Catatan Fisika Einstein cs 1

(1)

1

SATUAN DAN DIMENSI

SATUAN

Pengukuran adalah suatu proses pembandingan sesuatu dengan sesuatu yang lain yang dianggap sebagai patokan (standar) yang disebut satuan. Satuan yang sangat

mendasar disebut fundamental or basic quantities (base units) yaitu massa, panjang,

dan waktu.

Pengukuran yang paling sering dilakukan berkaitan dengan panjang (metter), massa

(kilograms), dan waktu (seconds) yang disebut sistem MKS (Matriks).

Standar dari Panjang

Tahun 1960 satu meter standar didefinisikan sebagai jarak yang sama dengan 1.650.763,73 kali panjang gelombang radiasi jinggakuning atom Krypton86. Kemudian agar lebih eksak lagi, pada tahun 1983 di definisi ulang sehingga satu meter adalah jarak tempuh cahaya dalam vakum selama 1/299 792 458 detik. Standar dari Waktu sejak matahari dianggap mengorbit bumi, satu sekon didefinisikan sebagai 1/86400 kali ratarata satu hari. Oktober 1967, setelah mengenal jam atom, standar waktu didefinisi ulang, satu sekon adalah 9.192.631.770 kali vibrasi atom cesium133. Bila dua buah jam atom digunakan, setiap 500 tahun hanya selisih 1 sekon antara keduanya. Inilah gambaran keakuratan cesium133. Standar Massa Menggunakan bola logam pejal dari bahan campuran platinairidium yang disimpan di International Bureau of Weights and Measured. Bobot logam tersebut didefinisikan sebagai satu kilogram. Selain sistem MKS, terdapat pula sistem CGS (Gaussian), dan sistem British (USA)

Besaran Satuan MKS Satuan CGS Satuan USA

Panjang Massa Waktu Temperatur Muatan meter (m) kilogram (kg) sekon (s) kelvin (K) couloumb (C) centimeter (cm) gram (g) sekon (s) kelvin (K) couloumb (C) Kaki (ft) pound (lb) sekon (s) kelvin (K) couloumb (C) Sistem satuan berikutnya adalah Sistem Internasional (SI). SI memiliki 7 besaran pokok, 4 diantaranya sama dengan sistem MKS. tiga laginya yaitu, Arus Listrik (Ampere, A), Jumlah Zat (mol), dan Intensitas Cahaya (Kandela, cd).

(2)

pokok terhadap besaran fisis yang di analisis. Berikut satuan dan dimensi SI.

Besaran Satuan Dimensi

Panjang Massa Waktu Temperatur Arus Listrik Jumlah Zat Intensitas Cahaya meter (m) kilogram (kg) sekon/detik (s) kelvin (k) amper (A) mole (mol) kandela (cd) L M T θ I N J Contoh 1.1 Penggunaan Dimensi pada pengujian/penentuan persamaan fisika. Gaya sentripetal pada benda hanya dipengaruhi oleh massa benda, laju benda, dan jarijari lintasan. Dengan menggunakan Analisis Dimensi, kita dapat menentukan persamaan gaya sentripetal. FS = mavbrc, dengan a, b, dan c akan ditentukan dengan analisis dimensi.

Satuan gaya sentripetal Fs = kgm/s2 _{, maka dimensi gaya [Fs] = MLT}2_{; satuan massa}

m = kg _{, maka dimensi massa = M; satuan laju v = m/s} _{, maka dimensi laju = LT}1_; satuan jarijari r = m _{, maka dimensi jarijari = L; dengan menggunakan persamaan} awal, maka diperoleh MLT2 _= Ma_(LT1₎b_Lc dari persamaan diatas, didapat a = 1, b = 2, c = 1 sehingga persamaan gaya sentripetal menjadi, FS = mv2r1 Contoh 1.2 Penggunaan Dimensi untuk analisis ketergantungan. Pesawat berdaya P ditentukan melalui persamaan P = CρΑv2_{, C adalah konstanta tak}

berdimensi, ρ massa jenis pesawat, A adalah luas penampang pesawat, dan v merupakan laju pesawat. Untuk menentukan pengaruh dimensi massa, panjang, dan waktu digunakan analisis dimensi berikut: daya dipengaruhi dimensi massa, panjang, dan waktu maka dimensi daya [P] = Ma_Lb_Tc dengan a, b, dan c merupakan faktor ketergantungan pada daya pesawat. Satuan daya P = watt = J/s = Nm/s = kgm2_/s3 maka dimensi daya [P] = ML2_T3 sehingga dapat disimpulkan, nilai ketergantungan a = 1, b = 2, dan c = 3. Latihan 1. kecepatan Angular ω suatu pendulum sederhana bergantung pada panjang tali L, dan percepatan gravitasi bumi g. tentukan persamaan kecepatan angular menggunakan analisis Dimensi. Cari pula periode T pendulum.

(3)

2

VEKTOR DAN KOORDINAT

VEKTOR Vektor (tensor 2) merupakan besaran fisika yang memiliki nilai (besar) dan arah. Vektor diilustrasikan sebagai anak panah. Besaran yang hanya memiliki nilai saja disebut skalar (tensor 1). vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau huruf dengan tanda panah diatasnya. Perhatikan gambar 1 disamping, panjang panah merepresentasikan besar vektor. Perhatikan bahwa u = 2v, sehingga panjang anak panah u lebih panjang dua kali dibanding panjang anak panah v. besar vektor disimbolkan dengan huruf biasa Gambar 2.1 vektor atau diberi tanda, misal besar vektor u = u = ∥u∥

besar vektor berdimensin didefinisikan sebagai ∥u∥=

√

u₁2 +u₂2 +u₃3_{+... u} n 2 Vektor Satuan vektor yang nilai/besar nya satu satuan. Didefinisikan sebagai ̂u= ⃗u ∥u∥ KOORDINAT Koordinat Kertasian Menggunakan sumbu x,y, dan z seperti gambar berikut. Titik (x,y,z) dan vektor ⃗u berada pada koordinat XYZ.

Secara umum vektor pada koordinat kertasian diuraikan dalam bentuk ⃗v=vx̂i+vŷj+vẑk

Vektor ⃗u bila di uraikan terhadap komponnya akan seperti berikut ini.

⃗

u=u_x̂i+u_ŷj+u_ẑk ⃗

u=u cos(α )sin (β)̂i+u cos(α)cos(β) ̂j+u sin(α ) ̂k

Gambar 2.2 Koordinat Kertasian Koordinat Polar Menggunakan sumbu radial r dan sumbu angular θ, perhatikan gambar, titik (r,θ) dan vektor ⃗r berada pada koordinat polar. Hubungan vektor dan besar vektor dalam bentuk ⃗r=r ̂r

u

v

X Y Z (x, y, z) O

α β

u

(4)

Gambar 2.3 koordinat polar Gambar 2.4 koordinat Silinder

Koordinat silinder

Menggunakan bidang polar yaitu sumbu radial r dan sumbu angular θ, dan tinggi z.

perhatikan gambar, titik (r,θ,z) dan vektor ⃗u berada pada koordinat silinder.

Hubungan vektor tersebut adalah ⃗u=r ̂r+z ̂k

Masih ada koordinat lainnya, seperti koordinat bola, koordinat parabolik, dan lainlain. Koordinat tidak terbatas banyaknya.

OPERASI VEKTOR

vektor ⃗a=ax̂i+aŷj+aẑk dan ⃗b=bx̂j+bŷi+bẑk pada koordinat kertasian.

Dot product

c=⃗a⋅⃗b=axbx+ayby+azbz , hasilnya berupa skalar

⃗

d =k ⃗a=kax̂i+kaŷj+kaẑk , dengan k konstanta, hasil berupa vektor

Cross product ⃗f =⃗a×⃗b=

∣

a⃗ix bx ⃗j ay by ⃗ k ay by

∣

=(a_yb_z−a_zb_y)̂i−(a_xb_z−a_zb_x) ̂j +(a_xb_y−a_yb_x) ̂k Latihan 2.1

seekor lebah terbang dengan lintasan ⃗r1=(2−2sin(θ))̂r dan semut merayap pada

pohon dengan lintasan ⃗r2=(2−2sin(θ)) ̂r+t ̂k dengan θ=ω t . Bagaimana bentuk

lintasannya ? Gambarkan!

Latihan 2.2

Gaya yang dikenakan pada posisi ⃗r=̂i− ̂j m adalah ⃗F =(5 ̂i− ̂j+2 ̂k) N. Tentukan torsi ⃗τ bila diketahui ⃗τ=⃗r× ⃗F (r,θ ) θ r θ r u

(5)

TRANSFORMASI KOORDINAT Ada kalanya koordinat harus diubah (ditransformasi) menjadi koordinat lain untuk memudahkan analisis. Translasi Perhatikan bahwa koordinat o' di translasi sejauh w. maka didapat ⃗ u ' =⃗u−⃗w

x ' ̂i+ y ' ̂j=(x ̂i+ y ̂j)−(wx̂i+wŷj) (2.1)

sehingga kita peroleh x '=x−w_x dan y' = y−wx (2.2) Gambar 2.5 Translasi Rotasi sumbu dirotasi sebesar β, komponen vektor pada sumbuxy: ⃗ u=x ̂i+ y ̂j ⃗

u=u cos(α +β)̂i+u sin (α+β) ̂j (2.3)

sedangkan pada sumbux'y' adalah ⃗

u=x ' ̂i '+ y ' ̂j '

⃗

u=u cos(α )̂i' +u sin(α) ̂j' (2.4)

Gambar 2.6 Rotasi

bila kita tinjau vektor satuan koordinat, maka

̂i⋅̂i '=cos(β) , ̂j⋅̂j ' =cos(β) , ̂j⋅̂i '=sin (β) , dan ̂i⋅̂j '=−sin(β) perhatikan persamaan berikut:

x ̂i+ y ̂j=x ' ̂i' + y ' ̂j '

bila didotkan dengan ̂i maka diperoleh x= x ' cos(β)− y ' sin (β)

bila didotkan dengan ̂j maka diperoleh y=x ' sin (β)+ y ' cos(β)

atau dalam bentuk matriks, diperoleh hubungan

(

x y

)

=

(

cos(β) sin(β) −sin(β) cos(β)

)

(

x ' y '

)

atau inversnya

(

x ' y '

)

=

(

cos(β) −sin(β) sin (β) cos(β)

)

(

x y

)

Secara umum transformasi dinyatakan dalam bentuk matriks berikut :

(

x ' y '

)

= ̃M

(

x

y

)

dengan ̃M adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi,

entah itu translasi, rotasi, dilasi, atau campuran.

Latihan 2.3

Titik p(1,2,3) pada koordinat S, tentukan koordinat titik p', p' adalah titik p bila berada pada kerangka S'. kerangka S' merupakan hasil rotasi kerangka S sebesar 45o

terhadap sumbuz. Serta hasil translasi sejauh ̂i+2 ̂j− ̂k. Tentukan pula jarak antara titik p dan p' ! o o' x x' y y' u _u' w x' y y' u α β

(6)

3

KINEMATIKA

PERPINDAHAN DAN JARAK TEMPUH

Manusia, hewan, benda, dan sebagainya yang bergerak dalam selang waktu tertentu belum tentu mengalami perpindahan, tapi sudah pasti menempuh jarak. Perpindahan hanya memperhatikan titik awal dan titik akhir suatu posisi. Sedangkan jarak tempuh, dihitung berdasarkan lintasan yang dilalui. Gambar 3.1 Perhatikan gambar 3.1, kelelawar terbang melintasi titik A, B, C, dan berhenti di titik D. Maka ia menempuh (jarak tempuh) 3 + 3 + 2 = 8 m. Namun, kelelawar hanya berpindah (perpindahan) sejauh 1,5 m. Perpindahan termasuk vektor karena tidak memperhatikan lintasan, sedangkan jarak tempuh termasuk besaran skalar. KECEPATAN DAN KELAJUAN Kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi (perpindahan) dibagi selang waktu yang perpindahan tersebut. ⃗ v =Δ ⃗s Δt (3.1)

Persamaan 3.1 disebut juga kecepatan ratarata. Sedangkan kecepatan sesaat (kecepatan saat t tertentu) dapat diperoleh dengan mengambil Δ t sangat kecil. ⃗ v (t)= lim Δt →0 Δ ⃗s Δt= d ⃗s dt (3.2) Kelajuan didefinisikan sebagai perubahan posisi (jark tempuh) dibagi selang waktu tempuh tersebut. v=Δs Δt (3.3) Begitu juga kelajuan sesaat diperoleh v (t )=lim Δt → 0 Δs Δt= ds dt (3.4) PERCEPATAN DAN PERLAJUAN

Percepatan didefinisikan sebagai perubahan kecepatan dibagi selang waktu perubahan kecepatan tersebut.

⃗

a=Δ ⃗v

Δt (3.5)

Persamaan 3.5 disebut juga percepatan ratarata. Sedangkan percepatan sesaat 3 m 3 m 2 m A B C D 1,5 m

(7)

(percepatan saat t tertentu) diperoleh dengan mengambil Δ t menuju nol. ⃗ a (t)= lim Δt →0 Δ ⃗v Δt= d ⃗v dt = d dt

(

d ⃗s dt

)

= d2 ⃗s dt2 (3.6) Perlajuan didefinisikan sebagai perubahan laju dibagi selang waktu perubahan laju tersebut. a=Δv Δt

Persamaan 3.7 disebut juga perlajuan ratarata. Sedangkan perlajuan sesaat (perlajuan saat t tertentu) diperoleh dengan mengambil Δ t menuju nol. a=lim Δt → 0 Δv Δt= dv dt= d dt

(

ds dt

)

= d2_s dt2 (3.8) GERAK Gerak yang memiliki lintasan lurus disebut gerak lurus. Untuk kasus tertentu, misal percepatanny nol disebut Gerak Lurus Beraturan. Untuk percepatannya konstan, tapi tidak nol disebut Gerak Lurus Berubah Beraturan. Selain dua kondisi itu, belum ada nama khusus. Gerak Lurus Beraturan Percepatan ⃗a=0, ⃗ a=d ⃗v

dt maka d ⃗v=⃗a dt=0 atau

∫

_t₀

t

d ⃗v=

∫

t0

t

0 dt

sehingga ⃗v= ⃗v_0, dengan ⃗v_0, adalah vektor kecepatan awal (konstanta). Artinya, kecepatannya tetap/konstan. ⃗ v =d ⃗s dt maka d ⃗s=⃗v dt atau

∫

_t₀ t d ⃗s=

∫

t0 t ⃗v d t sehingga ⃗s= ⃗s0+⃗v (t−t0) (3.9) Gerak Lurus Berubah Beraturan

Percepatan konstan, ⃗a=konstan dan ⃗a≠0. ⃗

a=d ⃗v

dt maka d ⃗v=⃗a dt atau

∫

_t₀

t d ⃗v=

∫

t0 t ⃗ a dt sehingga ⃗v= ⃗v0+⃗a(t−t0) untuk posisinya, ⃗ v =d ⃗s dt maka d ⃗s=⃗v dt atau

∫

_t₀ t d ⃗s=

∫

t0 t ⃗v d t=

∫

t0 t ( ⃗v0+⃗a (t−t0))d t sehingga ⃗s= ⃗s0+ ⃗v0(t−t0)+ 1 2⃗a (t−t0) 2 _(3.10)

Gerak yang memiliki lintasan melingkar disebut gerak melingkar (rotasi). Untuk kasus tertentu, misal percepatanangularnya nol disebut Gerak Melingkar Beraturan. Untuk percepatanangularnya konstan, tapi tidak nol disebut Gerak Melingkar Berubah Beraturan. Selain dua kondisi itu, belum ada nama khusus.

(8)

sehingga dengan cara yang sama dengan sebelumnya diperoleh Gerak Melingkar Beraturan ⃗ α=0 , ⃗ω= ⃗ω₀ , dan ⃗θ= ⃗θ0+ ⃗ω(t−t0) (3.11) Gerak Melingkar Berubah Beraturan ⃗ αkonstan , ⃗ω= ⃗ω0+ ⃗α (t−t0) , dan ⃗θ= ⃗θ0+ ⃗ω0(t−t0)+ 1 2α (⃗ t−t0) 2 _(3.12) Percepatan Sentripetal pada Gerak Melingkar Beraturan Suatu benda dapat bergerak melingkar akibat adanya percepatan yang menuju pusat lingkaran (lintasan) disebut percepatan sentripetal. Misalkan suatu benda memiliki posisi ⃗r=r ̂r dengan r jarijari (konstan) ⃗ v =d ⃗r dt = d (r ̂r) dt =r d ̂r dt perhatikan bahwa d ̂r_dt =d ̂r d θ d θ dt =ω ̂θ maka ⃗v=r ω ̂θ kecepatan ini disebut kecepatan komponen angular. ⃗ a=d ⃗v dt =r ω d ̂θ dt perhatikan bahwa d ̂θ_dt =d ̂θ d θ d θ dt =−̂r ω maka diperoleh ⃗ a=−r ω2̂r (3.13) percepatan ini disebut percepatan komponen radial, dalam hal ini disebut percepatan sentripetal. Jadi besar percepatan sentripetal pada gerak melingkar beraturan adalah as=ω 2 r atau as=v 2 r (3.14) PERPADUAN GERAK

Secara umum, gerak membentuk 2 atau 3 dimensi. Sehingga, gerak umumnya merupakan perpaduan gerak 1 dimensi. Dengan menggunakan vektor, permasalahan gerak dapat di selesaikan dengan mudah, karena sama saja dengan menyelesaikan gerak 1 dimensi. Contoh gerak perpaduan tersebut : Gerak parabola, Gerak Spiral, dan sebagainya. Latihan 3.1 Tentukan fungsi kecepatan dan posisi kelelawar, bila kecepatan awalnya (̂i+2 ̂j) m/s, posisi awal di pusat koordinat. Percepatan uang kelelawar (−̂i+ ̂j+2 ̂k) m/s2_. Latihan 3.2

Sebuah handphone merek Nokia di lempar keatas, kecepatan awal (2 ̂i+4 ̂j) m/s.

Tentukan tinggi maksimum ymax! Anggap percepatan gravitasi bumi ⃗g=−10 ̂j m/s2.