118
BAB 8
RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
Tujuan Instruksional Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring
Tujuan Instruksional Khusus :
Setelah diberikan penjelasan mengenai Subring dan Ideal, mahasiswa minimal 80%
dapat :
a. Menentukan apakan suatu Ring merupakan Ring Faktor
b. Menentukan apakan suatu Ring merupakan Homomorfisma Ring c. Menjelaskan teorema dasar dari Isomorfisma
Deskripsi Singkat :
Sama halnya dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Grup, di dalam Ring juga dikenal dengan Ring Faktor dan Homomorfisma Ring. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai Ring Faktor mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Ring yang mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Homomorfisma Grup
.
119
8.1. Ring Faktor
Pada bab 7, telah kita pelajari mengenai Ideal, yang mirip dengan Subgrup Normal dalam dalam Grup. Suatu Ring Faktor terdiri dari himpunan dari koset-koset Ring tersebut yang diantaranya adalah ideal- ideal.
Definisi 8.1 :
Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R.
R/S ={S + a | a ∈ R} adalah Ring dengan (S + a) + (S + b) = S + (a +b) dan (S + a) . (S + b) = S + (a . b). Ring semacam ini disebut Ring Faktor atau Ring Koisen.
Sekarang akan kita buktikan bahwa R/S = {S + a | a ∈ R}
membentuk suatu Ring, yaitu dengan memperhatikan syarat-syarat dari suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yaitu terhadap
penjumlahan (+) dan terhadap perkalian (.) yang membentuk suatu Ring (R/K,+,.). Adapun syarat-syarat suatu struktur aljabar yang
mempunyai dua operasi biner membentuk suatu Ring adalah sebagai berikut :
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b ∈ R dan a + b ∈ R
Maka :
Untuk setiap (S + a), (S + b) ∈ R/S berlaku (S + a) + (S + b) = S + (a +b) yang berarti S + (a + b) ∈ R/S
Sehingga S + (a + b) ∈ R/S, tertutup terhadap penjumlahan di R/S
120 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a, b, c ∈ R
maka (a + b) + c = a + (b + c) Sehingga :
Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) ∈ R/S
[(S + a) + (S + b)] + (S + c) = (S + a) + [(S + b) + (S + c)]
[S + (a + b)] + (S + c) = (S + a) + [S + (b + c)]
S + [(a + b) + c] = S + [a + (b + c)]
S + [a + (b +c)] = S + [(a + b) + c]
(S + a) + [S + (b + c)] = [S + (a + b)] + (S + c) (S + a) + [(S + b)+(S + c)] = [(S + a)+(S + b)] + (S + c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a ∈ R
maka a + e = e + a = a Sehingga :
Untuk setiap (S + a) ∈ R/S
(S + 0) + (S + a) = S + (0 + a) = S + a (S + a) + (S + 0) = S + (a + 0) = S + a
⇒ (S + 0) + (S + a) = (S + a) + (S + 0) = S + a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a ∈ R
maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 Sehingga :
Untuk setiap (S + a) ∈ R/S
(S + a) + (S + (-a)) = S + (a + (-a)) = S + 0 = S (S + (-a)) + (S + a) = S + ((-a) + a) = S + 0 = S
⇒ (S + a) + (S + (-a)) = (S + (-a)) + (S + a) = S + 0 = S
121 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di R/S
Misalkan a,b ∈ R maka a + b = b + a Sehingga :
Untuk setiap (S + a), (S + b) ∈ R/S (S + a)+(S + b) = (S + b) + (S + a) S + (a + b) = S + (b + a) S + (b + a) = S + (a + b) (S + b) + (S + a) = (S + a)+(S + b) 6. Tertutup terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a, b ∈ R dan a . b ∈ R Maka :
Untuk setiap (S + a), (S + b) ∈ R/S berlaku (S + a) . (S + b) = S + (a . b) yang berarti S + (a . b) ∈ R/S
Sehingga S + (a . b) ∈ R/S, tertutup terhadap perkalian di R/S 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a, b, c ∈ R
maka (a . b) . c = a . (b . c) Sehingga :
Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) ∈ R/S
[(S + a) . (S + b)] . (S + c) = (S + a) . [(S + b) . (S + c)]
[S + (a . b)] . (S + c) = (S + a) . [S + (b . c)]
S + [(a . b) . c] = S + [a . (b . c)]
S + [a . (b . c)] = S + [(a . b) . c]
(S + a) . [S + (b . c)] = [S + (a . b)] . (S + c) (S + a) . [(S + b) . (S + c)] = [(S + a) . (S + b)] . (S + c)
122 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di R/S
Misalkan a ∈ R
maka a . e = e . a = a Sehingga :
Untuk setiap (S + a) ∈ R/S
(S + 1) . (S + a) = S + (1 . a) = S + a (S + a) . (S + 1) = S + (a . 1) = S + a
⇒ (S + 1) . (S + a) = (S + a) . (S + 1) = S + a
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b, c ∈ R
maka a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c) Sehingga :
Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) ∈ R/S
(S + a) . [(S + b) + (S + c)] = [(S+a).(S+b)] + [(S+a).(S+c)]
(S + a) . [S + (b + c)] = [S + (a . b)] + [S + (a . c)]
S + [a . (b + c)] = S + [(a . b) + (a . c)]
S + [(a . b) + (a . c)] = S + [a . (b + c)]
[S + (a . b)] + [S + (a . c)] = S + a) . [S + (b + c)]
[(S+a).(S+b)] + [(S+a).(S+c)] = (S + a) . [(S + b) + (S + c)]
dan
[(S + a) + (S + b)] . (S + c) = [(S+a).(S+c)] + [(S+b).(S+c)]
[S + (a + b)] . (S + c) = [S + (a . c)] + [S + (b . c)]
S + [(a +b) . c] = S + [(a . c) + (b . c)]
S + [(a . c) + (b . c)] = S + [(a +b) . c]
[S + (a . c)] + [S + (b . c)] = [S + (a + b)] . (S + c) [(S+a).(S+c)] + [(S+b).(S+c)] = [(S + a) + (S + b)] . (S + c)
123 Dengan kata lain, misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R, maka R/S disebut Ring Faktor jika :
1. (R/S,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R/S,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid
3. (R/S,+,.) merupakan distributif perkalian terhadap penjumlahan
Contoh 8.1 :
Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z6. Tunjukan Z6/K adalah merupakan Ring Faktor.
Penyelesaian :
Ada dua koset / Ideal dari Ring Z6, yaitu : K = {0, 2, 4}
K + 1 = {1, 3, 5}
Sehingga Z6/K = {K, K + 1}
Tabel 8.1.
Daftar Cayley (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, +) dan (Z6/K = Z6/{0, 2, 4}, .)
+ K K + 1 . K K + 1
K K K +1 K K K
K + 1 K + 1 K K + 1 K K + 1
Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z6/K.
Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z6/K dengan syarat- syarat suatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z6/K. Adapun syarat- syaratnya sebagai berikut :
124 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
∀ K, K + 1 ∈ Z6/K
berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 Sehingga K + 1 ∈ Z6/K
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
∀ K, K + 1 ∈ Z6/K
[K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)]
[K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)]
(K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0) K + (1 + 1) = K + (0 + 0)
K = K
Sehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
∀ K + 1 ∈ Z6/K
(K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 (K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1
Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K + 1
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
∀ K + 1 ∈ Z6/K
(K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K (K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
∀ K, K + 1 ∈ Z6/K
K + (K + 1) = (K + 1) + K K + (0 + 1) = K + (1 + 0) K + 1 = K + 1
Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K + 1
125 6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z6/K
∀ K, K + 1 ∈ Z6/K
berlaku K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K Sehingga K ∈ Z6/K
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z6/K
∀ K, K + 1 ∈ Z6/K
[K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)]
[K + (0 . 1)] . (K + 1) = K . [K + (1 . 1)]
(K + 0) . (K + 1) = K . (K + 1) K + (0 . 1) = K + (0 . 1)
K = K
Sehingga [K . (K + 1)] . (K + 1) = K . [(K + 1) . (K + 1)] = K 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z6/K
∀ K ∈ Z6/K
(K + 1) . K = K + (1 . 0) = K + 0 = K K . (K + 1) = K + (0 . 1) = K + 0 = K
Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K
9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z6/K
∀ K, K + 1 ∈ Z6/K
Misalkan a = K , b = K + 1 dan c = K + 1 a. (b + c) = (a . b) + (a . c)
K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)]
K . [K + (1 + 1)] = [K + (0 . 1)] + [K + (0 . 1)]
K + [0 . (1 + 1)] = K + [(0 . 1) + (0 . 1)]
K + (0 . 0) = K + (0 + 0)
K = K
Sehingga K . [(K + 1) + (K + 1)] = [K . (K + 1)] + [K . (K + 1)] = K Jadi, Z6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor
126 Sebenarnya dari tabel juga kita telah bisa mengetahui bahwa Z6/K adalah merupakan Ring Faktor, karena hasil dari penjumlahan dan perkalian unsur-unsur Z6/K menghasilkan unsur-unsur itu sendiri. Jadi bila K adalah suatu Ideal dan R adalah suatu Ring, maka kita dapat menentukan Ring Faktor dari R/K dengan membuat tabel daftar Cayley terhadap penjumlahan dan perkalian unsur-unsur dari R/K, yang disebut tabel Ring Faktor dari R/K.
8.2. Homomorfisma Ring
Pada bab 4, telah kita pelajari mengenai Homomorfisma Grup yaitu suatu pemetaan dari Grup G ke Grup G’ yang mengawetkan operasi yang ada pada Grup tersebut.
Sama halnya dengan Grup, pada Ring juga ada pemetaan dari Ring R ke Ring R’ yang mengawetkan kedua operasi yang ada dalam Ring tersebut, yang disebut dengan Homomorfisma Ring.
Definisi 8.2 :
Suatu pemetaan f dari Ring (R,+,.) ke Ring (R’,⊕,⊗) disebut suatu Homomorfisma Ring bila ∀ a, b ∈ R berlaku :
1. f(a + b) = f(a) ⊕ f(b) 2. f(a . b) = f(a) ⊗ f(b)
Dalam suatu Ring telah kita ketahui operasi biner yang ada pada umumnya adalah operasi penjumlahan dan operasi perkalian, sehingga biar tidak menimbulkan keraguan maka definisi tersebut dapat kita tuliskan sebagi berikut :
127 Definisi 8.3 :
Suatu pemetaan f dari Ring R ke Ring R’ disebut suatu Homomorfisma Ring bila ∀ a, b ∈ R berlaku :
1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a . b) = f(a) . f(b)
Ada beberapa definisi khusus mengenai Homomorfisma Ring adalah sebagai berikut :
Definisi 8.4 :
a. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 – 1) disebut dengan Monomorfisma Ring.
b. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan Epimorfisma Ring.
c. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 – 1) dan surjektif (pada), disebut dengan Isomorfisma Ring.
Definisi 8.5 :
Suatu Homomorfisma dari suatu Ring ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.
Contoh 8.2 :
Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa ∀ a, b ∈ R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b)
128 Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), ∀ a, b ∈ R (a + b) = (a) + (b)
a + a = a + b
2. f(a . b) = f(a) . f(b), ∀ a, b ∈ R (a . b) = (a) . (b)
a . b = a . b
Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a . b) = f(a) . f(b) maka f : Z R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma
Ring.
Contoh 8.3 :
Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = 2a adalah suatu Homomorfisma Ring.
Penyelesaian :
Akan kita buktikan bahwa ∀ a, b ∈ R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(a . b) = f(a) . f(b) Sehingga :
1. f(a + b) = f(a) + f(b), ∀ a, b ∈ R 2(a + b) = 2a + 2b
2(a + b) = 2(a + b) a + b = a + b
2. f(a . x) = f(a) . f(b), ∀ a, x ∈ R 2ab = 2a . 2b
2ab ≠ 4ab
Dikarenakan untuk f(a . b) ≠ f(a) . f(b) maka f : Z R untuk f(a) = 2a bukan merupakan Homomorfisma Ring.
129 Teorema 8.1 :
Misalkan R adalah suatu Ring dan R’ juga merupakan suatu Ring. Bila pemetaan f : R R’ adalah suatu Homomorfisma Ring, maka :
1. f(0) = 0’, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0’ merupakan unsur nol di R’
2. f(-a) = -f(a), ∀ a ∈ R Bukti :
1. f(0) = 0’, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0’ merupakan unsur nol di R’
Ambil sebarang nilai a ∈ R
0 merupakan unsur nol di R, yang berarti a + 0 = 0+ a = a Sehingga :
f(a) = f(a + 0) = f(a) + f(0) dan
f(a) = f(0 + a) = f(0) + f(a) Maka :
f(a) = f(a) + f(0) = f(0) + f(a)
Ini berarti bahwa f(0) merupakan unsur nol di R’. Karena unsur nol di R’ adalah 0’ maka dengan sifat ketunggalan unsur nol didapat f(0) = 0’.
2. f(-a) = -f(a), ∀ a ∈ R
Ambil sebarang nilai a ∈ R
Karena ada a ∈ R, maka ada -a ∈ R yang berarti a + (-a) = (-a) + a = 0 Sehingga :
f(0) = f(a + (-a)) = f(a) + f(-a) dan
f(0) = f((-a) + a) = f(-a) + f(a)
130 Maka :
f(0) = f(a) + f(-a) = f(-a) + f(a) Dari pembuktian f(0) = 0’, didapat :
f(a) + f(-a) = f(-a) + f(a) = f(0) = 0’
Dengan sifat ketunggalan dari unsur balikan atau invers, maka f(-a) = -f(a).
Definisi 8.6 :
Kernel (Inti) dari suatu Homomorfisma Ring f adalah {a ∈ R | f(a) = 0’}, biasa ditulis K = {a ∈ R | f(a) = 0}.
Pada sub pokok bahasan berikut akan dibicarakan mengenai teorema yang cukup penting dalam Homomorfisma Ring, yaitu teorema dasar Isomomorfisma.
8.3. Teorema Dasar Isomorfisma
Misalkan terdapat dua Ring R dan R’. Ring R dan R’ dikatakan Isomorfik jika terdapat suatu Isomorfisma dari R ke R’ atau sebaliknya terdapat suatu Isomorfisma dari R’ ke R. Terdapat tiga teorema dasar mengenai Isomorfisma Ring yang akan dijelaskan dalam sub pokok bahasan ini.
Teorema berikut disebut sebagai teorema pertama untuk Isomorfisma Ring.
Teorema 8.2 : (Teorema pertama Isomorfisma)
Misalkan R dan R’ adalah suatu Ring. Bila µ adalah suatu Homomorfisma dari R pada R’ dengan kernel K, maka R’ ≅ R/K.
131 Bukti :
Misalkan τ : R/K R, maka τ(K + a) = µ(a)
a. Akan ditunjukan bahwa τ merupakan suatu pemetaan Misalkan K + a = K + b, dimana K + a, K + b ∈ R/K Maka τ(K + a) = µ(a) dan τ(K + b) = µ(b)
Jika µ adalah Homomorfisma maka µ(a – b) = µ(a) – µ(b) K + a = K + b, berarti juga a – b ∈ K
Sehingga :
µ(a – b ) = 0’
µ(a) – µ(b) = 0’
µ(a) = µ(b) τ(K + a) = τ(K +b) Jadi τ merupakan suatu pemetaan
b. Akan ditunjukan bahwa τ merupakan suatu Homomorfisma τ[(K + a) + (K + b)]= τ(K + (a + b))
= µ(a + b)
= µ(a) + µ(b)
= τ(K + a) + τ(K + b) dan
τ[(K + a) . (K + b)] = τ(K + (a . b))
= µ(a . b)
= µ(a) . µ(b)
= τ(K + a) . τ(K + b) Jadi τ merupakan suatu Homomorfisma
c. Akan ditunjukan bahwa τ bersifat injektif (1 – 1) Misalkan µ(a) = µ(b) K + a = K +b
µ(a) = µ(b) µ(a) + µ(b) = 0’
µ(a + b) = 0’
132 Itu berarti a – b ∈ K, sehingga K + a = K + b
Jadi τ bersifat Injektif (1 – 1)
d. Akan ditunjukan bahwa τ bersifat surjektif (pada) Misalkan b ∈ R’, berarti b = µ(a) untuk suatu a ∈ R
Diketahui a ∈R dan f : R R/K, berarti a dipetakan ke K + a ∈R/K Kita pilih c = K + a ∈R/K, sehingga
τ(c) = τ(K + a) = µ(a) = b ∈ R’
Jadi τ bersifat surjektif (pada)
Terbukti terdapat Isomorfisma dari R/K ke R’
R’ ≅≅≅≅ R/K atau R/K ≅≅≅≅ R’
Teorema berikut ini disebut sebagai teorema kedua dari Isomorfisma Ring.
Teorema 8.3 : (Teorema kedua Isomorfisma)
Misalkan R dan R’ adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R’ dengan kernel K. Bila S’ adalah suatu Ideal dari R’ dan S adalah suatu Ideal dari R, maka S/K ≅ S’ untuk S = {a ∈R | µ(a) ∈ S’}.
Bukti :
Untuk membuktikan teorema ini, maka terlebih dahulu perlu kita buktikan bahwa S adalah merupakan Ideal dari R.
Dari definisi Ideal diperoleh :
a. S ≠ φ, maka terdapat 0 ∈ R, sehingga µ(0) = 0’ dan 0’ ∈ S’
b. S merupakan himpunan bagian dari R, sehingga S ⊆ R c. Misalkan a, b ∈ S
Sehingga diperoleh a ∈ R, µ(a) ∈S’ dan b ∈ R, µ(b) ∈ S’
Jika a + b ∈ R, maka µ(a + b) = µ(a) + µ(b) ∈ S’
d. Misalkan a ∈ S dan r ∈R
• Untuk Ideal Kiri
133 Misalkan a ∈ R dan r ∈ R
µ(ra) = µ(r) . µ(a)
Sehingga µ(a) ∈ S’ dan µ(r) ∈ R’
Karena S’ merupakan Ideal R’, maka diperoleh µ(ra) = µ(r) . µ(a) Jadi ra ∈ S, sehingga S merupakan Ideal kiri di R
• Untuk Ideal Kanan
Misalkan a ∈ R dan r ∈ R µ(ar) = µ(a) . µ(r)
Sehingga µ(a) ∈ S’ dan µ(r) ∈ R’
Karena S’ merupakan Ideal R’, maka diperoleh µ(ar) = µ(a) . µ(r) Jadi ar ∈ S, sehingga S merupakan Ideal kanan di R
Maka dapat disimpulkan bahwa S adalah Ideal di R Berikutnya akan ditunjukan bahwa K ⊆ S
Misalkan k ∈ K dan µ(k) = 0’ ∈ S’
Sehingga k ∈ S, yang berarti ∀ k ∈ K, k ∈ K k ∈ S.
Dapat disimpulkan K ⊆ S
Jadi pemetaan µ yang dibatasi pada S mendefinisikan suatu Homomorfisma dari S ke S’ dengan kernel K. Sehingga berdasarkan teorema pertama Isomorfisma, terbukti bahwa terdapat Isomorfisma dari S/K ke S’.
S’ ≅≅≅≅ S/K atau S/K ≅≅≅≅ S’
Teorema berikut ini disebut sebagai teorema ketiga dari Isomorfisma Ring.
Teorema 8.4 : (Teorema ketiga Isomorfisma)
Misalkan R dan R’ adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R’ dengan kernel K. Bila S’ adalah suatu Ideal dari R’ dan S adalah
134 suatu Ideal dari R, maka R/S ≅ R’/S’ untuk S = {a ∈R | µ(a) ∈ S’}. Secara ekuivalen, bila K suatu Ideal dari R dan K ⊆ S adalah suatu Ideal dari R,maka R/S ≅ (R/K) / (S/K).
Bukti :
Misalkan τ : a µ(a) + S’ atau τ(a) ∈ R’/S’, mendefinisikan pemetaan τ : R R’/S’
a. Akan ditunjukan bahwa τ merupakan suatu Homomorfisma Misalkan a, b ∈ R
Sehingga diperoleh τ(a) = µ(a) + S’ dan τ(b) = µ(b) + S’
τ(a + b) = µ(a + b) + S’
= (µ(a) + µ(b)) + S’
= (µ(a) + S’) + (µ(b) + S’)
= τ(a) + τ(b) dan
τ(a . b) = µ(a . b) + S’
= (µ(a) . µ(b)) + S’
= (µ(a) + S’) . (µ(b) + S’)
= τ(a) . τ(b)
Jadi ∀ a, b ∈R berlaku τ(a + b) = τ(a) + τ(b) dan τ(a.b) = τ(a) . τ(b), yang berarti τ merupakan suatu Homomorfisma
b. Akan ditunjukan bahwa τ bersifat surjektif (pada) Ambil x ∈ R’/S’
Misalkan x = a’ + S’, a’ ∈ R’
Jika µ pemetaan pada, berarti ∃ a ∈ R sehingga µ(a) = a Maka diperoleh x = µ(a) + S’
Pilih a ∈R sehingga τ(a) = µ(a) + S’ = x Jadi ∀ x ∈R’/S’, ∃ a ∈ R sehingga τ(a) = x.
Dengan kata lain, τ bersifat surjektif (pada)
135 c. Akan ditunjukan bahwa S = K
Ambil a ∈ Ker(τ) ⊆ R
Diperoleh τ(a) = S’, padahal τ(a) = µ(a) + S’
Jadi µ(a) + S’ = S’
Karena S’ Grup bagian aditif dari R’ diperoleh µ(a) ∈ S’
Berdasarkan definisi Ideal, diperoleh a ∈ S Jadi ∀ a ∈ Ker(τ) a ∈ S
Dengan kata lain, Ker(τ) ⊆ S
Ambil a ∈ S, berarti a ∈ R dan µ(a) ∈ S’
Diperoleh τ(a) = µ(a) + S’ = S’, sebab µ(a) ∈ S’
Sehingga a ∈ K, yang berarti S ⊆ K Dari dapat disimpulkan bahwa S =K
Diperoleh τ : R R’/S’ Homomorfisma surjektif (pada) dengan kernel K = S.
Berdasarkan teorema kedua Isomorfisma, diperoleh R/S ≅ R’/S’.
Padahal R’ ≅ R/K dan S’ ≅ S/K
Sehingga terbukti terdapat Isomorfisma dari R’/S’ ke R/S R’/S’ ≅≅≅≅ R/S ≅≅≅≅ (R/K)/(S/K)
8.4. Rangkuman
1. Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R.
R/S ={S + a | a ∈ R} adalah suatu Ring Faktor atau Ring Koisen dengan :
(S + a) + (S + b) = S + (a +b) dan
(S + a) . (S + b) = S + (a . b)
136 2. Suatu pemetaan f dari Ring R ke Ring R’ disebut suatu Homomorfisma
Ring bila ∀ a, b ∈ R berlaku :
• f(a + b) = f(a) + f(b)
• f(a . b) = f(a) . f(b)
3. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 – 1) disebut dengan Monomorfisma Ring. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan Epimorfisma Ring. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 – 1) dan surjektif (pada), disebut dengan Isomorfisma Ring.
4. Suatu Homomorfisma dari suatu Ring ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.
5. Misalkan R dan R’ merupakan suatu Ring. Bila pemetaan f : R R’
adalah suatu Homomorfisma Ring, maka :
• f(0) = 0’, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0’ merupakan unsur nol di R’
• f(-a) = -f(a), ∀ a ∈ R
6. Misalkan R dan R’ adalah suatu Ring. Bila µ adalah suatu Homomorfisma dari R pada R’ dengan kernel K,maka R’ ≅ R/K.
7. Misalkan R dan R’ adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R’ dengan kernel K. Bila S’ adalah suatu Ideal dari R’ dan S adalah suatu Ideal dari R, maka S/K ≅ S’ untuk S = {a ∈R | µ(a) ∈ S’}.
137
8. Misalkan R dan R’ adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R’ dengan kernel K. Bila S’ adalah suatu Ideal dari R’
dan S adalah suatu Ideal dari R, maka R/S ≅ R’/S’ untuk S = {a ∈R | µ(a) ∈ S’}. Secara ekuivalen, bila K suatu Ideal dari R dan K ⊆ S adalah suatu Ideal dari R,maka R/S ≅ (R/K) / (S/K).
8.5. Soal-soal Latihan
1. Misalkan K adalah ideal-ideal yang dibangun oleh Z4. Carilah ideal-ideal yang dibangun tersebut dan tunjukan Z4/K adalah merupakan Ring Faktor
2. Carilah K yang merupakan suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z8. Tunjukan Z8/K adalah merupakan Ring Faktor.
3. Berikut ini diberikan pemetaan-pemetaan, yang mana dari pemetaan- pemetaan tersebut merupakan Homomorfisma.
• f : Z Z, dengan f(a) = 4a
• f : Z Z, dengan f(a) = a3
• f : Z6 Z3, dengan f(a) = a + 1
• f : Z R, dengan f(a) = 2a
4. Tunjukan apakah Z2 X Z3 merupakan Isomorfisma dengan Z6, sehingga Z2 X Z3≅ Z6
5. Tunjukan bila R, R’ dan R’’ adalah merupakan suatu ring-ring dan bila g : R R’ dan f : R’ R’’ adalah merupakan suatu homomorfisma- homomorfisma, maka pemetaan komposisi f o g : R R’’ adalah juga merupakan Homomorfisma.
