Ring Faktor Dan

(1)

==============

================================================================================================== STRUKTUR ALJABAR II

STRUKTUR ALJABAR II 4646

dari grup penjumlahan R ( yang komutatif) dan merupakan grup normal. dari grup penjumlahan R ( yang komutatif) dan merupakan grup normal. Selanjutnya, akan diuraikan ring faktor R/A. Karena elemen-elemen R/A Selanjutnya, akan diuraikan ring faktor R/A. Karena elemen-elemen R/A adalah koset-koset dari A, elemen-elemen tersebut dapat ditulis dalam adalah koset-koset dari A, elemen-elemen tersebut dapat ditulis dalam bentuk I + r dengan r

bentuk I + r dengan r ∈∈ R. Dan R/A merupakan ring dijelaskan dalamR. Dan R/A merupakan ring dijelaskan dalam teorema berikut.

teorema berikut. R/A = { r + A | r

R/A = { r + A | r ∈∈ R } melambangkan himpunan kelas-kelas ekuivalensiR } melambangkan himpunan kelas-kelas ekuivalensi dari R modulo A dengan A ideal. Atau menunjukkan himpunan koset-koset dari R modulo A dengan A ideal. Atau menunjukkan himpunan koset-koset r +

r + A. A. Beberapa sifat dari Beberapa sifat dari koset :koset :

( i). u + A = v + A bila dan hanya bila u – v ( i). u + A = v + A bila dan hanya bila u – v ∈∈ AA (ii). (u + A)

(ii). (u + A) ∩∩ ( v + A )( v + A ) ≠≠ ∅∅ bila dan hanya bila u + A = v +A.bila dan hanya bila u + A = v +A.

Teorema a.1. Teorema a.1.

Diberikan A suatu ideal dari ring R. Diberikan A suatu ideal dari ring R.

Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan pada himpunan Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan pada himpunan R/A dengan aturan

R/A dengan aturan

( u + A) + ( v + A ) = ( u+v) + A ( u + A) + ( v + A ) = ( u+v) + A

( u + A ) ( v + A ) = uv + A ( u + A ) ( v + A ) = uv + A

Terhadap operasi tersebut R/A adalah suatu ring dan disebut ring faktor. Terhadap operasi tersebut R/A adalah suatu ring dan disebut ring faktor. Selanjutnya, pemetaan

Selanjutnya, pemetaan θθ : R: R →→ R/A didefinisikan olehR/A didefinisikan oleh θθ (u) = u + A adalah(u) = u + A adalah homomorfisma dari R ke R/A.

homomorfisma dari R ke R/A. Bukti :

Bukti :

Beberapa syarat yang berkaitan dengan ring harus dibuktikan. Beberapa syarat yang berkaitan dengan ring harus dibuktikan.

(2)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

Akan dibuktikan sifat tertutup. Akan dibuktikan sifat tertutup. Misalkan u + A = u

Misalkan u + A = u11+ A dan v + A = v+ A dan v + A = v11+ A.+ A.

Harus ditunjukkan bahwa Harus ditunjukkan bahwa uv + A = u

uv + A = u11vv11+ A dan ( u+v) + A = (u+ A dan ( u+v) + A = (u11+ v+ v11) + A.) + A.

Karena u + A = u

Karena u + A = u11+ A maka u – u+ A maka u – u11 ∈∈ A atau uA atau u ≡≡ uu11(mod. A).(mod. A).

Dan

Dan v + v + A = A = vv11+ A maka v – v+ A maka v – v11 ∈∈ A atau vA atau v ≡≡ vv11( mod.A).( mod.A).

Menurut teorema a.1. pada bab III, Menurut teorema a.1. pada bab III, ( u+v)

( u+v) ≡≡ (u(u11+ v+ v11) () (mod. A) mod. A) dan dan uvuv ≡≡ uu11vv11(mod. A).(mod. A).

Maka

Maka ( u + v ) ( u + v ) + A = ( + A = ( uu11 + v+ v11) + A dan uv + A = u) + A dan uv + A = u11vv11+ A.+ A.

Akan dibuktikan satu dari aturan-aturan distributif. Akan dibuktikan satu dari aturan-aturan distributif. Diberikan u,v,w

Diberikan u,v,w ∈∈ R.R.

(u+A) [ (v+A) + ( w + A )] = ( u+A) [ ( u+w) + A ] (u+A) [ (v+A) + ( w + A )] = ( u+A) [ ( u+w) + A ]

= ( u (v+w)) + A = ( u (v+w)) + A = ( uv + uw ) + A = ( uv + uw ) + A = (uv + A ) + ( uw + A) = (uv + A ) + ( uw + A)

= ( u+A) ( v+A) + ( u+A) ( w+A) = ( u+A) ( v+A) + ( u+A) ( w+A) 0+A = A adalah elemen identitas penjumlahan dari R/A 0+A = A adalah elemen identitas penjumlahan dari R/A dengan 0

dengan 0 ∈∈ R.R.

Jika R mempunyai elemen identitas perkalian e, maka e + A adalah Jika R mempunyai elemen identitas perkalian e, maka e + A adalah identitas perkalian dari R/A. Jika ring R komutatif maka setiap ring identitas perkalian dari R/A. Jika ring R komutatif maka setiap ring faktor R/A juga komutatif. Tetapi sebalikmya tidak benar.

faktor R/A juga komutatif. Tetapi sebalikmya tidak benar. Ring R/A dapat komutatif meskipun R tidak komutatif.

Ring R/A dapat komutatif meskipun R tidak komutatif. gg

Ring faktor R/A belum tentu merupakan daerah integral meskipun Ring faktor R/A belum tentu merupakan daerah integral meskipun R adalah daerah integral. Sebagai contoh, Z adalah daerah integral, R adalah daerah integral. Sebagai contoh, Z adalah daerah integral, padahal Z

padahal Z66bukan daerah integral.bukan daerah integral.

Teorema a.2. Teorema a.2.

Jika R suatu ring dan A adalah ideal dari R, maka pemetaan

(4)

(5)

Bukti : Bukti :

Diberikan u,v

Diberikan u,v ∈∈ R makaR maka φ

φ (uv ) = uv + A = (u+A)(v+A) =(uv ) = uv + A = (u+A)(v+A) = φφ(u)(u) φφ(v)(v) φ

φ ( u+v) = ( u+v) + A = ( u+A) + (v+A) =( u+v) = ( u+v) + A = ( u+A) + (v+A) = φφ (u) +(u) + φφ (v)(v) Ambil u

Ambil u ∈∈ Ker (Ker (φφ ) maka u) maka u ∈∈ R danR dan φφ(u) = 0 + A;(u) = 0 + A; 0+A elemen nol dari R/A.

0+A elemen nol dari R/A. φ

φ (u ) = u+A = 0+A maka u(u ) = u+A = 0+A maka u ∈∈ A.A. Ambil u

Ambil u ∈∈ A, maka uA, maka u ∈∈ R.R. Karena

Karena φφ homomorfisma makahomomorfisma maka φφ(u) = u+A.(u) = u+A. gg

Contoh : Contoh : Diberikan

Diberikan φφ : Z: Z →→ ZZnn didefinisikan sebagaididefinisikan sebagai φφ (m) = r, dengan r adalah sisa(m) = r, dengan r adalah sisa

pembagian m jika dibagi dengan n( r) adalah suatu isomorfisma. pembagian m jika dibagi dengan n( r) adalah suatu isomorfisma. Karena Ker (

Karena Ker (φφ ) = nZ, dari teorema a.1. menunjukkan bahwa Z/nZ) = nZ, dari teorema a.1. menunjukkan bahwa Z/nZ merupakan suatu ring dengan operasi-operasi pada kelas residu dapat merupakan suatu ring dengan operasi-operasi pada kelas residu dapat dihitung dengan pemilihan dan pembentukan operasi korespondensi dihitung dengan pemilihan dan pembentukan operasi korespondensi dalam Z.

dalam Z.

Dapat ditunjukkan pula bahwa ring Z/nZ isomorfik dengan Z Dapat ditunjukkan pula bahwa ring Z/nZ isomorfik dengan Znn..

Soal Latihan Soal Latihan

1. Didefinisikan

1. Didefinisikan θθ : : ZZ1212 →→ ZZ44 dengandengan θθ ([a]([a]1212 ) = [a]) = [a]44 untuk setiapuntuk setiap

[a]

[a]1212∈∈ ZZ1212

a. Buktikan

a. Buktikan θθ tertutuptertutup b. Buktikan

b. Buktikan θθ homomorfismahomomorfisma c.

c. Susunlah tabel Susunlah tabel Cayley untuk Cayley untuk operasi ring operasi ring pada Zpada Z1212/ ([4])./ ([4]).

2.

(6)

(7)

[(A + u) + (A+v) ] (A+w) = (A+u)(A+w) + (A+v)(A+w) [(A + u) + (A+v) ] (A+w) = (A+u)(A+w) + (A+v)(A+w) untuk setiap ring faktor.

untuk setiap ring faktor.

3. Buktikan bahwa jika R komutatif dan A suatu ideal dari R, maka 3. Buktikan bahwa jika R komutatif dan A suatu ideal dari R, maka

R/A komutatif. R/A komutatif.

4. Buktikan bahwa jika R mempunyai identitas e, maka A+e adalah 4. Buktikan bahwa jika R mempunyai identitas e, maka A+e adalah

identitas untuk R/A. identitas untuk R/A.

5.

5. Diberikan A dan B Diberikan A dan B ideal dari ring R ideal dari ring R dengan Adengan A ⊆⊆ B. Buktikan bahwaB. Buktikan bahwa B/A, yaitu himpunan koset berbentuk b+A dengan b

B/A, yaitu himpunan koset berbentuk b+A dengan b ∈∈ B, adalah idealB, adalah ideal dari ring R/A.

dari ring R/A.

6.

6. Diberikan A suatu ideal Diberikan A suatu ideal dari ring dari ring R. Buktikan R/A adalah R. Buktikan R/A adalah ring komutatifring komutatif bila dan hanya bila rs – sr

bila dan hanya bila rs – sr ∈∈ A untuk setiap r,sA untuk setiap r,s ∈∈ R.R.

7.

7. Diberikan R rDiberikan R ring dari ing dari semua matriks berordo semua matriks berordo 2 berbentuk2 berbentuk













∈













=

x

,,

y

,,

zz

Z

zz

y

0

0 x

x

))

zz

,,

y

,,

x

((

rr

Diberikan A himpunan bagian dari R yang terdiri dari semua elemen Diberikan A himpunan bagian dari R yang terdiri dari semua elemen r (0, y, 0), dengan y

r (0, y, 0), dengan y ∈∈ Z. Buktikan :Z. Buktikan : a.

a. A A ideal ideal dari dari RR b.

(8)

(9)

B.

B. Teorema IsoTeorema Isomorfisma Ringmorfisma Ring

Dalam bagian ini akan diberikan hubungan dasar antara ring-ring faktor Dalam bagian ini akan diberikan hubungan dasar antara ring-ring faktor dan bayangan homomorfisma dari R.

dan bayangan homomorfisma dari R.

Teorema b.1. Teorema Isomorfisma pertama Teorema b.1. Teorema Isomorfisma pertama Diberikan

Diberikan φφ suatu homomorfisma dari ring R ke ring S dengan kernel A.suatu homomorfisma dari ring R ke ring S dengan kernel A. Maka S adalah isomorfik dengan ring faktor R/A; dengan pemetaan Maka S adalah isomorfik dengan ring faktor R/A; dengan pemetaan α

α : R/A: R/A →→ S didefinisikan sebagaiS didefinisikan sebagai αα(u+A) =(u+A) = φφ(u) ; untuk setiap u+A(u) ; untuk setiap u+A ∈∈ R/A.R/A.

Bukti : Bukti :

Sudah dibuktikan pada bab 3 dalam teorema b.2. bahwa Sudah dibuktikan pada bab 3 dalam teorema b.2. bahwa

A = Ker

A = Ker φφ adalah ideal dari R.adalah ideal dari R.

Maka dapat dibentuk ring faktor R/A. Maka dapat dibentuk ring faktor R/A. Akan ditunjukkan pemetaan

Akan ditunjukkan pemetaan αα di atas tertutup (terdefinisi dengandi atas tertutup (terdefinisi dengan baik).

baik).

Ambil u+A, v+A

Ambil u+A, v+A ∈∈ R/A dengan u+A = v+A; u,vR/A dengan u+A = v+A; u,v ∈∈ R.R. Berarti u – v

Berarti u – v ∈∈ A. Atau u = v + a; aA. Atau u = v + a; a ∈∈ A.A. Maka diperoleh

Maka diperoleh φφ ( u) =( u) = φφ ( v+a ) =( v+a ) = φφ (v) +(v) + φφ (a) ;(a) ; karena

karena φφ homomorfisma.homomorfisma. Karena a

Karena a ∈∈ A; dengan A = kerA; dengan A = ker φφ ; maka; maka φφ (a) = 0.(a) = 0. Sehingga

Sehingga φφ (u) =(u) = φφ (v).(v).

Selanjutnya, akan ditunjukkan

Selanjutnya, akan ditunjukkan αα : R/A: R/A →→ S isomorfisma.S isomorfisma. Pertama, ditunjukkan bahwa

Pertama, ditunjukkan bahwa αα homomorfisma.homomorfisma. α

α ((u+A)+(v+A)) =((u+A)+(v+A)) = αα ((u+v) + A)((u+v) + A) =

= φφ (u+v)(u+v) =

= φφ (u) +(u) + φφ (v) ; karena(v) ; karena φφ homomorfismahomomorfisma =

(10)

(11)

=

= φφ (u)(u) φφ (v) ; karena(v) ; karena φφ homomorfismahomomorfisma =

= αα ( u+A)( u+A) αα ( v+A )( v+A ) Terbukti

Terbukti αα homomorfisma.homomorfisma. Kedua, akan dibuktikan

Kedua, akan dibuktikan αα pemetaan injektif.pemetaan injektif. Ambil u+A, v+A

Ambil u+A, v+A ∈∈ R/A denganR/A dengan αα ( u+A ) =( u+A ) = αα ( v+A ).( v+A ). Ambil u+A

Ambil u+A ∈∈ KerKer αα. Maka. Maka αα (u+A) = 0 =(u+A) = 0 = φφ (u).(u). Dari bentuk tersebut, berarti u

Dari bentuk tersebut, berarti u ∈∈ KerKer φφ = A, u= A, u ∈∈ A.A.

Sehingga diperoleh u+A = o+A = A, adalah identitas penjumlahan Sehingga diperoleh u+A = o+A = A, adalah identitas penjumlahan dari ring R/A.

dari ring R/A. Maka Ker

Maka Ker αα = {0}.= {0}. α

α (u+A) =(u+A) = αα (v+A)(v+A) ⇒⇒ αα (u+A) -(u+A) - αα (v+A) = 0(v+A) = 0 α

α ((u-v) + A) = 0;((u-v) + A) = 0; αα homomorfisma.homomorfisma. φ

φ ( u-v ) = 0( u-v ) = 0 ⇒⇒ u – v ∈u – v∈ KerKer φφ ( u – v ) + A

( u – v ) + A ∈∈ KerKer ⇒⇒ ( u – ( u – v ) + A = 0 v ) + A = 0 atau atau (u+A) – (V+A) = 0(u+A) – (V+A) = 0 Akan dibuktikan

Akan dibuktikan αα surjektif.surjektif. Diberikan s

Diberikan s ∈∈ S.S. Diasumsikan bahwa

Diasumsikan bahwa φφ surjektif, ada suatu rsurjektif, ada suatu r ∈∈ R denganR dengan φφ (r ) = s.(r ) = s. Maka

Maka αα ( r + A ) =( r + A ) = φφ ( r ) = s.( r ) = s. Terbukti

Terbukti αα surjektif.surjektif. gg

Teorema itu disebut Teorema Isomorfisma Pertama untuk ring karena Teorema itu disebut Teorema Isomorfisma Pertama untuk ring karena teorema tersebut merupakan aturan dasar dalam mempelajari teorema tersebut merupakan aturan dasar dalam mempelajari homomorfisma.

homomorfisma.

Teorema tersebut dapat diartikan (diinterpretasikan) dengan menyatakan Teorema tersebut dapat diartikan (diinterpretasikan) dengan menyatakan bahwa jika ring isomorfik tidak berbeda, maka hanya bayangan bahwa jika ring isomorfik tidak berbeda, maka hanya bayangan homomorfik dari ring R adalah ring-ring faktor R/A, dengan A adalah suatu homomorfik dari ring R adalah ring-ring faktor R/A, dengan A adalah suatu ideal dari R.

ideal dari R.

Diberikan suatu penjelasan sebagai berikut dalam menggunakan Diberikan suatu penjelasan sebagai berikut dalam menggunakan

(12)

(13)

Cancel Anytime.

hal tentang ideal dari F. Setiap elemen taknol F mempunyai invers, maka hal tentang ideal dari F. Setiap elemen taknol F mempunyai invers, maka suatu ideal taknol dari F memuat elemen identitas (satuan) dan oleh suatu ideal taknol dari F memuat elemen identitas (satuan) dan oleh karena itu memuat setiap elemen dari F. Maka F hanya mempunyai dua karena itu memuat setiap elemen dari F. Maka F hanya mempunyai dua ideal sederhana (trivial), sehingga hanya ada 2 kemungkinan untuk ideal sederhana (trivial), sehingga hanya ada 2 kemungkinan untuk A = Ker

A = Ker φφ. Jika A = <0> maka menurut teorema b.2 (dalam bab III),. Jika A = <0> maka menurut teorema b.2 (dalam bab III), φ

φ merupakan suatu isomorfisma yaitu S adalah field isomorfik dengan F.merupakan suatu isomorfisma yaitu S adalah field isomorfik dengan F. Alternatif lain, yaitu A = F, di mana F/A = F/F adalah suatu ring dengan Alternatif lain, yaitu A = F, di mana F/A = F/F adalah suatu ring dengan hanya 1 elemen dengan setiap koset f + F = 0 + F. Maka dari teorema b.1 hanya 1 elemen dengan setiap koset f + F = 0 + F. Maka dari teorema b.1 menyebabkan S adalah ring dengan 1 elemen. Dari uraian di atas dapat menyebabkan S adalah ring dengan 1 elemen. Dari uraian di atas dapat dirumuskan definisi berikut ini.

dirumuskan definisi berikut ini.

Definisi b.1. Definisi b.1.

Diberikan R dan S suatu ring. Diberikan R dan S suatu ring.

Suatu isomorfisma dari R pada S adalah pemetaan

Suatu isomorfisma dari R pada S adalah pemetaan θθ : : RR →→ S yangS yang merupakan pemetaan satu-satu dan onto dan memenuhi

merupakan pemetaan satu-satu dan onto dan memenuhi θ

θ (a+b) =(a+b) = θθ(a) +(a) + θθ(b)(b) dan

dan θθ(ab ) =(ab ) = θθ(a)(a) θθ(b)(b) untuk setiap a,b

untuk setiap a,b ∈∈ R. Jika ada isomorfisma dari R terhadap S, maka R danR. Jika ada isomorfisma dari R terhadap S, maka R dan S disebut isomorfik dan ditulis R

S disebut isomorfik dan ditulis R ≈≈ S.S. 11

Dalam keadaan

Dalam keadaan θθ(a+b) =(a+b) = θθ(a) +(a) + θθ(b) dan(b) dan θθ(ab) =(ab) = θθ(a)(a) θθ(b), operasi pada(b), operasi pada ruas kiri dalam setiap persamaan adalah operasi pada R dan operasi ruas kiri dalam setiap persamaan adalah operasi pada R dan operasi

(14)

Cancel Anytime.

Contoh : Contoh :

1. Diberikan

1. Diberikan θθ pemetaan dari ring bilangan bulat ke ring bilangan bulatpemetaan dari ring bilangan bulat ke ring bilangan bulat genap yang didefinisikan oleh

genap yang didefinisikan oleh θθ (n ) = 2n untuk setiap n.(n ) = 2n untuk setiap n.

Pemetaan tersebut merupakan isomorfisma antara grup aditif, tetapi Pemetaan tersebut merupakan isomorfisma antara grup aditif, tetapi bukan merupakan ring isomorfisma karena tidak memenuhi definisi bukan merupakan ring isomorfisma karena tidak memenuhi definisi perkalian :

perkalian : θ

θ (mn) = 2mn padahal(mn) = 2mn padahal θθ(m)(m) θθ(n) = ( 2m )( 2n ) = 4mn(n) = ( 2m )( 2n ) = 4mn

Meskipun pemetaan ini bukan ring isomorfisma, dapat ditentukan Meskipun pemetaan ini bukan ring isomorfisma, dapat ditentukan apakah beberapa pemetaan dari ring bilangan bulat ke ring bilangan apakah beberapa pemetaan dari ring bilangan bulat ke ring bilangan bulat genap dapat merupakan ring isomorfisma. Jawabannya adalah bulat genap dapat merupakan ring isomorfisma. Jawabannya adalah tidak. Sebagai contoh, ring dari bilangan bulat mempunyai elemen tidak. Sebagai contoh, ring dari bilangan bulat mempunyai elemen satuan tetapi ring dari bilangan bulat genap tidak mempunyai elemen satuan tetapi ring dari bilangan bulat genap tidak mempunyai elemen satuan.

satuan.

Perlu diingat, meskipun bilangan bulat dan bilangan bulat genap tidak Perlu diingat, meskipun bilangan bulat dan bilangan bulat genap tidak berbeda sebagai grup tetapi berbeda sebagai ring.

berbeda sebagai grup tetapi berbeda sebagai ring.

2.

2. Diberikan Diberikan ring ring Z[Z[ 22 _{] melambangkan semua bilangan a+ b}_{] melambangkan semua bilangan a+ b} 22 _dengan_dengan a,b

a,b ∈∈Z. Z. Dan Dan didefinisikandidefinisikan θθ : Z[: Z[ 22 _{]] →}_{→ Z[}_Z[ 22 _{] oleh}_{] oleh} θ

θ( a + b( a + b 22 _{) = a – b}_{) = a – b} 22 _..

Pemetaan ini merupakan pemetaan satu-satu dan onto. Pemetaan ini merupakan pemetaan satu-satu dan onto. Dan diberikan operasi pada ring, untuk penjumlahan, Dan diberikan operasi pada ring, untuk penjumlahan,

(15)

Cancel Anytime.

θ

θ (a+b(a+b 22 _{)) θ}_{θ ( c+d}_{( c+d} 22 _{) = (a}₎ _{= (a – b}_{– b} 22_{) (c- d}_{) (c- d} 22₎₎ =

= (ac + 2bd) (ac + 2bd) – (bc + – (bc + ad)ad) 22 Maka

Maka θθ adalah suatu isomorfisma dari Z [adalah suatu isomorfisma dari Z [ 22 _{] onto Z[}_{] onto Z[} 22 _]._].

Isomorfisma seperti ini, dari ring ke dirinya sendiri, disebut Isomorfisma seperti ini, dari ring ke dirinya sendiri, disebut automorfisma.

automorfisma.

3.

3. Dapat Dapat dibuktikan dibuktikan bahwa bahwa ZZ66 ≈≈ ZZ22 X X ZZ33 menggunakan pemetaanmenggunakan pemetaan

θ

θ : Z: Z66→→ ZZ22XZXZ33 yang didefinisikan oleh θyang didefinisikan oleh θ([a]([a]66) = ([a]) = ([a]22, [a], [a]33).).

Berikut ini, beberapa pernyataan yang ekuivalen yang menunjukkan Berikut ini, beberapa pernyataan yang ekuivalen yang menunjukkan bahwa

bahwa θθ adalah terdefinisi dan injektif :adalah terdefinisi dan injektif : [a]

[a]66= [b]= [b]66 ⇒⇒ 6| (a-b)6| (a-b)

⇒

⇒ _{2| (a-b) dan 3 | (a-b)}_{2| (a-b) dan 3 | (a-b)} ⇒

⇒ _[a]_[a]₂₂ _{= [b]}_{= [b]}₂₂ _{dan [a]}_{dan [a]}₃₃ _{= [b]}_{= [b]}₃₃ ⇒

⇒ _([a]_([a]₂₂_{, [a]}_{, [a]}₃₃_{) = ([b]}_{) = ([b]}₂₂_{, [b]}_{, [b]}₃₃₎₎

Karena |Z

Karena |Z66| = | Z| = | Z22x Zx Z33 | ,| , θθ adalah surjektif (onto) jikaadalah surjektif (onto) jika θθ injektif.injektif.

Selanjutnya,

Selanjutnya, θθ pada penjumlahan :pada penjumlahan : θ

θ ([a]([a]66 ⊕⊕ [b][b]66) =) = θθ( [a+b]( [a+b]66 ))

= ([a+b]

= ([a+b]22, [a+b], [a+b]33))

= ([a]

= ([a]22 ⊕⊕ [b][b]22, [a], [a]33⊕⊕ [b][b]33))

= ([a]

= ([a]22 , [a], [a]33) + ([b]) + ([b]22, [b], [b]33))

=

(16)

Cancel Anytime.

Sifat lain dari ring isomorfik termasuk adanya elemen satuan, adanya Sifat lain dari ring isomorfik termasuk adanya elemen satuan, adanya elemen pembagi nol, yang merupakan daerah integral dan yang elemen pembagi nol, yang merupakan daerah integral dan yang merupakan field. Metode umum yang terkenal untuk menunjukkan bahwa merupakan field. Metode umum yang terkenal untuk menunjukkan bahwa dua ring tidak isomorfik yaitu menemukan beberapa cirri bahwa satu dari dua ring tidak isomorfik yaitu menemukan beberapa cirri bahwa satu dari ring-ring mempunyai cirri isomorfik tetapi yang lainnya tidak.

ring-ring mempunyai cirri isomorfik tetapi yang lainnya tidak.

Konsep berikut akan membantu dalam menetukan apakah Konsep berikut akan membantu dalam menetukan apakah ketunggalan dari ring bilangan bulat.

ketunggalan dari ring bilangan bulat.

Jika n adalah bilangan bulat positif dan a adalah elemen ring, maka Jika n adalah bilangan bulat positif dan a adalah elemen ring, maka na = a + a + a + …… + a ( n suku ).

na = a + a + a + …… + a ( n suku ).

Definisi b.2. Definisi b.2.

Diberikan R ring. Jika ada suatu bilangan bulat positif n sedemikian Diberikan R ring. Jika ada suatu bilangan bulat positif n sedemikian sehingga na = 0 untuk setiap a, maka bilangan bulat terkecil disebut sehingga na = 0 untuk setiap a, maka bilangan bulat terkecil disebut karakteristik dari R.

karakteristik dari R.

Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka R disebut mempunyai Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka R disebut mempunyai karakteristik 0.

karakteristik 0.

Jika suatu ring mempunyai sebuah elemen satuan e dan karakteristik Jika suatu ring mempunyai sebuah elemen satuan e dan karakteristik n

n ≠≠0 0 maka maka ne = ne = 0.0.

Di lain pihak, jika ne = 0 dan a

Di lain pihak, jika ne = 0 dan a ∈∈ R, maka na = n(ea) = (ne) a = 0a = 0.R, maka na = n(ea) = (ne) a = 0a = 0. Maka, untuk suatu ring dengan satuan e, karakteristik dapat didefinisikan Maka, untuk suatu ring dengan satuan e, karakteristik dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga ne = 0, jika sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga ne = 0, jika ada suatu bilangan bulat maka ring mempunyai karakteristik 0.

(17)

Cancel Anytime.

2.

2. Ring Ring ZZnn adalah daerah adalah daerah integral maka integral maka n adalah n adalah suatu prima. suatu prima. JikaJika

ring Z

ring Znn adalah suatu daerah integral maka karakteristiknya adalahadalah suatu daerah integral maka karakteristiknya adalah

suatu prima. suatu prima.

Soal Latihan Soal Latihan 1.

1. Suatu ideal P Suatu ideal P dari ring komutatif R dari ring komutatif R adalah ideal prima jadalah ideal prima jika Pika P ≠≠ R danR dan untuk setiap a,b

untuk setiap a,b ∈∈ R, abR, ab ∈∈ P maka aP maka a ∈∈ P atau bP atau b ∈∈ P.P.

Buktikan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, maka <n> adalah Buktikan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, maka <n> adalah ideal prima dari Z bila dan hanya bila n adalah bilangan prima.

ideal prima dari Z bila dan hanya bila n adalah bilangan prima.

2.

2. Diketahui R ring Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan komutatif dengan elemen satuan dan PP ≠≠ R adalahR adalah ideal dari R. Buktikan bahwa P adalah ideal prima bila dan hanya bila ideal dari R. Buktikan bahwa P adalah ideal prima bila dan hanya bila R/P adalah daerah integral.

R/P adalah daerah integral.

3.

3. Jika I dan J adalah Jika I dan J adalah ideal dari ring R, maka I ideal dari ring R, maka I + J didefinisikan sebagai+ J didefinisikan sebagai { a+b | a

{ a+b | a∈∈I dan bI dan b∈∈J }. Buktikan :J }. Buktikan : a.

a. I + I + J adalah J adalah ideal dari ideal dari R,R, b.

b. J J adalah adalah ideal dari ideal dari I+J,I+J, c.

c. II∩∩J adalah ideal dari IJ adalah ideal dari I d. I/(I