Determinan (Dr. Edi Sukirman)

Determinan

Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran

(nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang

disebut determinan matriks tersebut dan ditulis

dengan det(A) atau |A|.

Menghitung determinan

3

1

4

2







_







1

2

2

4













2 1 3

3 1 2













Det(A_{) = (3) (-2)} – _{(1)(4) = -10}

Det(B_{) = (1)(4)} – _{(2)(2) = 0}

Det(C_{) = tidak didefinisikan}

A =

B =

C =

Aturan Sarrus (lanjt)

M =

K =

Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?

3 1

4 2

 

 _ 

 

3 2 2

1 2 3

4 4 5

 

 

 

 

 

3 2 1 2 4 4

- - - + + +

Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10

Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu

definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :

Minor M_ij adalah determinan matriks A _{dihapus baris ke i kolom ke j.}

Kofaktor C₁₃ adalah (-1)i+j _M ij

A ₌

a₁₁ a₁₂…….a_1j ……a_1n a₂₁ a₂₂ ……a_2j…….a_2n : : : :

a_i1 a_i2 ……a_ij…….. a_in : : : : a_n1 a_n2……a_nj……. a_nn

M_ij= det

a₁₁ a₁₂…….a_1j ……a_1n a₂₁ a₂₂ ……a_2j…….a_2n : : : :

a_i1 a_i2 ……a_ij…….. a_in : : : : a_n1 a_n2……a_nj……. a_nn

C_ij =(-1)i+j _M ij

Definisi determinan matriks

dengan kofaktor

n

ij ij i=1

a C



n

ij ij j=1

a C



Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau

ekspansi kolom ke j) adalah :

A=

M_ij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A.

C

_ij

=(-1)

i+j

_M

ij

Det(A) = ₌

Contoh: Minor dan kofaktor

Minor M_ij adalah determinan matriks A _{dihapus baris ke i kolom ke j.}

Contoh:



Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:

Menghitung determinan dengan ekspansi

baris/kolom

A ₌

(1 1) (1 2) 1 3

11( 1) ( 22 33 23 32) 12( 1) ( 21 33 23 31) 13( 1) ( 21 32 22 31)

a   a a a a a   a a a a a   a a a a

Det(A) =

Det(A) =

Det(A) =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a a a a a a a

 

 

 

 

 

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 a a a  a a a  a a a  a a a a a a  a a a

11 11 12 12 13 13

a C



a C



a C

21 21 22 22 23 23

a C



a C



a C

Det(A) =

C

11 C12 C13

Ekspansi baris pertama

Menghitung

determinan dengan ekspansi baris/kolom

ekspansi baris pertama

ekspansi baris kedua

ekspansi baris ketiga

ekspansi kolom pertama

?

Contoh:

3 0 0 1 2 0 4 4 5

C

11= 10

C

22= 15

C

13= -4 C23= -12

C

32= 0

C

12= -5

C

31= 0

C

33= 6

C

21= 0

Determinan A dengan ekspansi baris ketiga: Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30

Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga: Det(A) = 5x6 = 30

Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor

Det(A) = ekspansi baris pertama

ekspansi ………

=

Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor

Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor

matriks 4x4 berikut:

SIFAT - SIFAT

DETERMINAN

Sifat 1

det(A

t

) = det(A)

Contoh

:

det(A) = 7 det(A

t

_{) = 7}

Sifat 2

Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan

dua baris sebarang, maka

det(B) = - det(A)















3

4

2

5

A

_













3

2

4

5

t

Contoh

Diberikan matriks

Sifat 3

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan

mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari

matriks A, maka

Sifat 4

Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn

mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real

sebarang kemudian menambahkannya ke baris

(kolom) lain, maka

Sifat 5

Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom)

yang

elemen

–

elemennya

sama,

maka

determinannya adalah nol.

Contoh

Matriks

determinannya = nol.

Sifat 6

Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom)

dengan elemen nol, maka determinannya adalah

nol.























1

1

1

3

2

0

1

1

1

Sifat 7

Jika matriks A=[a

_ij

], 1



i



n, 1



j



n, adalah

matriks segitiga atas (bawah) maka

det(A) = a

₁₁

.a

₂₂

.

…

.a

_nn

Contoh :

Diberikan matriks

maka

det(A) = 1.(-2).2 = -4



























2

0

0

1

2

0

3

2

1

Sifat 8

Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka

det(AB) = det(A).det(B)

Sifat 9

Jika matriks

A

_{invertible, maka}

det(

A

-1

) =

)

det(

1

Determinan matriks sederhana

a₁₁ a₁₂…a_1j …a_1n 0 a₂₂ …a_2j…a_2n : : : :

0 0 …aij….ain

: : :

0 0… 0 .... a_nn

a₁₁ 0 …0 … 0 0 a₂₂ …0 … 0 : : :

0 0 …a_ij… ₀ : : :

0 0… 0 .... ann

Matriks diagonal

Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.

A= Det(A) = a11a22a33…ann

Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0), kecuali a₁₁a₂₂a₃₃…a_nn.

Det(B) = a₁₁a₂₂a₃₃…a_nn B=

Determinan matriks dengan baris/kolom nol

Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no? Matriks dengan baris / kolom nol

A= Det(A) = 0 Setiap hasil kali

elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol.

Det(B) =0 B=

a₁₁ a₁₂…….a_1j ……a_1n a₂₁ a₂₂ ……a_2j…….a_2n : : : :

a_i1 a_i2 ……a_ij…….. a_in : : : :

0 0…… 0……. 0

Contoh :

Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:

Pengaruh tukar baris pada nilai determinan

menukar dua baris  tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah  determinannya (-1) kali determinan semula.

det(X’) = -det(X)

Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan

satu baris dikalikan dengan konstanta k  setiap hasil kali elementer

bertandanya dikalikan k  determinannya adalah k kali determinan matriks semula.

det(X’) = kdet(X)

Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris

lain pada nilai determinan

1 3

Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.

det(X’) = det(X)

Pengaruh operasi baris elementer pada nilai

determinan

Kesimpulan:

 menukar dua baris  tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah  determinannya (-1) kali determinan semula.

 satu baris dikalikan dengan konstanta k  setiap hasil kali elementer

bertandanya dikalikan k  determinannya adlah k kali determinan matriks semula.

Menghitung determinan dengan operasi baris

elementer (OBE)

Det(I) = 1 A mempunyai inverse

A I

Det(A) r kali tukar baris

s kali perkalian baris dengan skalar (k₁, k₂, k₃, …, k_s), t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain

Det(I) = (-1)r _k

1 k2 k3 … ks det(A)

1 = (-1)r _k

1 k2 k3 … ks det(A)

Det(A) = (-1)r _{/ (k}

1 k2 k3 … ks)

Bentuk ebt A

A mempunyai inverse maka

Menghitung determinan dengan operasi baris

elementer

Det(A’) = 0

A TIDAK mempunyai inverse

A

Det(A) r kali tukar baris

s kali perkalian baris dengan skalar (k₁, k₂, k₃, …, k_s), t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain

Det(A’) = (-1)r _k

1 k2 k3 … ks det(A)

0 = (-1)r _k

1 k2 k3 … ks det(A)

Det(A) = 0

0 0 … 0

A TIDAK mempunyai inverse

Bentuk ebt A Mempunyai baris

Contoh: menghitung determinan dengan

operasi baris elementer

B₂ =

R₂ ¼ * R₂ R₁ R₂

B₂ direduksi menjadi matriks identitas dengan

2 kali tukar baris,

sekali mengalikan dengan konstanta ¼

Det(B₂) = (-1) 2 _{1/( ¼ )}

= (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4

0 4 0 0 0 1 1 0 0

R₂ R₃

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 1 0 4 0

1 0 0 0 0 1

Aplikasi determinan:

Aturan Cramer

Aplikasi determinan untuk

Penyajian SPL dengan persamaan matriks

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ +… + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ +…+ a_2nx_n = b₂ :

a_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + …+ a_nnx_n = b_n

x ₌ b ₌

matriks koefisien

SPL

a₁₁ a₁₂ a_{13 …} a_1n a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n

:

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

x₁

x₂

:

x_n

b₁

b₂

:

b_n

A ₌

Aturan Cramer

x = b =

a₁₁ a_{12 …} a_{1j …} a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2j … a_2n

:

a_n1 a_n2 … a_nj … a_nn

x₁ x₂

:

x_n

b₁ b₂

:

b_n

A ₌

b₁ a_{12 …} a_{1j …} a_1n b₂ a₂₂ … a_2j … a_2n

:

b_n a_n2 … a_nj … a_nn A_{1 =}

a₁₁ a₁₂ … b_{1 …} a_1n a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n

:

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn

Det(A_j) =

Penyelesaian SPL:

Contoh:

SPL

SPL dalam persamaan matriks

Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan

Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan?

Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.

x

_j

= det(A

_j

)/ det(A)

j = 1, 2, …, n SPL: Ax = b