Kaitan Antara Homomorfisma Pada Graf Dan Homomorfisma Pada Aljabar Graf.

(1)

Nunung Nurhidayah, 2015

Kaitan Antara Homomorfisma Pada Graf Dan Homomorfisma Pada Aljabar Graf

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

KAITAN ANTARA HOMOMORFISMA PADA GRAF DAN HOMOMORFISMA PADA ALJABAR GRAF

SKRIPSI

diajukan untuk memenuhi sebagian syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar

oleh

Nunung Nurhidayah NIM 1100055

PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

KAITAN ANTARA HOMOMORFISMA PADA GRAF DAN HOMOMORFISMA PADA ALJABAR GRAF

Oleh

Nunung Nurhidayah

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Matematika Konsentrasi Aljabar pada Fakultas Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam

Juni 2015

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

Nunung Nurhidayah, 2015

NUNUNG NURHIDAYAH

KAITAN ANTARA HOMOMORFISMA PADA GRAF DAN HOMOMORFISMA PADA ALJABAR GRAF

disetujui dan disahkan oleh pembimbing :

Pembimbing I

Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. NIP 19690119 199303 1 001

Pembimbing II

Isnie Yusnitha, S.Si., M.Ed. NIP 19850609 2012 2 202

Mengetahui,

Ketua Departemen Pendidikan Matematika

(4)

DAFTAR ISI

PERNYATAAN BEBAS PLAGIARISME ... i

KATA PENGANTAR ... ii

UCAPAN TERIMA KASIH ... iii

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

DAFTAR ISI ... vii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar belakang Penelitian ... 1

1.2 Rumusan Masalah Penelitian ... 2

1.3 Tujuan Penelitian ... 2

1.4 Manfaat Penelitian ... 3

1.5 Sitematika Penulisan ... 3

BAB II LANDASAN TEORITIS ... 4

2.1 Konsep Dasar Aljabar Operator ... 4

2.2.1 Ruang Vektor ... 4

2.2.2 Ruang Vektor Bernorm ... 6

2.2.3 Ruang Banach ... 8

2.2.4 Ruang Hilbert ... 8

2.2.5 Aljabar- ... 11

2.2.6 Aljabar Operator ... 12

2.2.7 Beberapa Unsur di Aljabar Operator ... 14

2.2 Keluarga Cuntz-Krieger-E ... 17

(5)

viii

BAB IV PEMBAHASAN ... 26

4.1 Homomorfisma pada Graf ... 26

4.2 Aljabar Graf ... 31

4.3 Homomorfisma Aljabar pada Aljabar Graf ... 35

4.4 Kaitan antara Homomorfisma pada Graf dan Homomorfisma pada Aljabar Graf ... 35

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 39

5.1 Kesimpulan ... 39

5.2 Saran ... 40

(6)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Graf berarah merupakan suatu objek kombinatorik yang terdiri dari himpunan vertex dan himpunan sisi yang countable serta pemetaan

. Homomorfisma pada graf dan adalah suatu pasangan pemetaan

di mana untuk , sedemikian sehingga untuk setiap , berlaku ( ) ( ) dan ( ) ( ).

Keluarga Cuntz-Krieger-E dari suatu graf berhingga baris E adalah suatu keluarga yang terdiri dari himpunan proyeksi pada ruang Hilbert yang saling ortogonal dan himpunan isometri parsial pada

sedemikian sehingga , dan ∑ untuk yang bukan menjadi sumber.

Aljabar- dari suatu graf berhingga baris E suatu aljabar- yang dibangun oleh keluarga Cuntz-Krieger-E . Lebih lanjut, untuk sebarang graf berhingga baris E, terdapat suatu aljabar- , yang dibangun oleh keluarga Cuntz-Krieger-E sehingga, untuk setiap keluarga Cuntz-Krieger-E {T,Q} dari sutu aljabar- B, terdapat homomorfisma dari ke B. Kemudian, jika C adalah aljabar- yang dibangun oleh suatu keluarga Cuntz-Krieger-E maka C isomorfik dengan . Dengan demikian memiliki sifat universal dan selanjutnya disebut sebagai aljabar graf.

Homomorfisma dari aljabar graf dan merupakan suatu pemetaan

sedemikian sehingga , dan ,

. Lebih lanjut, homomorfisma pada graf dan homomorfisma pada aljabar

(7)

40

Rosjanuardi dan Albania (2012) menyatakan bahwa automorfisma pada graf dapat menginduksi automorfisma pada aljabar graf . Lebih dari itu diperoleh fakta bahwa aksi dapat menginduksi suatu aksi ̃

sedemikian sehingga ̃ .

5.2 Saran

(8)

ABSTRAK

Oleh:

Nunung Nurhidayah

Kaitan antara Homomorfisma pada Graf dan Homomorfisma pada Aljabar Graf

Diberikan graf berarah dan serta masing-masing aljabar- yang terkait dengan graf tersebut, yakni dan . Selanjutnya aljabar- ini disebut sebagai aljabar graf. Homomorfisma pada graf adalah pemetaan dari E ke yang mengawetkan struktur graf. Sama halnya untuk aljabar- dan , homomorfisma pada aljabar graf dan merupakan pemetaan dari ke yang mengawetkan struktur aljabar- Rosjanuardi dan Albania (2012) menyatakan bahwa automorfisma pada graf dapat menginduksi automorfisma pada aljabar graf . Selanjutnya, dari hubungan ini dapat diperoleh bahwa aksi dapat menginduksi suatu aksi ̃ .

(9)

Nunung Nurhidayah, 2015

ABSTRACT

By:

Nunung Nurhidayah

The Relation between Graph Homomorphism and Graph Algebras Homomorphism

Let and be directed graphs and their associated -algebras respectively, and . We call this -algebras as graph algebras. Graph homomorphism is a map of E to such that preserves the structure of graph. Moreover for graph algebras and , their homomorphism is a map of to such that preserves the structure of graph algebras Rosjanuardi and Albania (2012) said that an automorphism of induces an automorphism of graph algebras . Furthermore, from this relation we get an action induces an action ̃ .

(10)

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R.G. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Conway, B.D. (1996). A Course in Functional Analysis, Second Edition. New York: Springer-Verlag New York, Inc.

Farthing, C., Pask, D. & Sims, A. (2009). Crossed Product of -graph -algebras by . Dalam Houston Journal of Mathematics, 35(3), 903-933.

Hidayat, W. (2012). Aljabar- dari Graf Berarah Baris Berhingga. Tugas Akhir, Universitas Pendidikan Indonesia.

Kumjian, A. & Pask, D. (1999). -algebras of Directed Graphs and Group Actions. Dalam Ergodic Theory and Dynamical Systems 19(1), 1503-1519.

Kumjian, A., Pask, D. & Raeburn, I. (1998). Cuntz-Krieger Algebras of Directed Graphs. Dalam Pasific Journal of Mathemathics. 184(1), 161-174.

Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis With Applications. New York: John Wiley & Sons, Inc.

MacCluer, B.D. (2009). Elementary Functional Analysis. New York: Springer Science+Business Media, LLC.

Munir, R. (2010). Matematika Diskrit (Revisi Keempat). Bandung: Informatika Bandung.

Raeburn, I. (2004). Graph Algebras. Rhode Island: American Mathematical Society.

Rosjanuardi, R. & Albania, I.N. (2012). On Graph Algebras and Crossed Product by Semigroups. Dalam Far East Journal of Mathematics Science 6, 99-110.

Rynne, B.P. dan Youngson, M.A. (2008). Linear Functional Analysis. London: Spinger Sciene+Business Media.

(11)

42

Universitas Pendidikan Indonesia. (2014). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah Universitas Pendidikan Indonesia Tahun 2014. Bandung: UPI Press.

(12)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Penelitian

Aljabar- merupakan objek utama dalam aljabar operator. Aljabar graf adalah salah satu bentuk aljabar- yang terkait dengan keluarga Cuntz-Krieger dari suatu graf berarah. Kajian aljabar graf merupakan topik yang cukup menarik dan memberi nuansa berbeda dalam perkembangan teori aljabar operator. Hal ini ditandai dengan banyaknya peneliti yang mengkaji masalah aljabar graf dengan bermacam fokus kajian, diantaranya Kumjian dan Pask (1997), Kumjian, Pask dan Raeburn (1998), Raeburn (2004), Rosjanuardi dan Albania (2012) dan lain-lain.

Graf berarah { } terdiri dari himpunan countable dan fungsi . Unsur-unsur di disebut vertex dan unsur-unsur di disebut sisi. Suatu graf berarah dapat direpresentasikan oleh operator-operator pada ruang Hilbert , di mana setiap titiknya direpresentasikan sebagai proyeksi yang saling ortogonal pada subruang dari , dan setiap sisinya direpresentasikan sebagai isometri parsial. Keluarga dari semua proyeksi ortogonal dan isometri parsial dari suatu graf berarah disebut keluarga Cuntz-Krieger- .

Untuk sebarang graf berhingga baris E, suatu aljabar- yang dibangun oleh keluarga Cuntz-Krieger-E disebut aljabar- dari graf E atau aljabar Cuntz-Krieger dari E. Selanjutnya, aljabar- dari graf E, yaitu memiliki sifat universal yang terkait dengan keluarga Cuntz-Krieger dari graf .

Misalkan E dan F adalah graf. Homomorfisma graf adalah pemetaan sedemikian sehingga ( ) ( ) dan

(13)

2

Pada dasarnya, homomorfisma pada graf dan homomorfisma pada aljabar graf tidak berkaitan satu sama lain. Namun, untuk beberapa kasus tertentu, dapat diperoleh gambaran bahwa kedua konsep ini memiliki kaitan yang sangat erat. Rosjanuardi dan Albania (2012) menyatakan bahwa automorfisma pada graf dapat menginduksi automorfisma pada aljabar graf . Lebih dari itu diperoleh fakta bahwa aksi dapat menginduksi suatu aksi ̃ .

Berdasarkan uraian di atas, penulis termotivasi untuk mengkaji lebih jauh mengenai bagaimana konsep homomorfisma pada graf dan homomorfisma pada aljabar graf serta kaitan di antara keduanya.

1.2 Rumusan Masalah Penelitian

Berdasarkan latar belakang penelitian di atas, rumusan masalah pada penelitian ini adalah:

1. Bagaimana kaitan antara aljabar- dengan graf?

2. Bagaimana konsep homomorfisma pada graf dan homomorfisma pada aljabar graf?

3. Bagaimana kaitan homomorfisma pada graf dan homomorfisma pada aljabar graf?

1.3 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan rumusan masalah penelitian di atas, maka tujuan dari penelitian dalam skripsi ini adalah:

1. untuk memperoleh informasi menyeluruh tentang kaitan antara aljabar-dengan graf,

2. untuk memperoleh informasi menyeluruh tentang konsep homomorfisma graf,

(14)

3

1.4 Manfaat Penelitian

Memperoleh gambaran menyeluruh tentang keterkaitan aljabar- dengan graf dan homomorfisma aljabar pada aljabar graf.

1.5 Sistematika Penulisan

Skripsi ini dibagi menjadi lima bab. Sebagaimana yang telah diuraikan di atas, BAB I merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang penelitian, rumusan masalah penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

Berikutnya BAB II berisi konsep dasar aljabar operator dan keluarga Cuntz-Krieger- yang menjadi landasan teoritis pada skripsi ini. Konsep dasar aljabar operator meliputi ruang vektor, ruang vektor bernorm, ruang Banach, ruang Hilbert, aljabar- , aljabar operator dan beberapa unsur di aljabar operator.

BAB III merupakan metode yang digunakan dalam penelitian ini. Bagian ini merupakan bagian yang bersifat prosedural, yaitu bagian di mana pembaca dapat mengetahui tahapan penelitian pada skripsi ini.

Selanjutnya BAB IV merupakan inti dari skripsi ini. Diawali dengan pembahasan mengenai homomorfisma pada graf. Selanjutnya dijelaskan cara mengkontruksi aljabar graf dan dilanjutkan dengan pembahasan homomorfisma aljabar pada aljabar graf serta kaitan antara pembahasan homomorfisma aljabar pada graf dan pembahasan homomorfisma aljabar pada aljabar graf.