0 = f(a), c1 = f′(a), c2 = f

′′_(a)

2! , · · ·, cn =

f(n)(a)

n!

Jadi, bentuk umum hampiran polinom Taylor orde n dari fungsi f(x) dis-ekitar titik a adalah:

f(x)_≈ pn(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f

Hal khusus, bila a = 0 maka pn(x) disebut polinom Maclaurin:

f(x) _≈ pn(x) = f(0) + f′(0)x +

1. Hampiri nilai ln(0,9) dengan polinom Taylor derajat empat. ♠

Galat/Error/Kesalahan

Galat adalah perbedaan nilai dari suatu besaran dengan nilai hampirannya.

ilustrasi: cos(0,2) _≈ 1 _{− 2!}1(0,2)2 + _4!1(0,2)4 _≈ 0,9800667

galat metode galat perhitungan

(galat pemotongan) (galat pembulatan)

Galat pemotongan terjadi karena adanya pemotongan rumus matematika tertentu, sedangkan galat pembulatan diakibatkan karena keterbatasan penyimpanan bilangan pada alat hitung kita.

Perlu diperhatikan, walaupun hasil hitungan numerik selalu berupa hampiran, bila sumber galatnya hanya galat pemotongan, maka kita da-pat mengatur besar galat yang terjadi sesuai dengan kebutuhan. Hal ini dijamin oleh rumus berikut:

Rumus Sisa Taylor

Misalkan f(x) fungsi yang dapat diturunkan sampai (n + 1) kali disekitar titik a, maka

f(x)=f(a) + f ′(a)(x₋a) + f

′′_(a)

2! (x−a)

2 ₊

· · · + f

(n)_(a)

n! (x−a)

n _+Rn(x)

dengan Rn(x) = f₍(n_n+1)_+1)!(c)(x₋a)n+1, c diantara x dan a (suku sisa Taylor)

Secara umum nilai Rn(x)tidak diketahui, tetapi batas atasnya dapat dicari.

Semakin besar n yang digunakan umumnya Rn(x) makin kecil, mengapa?

Latihan:

1. Taksirlah batas galatnya bila ln(0,9) dihampiri dengan p4(x). ♠

2. Hampiri e0,8 dengan galat tidak melebihi 0,001 _•

3. Galat suatu hasil perhitungan numerik adalah E = _|c2−_csinc_| dengan

Irisan Kerucut animation 1 animation 2

Irisan kerucut adalah kurva yang terbentuk dari perpotongan antara se-buah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini dapat berupa satu titik, satu garis lurus, dua garis lurus yang berpotongan, elips, lingkaran, parabola dan hiperbola.

Titik Satu garis Sepasang garis

Elips _{Lingkaran Parabola Hiperbola}

Irisan kerucut yang berupa elips/lingkaran, parabola dan hyperbola disebut

Conic. Secara umum conic dapat diformulasikan sebagai berikut:

L P

F

Perhatikan sebuah garis lurus dan sebuah titik F diluar garis tersebut. Conic adalah ”kumpulan

semua titik P yang bersifat PF

PL = k dengan k

suatu konstanta. Kumpulan titik-titik ini berben-tuk kurva di bidang.

• Elips : conic dengan 0 < k < 1

• Parabola : conic dengan k = 1

• Hiperbola : conic dengan k > 1

Parabola

Bentuk umum : y = ax2 + bx+ c dengan a, b,dan, c konstanta.

Berikut disajikan grafik dari parabola untuk berbagai nilai a, b,dan, c.

Pada gambar di atas, D = b2 ₋ 4ac, disebut diskriminan.

Puncak parabola adalah (₋₂b_a,₋₄D_a).

Catatan: Persamaan parabola dapat pula berbentuk x = ay2 + by + c.

Grafiknya berbentuk parabola yang membuka ke arah sumbu x positif atau

Elips & Lingkaran

Bentuk umum : x_a22 + y2 b2 = 1

Bila a = b, persamaan di atas disebut lingkaran.

Bila a ₆= b, persamaan di atas disebut elips.

x2

32 + y2

32 = 1 x

2

32 + y2

22 = 1

(x₋2)2 32 +

(y₋1)2 32 = 1

(x₋2)2 32 +

(y₋1)2 22 = 1

Latihan:

1. Tuliskan persamaan x2 +y2 ₋ 4x+ 10y + 13 = 0 dalam bentuk baku

dan gambarkan.

2. Tuliskan persamaan 4x2 +y2 ₋ 16x + 2y + 1 = 0 dalam bentuk baku

dan gambarkan.

3. Tentukan persamaan lingkaran yang ujung garis tengahnya melalui titik

Hiperbola

Bentuk umum : x_a22 − y2

b2 = 1 atau -x

2

a2 + y2 b2 = 1

Hiperbola memiliki sepasang garis asimtot miring y = _ab dan y = _−ab

x2

22 − y2

32 = 1 −

x2

22 + y2

32 = 1

Bila hiperbola di atas kita rotasikan dengan sudut sebesar π₂ maka akan

diperoleh gambar hiperbola seperti di bawah ini.

xy = k, k > 0 xy = k, k < 0

Tunjukkan bila hiperbola x2₋y2 = 1 dirotasikan sebesar π₂

Persamaan Parameter Kurva di Bidang

Perhatikan sebuah partikel yang bergerak pada bidang datar. Lintasan dari partikel tersebut merupakan sebuah kurva. Pada bagian ini akan dipelajari tata cara merepresentasikan kurva tersebut dalam bentuk per-samaan matematika. Perlu dipahami, tidak semua kurva dapat kita

ny-atakan dalam bentunk fungsi y = f(x). Sebagai ilustrasi, perhatikan dua

kurva berikut:

x

y

x

y

Kurva sebelah kiri dapat dinyatakan secara eksplisit y = f(x), sedangkan

kurva sebelah kanan berbentuk persamaan implisit f(x, y) = 0. Supaya

kurva di bidang dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan eksplisit, maka diperkenalkan penyajian dalam bentuk persamaan parameter.

Misalkan x = f(t) dan y = g(t) dua buah fungsi kontinu pada interval

I = [a, b]. Pasangan (x, y) = (f(t), g(t)) disebut persamaan parameter

kurva di bidang dengan parameter t.

Contoh: x = t2 + 2t dan y = t ₋ 3 ₋2 _≤ t _≤ 3

Untuk mendapatkan persamaan dalam x dan y, eliminasilah parameter t.

y = t₋ 3 _⇐⇒ t = y + 3,

x = t2 + 2t

x = (y + 3)2 + 2(y + 3)

x = y2 + 8y + 15 ₋5 _≤ y _≤ 0

15

-5 -3

x

Contoh: Eliminasi parameter t dari (x, y) = (acost, bsint), 0 _≤ t _≤ π,

lalu gambarkan ♠

Istilah2

Diberikan persamaan kurva x = f(t) dan y = g(t) a _≤ t _≤ b

• Titik (x(a), y(a)) disebut titik awal.

• Titik (x(b), y(b)) disebut titik akhir.

• Bila titik awal dan titik akhir berimpit, kurva disebut tertutup.

• Bila untuk setiap t1 6= t2 dengan a < t1, t2 < b berlaku

(x(t1), y(t1)) 6= (x(t2), y(t2)), maka kurva disebut sederhana.

sederhana, tidak tertutup

tidak sederhana, tidak tertutup

sederhana, tertutup

Sikloid Animation

Sebuah roda berjari-jari a yang menggelinding sepanjang sumbu-x.

Titik P mula-mula berada di titik asal. Selama menggelinding, jejak titik

P digambarkan sebagai kurva berwarna merah. Pada gambar di atas, titik

P telah menempuh sudut sebesar t. Kita akan menentukan posisi dari titik

P(x, y) sebagai fungsi dari t.

|ON_| = panjang busur PN = at

x = _|OM_| = _|ON_| - _|MN_| = at ₋ asint = a(t ₋ sint)

y = _|MP_| = _|NR_| = _|NC_| + _|CR_| = a ₋acost = a(1 ₋ cost)

Jadi persaman lintasan sikloid adalah (x, y) = (a(t ₋sint), a(1₋cost)).

Sikloid mempunyai keistimewaan berikut:

• Sebuah partikel dilepaskan dari titik P1 (lihat

gambar di samping) dan bergerak ke bawah sepanjang lengkungan sampai di titik dasar L. waktu tempuhnya akan minimum bila lintasan tersebut berbentuk sikloid.

• Bila dua buah benda masing-masing dari posisi P1 dan P2 dilepaskan,

maka keduanya akan menggelinding dan mencapai titik L pada saat

yang bersamaan Animation. Fenomena ini dijadikan dasar pembuatan

Turunan Fungsi berbentuk Parameter

Misalkan (x, y) = (f(t), g(t), a _≤ t _≤ b menyatakan persamaan

kurva di bidang. Bila f′(t) dan g′(t) ada maka dy_dx = dy/dt_dx/dt = _fg′_′(₍t_t)₎

Soal-Soal:

1. Tentukan d_dx2y2 dari x = 5 cost dan y = 4 sint, 0 < t < 3. ♠

2. Diberikan x = 2t₋ 1, y = t2 + 2, Hitung

3

R

1

xy2dx. _•

3. Hitung luas daerah di atas sumbu x dan di bawah lengkungan sikloid

Sistem Koordinat Ruang, R3

x

y z

Sistem koordinat R3

oktan 4

oktan 3 _{oktan 2}

x

Representasi titik di R3

x

y z

(2,-1,-1)

Representasi titik di R3

x

Vektor

Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal dua macam besaran. Besaran pertama adalah besaran yang cukup dinyatakan dalam sebuah nilai,

misal-nya besaran panjang, massa, luas, volume, muatan listrik, laju benda yang

bergerak, dan lain-lain. Besaran seperti ini disebut besaran skalar.

Be-saran jenis kedua adalah beBe-saran yang mempunyai nilai dan arah, seperti.

kecepatan, gaya, torsi, dan lain-lain. Besaran seperti ini disebut vektor.

Untuk lebih memahami pengertian vektor, perhatikanlah ilustrasi berikut

ini. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x ke kanan dengan laju

10 meter/detik. Partikel kedua bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari 1 meter dengan laju sama. Di dalam fisika, kecepatan partikel pertama adalah konstan (percepatannya nol), sedangkan kecepatan partikel kedua tidak konstan (percepatannya tidak nol). Percepatan pada partikel kedua berfungsi untuk mengubah arah geraknya.

Secara geometri, vektor biasanya digambarkan seba-gai anak panah berarah, dan biasa ditulis menggu-nakan huruf kecil tebal (u) atau huruf kecil dengan

anak panah diatasnya (~u).

u

ujung

pangkal

u

v

w

Dalam bidang datar, arah sebuah vektor ditentukan oleh sudut yang dibentuk anak panah tersebut

dengan sumbu x positif. Namun di dalam ruang

dimensi tiga, arah ini sukar untuk didefinisikan. Untuk itu, kita akan merepresentasikan vektor memakai sistem koordinat.

Nilai/panjang sebuah vektor adalah panjang dari anak panah tersebut.

Representasi Vektor pada Koordinat Kartesius

Vektor pada koordinat kartesius digambarkan se-bagai anak panah yang berpangkal di pusat

ko-ordinat. Untuk membedakan dengan

koordi-nat titik, komponen sebuah vektor dituliskan di dalam kurung lancip, seperti pada ilustrasi di samping ini.

Panjang sebuah vektor ~u diberi notasi _||~u_||. Mis-alkan ~u = _hu1, u2i dan ~v = hv1, v2, v3i, maka

Pangkal sebuah vektor tidak selalu harus

berada di pusat koordinat. Sebuah vektor

yang berpangkal di titik P(x1, y1, z1) dan

ujungnya di P(x2, y2, z2) adalah vektor

~u = _hx2 − x1, y2 − y1, z2 − y1i.

Dua buah vektor dikatakan sama bila panjang dan arahnya sama.

Jadi kesamaan dua buah vektor tidak ditentukan oleh posisinya, tapi oleh panjang dan arahnya.

Penjumlahan Vektor

Misalkan ~u dan ~v dua buah vektor. Untuk

menentukan ~u +~v, kita geser dan tempatkan

pangkal vektor ~v pada ujung ~u. Hasil

penjum-lahannya adalah vektor dengan pangkal pada

pangkal ~u dan ujungnya pada ujung ~v.

Perkalian Vektor dengan Skalar

Diketahui AB = 2₃AC. Nyatakan

vektor m~ dalam ~u dan ~v ♠

Sebuah benda digantung seperti pada gambar. Tentukan besarnya

Vektor Basis

Vektor basis adalah sekumpulan vektor-vektor khusus, di mana vektor-vektor yang lain dapat

diny-atakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor

tersebut.

Vektor-vektor basis di bidang:

bi = _h1,0_i, dan bj = _h0,1_i

Vektor-vektor basis di ruang:

bi = _h1,0,0_i, bj = _h0,1,0_i, dan bk = _h0,0,1_i

y

x

x

y z

i

j k

i j

Misalkan ~u = _hu1, u2, u3i, maka dengan menggunakan vektor-vektor basis kita dapat menuliskannya sebagai berikut,

~u =_hu1, u2, u3i

= u1h1,0,0i+ u2h0,1, ,0i +u3h0,0,1i

= u1bi +u2bj +u3bk

Hasil kali titik/dalam:

Hasil kali titik antara dua buah vektor ~udan~v didefinisikan sebagai berikut:

di R2_{: ~u ·~v = hu1, u2i · hv1, v2i = u1v1 +u2v2}

di R3_{: ~u ·~v = hu1, u2, u3i · hv1, v2, v3i = u1v1 + u2v2 +u3v3}

Hasil kali titik antara dua buah vektor adalah sebuah skalar. Konsep ini banyak digunakan dalam bidang mekanika dan grafik 3 dimenasi.

Sifat2: Misalkan ~u, ~v, ~w tiga buah vektor dan c _∈ R_{, maka:}

1. ~u _·~v = ~v _·~u (komutatif)

2. ~u _· (~v +w) =~ ~u_·~v +~u_· w~ distributif

3. c(~u _·~v) = (c~u) _·~v = ~u _·(c~v)

4.~0_· ~u = 0.

5. ~u _·~u = _||~u_||2

6. ~u _·~v = _||~u_{|| ||}~v_||cos(θ), θ sudut antara ~u dan ~v.

7. ~u _⊥ ~v _⇐⇒ ~u_·~v = 0

q

u

r

v

r

Vektor Satuan

Vektor satuan dari sebuah vektor ~u adalah

vek-tor yang panjangnya satu dan searah dengan

vektor ~u. Pada gambar di samping, ~s adalah

vektor satuan dari ~u, dan ~s = _||~u_~u||

Vektor Proyeksi

Vektor ~u diproyeksikan pada ~v dan hasilnya adalah vektor w~. Akan ditentukan w~ dalam ~u dan ~v.

||w~_|| = _||~u_||cosθ = _||~u_|| ~u·~v ||~u_{|| ||}v~_||

~

w = _||w~_{|| ×} vektor satuan dari ~v.

= _||w~_{|| ||}~v_~v||.

= _||~u_{|| ||~u}~u_{|| ||}·~v_{~v|| ||}~v_~v|| = _||~v~u_{|| ||}·~v_~v||~v = _||~u_~v·_||~v2 ~v

Proyeksi vektor

~u

pada vektor

~v

adalah vektor

w

~

=

~u

·

~v

||

~v

_||

2

~v

u

r

q

u

v

Latihan:

1. Tentukan b supaya _h8,6_i dan _h3, b_i saling tegak lurus. ♠

2.

Bila A = (4,3), B = (1,₋1) dan C = (6,₋4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut

ABC. ♠

Persamaan Bidang di Ruang

Perhatikan bidang v (warna merah).

Titik P = (x0, y0, z0) terletak pada bidang v.

Vektor ~n = _hA, B, C_i tegak lurus terhadap bidang v.

Akan ditentukan persamaan bidang v.

Misalkan Q = (x, y, z) sebarang titik pada

bidang v. melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor −→P Q. ♠

Persamaan Garis di Ruang

Diberikan titik P = (x0, y0, z0) dan vektor ~v = ha, b, ci Akan ditentukan persamaan garis yang melalui

titik P dan sejajar dengan vektor ~v.

Misalkan Q = (x, y, z) sebarang titik pada

garis tersebut.

Jelas ~v sejajar dengan −→P Q. Jadi −→P Q = t ~v, dengan t _∈ R_.

hx ₋ x0, y −y0, z − z0i = tha, b, ci.

Persamaan parameter garis di ruang:



disebut Persamaan Parameter dari garis di ruang.

Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut: x₋x₀

a =

y₋y₀

b =

z₋z₀

c disebut Persamaan Simetrik dari garis di ruang.

Latihan:

1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik (2,5,₋1) dan

sejajar vektor _h4,₋3,2_i. ♠

2. Cari persaman garis yang merupakan perpotongan antara bidang2

Hasil Kali Silang (Cross Product)

Hasil kali silang hanya didefinisikan pada vektor di R3_{. Misalkan ~u =}

hu1, u2, u3i dan ~v = hv1, v2, v3i dua buah vektor. Hasil kali silang dari ~u dan ~v didefinisikan sebagai:

~u _×~v =

Sifat-Sifat: Misalkan ~u, ~v tiga buah vektor maka:

1. (~u_×~v) _⊥ ~u dan (~u_×~v) _⊥ ~v, akibatnya

2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, yaitu ~u _×~v = ~v_×~u. ♠

3. Tunjukkan, secara geometri, _||~u _×~v_|| adalah luas jajaran genjang seperti pada gambar di sebelah kiri bawah. _•

4. Tunjukkan, secara geometri, _|w~ _·(~u_×~v)_| adalah volume ”parallelepiped” seperti pada gambar di sebelah kanan bawah. _•

uv

vv

wv

uv

vv

Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di ru-ang dengan lintasan seperti pada gambar di

samping kiri. Posisi titik P pada saat t

diny-atakan oleh vektor yang berpangkal di titik asal dan ujungnya di titik P. Posisinya tersebut da-pat ditulis sebagai ~r(t) = _hf(t), g(t), h(t)_i.

Vektor~r merupakan fungsi dengan variabel real

t dan nilainya adalah sebuah vektor. Fungsi

demikian disebut fungsi bernilai vektor. Secara umum, fungsi bernilai vektor adalah sebagai berikut::

~

F(t) = f(t)bi+ g(t)bj = _hf(t), g(t)_i dengan t _∈ R atau

~

F(t) = f(t)bi+ g(t)bj +h(t)bk = _hf(t), g(t), h(t)_i dengan t _∈ R Untuk selanjutnya hanya akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk fungsi bernilai vektor di bidang aturannya sama saja, hanya kom-ponennya dua buah.

Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor

Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor ”sama” dengan kon-sep limit di fungsi real biasa. Untuk perhitungannya berlaku sifat berikut:

Misalkan F~(t) =_hf(t), g(t), h(t)_i, maka lim t→c

~

F(t) = _hlim

t→c f(t),limt→c g(t),limt→ch(t)i Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb:

Misalkan F~(t) = _hf(t), g(t)_i, maka a. F~′(t) = _hf′(t), g′(t)_i

Sifat2 Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor:

Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat ~r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan ~v dan percepatannya ~a

adalah: ~v(t) = ~r′(t), dan ~a(t) = ~r′′(t)

Arah dari vektor kecepatan ~v dapat dikaji dari definisi turunan r′, yaitu ~v(t) = lim

h_→0

~r(t+h)₋~r(t)

h .

Dengan demikian arah~v sama dengan arah garis

singgung terhadap ~r(t). r tr( )

1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkaran berjari-jarir dengan laju ω rad/detik. Bila kedudukan awalnya di (1,0), tentukan kecepatan dan percepatannya pada saat t= 0,5 dan gambarkan. _•

2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (x, y) = (3 cost,2 sint). _• a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahnya.

c. Tentukan saat kapan lajunya maksimum dan berapa nilainya. d. Tunjukkan vektor percepatannya selalu menuju titik asal.

Warsoma Djohan

Prodi Matematika, FMIPA - ITB

Bidang 1

Menggambar bidang 4x+6y+15z=24

Perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat: (6,0,0),(0,4,0),(0,0,1.6).

Hubungkan ketiga titik tersebut dengan garis lurus

Bidang 2

Menggambar bidang yang sejajar dengan bidang koordinat bidang x=0, disebut juga bidang yoz

bidang y=0, disebut juga bidang xoz

Bidang 3

Menggambar bidang x+2y=6

Gambarkan garis x+2y=6 pada bidang xoy

Bidang 4

Menggambar bidang x+3z=6

Gambarkan garis x+3z=6 pada bidang xoz

Silinder

Silinder adalah permukaan di ruang yang dibangun oleh sebuah persamaan (tak linear) yang melibatkan dua buah variabel, sedangkan variabel ketiga bebas.

Contoh: (a) x2+y2=9 (b) x2+4y2=10 (c) y=x3

–1.5 –1 –0.5 0.5

1

1.5

–2

2

–1 –0.5 0.5

1

Menggambar silinder x2+y2=9. Irisan dengan bidang XOY : x2+y2=9. Nilai Variabel z bebas.

Bola

Bentuk umum: x2+y2+z2=r2.

Irisan dengan bidang XOY : x2+y2=r2.

Irisan dengan bidang XOZ : x2+z2=r2.

Irisan dengan bidang YOZ : y2+z2=r2.

Elipsoida

Bentuk umum: x2

a2 +

y2 b2+

z2

c2 =r2.

Irisan dengan bidang XOY : _ax22+

y2

b2 =r2.

Irisan dengan bidang XOZ : x_a22 +

z2 c2 =r

2_.

Irisan dengan bidang YOZ : y2

b2+

z2 c2 =r2.

Hiperboloida Berdaun Satu

Bentuk umum: x2

a2 +

Hiperboloida Berdaun Dua

Bentuk umum: ₋x2

a2 −

y2 b2+

z2

c2 =1.

Untuk x=0 dan y=0, z=_±c.

Irisan dengan bidang z=k, k>c :

−x_a22−

y2 b2+

k2

c2 =1.⇐⇒

x2 a2+

y2 b2 =

k2 c2−1.

Irisan dengan bidang YOZ : _−by22+z 2

c2 =1.

Irisan dengan bidang XOZ : ₋x_a22 +z 2

c2 =1.

2 4 6 8

–3 –2

1 2

3 y

–3 –2 1

2

3 x

Paraboloida

Bentuk umum: z= x_a22 +

y2 b2.

Untuk x=0 dan y=0, z=0.

Irisan dengan bidang z=k, k>0 :

k=_ax22+

y2 b2 ⇐⇒

x2

k a2+

y2 k b2 =1.

Irisan dengan bidang YOZ : z=_by22.

Irisan dengan bidang XOZ : z= x_a22.

–6 –4 –2 2 4 6

–2 2

y

–3 –2 –1 1

2 3

x

Paraboloida-Hiperboloida

Bentuk umum: z=₋x_a22+

y2 b2.

Irisan dengan bidang XOY

0=_−ax22+

y2

b2 ⇐⇒y=±

b ax

Irisan dengan bidang yoz: z=_by22.

Irisan dengan bidang xoz: z=_−ax22.

Irisan dengan bidang z=k, k>0: k=−x2 a2+

y2 b2.

Irisan dengan bidang z=k, k<0: k=₋x2 ₊y2

Kerucut-Elips

Bentuk umum: x2

a2+

y2 b2−

z2

c2 =0.

Irisan dengan bidang xoy : titik (0,0,0).

Irisan dengan bidang xoz :x2

a2−

z2

c2 =0⇐⇒z=±

a cx

Irisan dengan bidang yoz :_by22−

z2

c2 =0⇐⇒z=±

b cy

Irisan dengan bidang z=k: x2

a2 +

y2 b2 −

k2

c2 =0⇐⇒

x2 a2+

y2 b2 =

k2 c2

Warsoma Djohan

Prodi Matematika, FMIPA - ITB

Fungsi Dua Peubah

Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut(x,y)_∈R2_{dengan sebuah bilangan z∈R.}

Notasi:z=f(x,y).

xdanydisebutpeubah/variabel bebas.

zdisebutpeubah/variabel tak bebas.

Contoh: f(x,y) =

√

y−x2 x2_+(y−1)2

f

(x,y) z

f : (x,y) z

Daerah definisi/Domaindari fungsi f , dinotasikan Df, adalah kumpulan

semua pasangan(x,y)sehingga f(x,y)terdefinisi/punya nilai.

Daerah Nilai/Rangedari fungsi f , Rf ={z∈R|z=f(x,y),(x,y)∈Df}.

Grafik fungsi dua peubah z=f(x,y)merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping).

Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan.

0

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk

9x2+4y2+9z2=36 z_≥0

Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida. –0.5 0.5

x

y z _z=f(x,y)

z=k

f(x,y)=k

kurva ketinggian

WD201

1

Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y).

Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z=k

Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang.

Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy

Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari

z=f(x,y)dengan ketinggian k

Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z=f(x,y)adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi / ketinggian sama.

Gambar beberapa kurva ketinggian dengan berbagai k disebut peta kontur.

Diskusi:

Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan ?

Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama ?

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut(x,y,z)dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u=f(x,y,z).

Contoh: (a) u=f(x,y,z) =x2+y2+z2 (b) v=g(x,y,z) =√x+y2

(c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z) =z₋x2₋y2.

Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa?

Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f(x,y,z) =k.

Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x,y,z) =z₋x2_−y2_.

Persamaan kurva ketinggiannya: z₋x2₋y2=k

z=x2+y2+k

Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung

gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggiandari kurva yang merupakan perpotongan permukaan z=f(x,y)dengan bidang yang sejajar dengan bidang xoz atau bidang yoz.

Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu:

a. Turunan parsial terhadap variabel x ♠

b. Turunan parsial terhadap variabel y ♠

Cara menentukan turunan parsial sebuah fungsi dua peubah sama saja dengan cara menentukan turunan fungsi satu peubah. Untuk jelasnya ikutilah contoh berikut ini.

Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z=f(x,y)akan menghasilkan dua buah fungsi baru fx(x,y)dan fy(x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi

terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua.

Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua.