Pembauran dan perulangan fraksional dalam rancangan percobaan faktorial 2k - USD Repository

PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL DALAM RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2k

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.si)

Program Studi Matematika

Disusun oleh :

C. Bintarti Novi Suryani NIM : 003114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagimana layaknya karya illmiah.

Yogyakarta, 31 Juli 2007

Segala sesuatu indah pada waktunya

(Pth : 3:11)

Kelak disaat begitu banyak jalan tebentang dihadapanmu dan kau tak tau jalan mana yang harus kau ambil.

Janganlan memilihnya dengan asal saja. Tetapi…..

Duduklah dan tinggallah sesaat,

Tariklah nafas dalam-dalam dengan penuh kepercayaan seperti saat kau bernafas di hari pertamamu di dunia

ini

Jangan biarkan apapun mengalihkan perhatianmu, Tunggulah ….dan tunggulah lebih lama lagi… Berdiam dirilah tetap hening dan dengarkan hatimu…

Ketika hatimu berbicara, beranjaklah dan Pergilah kemana hatimu membawamu.

(Va dove ti porta il Coure, Susanna Tamaro)

Skripsi ini ku persembahkan kepada

Sahabatku Yesus Kristus

ABSTRAK

Dalam praktek sering tidak memungkinkan untuk melakukan percobaan faktorial 2k secara lengkap dalam keadaan yang homogen, maka dilakukan pembauran. Pembauran 2k-p dalam rancangan percobaan faktorial 2k merupakan suatu teknik dalam rancangan percobaan faktorial dengan membagi jumlah amatan dalam percobaan faktorial 2k menjadi 2p blok dengan memilih p efek yang akan dibaurkan. Sehingga akan meminimumkan kesalahan amatan.

ABSTRACT

Practically, it I imposisible to do the experiment of 2k factorial completely in a homogene condition, so there shuold be coufunding . Confunding in the 2 k-p factorial design is tecnique in factorial design by divinding the number of treatment in 2k factorial experiment into 2p block by choosing p effect that will be diffused.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria karena berkat

karunia dan rahmat yang telah diberikan , penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Banyak hambatan dan kesulitan yang ditemui penulis dalam menyusun

dan menulis skripsi ini. Namun berkat kasih, bantuan dan dorongan dari berbagai

pihak, baik langsung maupun tak langsung, akhirnya skripsi ini dapat

terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

1. Ibu CH. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing

yang dengan penuh kesabaran dan kasih telah meluangkan waktu,

pikiran serta kesabaran membimbing penulis menyusun dan

menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan FMIPA USD

Yogyakarta.

3. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu kepada

penulis selama di bangku kuliah.

4. Ibu Suwarni dan Mas Tukijo yang telah memberikan pelayanan

adminitrasi dalam urusan – urusan akademik kepada penulis.

5. Bapak Sopir Angkot ’’twety” dan bus kota jalur 2 yang telah

mengantar penulis ke kampus.

6. Kedua orangtuaku yang tak henti-hentinya mendoakan dan

memberikan dukungan baik moral maupun materi sehingga penulis

7. Kakak-kakakku tercinta.

8. Sahabat – sahabat yang telah memberikan semangat, keceriaan dan

kehangatan selama ini: Ayuk, Bunga, Lina, Vincent, Lia, Duduk,

Prast, Wawan, Willy, Feliks, Ferry, Narto, Toni, Wahyu “Broto”, Fr.

Resto, Ririn, Tawang, Rm Riana, Rm. Kristyanto dan Rm.

Jayasewaya, Netty.

9. Teman-teman angkatan ’00, angkatan ‘98 ,angkatan ‘99 dan angkatan

‘01

10. Teman-teman Jumping Choir, mas Hahan, mbak Tyas dan keluarga

besarnya, Andre, Ari, mas Loly

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh

karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang

bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga

skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, Juli 2007

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ii

HALAMAN PENGESAHAN iii

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA iv

HALAMAN PERSEMBAHAN v

ABSTRAK vi

ABSTACT vii

KATA PENGANTAR viii

DAFTAR ISI x

DAFTAR GAMBAR xii

DAFTAR TABEL xiii

DAFTAR LAMPIRAN xv

BAB I PENDAHULUAN 1

A. Latar Belakang 1

B. Rumusan Masalah 3

C. Batasan Masalah 3

D. Manfaat Penulisan 4

E. Tujuan penulisan 4

F. Metode Penulisan 4

BAB II LANDASAN TEORI 6

A. Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat, dan distribusi - F 6

B. Analisis Variansi 23

C. Kontras 31

D. Rancangan Percobaan 33

1. Tahap - Tahap Percobaan 33

2. Dasar Percobaan 34

3. Jenis-jenis rancangan Percobaan 37

BAB III RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2k 39

A. Rancangan Percobaan faktorial 22 40

B. Rancangan Percobaan faktorial 23 50

C. Rancangan Percobaan faktorial 2k 57

D. Algoritma Yate’s 61

BAB IV PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL 2k-p 69

A. Pembauran 72

B. Perulangan Fraksioanal 2k-p 81

1. Rancangan Fraksional 2k-1 83

2. Rancangan Fraksional 2k-p 94

3. Mengabungkan Pecahan 98

BAB V KESIMPULAN 105

DAFTAR PUSTAKA 108

DAFTAR GAMBAR

Halaman

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 23

Tabel 2.2 29

Tabel 2.3 29

Tabel 2.4 31

Tabel 3.1 41

Tabel 3.2 43

Tabel 3.3 46

Tabel 3.4 47

Tabel 3.5 48

Tabel 3.6 51

Tabel 3.7 52

Tabel 3.8 53

Tabel 3.9 58

Tabel 3.10 64

Tabel 3.11 65

Tabel 3.12 66

Tabel 4.1 73

Tabel 4.2 75 Tabel 4.3 75

Tabel 4.4 78

Tabel 4.6 80

Tabel 4.7 86

Tabel 4.8 89 Tabel 4.9 90

Tabel 4.10 93

Tabel 4.11 96

Tabel 4.12 98

Tabel 4.13 99

Tabel 4.14 100

Tabel 4.15 102

Tabel 4.16 103

Tabel Lampiran 1 109

Tabel Lampiran 2 110

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Tabel Lampiran 1 109

Tabel Lampiran 2 110

Tabel Lampiran 3 111

Tabel Lampiran 4 113

Tabel Lampiran 5 115

Tabel Lampiran 6 118

Tabel Lampiran 7 120

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Rancangan percobaan (design ekperiment) merupakan langkah lengkap

yang perlu diambil sebelum melakukan percobaan (ekperiment), agar data

yang semestinya diperlukan dapat diperoleh. Sehingga akan membawa kepada

analisis yang obyektif dan kesimpulan yang berlaku untuk persoalan yang

dibahas.

Secara umum rancangan percobaan dapat dibagi menjadi dua kelompok

yaitu rancangan percobaan lengkap dan rancangan percobaan tidak lengkap.

Yang dimaksud dengan rancangan percobaan lengkap adalah percobaan yang

seluruh perlakuannya muncul bersama-sama dalam satu kelompok. Sedangkan

percobaan tak lengkap ialah percobaan yang sebagian perlakuannya ada yang

muncul dalam satu kelompok.

Berikut merupakan contoh penggunaan rancangan percobaan dalam

kehidupan sehari-hari:

1. Seorang peneliti pertanaian akan meneliti faktor apa saja yang

mempengaruhi hasil panenan padi, maka ia meneliti dua jenis varietas, dua

jenis pupuk dan dua metode pengendalian gulma.

2. Suatu proses kimia mempunyai dua buah faktor yang mempengaruhi

kecepatan reaksi yaitu konsentrasi reaktan dan jumlah katalis, pada

yang bekadar 25%. Sedangkan jumlah katalis ditempatkan dikotak A dan

kotak B.

Percobaan di atas termasuk rancangan percobaan faktorial 2k. Suatu

percobaan dapat dimasukan kedalam rancangan percobaan faktorial 2k apabila

pada percobaan tersebut terdiri atas dua faktor atau lebih (k>2) yang

mempengaruhi dan masing-masing faktor mempunyai dua perlakuan.

Rancangan percobaan faktorial digunakan untuk menguji (menganalisis)

semua kombinasi perlakuan yang ada sehingga diperoleh perlakuan yang

berpengaruh terhadap percobaan tersebut

Jumlah amatan dalam sebuah rancangan faktorial 2k akan meningkat

sebanding dengan jumlah faktor yang terlibat. Sebagai contoh, rancangan

percobaan 26 dengan replikasi sebanyak satu kali akan membutuhkan 64

amatan. Untuk mengetahui faktor atau kombinasi perlakuan yang

mempengaruhi percobaan tersebut maka diperlukan pengamatan secara

lengkap yaitu sebanyak 64 dalam keadaan yang homogen. Karena keadaan

yang homogen sulit atau bahkan tidak mungkin dicapai, maka dapat dilakukan

pembauran. Pembauran merupakan sebuah teknik dalam rancangan percobaan

faktorial, yaitu dengan membagi rancangan percobaan faktorial kedalam

blok-blok yang berukuran lebih kecil. Dengan pembauran ini akan di dapat keadaan

yang lebih homogen.

Untuk melakukan percobaan faktorial dengan jumlah amatan lengkap

memerlukan biaya, waktu dan materi yang cukup banyak. Jika dalam

maka dapat dilakukan percobaan dengan mengamati sebagian dari jumlah

amatan faktorial lengkap. Penyelesaian rancangan percobaan faktorial

dengan mengamati sebagian dari rancangan faktorial lengkap disebut dengan

perulangan fraksional. Rancangan yang terbentuk dari perulangan fraksional

sering dikenal dengan rancangan fraksional.

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah:

1. Apa yang dimaksud dengan rancangan percobaan.

2. Apa yang dimaksud rancangan percobaan faktorial 2k.

3. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial

dengan pembauran. k

2

4. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial

dengan perulangan fraksional.

C. PEMBATASAN MASALAH

Penulisan skripsi ini tidak membahas semua teori yang berhubungan dengan

skripsi ini. Tetapi dibatasi pada beberapa hal yaitu:

1. Teorema ketunggalan tidak dibuktikan, karena diluar jangkauan skripsi

ini.

2. Pembahasan tentang rancangan faktorial 2k hanya dibatasi pada

3. Penambahan titik tengah, rancangan Plackett-Burman dan rancangan

resolusi tidak dibahas.

D. MANFAAT PENULISAN

Manfaat penulisan adalah untuk mempelajari tentang pembauran dan

pengulangan fraksional dalam rancangan percobaan faktorial 2 .k

E. TUJUAN PENULISAN

Tujuan yang ingin dicapai adalah memahami teknik dalam rancangan

percobaan khususnya rancangan percobaan faktorial 2k dengan pembauran dan

perulangan fraksional.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi pustaka yaitu

dengan membaca buku-buku yang berkaitan dengan rancangan percobaan

faktorial.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan

ini , berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.

Bab I membahas tentang gambaran umum skripsi ini yang terdiri dari latar

belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat penulisan,

Bab II akan membahas tentang distribusi normal, Khi-kuadrat dan

distibusi -F, Analisis variansi, rancangan percobaan, serta tentang kontras.

Pada bab III berisi tentang rancangan percobaan faktorial 22,23, 2k dan

algoritma Yate’s yang akan digunakan untuk menghitung jumlah kuadrat dan

estimasi efek dalam rancangan faktorial 2k.

Bab IV berisi tentang pembauran rancangan faktorial 2k dalam 2 blok

dan dalam p blok serta perulangan fraksional dalam rancangan faktorial 2k.

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan membahas materi yang berhubungan dengan

pembauran dan perulangan fraksional rancangan percobaan faktorial 2k.

A. Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F

Subbab ini akan membahas distribusi normal, distribusi Khi-kuadrat dan

distribusi-F karena dalam pembahasan selanjutnya ketiga distribusi tersebut

sangat diperlukan.

Definisi 2.1

Sebuah variabel random X dikatakan berdistribusi normal jika fungsi densitasnya

di berikan sebagai berikut:

2

2 1

2 1 )

( ⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= σ

μ

π σ

x

e x

f untuk - ∞<x<∞

dengan parameter μ dan σ berada dalam interval -∞<μ<∞ dan σ > 0.

Teorema 2.1

Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka rata-rata dan variansi

variabel random X adalah E(X) = μ dan V(X) =σ2.

Bukti:

[ ]

∫

∫

∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∞ ∞ − =

= x f x dx x e dx

X E x 2 2 1 2 ) ( . σ μ π σ misal σ μ − = x

y maka

[ ]

X y e dy y e dy

E y y

2 2 2 1 2 1 2 ) ( 2 ) ( ∞ − ∞ − − ∞ ∞ −

∫

∫

+ = + = π μ σ σ π σ μ σ μ μ π μ π σ _{+ = + ⋅ =} = ∞ − ∞ − ∞ ∞ − −

∫

∫

0 1

2 1 2 2 2 2 1 2 1 dy e dy

ye y y

sedangkan variansi dari distribusi normal adalah

( )

[

]

∫

(

)

∞

∫

( ) ∞ − − − ∞ ∞ − − = − = −

=E X x f x dx x e dx

X V x 2 2 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( . ) ( σ μ π σ μ μ μ misal σ μ − = x

y maka

[ ]

X

( )

y e dy

V yσ

π σ σ 2 2 1 2 2 − ∞ ∞ −

∫

=

( )

dy e

y y2

2 1 2 2 2 − ∞ ∞ −

∫

= π σ

(

)

2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 2 2 σ σ π π σ = + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − =

∫

∞ ∞ − − ∞ ∞ − − dy e e

y y y

Jadi fungsi distribusi normal mempunyai dua parameter yaitu μ dan σ2,

Teorema 2.2

Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka fungsi pembangkit

momennya adalah:

( )

22

2 1

t t X t e

m = μ+ σ

Bukti:

Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 maka

mempunyai fungsi pembangkit momen:

[ ]

tx

X t Ee

m ( )=

( )

( ) dx e e dx x f e x tx tx 2 2 2 1 2 1 . σ μ π σ − − ∞ ∞ − ∞ ∞ −

∫

∫

= = ( ) ( ) ( ) dx e dx e t t t x t x x x tx 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 2 2 1 2 1 σ σ μσ σ μ σ μ σ μ μ σ π σ π σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + + + − +} − ∞ ∞ − + − − ∞ ∞ −

∫

∫

= = ( ) ( ) ( ) ( ) dx e e dx e e t x t t t x t x t t 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 σ σ μ σ σ μσ σ σ μ σ μ σ σ μσ π σ π σ + − − ∞ ∞ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + + +} − ∞ ∞ − +

∫

∫

= = 2 2 2 1 t t eμ + σ

Teorema 2.3

Jika X1, X2, X3, …,Xn suatu sampel random berukuran n dari suatu distribusi

normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ2 maka:

∑

=

= n

i i X n X

1

1

berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi

n

2

σ

Bukti:

Karena X1, X2, X3, …,Xn adalah sampel random dari populasi normal dengan rata-

rata μ dan variansi σ2 dan Xi adalah variabel random saling bebas yang

berdistribusi normal dengan E(X) = μ dan V(X) =σ2, i = 1,2,3,…,n

Selanjutnya

( )

( )

( )

( )

n n

i

i X

n X

n X n X n X n

X 1 1 1 1 2 1 3 1

1

+ + +

+ =

=

∑

=

Κ

Sehingga X berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi sebagai berikut:

( )

= _⎢⎣⎡

( )

+

( )

+

( )

+ +

( )

Xn _⎥⎦⎤

n X

n X n X n E X

E 1 ₁ 1 ₂ 1 ₃ Κ 1

μ

μ μ

μ μ

=

+ + + + =

n n

n n

1 1

1 1

Κ

( )

= _⎢⎣⎡

( )

+

( )

+

( )

+ +

( )

Xn _⎥⎦⎤

n X

n X n X n V X

V 1 1 1 2 1 3 Κ 1

n n n

n n

n n

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

1

1 1

1 1

σ σ

σ σ

σ σ

= ⋅ =

+ + +

+

Dari Teorema 2.3 diatas maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata

distribusi sampel X sama dengan rata-rata dari variabel random Xi dan variansi

distribusi sampel X sama dengan variansi Xi di bagi ukuran sampel n.

Berdasarkan Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ_X =μ dan

variansi X =

n

2

σ

maka:

n X X

Z

X X

σ μ σ

μ −

= − =

berdisrribusi normal standart.

Teorema 2.4 (Teorema ketunggalan)

Misalkan X dan Y dua variabel random, dengan fungsi pembangkit momen mX(t)

dan mY(t). Jika mX(t) = mY(t) untuk semua nilai t, maka X adan Y mempunyai

distribusi probabilitas yang sama.

Teorema 2.4 dalam Skripsi ini tidak dibuktikan.

Definisi 2.2

Fungsi gamma didefinisikan dengan

( )

∫

untuk semua k >0

∞ − −

= Γ

0 1

dt e t

k k t

Definisi 2.3

Suatu variabel random X mempunyai fungsi densitas

( )

2 1 2 2

2 2 1 )

(

x r r

X x e

r x

f − −

Γ

= , x ∈ [0,∞)

Teorema 2.5

Jika X variabel random berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas r maka

mempunyai fungsi pembangkit momen:

( )

2

2 1 1 r X t t m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = Bukti:

Fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat akan ditunjukkan seperti di

bawah ini: dx x f e t

m_X( ) tx ( )

0 ⋅ =

∫

∞ dx e x r e t m x r tx X r 2 1 1 2 0 2 2 2 1 ) ( − − ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ =

∫

misalkan 1 2− = r

a maka

(

)

x e dx

a e t m x a a tx X 2 1

0 12

1 ) ( ₊ − ∞ + Γ =

∫

(

)

∫

∞ ₋ − + + Γ = 0 2 ) 2 1 ( 1 2

1 e dx

a

x x t

a a

misalkan y= x(1−2t) maka

1 0 1 2 1 0 1 2 ) 2 1 ( 1 2 ) 1 ( ) 2 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 1 1 2 1 1 + ∞ + − + ∞ + − − = + Γ − = + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∫

∫

a a y a a a y a a t dy a e y t dy a e y t t untuk 2 1 <

t maka diperoleh fungsi pembangkit momen dari distribusi

Khi-kuadrat yaitu 2 ) 2 1 ( 1 ) ( _r X t t m − = 2 2 1 1 r

t⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = .฀ Teorema 2.6

Jika Xi berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ2 maka

2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X

Z berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

Bukti:

Misal fungsi distribusi F

( )

w P

[

Z w

]

P

[

w Z w

]

f

( )

zdz w w W

∫

− = ≤ ≤ − = ≤ = 2 dengan

transformasi z= y sehingga

y dy dz

2

= maka

( )

( )

, 0

2 1 2 2 1 2 2 0 2 1 0 2 1 0 2 2 ≥ = =

=

∫

∫

−

∫

e− dy w

karena f(w)=F’W(w) maka

( )

2 1 2 1 2 1 w e w w

f = − −

π berdasarkan Definisi 2.2 maka

Zi2 berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

Teorema 2.7

Jika variabel random X1.X2,…,Xk berdistribusi normal dan saling bebas dengan

rata-rata μdan variansi σ2 maka

2 1

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k i i X U σ μ

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.

Bukti: Jika σ μ − = i i X

Z maka Zi berdistribusi normal standar. Maka fungsi pembangkit

momen dari U ditentukan sebagai berikut

[ ]

tu U t Ee

m ( )=

∏

∏

[ ]

= = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ = = k i tz k i tz z t i i k i i e E e E e E 1 1 2 2 1 2 dengan

[ ]

e e e dz

E i i i

z tz tz 2 2 2 2 1 2 1 − ∞ ∞ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∫

π ( ) dz e t zi

2 2 1 2 1 2

1 − − ∞ ∞ −

∫

= π untuk 2 1 <

t maka

[ ]

2

i

tz

e

E ( )

t dz e t t i z t 2 1 1 2 2 1 2 1

1 _{1 2} 2

Karena te ( t)zidz

2

2 1 2 1

2 2

1 − −

∞

∞ −

∫

−

π menunjukkan luas daerah di bawah kurva normal

dengan variansi ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

−2t 1

1

. Maka

∏

[ ]

∏

=

= −

= k

i k

i tz

t e

E i

1

1 1 2

1

2 2

2 1

1 k

t⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛

−

= merupakan

fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.

Sehingga

2 1

∑

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

= k

i i X U

σ μ

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.

Teorema 2.8

Jika X merupakan rata-rata dari X1, X2, X3, …,Xn adalah sampel random

berukuran n yang mempunyai rata-rata μ dan variansi

n

2

σ

maka:

(

)

n X U

2 2

σ μ

− =

berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

Bukti:

Menurut Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi

n

2

σ

, maka

n X

Z = _σ−μ berdistribusi normal standart, sehingga Fungsi Pembangkit

momen dari U dapat ditentukan sebagai berikut:

[ ]

tu U t Ee m ( )=

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑

= =

k

i

z t

e

E 1

2

[ ]

e e e dz

E tz tz z

2 2 2 2 1 2 1 − ∞ ∞ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∫

π ( ) dz

e tZ

2 2 1 2 1 2

1 − − ∞ ∞ −

∫

= π untuk 2 1 <

t maka

[ ]

_tz2

e

E ( )

t dz e t t z t 2 1 1 2 2 1 2 1

1 _{1 2} 2

2 1 − = − − = ∞ − − ∞ −

∫

π =

(

)

2 1 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − t

maka menurut Teorema 2.5 maka

(

)

n X U 2 2 σ μ −

= berdistribusi Khi-kuadrat dengan

derajat bebas 1. 

Teorema 2.9

Andaikan X1, X2, X3,…, Xn adalah sampel random yang saling bebas dan

berukuran n dari suatu distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi

σ2

maka ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X

Z adalah sampel random yang saling bebas dan

berdistribusi normal dan

∑

∑

= = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n i i n i X Z i 1 2 1 2 σ μ

berdistribusi Khi-kuadrat dengan

derajat bebas n.

Bukti:

Karena X1, X2, X3,…,Xnadalah sampel random yang saling bebas dan berukuran n

dari distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ2 maka

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ i i X

menurut Teorema 2.6 maka

∑

∑

= = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = n i i n i X Z i 1 2 1 2 σ μ berdistribusi Khi-kuadrat

dengan derajat bebas n. 

Teorema 2.10

Jika X1, X2,…, Xn merupakan sampel dari distribusi normal dengan rata-rata μ dan

variansi σ2 maka:

(

)

2 2 2 1 σ S n Zi − =

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1.

Bukti:

Dengan menambah dan mengurangi rata-rata sampel X maka:

(

)

[

(

) (

)

]

2

1 1 2

∑

∑

= = − + − = − n i i n i

i X X X

X μ μ

(

)

(

) (

) (

∑

)

∑

∑

= = = − − + − + − = n i i n i n i

i X X X X X

X 1 1 1 2 2 2 μ μ karena

(

) (

) (

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − = − −

∑

∑

∑

= = = n i n i i n i

i X X X X

X X

1 1

1

2

2 μ μ

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− − +} =

∑

∑

= = n i n i i i XnX X nX

X X

1 1

2 μ μ

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − =

∑

∑

∑

∑

= = = = n i n i i i n i n i i i n X n X n X n X X X 1 1 1 1

0 2 1 1 1 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− − −} =

∑

∑

∑

∑

= = = = n i n i i i n i i n i

i X X X X

X

X μ μ

maka

(

)

(

) (

)

2

1 2 2 1 μ μ = − + − −

∑

∑

= = X n X X X n i i n i i Dan

(

)

(

)

(

)

n X X X X i n i i n i i 2 2 2 1 2 2 1 2 σ μ σ σ μ − + − = −

∑

∑

= =

(

)

(

)

n X S n i 2 2 2 2 1 σ μ σ − + − =

Karena Xi berdistribusi normal dengan μ dan variansi σ2/n berdasarkan Teorema

2.8 maka

(

)

n Xi 2 2 σ μ −

berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1 dan

berdasarkan Teorema 2.9 maka

(

)

2 1 2 σ μ

∑

= − n i i X

berdistribusi Khi-kuadrat dengan

derajat bebas n, maka

(

)

₂

2

1

σ S

n− berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas

(n-1). 

Salah satu distribusi yang terpenting dalam statistika ialah distribusi-F.

Statistik F didefinisikan sebagai dua variabel random Khi-kuadrat yang saling

v Y

u X

F =

dengan X dan Y merupakan variabel random yang masing-masing berdistribusi

Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v.

Teorema 2.11

Jika X dan Y variabel random yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi

Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v. Maka distribusi variabel

random

v Y

u X

F = mempunyai fungsi densitas probabilitas

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{⎟ +} ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ 0 , 0 0 , 2 1 2 2 1 2 2 f f f

f u v

u u f v u v v u f v u v u F

Dan variabel random F berdistribusi-F dengan derajat bebas u dan v.

Bukti:

Diketahui X dan Y berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas u dan v maka

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 , 0 0 , 2 2

1 1 ₂

2 2 x x e x u x f x u u X

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 , 0 0 , 2 2

1 1 ₂

2 2 y y e y v y f y v v Y

( )

2 1 2 2 2 1 2 2 , 2 2 1 2 2 1 , y v v x u u Y

X y e

v e x u y x f − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ

= 2 1 2 1 2

2

2 2 2

1 u v x y

v

u x y e

v u

Misalkan z=y dan pandang transformasi

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y z f h v y u x : uy xv y v u x f v y u x = ⋅ = = fy v u

x= karena z = y maka fz v u x=

Dan transformasinya menjadi

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y z fz v u x h:

dari fungsi- fungsi tersebut menghasilkan

z v u fz v u f f x ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂

( )

0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ z f f y f v u fz v u z z x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂

( )

1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ z z z y

Jacobian (J(x,y)) diperoleh dengan determinan dari

z v u f v u z v u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0

sehingga z v u J =

Transformasi ini satu-satu memetakan titik

{

(u,v)0<u<∞,0<v<∞

}

ke

himpunan

{

(f,z)0< f <∞,0<z<∞

}

maka diperoleh distribusi gabungan F dan

Z:

( )

f,z = f_F,Z

( )

f,z J

λ z v u e z v u fz v

u fz z

v u v v u u ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 2 1 2

2 1 2 2 2 2

( )

z

v u e z v u z f v u z f z fz v u v v u u u u ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 f v u z v u v u u u f v u z v u v u u u e z v u f v u z v u e z v u f v u Maka

( )

=

∫

∞

( )

0

,z dz f f

dz e z v u f v u f v u z v u v u u u

∫

∞ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2

∫

∞ _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 dz e z v u f v u f v u z v u v u u u

Untuk menentukan fF(f) dimisalkan : ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = 1

2 v f u z

t sehingga

1 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = f v u t z

dan f dt

v u dz 1 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊

= .Maka diperoleh

dt f v u e f v u t v u f v u f f t v u v u u u F 1 0 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ) ( − ∞ − − + − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ₋ − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⋅

∫

2 0 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 v u t v u v u v u v f v u v u dt e t f v u f v u − − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u v u f v u v u f v u

Jadi terbukti bahwa .

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Γ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 0 , 0 0 , 1 2 2 2 2 1 2 2 f f f v u v u v u f v u f

f u v

u u

Derajat bebas yang berkaitan dengan variabel random Khi-kuadrat pada

pembilang F selalu ditulis lebih dahulu kemudian diikuti oleh derajat bebas yang

berkaitan dengan variabel random Khi-kuadrat yang muncul pada penyebut. Jadi

kurva distribusi –F tidak hanya bergantung pada kedua parameter u dan v, tetapi

juga pada urutan penulisannya. Begitu pula jika kedua bilangan ini ditentukan

maka kurvanya menjadi tertentu.

Teorema 2.12

Jika S12 dan S22 variansi sampel random yang saling bebas berukuran n1 dan n2

yang diambil dari dua populasi berdistribusi normal maka:

2 2 2 1

2 1 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1

S S S

S

F

σ σ

σ σ

= =

berdistribusi- F dengan derajat bebas u=n1-1 dan v=n2-1.

Bukti:

Misalkan sampel random berukuran n1 dan n2 diambil dari populasi random,

masing-masing dengan variansi dan . Mengunakan Teorema 2.10 maka

diperoleh:

2 1

σ 2

2

σ

(

)

2 1

2 1 1 2 1

1

σ S n

Z = − dan

(

₂

)

2 2 2 2 2 2

1

σ S n

Z = −

menyatakan dua variabel random yang berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat

bebas u=n1-1 dan v=n2-1. Karena kedua sampel diambil secara random maka

variabel random tersebut saling bebas. Jika dan maka dengan

mengunakan Teorema 2.9 diperoleh:

X

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1

2 1 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1

2 2

2 2 2 2

1 2

1 2 1 1 2

2 2 1

1 1

1 1

S S S

S

n S n

n S n

v Z

u Z

v Y

u X F

σ σ

σ σ

σ σ

= =

− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

= =

=

dan variabel random F berdistribusi-F dengan derajat bebas u=n1-1 dan v=n2-1.

B. Analisis Variansi

Misalkan sampel random berukuran n diambil dari k populasi, ke-k

populasi ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau kelompok yang berbeda.

Diasumsikan bahwa k populasi itu berdistribusi normal dengan rata-rata μ1, μ2,

μ3,…,μkdan variansi σ2 yang sama. Sehingga uji hipotesisnya adalah:

Ho : μ1 = μ2 = μ3 =…= μk

H1: sekurang-kurangnya dua nilai rata-rata tidak sama.

Misalkan Xij adalah sampel ke-j dari populasi ke-i, maka data- data dari n

pengamatan dari k populasi dapat di tuliskan sebagai berikut:

Tabel 2.1 : k sampel random

Populasi Sampel

1 2 … i … k

Total Pengamatan 1

2 : n

X11 X21 … Xi1 … Xk1 X12 X22 … Xi2 … Xk2 : : … : … : X1n X2n … Xin … Xkn

X.1 X.2 :

X.n

Total Populasi ke

X1. X2. … Xi. … Xk. X..

Rata-rata Populasi ke

⋅

1

Dengan:

X i,j : Sampel ke–i dari populasi ke-j, dengan i = 1, 2, 3,…,k dan j =1, 2,

3,…,n

.

i

X = Jumlah total polulasi ke-i

..

X = Jumlah total semua nk pengamatan

.

i

X = Rata-rata pengamatan pada polulasi ke-i

..

X = Rata-rata semua nk pengamatan

Setiap pengamatan dapat ditulis dengan bentuk linear:

ij i ij

X =μ +ε (2.1)

dengan :

Xij: besarnya pengamatan ke-i, perlakuan ke-j.

μi : parameter rata-rata.

εij : eror yang berdistribusi N(0,σ2)

i : 1,2, 3,…, k dan j : 1, 2, …, n

Bentuk lain dari persamaan (2.1) diperoleh dengan mensubtitusikan

i i μ τ

μ = + kedalam persamaan (2.1) dengan μ adalah rata-rata dari μi dan:

k

k i

i

∑

=

= 1

μ μ

Sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis:

ij i ij

X =μ+τ +ε (2.2)

dengan:

(

)

0

1 1

= − =

∑

∑

= =

k i

i k

i

i μ μ

i

τ disebut sebagai efek atau pengaruh perlakuan ke-i.

Sehingga hipotesis nol yang menyatakan bahwa semua nilai rata-rata ke-k

populasi sama melawan hipotesis alternatifnya yang menyatakan bahwa

sekurang-kurangnya ada dua rata-rata tidak sama. Dapat dinyatakan sebagai berikut:

0 : ₁= ₂ = = _k = o

H τ τ Λ τ

H1 : sekurang-kurangnya satu τitidak sama dengan nol.

Sehingga Uji yang akan digunakan berdasarkan pada perbandingan dua nilai

dugaan bebas dari kesamaan variansi populasi σ2. Kedua nilai dugaan tersebut

diperoleh dengan menguraikan total variansi menjadi dua komponen.

Teorema 2.11

(

)

∑

(

)

∑∑

(

)

∑∑

= = = ⋅⋅ = = − + − = − k i n j i ij k i i k i n j

ij X n X X X X

X 1 1 2 . 1 2 . 1 1 2 .. Bukti :

(

)

[

(

)

(

)

]

2

1 1

. .

2

1 1

∑∑

∑∑

= = ⋅⋅ = = ⋅⋅ − + − = − k i n j i ij i k i n j

ij X X X X X

X

(

) (

)

(

) (

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

= = ⋅⋅ = = ⋅⋅ = = = = ⋅⋅ ⋅⋅ − + − − + − = − + − − + − = k i n j k i n j k i n j i ij i ij i i k i n j i ij i ij i i X X X X X X X X X X X X X X X X

1 1 1 1 1 1

2 . . . 2 . 1 1 2 . . . 2 . 2 2

Suku pertama persamaan diatas dapat ditulis menjadi

∑

(

= ⋅⋅ − k i i X X n 1 2

.

)

karena suku

pertama persamaan diatas tidak menpunyai subkrip j.

(

)

(

)

(

)

(

)

∑∑

∑ ∑

= = ⋅⋅ = = ⋅⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − − k i n j k i n j i ij i i ij

i X X X X X X X

X

1 1 1 1

. . . . 2 2

(

)

(

)

(

)

( )

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

= = ⋅⋅ = = = ⋅⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = k i n j n j i ij i k i n j n j i ij i X n X X X X X X X

1 1 1

. .

1 1 1

. . 2 2

(

)

( )

∑ ∑

∑

∑

= = = = ⋅⋅ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = k i n j n j n j ij ij i n X n X X X

1 1 1

1 . 2

(

)

( )

0 0 2 1 1 . = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

∑ ∑

= = ⋅⋅ k i n j i X X

Jadi terbukti

∑∑

(

)

∑

(

)

∑∑

(

)

= = = ⋅⋅ = = − + − = − k i n j i ij k i i k i n j

ij X n X X X X

X 1 1 2 . 1 2 . 1 1 2 .. . ฀

Agar memudahkan penggunaannya maka suku-suku dalam Teorema 2.11

maka dinotasikan dengan:

(

∑∑

= = − k i n j ij X X 1 1 2

..

)

= jumlah kuadrat total (JKT) (2.4)

(

∑

= ⋅⋅ − k i i X X n 1 2

.

)

= jumlah kuadrat perlakuan (JKP) (2.5)

(

∑∑

= = − k i n j i ij X X 1 1 2

.

)

= jumlah kuadrat eror (JKE) (2.6)

sehingga jumlah kuadrat dalam Teorema 2.11 dapat dilambangkan dengan

JKT = JKP + JKE (2.7)

Salah satu nilai dugaan bagi σ2 yang didasarkan pada k-1 derajat bebas

adalah:

(

)

1 1

1

2 .. . 2

1 ₋

− =

−

=

∑

=

k X X

k JK S

k i

i

P _(2.8)

.

i

X : rata- rata sampel dari populasi ke-i

..

X : rata- rata total pengamatan

2 1

S : variansi antar kelompok (between- group variance)

Bila Ho benar, S12 merupakan penduga tak bias bagi σ2. Jika H1 benar

maka JKP cenderung menghasilkan nilai yang lebih besar, artinya S12 menduga

lebih dari σ2. Nilai dugaan bagi σ2 yang lain berdasarkan pada k(n-1) adalah:

(

)

(

)

(

1

)

1

1 1

2 . 2

2

− − =

−

=

∑∑

= =

n k

X X

n k

JK S

k i

n j

i ij E

(2.9)

Nilai 2 menduga σ

2

S 2 berdasarkan eror yaitu selisih antara setiap

pengamatan dengan rata-rata dari kelompok/perlakuan masing-masing. Nilai

dugaan S22 bersifat takbias, baik untuk hipotesis benar atau salah. Apabila hipotesis nol benar, maka penduga tak bias bagi σ2 adalah:

1

2

− =

kn JK

Teorema 2.11 tidak hanya menguraikan Jumlah Kuadrat Total, tetapi juga jumlah

total derajat bebasnya:

nk-1 = k-1 +k(n-1) (2.11)

Statistik uji untuk menguji Ho = τ1 = τ2 =…=τk =0 adalah perbandingan

dan .

2 1

S S22

2 2 2 1

S S

f = (2.12)

Bila hipotesis nol benar, maka Persamaan (2.12) merupakan variabel random F

yang mempunyai distribusi-F dengan derajat bebas (k-1) dan k(n-1). Jika Hosalah

maka S₁2menduga lebih dari σ2 sehingga diperoleh uji variansi satu arah dengan daerah kritis yang seluruhnya terletak di ujung kanan fungsi distribusinya. Dan

hipotesis nol ditolak pada taraf signifikan a bila:

(

) (

(

)

)

[

−1, −1

]

> f k k n

f _α (2.13)

Untuk perhitungan Jumlah Kuadrat dapat diperoleh dengan memperluas dan

menyederhanakan definisi JKP dan JKT dalam Teorema 2.11.Sehingga

menghasilkan:

kn X X JK

k i

n j

ij T

2 .. 1 1

2

−

=

∑∑

= =

(2.14)

kn X n

X JK

k i

i P

2 .. 1

2 .

−

=

∑

= _(2.15)

P T

E JK JK

Perhitungan analisis variansi dapat dituliskan sebagai berikut:

Tabel 2.2 : Tabel analisis variansi satu arah Sumber

Variansi

Jumlah Kuadrat Derajat bebas

Rata-rata jumlah kuadrat

f hitung

Antar

perlakuan

∑

(

= ⋅⋅

−

k i

i X X n

1

2

.

)

k-1

1

2 1

− =

k JK

S P

2 2 2 1

S S f =

Eror

(

∑∑

= =

− k

i n j

i ij X

X

1 1

2

.

)

_k(n-1)

(

)

1

2

2 = ₋

n k

JK

S E

Total

(

)

∑∑

= =

− k

i n j

i ij X

X

1 1

2

. nk-1

Contoh 2.1

Sebuah pabrik tas menggunakan kertas sebagai bahan pelapis tas yang akan

diproduksinya. Sehingga perlu diteliti kekuatan daya renggang kertas tersebut.

Diduga kekuatan daya renggang kertas adalah fungsi konsentrasi kekerasan kayu

dalam bubur kertas. Maka dilakukan penelitian dengan mengunakan lima

konsentrasi kekerasan kayu yang berbeda dalam bubur kertas. Konsentrasi

kekerasan kayu yang digunakan adalah 5%, 10%, 15%, 20% dan 25%. Dalam

Penelitian tersebut diambil 25 pengamatan secara random pada masing-masing

konsentrasi. Maka diperoleh hasil pengamatan sebagai berikut:

Tabel 2.3: Data Contoh 2.1

Pengamatan Konsentrasi

kekerasan kayu (%) 1 2 3 4 5

Total pengamatan

Xi.

5 10 15 20 25

7 12 14 19 7

7 17 18 25 10

15 12 18 22 11

11 18 19 19 15

9 18 19 23 11

Jawab:

Akan dibandingkan pengaruh beberapa konsentrasi kekerasan kayu terhadap

daya renggang produksi tas. Hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata daya

renggang kelima perlakuan sama sedangkan untuk hipotesis alternatifnya

menyatakan bahwa rata-rata daya renggang kelima perlakuan tidak sama.

Sehingga hipotesis tersebut ditulis:

a. Ho : μ1 = μ2 = μ3 =μ4 = μ5

H1: sekurang-kurangnya dua nilai rata-rata tidak sama.

b. Jumlah kuadratnya adalah:

(

)

(

)

_475.76

25 376 5 54 77 49 5 . 5 5 96 . 636 25 376 11 15 7 7 5 . 5 2 2 2 2 2 .. 5 1 2 . 2 2 2 2 2 2 .. 5 1 5 1 2 = − + + + = − = = − + + + + = − =

∑

∑∑

= = = Κ Κ X X JK X X JK i i P i j ij T 20 . 161 76 . 475 96 .

636 − =

= −

= _{T P}

E JK JK

JK sehingga 99 . 118 4 96 . 475 1 2

1 = =

− =

k JK

S P

(

)

20 8.06 20 . 161 1

2

2 = =

− = n k JK S E 763 . 14 06 . 8 99 . 118 2 2 2

1 = =

=

S S

Tabel 2.4:Analisis variansi contoh 2.1

Sumber Variansi Jumlah Kuadrat Derajat bebas

Rata-rata jumlah kuadrat

f hitung

Antar perlakuan JKP = 475.76 4 S₁2 =118.99 f =14.76

Eror JKE =161.20 20 S₂2 =8.06

Total JKT =636.96 24

c. Statistik uji F akan memiliki distribusi-F dengan derajat bebas pembilang

5-1= 4 dan derajat bebas penyebut 25-5 =20. Maka dari tabel nilai

F0.01;4:20=4.33. Sehingga daerah penerimaan Ho adalah [0: 4.43) dan

daerah penolakannya adalah [4.43:∼).

d. Karena maka hipotesis nol di tolak. Jadi ada perbedaan

rata-rata daya renggang diantara kelima perlakuan tersebut. Sehingga

disimpulkan bahwa konsentrasi kekerasan kayu dalam bubur kertas secara

berarti mempengaruhi kekuatan daya renggang kertas.

43 . 4 76 . 14 ≥ =

f

C. Kontras

Uji hipotesis dalam analisis variansi satu arah menunjukkan bahwa

apakah rata-rata perlakuan sama atau tidak. Tetapi dalam penelitian sering

dilakukan analisis yang lebih jauh, sehingga perbandingan rata-rata perlakuan

antar kelompok sangat berguna. Rata-rata perlakuan ke-i dapat didefinisikan

Misal dalam Contoh 2.1, hipotesis nolnya adalah H₀:τ_i =0ditolak dengan τi pengaruh konsentrasi kekerasan kayu. Padahal diketahui beberapa jenis

konsentrasi menghasilkan daya kekuatan renggang yang berbeda, tetapi

konsentrasi mana yang mengakibatkan perbedaan itu.

Dalam Contoh 2.1 misal diduga bahwa konsentrasi jenis 1 dan 5 akan

menghasilkan kekuatan daya renggang sama, berarti hipotesis yang digunakan

5 1 1

5 1 0

: :

μ μ

μ μ

≠ =

H H

Hipotesis ini dapat diuji dengan menggunakan sebuah kombinasi linear dari total

perlakuan 0X1.−X5.=

Jika diduga rata-rata perlakuan konsentrasi 1 dan 3 tidak berbeda dari rata-rata

perlakuan konsentrasi 4 dan 5, maka hipotesisnya adalah

5 4 3 1 1

5 4 3 1 0

: :

μ μ μ μ

μ μ μ μ

+ ≠ +

+ = +

H H

Yang berarti kombinasi linear total perlakuannya

0

. 5 . 4 . 3 .

1 +X −X −X =

X

dengan X1. : total perlakuan konsentrasi 5%

X3. : total perlakuan konsentrasi 15%

X4. : total perlakuan konsentrasi 20%

X5. : total perlakuan konsentrasi 25%

Secara umum perbandingan rata-rata perlakuan yang mempengaruhi dapat

∑

=

= a

i i iX q Q

1

(2.17)

dengan 0, X

1

=

∑

=

a i

i

q i total perlakuan ke-i, a banyaknya perlakuan, qi merupakan

koefisien kontras. Kombinasi linear dalam Persamaan (2.17) disebut kontras.

Maka jumlah kuadrat (JK) untuk setiap kontras adalah

∑

∑

∑

= =

= ⋅ ₌

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

= _a

i i a

i i a i

i i Q

q n

Q

q n

X q JK

1 2 2

1 2

2 1

(2.18)

dengan n adalah jumlah pengulangan setiap perlakuan dengan derajat bebas

tunggal. Sebuah kontras diuji dengan membandingkan jumlah kuadrat rata-rata

eror (JKE), maka statistik yang dihasilkan akan berdistribusi F dengan derajat

bebas 1 dan N-a. Dengan N merupakan total pengamatan dan a adalah banyaknya

perlakuan.

D. Rancangan Percobaan

Dalam merancang sebuah percobaan ada beberapa hal yang perlu

diketahui antara lain apa yang dimaksud dengan percobaan, dan hal-hal yang

perlu diperhatikan saat membuat sebuah rancangan percobaan. Pada bagian ini

akan membahas tentang hal-hal yang berkaitan dengan rancangan percobaan.

1. Tahap- tahap percobaan

Percobaan sering dilakukan oleh berbagai bidang ilmu. Tujuan dilakukan

nya sebuah percobaan adalah untuk menyelidiki hubungan antar perlakuan yang

diperlukan, hal ini bertujuan agar data yang diperoleh relevan digunakan dan

didapat informasi sebanyak mungkin. Sehingga percobaan yang dilakukan akan

lebih efektif, efisien.

Dalam sebuah percobaan ada tiga tahap yang perlu dilakukan :

a. Percobaan pendahuluan

Sebelum melakukan percobaan yang sesungguhnya maka diperlukan adanya

percobaan pendahuluan, hal ini bertujuan untuk memperoleh petunjuk dalam

pemilihan perlakuan. Sehingga pada tahap ini dilakukan perbandingan

beberapa perlakuan.

b. Percobaan sebenarnya

Setelah percobaan pendahuluan maka tahap selanjutnya adalah percobaan

sebenarnya. Pengendalian keragaman faktor yang mempengaruhi percobaan

dilakukan secara ketat. Hal ini bertujuan untuk menentukan perlakuan

(treatment). Pada tahap ini sangat memperhatikan prinsip rancangan

percobaan, sehingga hasil yang diperoleh memenuhi persyaratan untuk

dianalisis.

c. Percobaan demontrasi

Tahap terakhir dalam percobaan adalah percobaan demontrasi, yang

bertujuan menujukkan hasil dan keunggulan dari percobaan yang telah

dilakukan serta membandingkan dengan hasil percobaan sebelumnya.

2. Dasar- dasar rancangan percobaan

Dalam merancang sebuah percobaan, perumusan masalah secara rinci

didapat berbagai alternatif penyelesaian dan kesimpulan yang valid dan

objektif.

Dibawah ini merupakan langkah-langkah untuk merancang sebuah

percobaan:

a. Menentukan adanya suatu masalah.

b. Merumuskan masalah secara jelas dan rinci.

Perumusan masalah yang jelas akan memberikan pengertian keadaan

sebenarnya dan penyelesaian dari masalah tesebut dengan lebih baik.

c. Memilih faktor dan taraf

Faktor merupakan jenis perlakuan. Sedangkan yang dimaksud dengan

perlakuan adalah kondisi tertentu yang diberikan dalam sebuah percobaan.

Sehingga dalam merancang percobaan peneliti harus dapat memilih faktor

yang mempengaruhi percobaan tersebut, faktor ini sering disebut dengan

variabel bebas.

Taraf (level) merupakan perlakuan terhadap setiap faktor. Ada dua jenis taraf

yaitu taraf kualitatif dan kuantitatif. Taraf kualitatif adalah taraf yang berupa

data kualitatif (qualitative data) dan taraf kuantitatif adalah taraf yang berupa

data kuantitatif (quantitative data). Data kualitatif secara sederhana disebut

data yang bukan berupa angka. Data ini dibagi menjadi dua yaitu data nominal

dan data ordinal. Data kuantitatif (quantitative data) merupakan data yang

berupa angka dalam arti sebenarnya. Data kuantitatif dapat dibagi menjadi dua

d. Memilih variabel respon.

Variabel respon dalam suatu percobaan merupakan variabel yang akan

diukur. Variabel ini juga disebut dengan variabel terikat.

e. Memilih rancangan percobaan.

Pemilihan jenis rancangan percobaan yang tepat akan mempengaruhi tingkat

efisiensi percobaan.

f. Analisis data

Dengan analisis statistik yang tepat maka akan diperoleh kesimpulan yang

benar dan objektif.

g. Kesimpulan

Dalam merancang sebuah percobaan ada beberapa prinsip dasar yang

harus dipenuhi yaitu:

a. Randomisasi

Randomisasi bertujuan agar setiap perlakuan dalam percobaan mendapat peluang

yang sama. Fungsi randomisasi adalah:

• Asumsi saling bebas antar perlakuan terpenuhi.

• Agar estimasi eror dan rata–rata perlakuan tidak terjadi bias.

• Memperkecil kemungkinan adanya korelasi antar pengamatan dan korelasi

antar eror.

• Meningkatkan objektifitas dalam memberikan perlakuan materi

b. Replikasi

Jika dalam rancangan percobaan setiap perlakuan diulang sebanyak n kali

maka rancangan itu dikatakan mempunyai n replikasi (perulangan). Fungsi

dari replikasi adalah untuk menentukan besarnya variansi eror, mempertinggi

ketepatan percobaan dan memperluas ruang lingkup percobaan.variansi eror

merupakan perbedaan hasil dari suatu pengamatan dengan perlakuan yang

sama.

Banyaknya replikasi tergantung pada banyak perlakuan, tingkat homogenitas

dan banyaknya materi percoban. Jika jumlah perlakuan dan materi cukup

banyak dan homogen maka tidak memerlukan replikasi yang banyak, hal ini

akan menimbulkan pembengkaan biaya dan percobaan kurang efektif.

c. Pemblokan

Pemblokan berarti mengumpulkan materi percobaan yang relatif homogen

menjadi satu kelompok, sehingga diperoleh beberapa kelompok materi

percobaan dengan variansi dalam kelompok tetap kecil dan variansi antar

kelompok lebih besar.

3. Jenis-jenis rancangan percobaan

Secara umum rancangan percobaan dapat dibagi menjadi dua kelompok

yaitu rancangan percobaan kelompok lengkap dan rancangan kelompok tidak

lengkap. Rancangan kelompok lengkap adalah rancangan percobaan yang seluruh

tidak lengkap adalah rancangan percobaan yang hanya sebagian dari perlakuan

muncul dalam setiap kelompok.

Rancangan percobaan kelompok lengkap dibagi menjadi empat jenis yaitu

rancangan kelompok tanpa pembatasan, rancangan kelompok dengan satu

batasan, rancangan kelompok dengan dua batasan dan rancangan kelompok

dengan batasan tiga atau lebih. Sedangkan contoh kelompok tidak lengkap adalah

rancangan petak terpisah.

Rancangan acak lengkap termasuk rancangan kelompok tanpa batasan.

Rancangan jenis ini digunakan untuk percobaan yang mempunyai materi dan

faktor percobaan yang relatif homogen, bannyaknya percobaan setiap perlakuan

tidak sama.. Misalnya percobaan yang dilakukan didalam laboratorium.

Sedangkan rancangan kelompok dengan satu pembatasan adalah

rancangan acak kelompok (random blok design) yaitu sebuah rancangan

kelompok lengkap yang mempunyai batasan pengacakan. Dalam rancangan ini

materi percobaan dibagi menjadi beberapa kelompok berdasarkan homogenitas

materi dan setiap amatan dalam kelompok dapat diulang. Rancangan faktorial

termasuk dalam kelompok ini.

Contoh rancangan percobaan kelompok dengan dua pembatasan adalah rancangan

bujursangkar latin dan crossover design, sedang contoh kelompok dengan tiga

atau lebih pembatasan adalah rancangan bujursangkar latin graeco dan rancangan

BAB III

RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2k

Dalam percobaan sering melibatkan sejumlah faktor dan setiap faktor

tersebut biasanya terdiri dari beberapa perlakuan (taraf). Kombinasi perlakuan

dari sebuah percobaan ditentukan oleh kombinasi dari setiap kombinasi taraf di

setiap faktornya. Jika dalam sebuah percobaan akan meneliti semua kombinasi

perlakuan yang ada, maka percobaan tersebut dinamakan percobaan faktorial.

Sehingga percobaan faktorial diperoleh dengan menyilangkan semua taraf dari

setiap faktornya. Misal suatu percobaan akan membandingkan lima jenis varietas

tanaman dengan tiga cara bercocok tanam yang berbeda. Maka akan diperoleh

percobaan faktorial 5 x 3, yang memerlukan 15 kombinasi perlakuan yang

berbeda.

Dalam kehidupan sehari-hari banyak percobaan yang melibatkan sejumlah

faktor dimana setiap faktornya terdiri atas dua taraf. Misal sebuah percobaan yang

hanya melibatkan dua macam temperatur ekstrim yaitu tinggi dan rendah, dua

jenis mesin cuci yaitu jenis lama dan jenis baru. Jika suatu percobaan yang

melibatkan k buah faktor yang masing-masing faktor mempunyai dua taraf maka

percobaan itu disebut percobaan faktorial 2k. Banyaknya taraf 2 ditulis sebagai

bilangan pokok dan k yang merupakan banyaknya faktor ditulis sebagai pangkat.

Misal sebuah rancangan percobaan akan melibatkan dua faktor yaitu A dan B,

masing- masing faktor terdiri atas dua taraf, maka termasuk rancangan percobaan

perlakuan sebanyak 2k. Dalam percoban faktorial 2k diasumsikan bahwa semua

faktor yang terlibat adalah tetap dan pengamatan yang diambil berdistribusi

normal.

A. Rancangan Percobaan Faktorial 22

Bentuk rancangan faktorial 2k yang paling sederhana adalah rancangan

percobaan faktorial 22, karena dalam rancangan tersebut hanya melibatkan 2

faktor dan masing-masing faktor mempunyai dua taraf. Misal dalam suatu

percobaan yang melibatkan 2 buah faktor yaitu A dan B. Faktor A mendapat

perlakuan a1 dan, a2 sedangkan faktor B mendapat perlakuan b1 dan b2, sehingga

terdapat 4 buah kombinasi perlakuan yaitu a1b1, a1b2 ,a2b1 dan a2b2. Dan untuk

setiap kombinasi perlakuan mendapat replikasi sebanyak n kali.

Taraf dalam rancangan percobaan faktorial akan dibedakan menjadi taraf rendah

dan tinggi. Taraf rendah (low level) akan dinotasi dengan (-) dan taraf tinggi (

high level) yang dinotasikan dengan (+). Indeks 1 menyatakan taraf rendah dan

indeks 2 menyatakan taraf tinggi.

Huruf kapital dalam rancangan percobaan faktorial menyatakan efek

utama faktor sedangkan huruf kecil menyatakan kombinasi perlakuan.

Keberadaan suatu huruf menyatakan faktor yang bersangkutan berada pada taraf

yang tinggi dalam amatan tersebut. Sedangkan ketidakberadaan huruf menyatakan

bahwa faktor yang b