EE-662 Pengolahan Citra Digital Image Enhancement dalam Ranah Frekuensi

(1)

EE-662 Pengolahan Citra Digital

Image Enhancement dalam Ranah Frekuensi

(2)

Pendahuluan

•

Pendahuluan

•

Transformasi Fourier

•

Filtering dalam ranah frekuensi

•

Smoothing Frequency Domain Filters

•

Sharpening Frequency Domain Filters

•

Laplacian in the Frequency Domain

•

Unsharp Masking & High-boost Filtering

•

High-Frequency Emphasis Filter

•

Homomorphic Filtering

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

2 / 124

• Pada bagian ini akan dibahas bagaimana

merepresentasikan serta mengolah citra dalam ranah

frekuensi.

• Alat utama yang akan digunakan pada bagian ini adalah

transformasi Fourier.

• Pembahasan transformasi Fourier pada bagian ini dibatasi

pada penggunaannya dalam PCD.

(3)

Transformasi Fourier: Intro

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Secara umum, transformasi Fourier digunakan untuk

menguraikan (decompose) sebuah sinyal menjadi

komponen-komponen berupa gelombang sinusoida.

• Dalam konteks PCD, output transformasi Fourier adalah

representasi citra dalam ranah frekuensi.

• Dalam ranah frekuensi (ranah Fourier), setiap titik

merepresentasikan sebuah frekuensi yang ada pada citra

input.

(4)

Transformasi Fourier: Why?

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

4 / 124

• Transformasi Fourier memungkinkan dilakukannya

beberapa hal yang tidak dapat dilakukan pada ranah

spatial.

• Banyak operasi dapat dilakukan dengan lebih cepat dalam

ranah Fourier dibandingkan dalam ranah spatial.

• Filtering dalam ranah Fourier jauh lebih efisien dibanding

filtering dalam ranah spatial, terutama untuk filter-filter

besar.

• Dengan transformasi Fourier, kita dapat memproses

frekuensi-frekuensi spesifik. Dengan demikian, proses

low-dan high-pass filtering dapat dilakukan dengan lebih

(5)

Transformasi Fourier: Basic Ideas (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Sebuah fungsi periodik (atau fungsi non-periodik yang

luasan dibawah kurva fungsinya berhingga) dapat

direpresentasikan sebagai jumlahan fungsi sinus dan

cosinus dengan berbagai amplitudo dan frekuensi.

• Ada fungsi-fungsi yang tersusun oleh jumlah komponen

yang berhingga, ada fungsi-fungsi yang tersusun oleh

jumlah komponen yang tidak berhingga.

(6)

Transformasi Fourier: Basic Ideas (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

6 / 124

(7)

Transformasi Fourier: Basic Ideas (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(8)

Transformasi Fourier: Kontinu (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

8 / 124

• Transformasi Fourier dari sebuah fungsi kontinu 1-D

f (x)

didefinisikan sebagai berikut:

F (u) =

Z

∞

−∞

f (x)e

−j2πux

_dx

₍₁₎

• Inverse transformasi Fourier didefinisikan sebagai berikut:

f (x) =

Z

∞

−∞

(9)

Transformasi Fourier: Kontinu (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Dalam dua dimensi, pasangan persamaan tadi dapat

ditulis sebagai berikut:

F (u, v) =

Z

_∞

−∞

Z

_∞

−∞

f (x, y)e

−j2π(ux+vy)

_dxdy

₍₃₎

f (x, y) =

Z

∞

−∞

Z

∞

−∞

(10)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

10 / 124

• Discrete Fourier Transform (DFT) sebuah fungsi diskret

1-D,

f (x), x = 1, 2, . . . , M − 1

adalah

F (u) =

_M

1 M −1

X

x=0

f (x)e

−j2πux/M

untuk

u = 0, 1, 2, . . . , M − 1

(5)

• IDFT didefinisikan sebagai berikut:

f (x) =

M −1

X

u=0

F (u)e

−j2πux/M

untuk

x = 0, 1, 2, . . . , M − 1

(6)

(11)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Faktor

_M

1 kadang-kadang dituliskan bukan pada

persamaan transformasi Fourier tapi pada persamaan

inverse-nya.

• Kadang-kadang, kedua persamaan dikalikan dengan faktor

1 √

M

.

• Penghitungan DFT dilakukan sebagai berikut:

1. Set

u = 0

2. Lakukan summing untuk semua nilai

x

3. Jika

u < M

, set

u = u + 1

dan kembali ke step 2.

Jika

u = M

, proses selesai.

• Proses ini membutuhkan kira-kira

M

2 buah penjumlahan &

perkalian.

(12)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

12 / 124

• Proses penghitungan IDFT mirip dengan prosedur diatas.

• Salah satu sifat paling penting DFT dalam PCD adalah

bahwa semua citra memiliki DFT dan IDFT.

• Sifat diatas dikarenakan pasangan DFT dan IDFT pasti

ada asal

f (x)

memiliki nilai berhingga. Semua citra digital

dapat dipandang sebagai sebuah fungsi yang nilainya pasti

berhingga.

(13)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (4)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Konsep ranah frekuensi diperoleh dari rumus Euler

sebagai berikut:

e

jθ

= cos θ + j sin θ

(7)

• Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke Persamaan (5)

(dan karena

cos(−θ) = cos θ

), diperoleh

F (u) =

_M

1 M −1

X

x=0

(14)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (5)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

14 / 124

• Karena

F (u)

adalah bilangan kompleks, maka sering

dituliskan:

F (u) = |F (u)|e

jφ(u)

(9)

dengan magnitude (spektrum) transformasi Fourier

didefinisikan sebagai:

|F (u)| = [ℜ

2 (u) + ℑ

2 (u)]

1/2

(10)

dan sudut fase transformasi didefinisikan sebagai:

φ(u) = tan

−1

ℑ(u)

ℜ(u)

(15)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (6)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Besaran lain yang banyak digunakan adalah power

spectrum, yang didefinisikan sebagai berikut:

P (u) = |F (u)|

2 (12)

= ℜ

2 (u) + ℑ

2 (u)

• Dalam Persamaan (5), titik sampling

f (x)

belum tentu

berada pada nilai-nilai integer

x

dalam rentang

[0, M − 1]

,

meskipun sampling dilakukan pada interval yang tetap.

• Hal ini sering dinyatakan sebagai berikut. Lokasi sampling

pertama dinotasikan dengan

x

₀

, sehingga titik sample

(16)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (7)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

16 / 124

• Dengan kata lain, kita menggunakan

f (x)

, f(x

0 + x∆x)

(13)

• Hal yang sama berlaku juga untuk variabel

u

, kecuali

bahwa frekuensi selalu dimulai dari 0. Jadi untuk

F (u)

kita

gunakan

F (u)

, F (u∆u)

(14)

• Hubungan antara

∆u

dan

∆x

adalah

∆u =

1

(17)

Transformasi Fourier: DFT 1-D (8)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(18)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

18 / 124

• DFT dari sebuah citra

f (x, y)

dengan ukuran

M × N

adalah

F (u, v) =

1 M N

M −1

X

x=0

N −1

X

y=0

f (x, y)e

−j2π(ux/M +vy/N )

₍₁₆₎

• IDFT 2-D didefinisikan sebagai berikut

f (x, y) =

M −1

X

u=0

N −1

X

v=0

(19)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Definisi magnitude, fase dan power spectrum DFT 2-D

adalah

|F (u, v)| = [ℜ

2 (u, v) + ℑ

2 (u, v)]

1/2

(18)

φ(u, v) = tan

−1

ℑ(u, v)

ℜ(u, v)

(19)

P (u, v) = |F (u, v)|

2

(20)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

20 / 124

• Biasanya, citra yang akan ditransformasikan dikalikan lebih

dahulu dengan

(−1)

x+y

, karena

F[f(x, y)(−1)

x+y

] = F (u − M/2, v − N/2)

(21)

• Persamaan ini menunjukkan bahwa titik awal transformasi

Fourier (yaitu,

F (0, 0)

) berada pada titik

u = M/2

dan

v = N/2

.

• Agar koordinat hasil shifting ini tetap integer,

M

dan

N

harus genap.

(21)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (4)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Nilai transformasi Fourier pada titik

(u, v) = (0, 0)

adalah

F (0, 0) =

1 M N

M −1

X

x=0

N −1

X

y=0

f (x, y)

(22)

• Dengan kata lain, jika

f (x, y)

adalah sebuah citra, nilai

F (0, 0)

adalah nilai rata-rata nilai gray-level citra.

Komponen ini disebut komponen DC.

• Jika

f (x, y)

real, maka

F (u, v)

conjugate symmetric, atau

(22)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (5)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

22 / 124

• Mirip seperti pada kasus 1-D, diperoleh juga relasi sebagai

berikut:

∆u =

1 M ∆x

(25)

dan

∆v =

1 N ∆y

(26)

(23)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (6)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

(24)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (7)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

24 / 124

(25)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (8)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

(26)

Transformasi Fourier: DFT 2-D (9)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

26 / 124

(27)

Filtering dalam ranah frekuensi: Intro (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Pada umumnya, tidak mudah membuat hubungan

bagian-bagian tertentu dari suatu citra dengan hasil

transformasinya.

• Meskipun demikian, dapat ditarik beberapa hubungan

umum antara komponen frekuensi dengan karakteristik

spatial citra.

• Contohnya, kita dapat menghubungkan frekuensi dalam

ranah Fourier dengan pola perubahan perubahan

luminance pada citra:

◦

Titik tengah spektrum menunjukkan nilai rata-rata

luminance citra.

(28)

Filtering dalam ranah frekuensi: Intro (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

28 / 124

(29)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

Secara umum, proses filtering dalam ranah frekuensi adalah

sebagai berikut:

1. Hitung

f

′

(x, y) = f (x, y)(−1)

x+y

2. Hitung

F (u, v) = F[f

′

(x, y)]

3. Hitung

G(u, v) = F (u, v)H(u, v)

.

4. Hitung

g(x, y) = F

ˆ

−1

[G(u, v)]

5. Hitung

g

′

(x, y) = ℜ[ˆg(x, y)]

(30)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

30 / 124

• Pada langkah ke-3,

H(u, v)

disebut filter karena berfungsi

menekan frekuensi-frekuensi tertentu dan meloloskan

sisanya.

• Perkalian pada langkah ke-3 dilakukan per elemen

(masing-masing elemen

F (u, v)

dikalikan dengan

masing-masing elemen

H(u, v))

.

• Pada umumnya

F (u, v)

adalah besaran kompleks

sedangkan

H(u, v)

adalah besaran real. Dalam hal ini

nilai

H(u, v)

dikalikan dengan bagian real dan imajiner

F (u, v)

.

• Filter seperti diatas disebut dengan filter zero-phase-shift,

karena filter ini tidak mengubah fase transformasi.

(31)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Hasil operasi IDFT pada umumnya kompleks. Tetapi dalam

kasus ini jika

f (x, y)

real, seharusnya

g(x, y)

ˆ

juga real

(yaitu, semua komponen imajinernya 0).

• Pada prakteknya,

g(x, y)

ˆ

biasanya masih memiliki

komponen imajiner yang dihasilkan akibat error komputasi

(round-off, dll). Oleh karena itu, perlu dilakukan langkah

ke-5.

• Perkalian dengan

(−1)

x+y

dilakukan untuk menghilangkan

pengaruh perkalian pada langkah pertama.

(32)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (4)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

32 / 124

(33)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (5)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Misalkan kita hendak mem-filter suatu citra sedemikian

sehingga nilai rata-rata gray-level citra tersebut 0.

• Karena dalam ranah frekuensi

F (0, 0)

merupakan nilai

rata-rata gray-level citra, dengan membuat

F (0, 0) = 0

kita dapat membuat sebuah citra yang nilai rata-rata

gray-levelnya 0.

• Filter yang dapat digunakan untuk melakukan hal ini adalah

H(u, v) =

(

0 jika

(u, v) = (M/2, N/2)

1 otherwise

(27)

(34)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (6)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

34 / 124

(35)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (7)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Filter-filter spatial yang telah dibahas pada bab

sebelumnya dapat dikaitkan langsung dengan filter sejenis

pada ranah frekuensi.

• Kaitan utama antara ranah spatial dan frekuensi diberikan

oleh teorema konvolusi.

• Proses konvolusi sudah dijelaskan pada pembahasan filter

ranah spatial.

(36)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (8)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

36 / 124

• Hasil paling penting teorema konvolusi dalam hal ini adalah

hubungan:

h(x, y) ⇔ H(u, v)

(28)

• Persamaan diatas menyatakan bahwa filter spatial

h(x, y)

dan filter ranah frekuensi

H(u, v)

adalah pasangan

transformasi Fourier.

• Dengan kata lain, jika kita memiliki sebuah filter dalam

ranah frekuensi, kita dapat memperoleh filter ranah spatial

dengan cara mencari inverse transformasi Fourier-nya.

(37)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (9)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Pembuatan filter spatial secara langsung dari

H(u, v)

tidak efisien karena masalah ukuran.

• Pada prakteknya hasil inverse transformasi Fourier

digunakan sebagai guideline (“prototipe”) pembuatan filter

spatial dengan ukuran yang lebih kecil tapi dengan sifat

yang hampir sama.

• Karena transformasi Fourier adalah sebuah proses linear,

filter-filter yang dibuat berdasarkan teknik ini adalah filter

linear.

(38)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (10)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

38 / 124

• Sebagai contoh, misalkan sebuah filter Gaussian (1-D)

pada ranah frekuensi, yaitu

H(u) = Ae

−u

2 /2σ

2 ₍₂₉₎

• Inverse transformasi Persamaan (29) (dengan kata lain,

filter spatial yang ekuivalen) adalah sebagai berikut

h(x) =

√

2πσAe

−2π

2 σ

2 x

2 ₍₃₀₎

(39)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (11)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

(40)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (12)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

40 / 124

Beberapa hal yang dapat diamati dari Gambar 11 adalah:

• Filter

H(u)

adalah sebuah low-pass filter.

• Bentuk filter

h(x)

dapat digunakan sebagai dasar

pembuatan kernel filter spatial yang lebih kecil.

• Kedua filter memiliki koefisien yang semuanya positif. Jadi

dalam ranah spatial kita dapat membuat kernel LPF

(41)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (13)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Contoh lain filter pada ranah frekuensi adalah sebuah

high-pass filter sebagai berikut

H(u) = Ae

−u

2 /2σ

1

2 − Be

−u

2 /2σ

2

2 (31)

Dalam persamaan ini

A ≥ B

dan

σ

₁

> σ

₂

.

• Filter spatial yang ekuivalen dengan filter ini adalah

h(x) =

√

2πσ

1 Ae

−2π

2 σ

1

2 x

2 −

√

2πσ

2 Be

−2π

2 σ

2

2 x

2 (32)

(42)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (14)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

42 / 124

(43)

Filtering dalam ranah frekuensi: Basics (15)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Pada Gambar 12 dapat diamati bahwa bentuk filter spatial

yang dihasilkan dari

F

−1

[H(u)]

mirip dengan filter spatial

yang sudah dibicarakan pada bab yang lalu.

• Dari kedua contoh ini dapat dilihat bahwa pengembangan

filter dapat dilakukan dalam ranah frekuensi karena lebih

“intuitif”.

• Setelah filter dalam ranah frekuensi diperoleh, penerapan

filtering dapat dilakukan dalam ranah spatial seperti pada

bab sebelumnya.

(44)

Smoothing Frequency Domain Filters: Intro

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

44 / 124

• Seperti sudah dibahas sebelumnya, perubahan gray-level

yang tajam (misalnya pada edge atau noise) memberi

kontribusi pada komponen frekuensi tinggi spektrum

Fourier suatu citra.

• Jadi efek smoothing atau blurring dapat diperoleh dengan

menekan komponen frekuensi tinggi (dalam range tertentu)

transformasi Fourier suatu citra.

• Dalam bagian ini akan dibahas 3 jenis filter smoothing yaitu

filter ideal (ILPF), filter Butterworth (BLPF) dan filter

(45)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• LPF paling sederhana adalah filter yang membuang semua

komponen frekuensi tinggi yang jaraknya dari titik pusat

transformasi lebih dari suatu jarak tertentu,

D

₀

.

• Filter ini disebut LPF ideal (ILPF) 2-D, yang diberikan oleh

persamaan

H(u, v) =

(

1 jika

D(u, v) ≤ D

₀

0 jika

D(u, v) > D

₀

(33)

• Dengan asumsi bahwa transformasi Fourier “centered”,

untuk sebuah citra berukuran

M × N

kita peroleh

(46)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

46 / 124

(47)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Filter ini merupakan filter ideal karena semua frekuensi

dalam lingkaran dengan radius

D

₀

diloloskan sementara

semua frekuensi diluar lingkaran tersebut dihilangkan.

• Pada sebuah LPF ideal, titik perubahan antara

H(u, v) = 1

dan

H(u, v) = 0

disebut dengan frekuensi

cutoff.

• Transisi yang sedemikian tajam tidak dapat direalisasikan

dengan komponen elektronik, tetapi dapat diterapkan

(48)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (4)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

48 / 124

• Semakin kecil radius

D

₀

, semakin sedikit frekuensi yang

diloloskan sehingga citra output akan semakin blur.

• Salah satu cara menentukan frekuensi cutoff adalah

dengan menghitung seberapa besar energi citra yang akan

dipertahankan.

• Jumlah total energi suatu citra dihitung dengan

menjumlahkan nilai semua komponen power spectrum

untuk tiap titik

(u, v)

, yaitu

P

T

=

M −1

X

u=0

N −1

X

v=0

P (u, v)

(35)

(49)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (5)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Sebuah lingkaran dengan radius

r

dari titik pusat spektrum

transformasi Fourier akan mengandung

α

persen energi

citra, atau

α = 100

"

X

u

X

v

P (u, v)/P

T

#

(36)

• Sebagai contoh, gambar berikut menunjukkan spektrum

sebuah citra berukuran 500

×

500 pixel.

• Masing-masing lingkaran memiliki radius 5, 15, 30, 80 dan

230.

(50)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (6)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

50 / 124

(51)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (7)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(52)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (8)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

52 / 124

(53)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (9)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(54)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (10)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

54 / 124

• Hasil filtering dengan

D

₀

= 5

bisa dikatakan tidak banyak

berguna. Dari sini dapat dilihat bahwa informasi detail citra

terdapat dalam 8% energi citra yang dihilangkan.

• Citra yang difilter dengan

D

₀

= 15, 30

dan

80 memiliki ciri

khas berupa “ringing”. Hal ini adalah konsekuensi

penggunaan filter ideal. Fenomena ini makin berkurang

jika semakin banyak energi citra yang dilalukan.

• Citra yang difilter dengan

D

₀

= 230

hampir identik dengan

citra asli. Hal ini menunjukkan bahwa 0.5% energi yang

dibuang tidak banyak mengandung informasi edge.

• Contoh ini menunjukkan bahwa LPF ideal tidak

benar-benar dapat digunakan untuk aplikasi nyata.

(55)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (11)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

Fenomena blurring dan ringing dapat dijelaskan sebagai

berikut:

• Dalam ranah frekuensi dan spatial, hubungan antara citra

input dan output masing-masing adalah:

G(u, v) = H(u, v)F (u, v)

(37)

g(x, y) = h(x, y) ∗ f(x, y)

(38)

(56)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (12)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

56 / 124

(57)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (13)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Dari gambar terlihat bahwa filter

h(x, y)

memiliki ciri khas

berupa komponen utama pada titik pusat dan

lingkaran-lingkaran konsentris disekeliling komponen

utama.

• Komponen utama menyebabkan efek blurring, sedangkan

lingkaran-lingkaran konsentris mengakibatkan efek ringing.

• Dapat dilihat pula bahwa filter

h(x, y)

memiliki komponen

negatif, sehingga ada kemungkinan citra output memiliki

nilai negatif.

(58)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (14)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

58 / 124

• Hasil yang lebih ekstrim ditunjukkan pada contoh berikut.

Misalkan citra input,

f (x, y)

adalah citra yang berisi 5 buah

“impulse”.

• Hasil filtering citra ini menunjukkan dengan jelas efek

blurring serta efek ringing yang terjadi.

• Hasil dalam contoh ini dapat digunakan untuk menjelaskan

efek ringing dan blurring pada citra yang lebih kompleks,

yaitu dengan menganggap masing-masing pixel sebagai

impulse-impulse.

(59)

Smoothing Frequency Domain Filters: ILPF (15)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

Gambar 19: Citra asli (kiri), hasil filtering (tengah),

cross-section hasil filtering (kanan)

(60)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

60 / 124

• Sebuah BLPF orde

n

dengan frekuensi cutoff pada jarak

D

0 dari titik asal didefinisikan sebagai berikut:

H(u, v) =

1 1 + [D(u, v)/D

₀

]

2n

(39)

• Berbeda dengan ILPF, BPLF tidak memiliki transisi yang

tajam pada frekuensi cutoff.

• Dalam kasus seperti ini, biasanya frekuensi cutoff

didefinisikan sebagai titik tempat nilai

H(u, v)

turun

sampai level tertentu dibandingkan nilai maksimumnya.

• Plot fungsi alih BPLF diberikan pada gambar berikut.

Dalam kasus ini, frekuensi cutoff didefinisikan sebagai

(61)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(62)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

62 / 124

• Contoh hasil filtering menggunakan BLPF dapat dilihat

pada gambar berikut.

• Perhatikan bahwa dalam gambar berikut tidak teramati

adanya efek ringing.

• Hal ini disebabkan karena transisi yang tidak tajam pada

frekuensi cutoff.

(63)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (4)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

Gambar 21: Citra asli (kiri); hasil filtering dengan frekuensi

(64)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (5)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

64 / 124

(65)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (6)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(66)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (7)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

66 / 124

• BLPF orde 1 tidak memiliki efek ringing. BLPF orde 2

sudah memiliki efek ringing, tetapi pada umumnya tidak

teramati.

• Fenomena ringing semakin parah jika orde BLPF semakin

tinggi.

• BLPF dengan orde 20 sudah memiliki efek ringing yang

mirip dengan ILPF.

• Pada umumnya, digunakan BLPF orde 2 sebagai

kompromi antara efektifitas filter dan fenomena ringing.

• Plot BLPF dengan berbagai orde ditunjukkan pada gambar

berikut.

(67)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (8)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(68)

Smoothing Frequency Domain Filters: BLPF (9)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

68 / 124

(69)

Smoothing Frequency Domain Filters: GLPF (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

• Sebuah GLPF 2-D diberikan oleh hubungan

H(u, v) = e

−D

2 (u,v)/2σ

2 ₍₄₀₎

• Dalam Persamaan (40),

σ

adalah ukuran “spread” kurva

Gaussian. Jika kita definisikan

σ = D

₀

maka dapat

dituliskan

H(u, v) = e

−D

2 (u,v)/2D

0

2 ₍₄₁₎

• Dalam persamaan (41),

D

₀

adalah frekuensi cutoff. Jika

(70)

Smoothing Frequency Domain Filters: GLPF (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

70 / 124

• Seperti telah disebutkan di depan, filter spatial

h(x, y) = F

−1

_{H(u, v)}

_{dalam kasus ini juga berupa kurva}

Gaussian.

• Dari sini dapat disimpulkan bahwa implementasi GLPF

tidak akan menimbulkan fenomena ringing.

• Plot fungsi transfer sebuah GLPF diberikan pada gambar

berikut.

(71)

Smoothing Frequency Domain Filters: GLPF (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(72)

Smoothing Frequency Domain Filters: GLPF (4)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

72 / 124

• Gambar-gambar berikut menunjukkan contoh output GLPF.

• Dari gambar-gambar ini terlihat bahwa efek smoothing

GLPF tidak sebaik BLPF untuk nilai frekuensi cutoff yang

sama. (Dengan kata lain, GLPF tidak terlalu “selektif”).

• Meskipun demikian, GLPF memiliki keunggulan karena

terdapat jaminan tidak munculnya ringing. Hal ini sangat

penting pada aplikasi-aplikasi yang tidak mengijinkan

adanya artifact dalam bentuk apapun.

(73)

Smoothing Frequency Domain Filters: GLPF (5)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(74)

Smoothing Frequency Domain Filters: GLPF (6)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

74 / 124

(75)

Smoothing Frequency Domain Filters: GLPF (7)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(76)

Sharpening Frequency Domain Filters: Intro (1)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

76 / 124

• Operasi sharpening dalam ranah frekuensi merupakan

kebalikan operasi smoothing/blurring.

• Operasi sharpening dilakukan dengan menekan

komponen-komponen frekuensi rendah dan meloloskan

komponen frekuensi tinggi.

• Jadi secara umum sebuah HPF dapat diperoleh dengan

menggunakan hubungan

H

_hp

_{(u, v) = 1 − H}

_lp

(u, v)

(42)

• Pada bagian ini akan dibahas HPF ideal (IHPF),

Butterworth (BHPF) dan Gaussian (GHPF). Plot fungsi alih

masing-masing filter ditunjukkan pada gambar-gambar

(77)

Sharpening Frequency Domain Filters: Intro (2)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(78)

Sharpening Frequency Domain Filters: Intro (3)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

78 / 124

(79)

Sharpening Frequency Domain Filters: Intro (4)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

(80)

Sharpening Frequency Domain Filters: Intro (5)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan

80 / 124

• Sama seperti pada LPF ranah frekuensi, representasi

spatial HPF diatas dapat diperoleh dengan menghitung

F

−1

_{[H(u, v)]}

_.

• Bentuk representasi masing-masing filter dalam ranah

spatial ditunjukkan pada gambar berikut.

(81)

Sharpening Frequency Domain Filters: Intro (6)

•

Pendahuluan

•

Padding Revisited

•

Catatan

•

Kesimpulan