Extra3-Teorema Homomorfisma Grup

(1)

Extra 3

Teorema Homomorfisma Grup

Catatan: Catatan:

Suatu malam, seorang kawan yang tengah mengerjakan tugas akhirnya mengirim sebuah Suatu malam, seorang kawan yang tengah mengerjakan tugas akhirnya mengirim sebuah sms padaku. Isinya ia meminta bantuanku untuk membuktikan tiga teorema utama sms padaku. Isinya ia meminta bantuanku untuk membuktikan tiga teorema utama homomorfisma grup. Berhubung di situsku aku belum membahas mengenai teorema homomorfisma grup. Berhubung di situsku aku belum membahas mengenai teorema tersebut, maka sekalian saja aku membuat tulisan mengenai teorema tersebut. Tentu tersebut, maka sekalian saja aku membuat tulisan mengenai teorema tersebut. Tentu saja, karya ini dipersembahkan untuk temanku itu. Semoga sukses tugas akhirnya.

saja, karya ini dipersembahkan untuk temanku itu. Semoga sukses tugas akhirnya.

Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Pada bab ini akan dibahas mengenai homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya, tertentu. Pada bab ini akan dibahas mengenai homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya, termasuk diantaranya tiga Teorema Utama Homomorfisma.

termasuk diantaranya tiga Teorema Utama Homomorfisma. Definisi E3.1 (Homomorfisma)

Definisi E3.1 (Homomorfisma) Diketahui

Diketahui

( (

GG,,∗∗

))

dandan

( (

GG',', ''∗∗

))

merupakan grup. Pemetaanmerupakan grup. Pemetaan ϕ ϕ ::GG →→GG'' disebut disebut

homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap

homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap a ba,,b∈∈GG berlakuberlaku

(

( )

aa bb

) (

( )

aa

) (

''

( ))

bb ϕ

ϕ ∗ ∗ = = ϕ ϕ ∗∗ ϕ ϕ ..

Contoh Contoh E3.2E3.2 Diketahui

Diketahui  merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Maka,merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Maka, ::

ϕ

ϕ   →→ dengandengan ϕ ϕ

( ( ))

aa == −−aa, untuk setiap, untuk setiap aa∈∈ merupakan homomorfisma grup.merupakan homomorfisma grup.

Untuk mempermudah penulisan, notasi

(2)

Lemma E3.3

Diketahui G G grup dan, ' ϕ :G→G' merupakan homomorfisma grup, maka keempat sifat berikut berlaku:

(i). Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ

( )

e merupakan elemen identitas e di' G'

(ii). Jika a∈G , maka ϕ

( )

a 1 ϕ

( )

a 1

− −

=

(iii). Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ

( )

H merupakan subgrup pada G' (iv). Jika K merupakan subgrup pada' G , maka' ϕ −1

( )

K ' merupakan subgrup

pada G.

Definisi E3.4 (Kernel)

Diketahui G G , ' grup dan ϕ :G →G' homomorfisma grup. Himpunan

( )

{

a∈ Gϕ a =e'

}

dinamakan kernel dari ϕ dan dinotasikan ker

( )

ϕ . Contoh E3.5

Pada contoh E3.2, diperoleh ker

( ) { }

ϕ = 0 .

Lemma E3.6

Diketahui G G grup dan, ' ϕ :G→G' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker

( ) { }

ϕ = e .

Bukti.

( )

⇒

Menurut Teorema E3.3 (i) berakibat ϕ

( )

e =e' dan karena ϕ merupakan pemetaan

injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen e' di G’ . Jadi,

( ) { }

(3)

( )

⇐

Diandaikan pemetaan ϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat ,a b∈G dengan a ≠b

dan ϕ

( ) ( )

a =ϕ b . Karena ϕ

( ) ( )

a =ϕ b , maka _ϕ

( ) ( )

a _ϕ b −1 =e'. Menurut Teorema E3.3

(ii) diperoleh ϕ

( ) ( )

a ϕ b −1 = ϕ

( )

a ϕ

( ) ( )

b− 1 = ϕ ab −1 =e'. Karena diketahui ker

( ) { }

ϕ = e ,

akibatnya ab−1 e

= dan dengan kata lain a=b. Muncul kontradiksi dengan pengandaian

bahwa a ≠b. Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif. 

Definsi E3.7 (Isomorfisma)

Diketahui G G grup dan, ' ϕ :G→G' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ

disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan bijektif.

Contoh E3.8

Pemetaan ϕ pada contoh E3.2 merupakan isomorfisma grup.

Berikut diberikan definisi mengenai subgrup normal. Dari definisi subgrup normal tersebut, dapat dimunculkan suatu lemma mengenai sifat dari kernel suatu homomorfisma.

Definisi E3.9 (Subgrup Normal)

Diketahui G grup dan H subgrup pada G. Subgrup H disebut subgrup normal jika dan hanya jika gH =Hg untuk setiap g∈G.

Contoh E3.10

Diketahui  merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Setiap subgrup n dengan n∈ pada  merupakan subgrup normal.

(4)

Lemma E3.11

Diketahui G G grup dan, ' ϕ :G→G' homomorfisma grup, maka ker

( )

ϕ merupakan subgrup normal pada G.

Bukti.

Pertama, akan ditunjukkan bahwa ker

( )

ϕ merupakan subgrup pada G. Diambil sebarang

( )

, ker

a b∈ ϕ , dan dengan demikian ϕ

( ) ( )

a = ϕ b =e' atau dengan kata lain

( ) ( )

a b 1 e'

ϕ ϕ

−

= . Karena ϕ

( ) ( )

a ϕ b 1 e'

−

= , maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh

( ) ( )

1

( )

( ) ( )

1 1

'

a b a b ab e

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

− ₋ ₋

= = = . Jadi, diperoleh ab−1∈ker

( )

ϕ dan dengan

demikian ker

( )

ϕ merupakan subgrup pada G.

Kedua, akan ditunjukkan bahwa H =ker

( )

ϕ merupakan subgrup normal pada G.

Diambil sebarang g∈G dan dibentuk gH =

{

gh h∈ H =ker

( )

ϕ

}

. Diambil sebarang

a∈gH , maka a= gh₁ untuk suatu h₁∈H . Diperhatikan bahwa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a gh1 g h1 g e'

( )

g

ϕ =ϕ =ϕ ϕ =ϕ =ϕ _{atau dengan demikian} ϕ

( ) ( )

gh₁ =ϕ g _.

Karena ϕ

( ) ( )

gh1 =ϕ g , diperoleh

(

)

1

1 '

gh g e

ϕ − = _{atau dengan kata lain} gh g₁ −1 H ∈

yaitu gh g₁ −1 h

= untuk suatu h∈H . Karena gh g₁ −1 =h dan a= gh₁, maka diperoleh

1

a= gh = hg∈Hg. Jadi, berlaku gH ⊆ Hg dan dengan cara serupa dapat ditunjukkan

berlaku pula Hg ⊆ gH . Karena gH ⊆ Hg dan Hg ⊆ gH , maka gH = Hg dan terbukti

( )

ker

H = ϕ merupakan subgrup normal. 

Teorema-teorema berikut mengawali pembahasan Teorema Utama Homomorfisma Grup. Teorema E3.12

Diketahui ϕ :G →G' homomorfisma grup dengan ker

( )

ϕ = H . Maka

{

}

G H = gH g∈H merupakan grup terhadap operasi biner

( )( ) ( )

aH bH = ab H untuk setiap

( ) ( )

aH , bH ∈G H .

(5)

Teorema E3.13

( )

ϕ = H . Maka pemetaan

( )

:G H G

μ →ϕ yang didefinisikan μ

( ) ( )

aH =ϕ a untuk setiap aH∈G H merupakan isomorfisma grup.

Bukti.

Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa μ merupakan pemetaan. Diambil sebarang

( ) ( )

aH , bH ∈G H dengan aH =bH dan akan ditunjukkan bahwa μ

( ) ( )

aH = μ bH .

Karena aH =bH , akibatnya ab−1∈H dan dengan demikian ϕ

(

ab−1

)

=e'. Karena

(

1

)

'

ab e

ϕ − = , maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh

(

1

)

( )

1

( ) ( )

1

'

ab a b a b e

ϕ − = ϕ ϕ − = ϕ ϕ − = atau dengan kata lain ϕ

( ) ( )

a =ϕ b . Karena

sesuai definisi μ berlaku μ

( ) ( )

aH =ϕ a dan μ

( ) ( )

bH =ϕ b , dengan demikian berlaku

( ) ( )

aH bH

μ =μ . Jadi, μ merupakan pemetaan.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa μ merupakan homomorfisma grup. Diambil

sebarang

( ) ( )

aH , bH ∈G H , diperhatikan bahwa

( )( )

(

aH bH

)

(

( )

ab H

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ab a b aH bH

μ =μ =ϕ =ϕ ϕ = μ μ .

Jadi, terbukti bahwa μ merupakan homomorfisma grup.

Diambil sebarang y∈ϕ

( )

G , maka y =ϕ

( )

a untuk suatu a∈G dan dengan demikian

dapat dipilih x= aH ∈G H sehingga μ

( )

x = y. Jadi, _μ merupakan pemetaan surjektif.

Diambil sebarang x∈ker

( )

μ . Karena ker

( )

μ ⊆G H , maka x =aH untuk suatu a∈G.

Karena μ

( ) ( ) ( )

x = μ aH = ϕ a =e' dan karena ker

( )

ϕ = H berakibat a∈H . Karena a∈H , berakibat aH = H dan dengan demikian x = H . Jadi, diperoleh ker

( ) { }

μ = H

dan menurut Lemma E3.6 berakibat μ merupakan pemetaan injektif.

Jadi, karena μ merupakan homomorfisma grup yang surjektif sekaligus injektif, maka μ

(6)

Teorema E3.14

( )

ϕ = H . Maka pemetaan : G G H

γ → yang didefinisikan γ

( )

a = aH untuk setiap a∈G merupakan homomorfisma surjektif.

Bukti.

Diambil sebarang ,a b∈G, diperhatikan bahwa

( ) ( )

ab ab H

( )( ) ( ) ( )

aH bH a b

γ = = =γ γ .

Jadi, terbukti bahwa γ merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ pemetaan surjektif. Diambil sebarang y∈G H , maka y= gH untuk suatu g∈G dan

dengan demikian dapat dipilih x = g sehingga γ

( )

x = y. Jadi, γ merupakan

homomorfisma surjektif. 

Dari Teorema E3.12 dan E3.13, dapat dibentuk langkah-langkah sebagai berikut: (i). DiketahuiGdan G' merupakan grup

(ii). Diketahui :ϕ G →G' homomorfisma grup (iii). Diketahui ϕ

( )

G ⊆G'

(iv). Dari Teorema E3.12, diperoleh G ker

( )

ϕ merupakan grup

(v). Dari Teorema E3.14, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari G ke

( )

ker

G ϕ

(vi). Dari Teorema E3.13, dapat dibentuk suatu isomorfisma dari G ker

( )

ϕ ke

( )

G

ϕ .

Diperhatikan langkah (iv), (v), dan (vi). Jika a∈G, maka untuk memetakan elemen a ke '

G melalui suatu pemetaan homomorfisma, tidak harus melalui pemetaan ϕ . Dari

langkah (iv), (v), dan (vi), untuk memetakan elemen a ke G' dapat pula melalui pemetaan γ dan μ yang keduanya merupakan pemetaan homomorfisma. Pertama,

(7)

adalah γ

( )

a . Selanjutnya, elemen γ

( )

a dipetakan ke ϕ

( )

G ⊆G' melalui pemetaan _μ,

hasil petanya adalah μ

(

γ

( )

a

)

=

(

μ γ

)( )

a . Jadi, menggunakan langkah-langkah tersebut

elemen a tidak langsung dipetakan ke G' melalui pemetaan ϕ , melainkan harus

“singgah sejenak” di grup G ker

( )

ϕ untuk kemudian dipetakan ke G' melalui pemetaan

μ γ  . Tetapi yang terpenting adalah grup G ker

( )

ϕ dan ϕ

( )

G isomorfis, yaitu ada

suatu isomorfisma dari G ker

( )

ϕ ke ϕ

( )

G . Sifat tersebut dapat dinyatakan ke dalam

sebuah teorema.

Teorema E3.15 (Teorema Utama Homomorfisma Grup 1)

Diketahui ϕ :G→G' homomorfisma grup, maka terdapat suatu ismomorfisma dari

( )

ker

G ϕ ke ϕ

( )

G .

Jika ϕ merupakan pemetaan surjektif akan diperoleh ϕ

( )

G =G' dan Teorema E3.15

dapat berubah menjadi seperti berikut. Teorema E3.16

Diketahui ϕ :G →G' homomorfisma grup yang surjektif, maka terdapat suatu ismomorfisma dari G ker

( )

ϕ ke G'.

Sejauh ini, Teorema Utama Homomorfisma Grup 1 hanya menyatakan bahwa G ker

( )

ϕ

isomorfis dengan G'. Berikut akan ditunjukkan bahwa terdapat grup lain yang isomorfis dengan G'. Grup lain tersebut dapat dibentuk dengan “mengganti” grup G ker

( )

ϕ

menjadi grup G N dengan N merupakan subgrup normal pada G. Teorema E3.17 (Perumuman Teorema E3.12)

Diketahui ϕ :G →G' homomorfisma grup dan N subgrup normal pada G, maka

{

}

G N = gN g∈N merupakan grup terhadap operasi biner

( )( ) ( )

aN bN = ab N untuk setiap

( ) ( )

aN , bN ∈G N .

(8)

Bukti.

Untuk menunjukkan bahwa G N merupakan grup, terlebih dahulu ditunjukkan bahwa operasi

( )( ) ( )

aN bN = ab N terdefinisi dengan baik. Misalkan aN =cN dan bN = dN

untuk suatu a b c d, , , ∈N , akan ditunjukkan bahwa

( )( ) ( )( )

aN bN = cN dN yaitu

( ) ( )

ab N = cd N .

Karena aN = cN dan a∈aN , maka a =cn₁ untuk suatu n₁∈N . Dengan cara serupa

diperoleh juga b=dn₂ untuk suatu n₂∈N . Diperhatikan bahwa n d₁ ∈Nd . Karena N

subgrup normal berakibat Nd = dN . Dengan demikian diperoleh n d₁ ∈ Nd = dN atau

dengan kata lain n d₁ =dn₃ untuk suatu n₃∈N . Diperhatikan bahwa

( )( ) ( )

1 2 1 2

( ) ( )

3 2 3 2

( )

4

ab= cn dn = c n d n = c dn n = cd n n = cd n , dengan n₄ = n n_{3 2}∈N .

Dengan demikian diperoleh ab∈

( )

cd N . Akibatnya

( ) ( )

ab N ⊆ cd N dan dengan cara

serupa dapat ditunjukkan

( )

cd N ⊆

( )

ab N dan dengan demikian berlaku

( ) ( )

ab N = cd N . Jadi, operasi

( )( ) ( )

aN bN = ab N terdefinisi dengan baik.

Pembuktian bahwa aksioma-aksioma grup berlaku sengaja tidak penulis cantumkan. 

Teorema E3.18 (Perumuman Teorema E3.14)

Diketahui ϕ :G →G' homomorfisma grup dan N subgrup normal pada G, maka pemetaan γ :G→G N yang didefinisikan γ

( )

a = aN untuk setiap a∈G merupakan

homomorfisma surjektif dan ker

( )

γ = N . Bukti.

Pembuktian bahwa γ merupakan homomorfisma surjektif serupa dengan pembuktian

Teorema E3.14. Akan ditunjukkan bahwa ker

( )

γ = N . Karena aN = N jika dan hanya

(9)

Teorema-teorema berikut merupakan sifat dari subgrup normal. Teorema E3.19

Diketahui H sebarang subgrup pada G dan N subgrup normal pada G, maka HN merupakan subgrup pada G. Lebih lanjut jika H subgrup normal, maka HN merupakan subgrup normal pada G.

Bukti.

Diperhatikan bahwa HN =

{

hn h∈ H n, ∈N

}

. Jelas bahwa operasi biner pada HN terdefinisi dengan baik, karena operasi biner pada HN juga merupakan operasi biner pada G. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi biner pada HN tertutup. Diambil sebarang h n h n_{1 1}, _{2 2}∈HN . Karena N subgrup normal, maka n h_{1 2} =h n_{2 3} untuk suatu

3

n ∈N . Diperhatikan bahwa

( )( ) ( )

h n1 1 h n2 2 = h n h n1 1 2 2 = h h n n1

( ) ( )( )

2 3 2 = h h1 2 n n3 2 ∈HN .

Jadi, operasi biner pada HN tertutup dan dengan demikian sifat asosiatif juga berlaku pada HN . Karena e∈N dan e∈H , jelas bahwa e= ee∈HN . Diambil sebarang

hn∈HN . Karena h∈H dan n∈N , maka berlaku n h− 1 −1 =

( )

hn −1. Karena N subgrup

normal, berlaku n h− 1 − 1 h n−1 ₁

= untuk suatu n₁∈N dan dengan demikian

( )

hn −1∈HN .

Jadi, terbukti bahwa HN merupakan subgrup pada G.

Misalkan H merupakan subgrup normal, akan ditunjukkan bahwa HN merupakan subgrup normal. Diambil sebarang g∈G dan sebarang x∈gHN , maka x= gh n_{1 1} untuk

suatu h₁∈H dan n₁∈N . Karena N subgrup normal, maka gh n_{1 1} =n gh₂ ₁ untuk suatu

2

n ∈N . Karena H subgrup normal, maka n gh₂ ₁ =h n g_{2 2} untuk suatu h₂∈H . Dengan

demikian diperoleh, x= h n g_{2 2} ∈HNg dan berlaku gHN ⊆ HNg. Dengan cara serupa

dapat ditunjukkan berlaku HNg⊆ gHN . Jadi, diperoleh gHN = HNg untuk sebarang

g∈G, yaitu HN merupakan subgrup normal pada G. 

Teorema E3.20

(10)

Dari Teorema E3.17, Teorema E3.18, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20 dapat diturunkan teorema sebagai berikut.

Diketahui H subgrup pada G dan N merupakan subgrup normal pada G, maka terdapat suatu ismomorfisma dari HN N ke H

(

H ∩N

)

.

Bukti.

Menurut Teorema E3.17, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20, diperoleh HN N dan

(

)

H H ∩N merupakan grup. Pembuktian adalah dengan menggunakan Teorema E3.16, yaitu dengan menjalankan langkah (i) sampai (vi) sebagai berikut:

(i). Dibentuk G = HN dan G'= H

(

H ∩N

)

merupakan grup

(ii). Dibentuk pengaitan ϕ :G→G' dengan ϕ

( ) (

hn = h H ∩N

)

untuk setiap hn∈HN . Akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma.

Akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan pemetaan. Misalkan hn=h n_{1 1} untuk

suatu h h, ₁∈H dan n n, ₁∈H . Dengan demikian diperoleh h h₁− 1 = n n₁ −1∈N .

Karena h h₁−1 H

∈ dan h h₁−1 ∈N , diperoleh h h₁−1 ∈ H ∩N dan dengan demikian

(

) (

)

1

h H ∩ N = h H ∩N atau dengan kata lain ϕ

( ) ( )

hn =ϕ h n_{1 1} .

Jadi, terbukti bahwa ϕ merupakan pemetaan.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma. Diambil

sebarang h n h n_{1 1}, _{2 2}∈HN . Karena N merupakan subgrup normal, maka

1 2 2 3

n h =h n untuk suatu n₃∈N dan dengan demikian

( )( ) ( )

h n1 1 h n2 2 = h n h n1 1 2 2 = h h n n1

( ) ( )( )

2 3 2 = h h1 2 n n3 2 . Diperhatikan bahwa

( )( )

(

)

(

( )( )

)

( )(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

1 1 2 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 1 2 2 . h n h n h h n n h h H N h H N h H N h n h n ϕ ϕ ϕ ϕ = = ∩ = ∩ ∩ =

(11)

(iii). Diketahui ϕ

( )

G ⊆G'

( )

ϕ merupakan grup.

Akan ditunjukkan bahwa ker

( )

ϕ = N .

Jika hn∈ker

( )

ϕ , berakibat ϕ

( ) (

hn = H ∩N

)

atau dengan kata lain h∈ H ∩N . Sehingga diperoleh ker

( )

ϕ =

{

hn h∈H ∩N n, ∈N

}

. Karena untuk

sebarang hn∈ker

( )

ϕ , berlaku h∈N dan n∈N akibatnya hn∈N dan

dengan demikian ker

( )

ϕ ⊆ N . Jika dipilih h=e, maka untuk sebarang n∈N

berlaku n= en∈ker

( )

ϕ dan dengan demikian N ⊆ker

( )

ϕ .

Jadi, karena berlaku ker

( )

ϕ ⊆ N dan N ⊆ker

( )

ϕ maka dapat disimpulkan

bahwa ker

( )

ϕ = N .

( )

ker

G ϕ

( )

ϕ ke

( )

G

ϕ .

Dari langkah (i) sampai (vi), sesuai dengan Teorema Utama Homomorfisma Grup I, terbukti bahwa terdapat suatu isomorfisma dari HN N ke ϕ

(

HN

)

.

Terakhir, akan ditunjukkan bahwa ϕ

( ) (

HN = H H ∩N

)

, yaitu _ϕ merupakan pemetaan surjektif. Diambil sebarang y∈ H

(

H ∩N

)

, maka y = h H

(

∩N

)

untuk suatu h∈H

dan dengan demikian dapat dipilih x= he∈HN sehingga berlaku ϕ

( )

x = y.

Jadi, ϕ merupakan pemetaan surjektif sehingga menurut Teorema E3.16 terdapat suatu

(12)

Diketahui H dan K subgrup normal pada G. Jika K subgrup pada H, maka terdapat suatu isomorfisma dari G H ke

( ) (

G K H K

)

.

Bukti.

Menurut Teorema E3.17, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20, diperoleh G H dan

( ) (

G K H K

)

merupakan grup. Pembuktian adalah dengan menggunakan Teorema E3.16, yaitu dengan menjalankan langkah (i) sampai (vi) sebagai berikut:

(i). Dibentuk G dan G'=

( ) (

G K H K

)

merupakan grup

(ii). Dibentuk pengaitan ϕ :G →G' dengan ϕ

( ) ( )(

a = aK H K

)

untuk setiap a∈G. Akan ditunjukkan bahwa ϕ merupakan homomorfisma.

Jelas bahwa ϕ merupakan pemetaan. Diambil sebarang ,a b∈G.

Diperhatikan bahwa

( ) ( )

(

)

(

)

( )( )

(

)

(

)

( )(

)

(

)

(

( )(

)

( ) ( )

. ab ab K H K aK bK H K aK H K bK H K a b ϕ ϕ ϕ = = = =

Jadi, terbukti bahwa ϕ merupakan homomorfisma.

(iii). Diketahui ϕ

( )

G ⊆G'

( )

ϕ merupakan grup.

Akan ditunjukkan bahwa ker

( )

ϕ = H .

Jika x∈ker

( )

ϕ , berakibat ϕ

( ) (

x = H K

)

atau dengan kata lain xK ∈H K .

Diperhatikan bahwa xK∈H K jika dan hanya jika x∈H . Jadi, diperoleh

( )

(13)

( )

ker

G ϕ

( )

ϕ ke

( )

G

ϕ .

Dari langkah (i) sampai (vi), sesuai dengan Teorema Utama Homomorfisma Grup I, terbukti bahwa terdapat suatu isomorfisma dari G H ke ϕ

( )

G .

Terakhir, akan ditunjukkan bahwa ϕ

( ) (

G = G K

) (

H K

)

, yaitu ϕ merupakan pemetaan

surjektif. Diambil sebarang y∈

( ) (

G K H K

)

, maka y=

( )(

aK H K

)

untuk suatu a∈G dan dengan demikian dapat dipilih x= a∈G sehingga berlaku ϕ

( )

x = y.

Jadi, ϕ merupakan pemetaan surjektif sehingga menurut Teorema E3.16 terdapat suatu

(14)

Sumber:

Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.