ANALISIS MODEL EOQ DENGAN ADANYA KERUSAKAN BARANG PADA PERSEDIAAN DAN PERUBAHAN TINGKAT PERMINTAAN
Nur Azizah (J1A114024)
Pembimbing: PardiAffandi, S.Si, M.Sc &YuniYulida, S.Si, M.Sc
Program StudiMatematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UniversitasLambungMangkurat
Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan email: azizahazwa00@gmail.com
ABSTRACT
Inventory is the source or product of the goods stored for future use. Damage in inventory occurs due to the length of time the storage of goods. The purpose of this study is to explain the formation of the model, determine the total cost and minimize the cost of inventory, and determine the parameters that affect the inventory solution of the damage and the level of different demand. The steps in this study by describing the formation of the model and the solution, determining the total inventory cost of the storage cost, the cost of damage, and the cost of ordering and determining the minimum total cost, and then using the sensitivity analysis obtained parameters that affect the solution model of inventory. The results of this study obtained a solution of minimal total cost model and solution of inventory with the existence of damage and changes in the level of demand.
Keywords : Inventory, EOQ Model, Total Cost of Inventory, Linear Differential
Equations.
ABSTRAK
Persediaan adalah sumber atau produk barang yang disimpan untuk digunakan dimasa yang akan datang. Kerusakan dalam persediaan terjadi karena lamanya waktu penyimpanan barang. Tujuan dari penelitian ini adalah menjelaskan terbentuknya model, menentukan biaya total serta meminimalkan biaya persediaan, dan menentukan parameter yang berpengaruh dalam solusi persediaan dari adanya kerusakan dan tingkat permintaan yang berbeda. Langkah – langkah pada penelitian ini menjelaskan terbentuknya model serta solusinya, menentukan biaya total persediaan dari adanya biaya penyimpanan, biaya kerusakan, dan biaya pemesanan serta menentukan biaya total yang minimal, dan kemudian menggunakan analisis sensitivitas diperoleh parameter yang berpengaruh terhadap solusi model persediaan. Hasil dari penelitian ini diperoleh solusi model dan solusi biaya total yang minimal dari persediaan dengan adanya kerusakan dan perubahan tingkat permintaan.
Kata Kunci : Persediaan, Model EOQ, Biaya Total Persediaan, Persamaan
Diferensial Linier.
1. PENDAHULUAN
Persediaan berkaitan dengan penyimpanan bahan baku, bahan setengah jadi dan barang jadi untuk memastikan lancarnya produksi atau kegiatan bisnis bagi suatu perusahaan maupun industri. Model persediaan dalam matematika ada dua yaitu model deterministik dan model stokastik [9]. Untuk merumuskan tentang model persediaan ada dua faktor dari permasalahan persediaan yang diteliti, yaitu permasalahan pertama adanya perubahan tingkat permintaan dan permasalahan kedua adanya kerusakan barang. Model Economic Order Quantity (EOQ) merupakan model yang bertujuan untuk mengendalikan masalah persediaan dan meminimalkan biaya total persediaan. Pada tulisan ini akan dibahas tentang analisis model Economic Order Quantity (EOQ) dengan adanya kerusakan barang dan perubahan tingkat permintaan dengan tingkat permintaan diasumsikan dengan bentuk fungsi kuadrat, kerusakan yang terjadi sangat kecil dan konstan. Artikel ini mengkaji kembali tulisan Rangarajan & Karthikeyan, 2015 [3].
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Faktor Integrasi Definisi 2.1.1 [14]
Jika diberikan persamaan diferensial
𝑀(𝑡, 𝑥)𝑑𝑡 + 𝑁(𝑡, 𝑥)𝑑𝑥 = 0, ...(2.1)
adalah tidak eksak pada domain 𝐷 tetapi jika persamaan diferensial dengan
bentuk
𝜇(𝑡, 𝑥)𝑀(𝑡, 𝑥)𝑑𝑡 + 𝜇(𝑡, 𝑥)𝑁(𝑡, 𝑥)𝑑𝑥 = 0 ...(2.2) adalah eksak pada 𝐷, maka 𝜇(𝑡, 𝑥) disebut faktor integrasi dari persamaan
diferensial (2.2)
2.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu Teorema 2.2.1 [14]
Diberikan sebuah persamaan diferensial linier orde satu dengan bentuk berikut
𝑑𝑥
Dengan menggunakan faktor integrasi 𝑒∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 sehingga diperoleh solusi dalam
bentuk berikut
𝑒∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡𝑥 = ∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 𝐺(𝑡) + C
𝑥 = 𝑒− ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡[∫ 𝑒∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 𝐺(𝑡) + C]
Dengan 𝐶 adalah konstanta sebarang.
2.3 Titik Kritis Teorema 2.3 [12]
Jika f didefinisikan pada suatu selang H yang memuat suatu titik k. Dan apabila f(k) adalah titik ekstrim, maka haruslah suatu titik kritis, yaitu k harus berupa salah satu :
(i) titik ujung dari H
(ii) titik stasioner dari 𝑓(𝑓′(𝑘)) = 0; atau
(iii) titik singular dari 𝑓(𝑓′(𝑘)) tidak ada. 2.4 Maksimum dan Minimum
Teorema 2.4 [11]
Misalkan 𝑓′dan 𝑓′′ ada pada setiap titik interval terbuka (𝑎, 𝑏)yang memuat
titik 𝑐, dan misalkan 𝑓′(𝑐) = 0
(i) Jika 𝑓′′(𝑐) < 0, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓
(ii) Jika 𝑓′′(𝑐) > 0,maka 𝑓(𝑐)adalah nilai minimum lokal
2.5 Inventori (Persediaan)
Persediaan adalah sumber daya yang disimpan untuk mengantisipasi permintaan pelanggan [5]. Persediaan merupakan suatu kekayaan yang terdapat dalam perusahaan dalam bentuk bahan mentah, barang setengah jadi, dan barang jadi [15].
2.6 Fungsi Permintaan
Terdapat beberapa bentuk fungsi permintaan berikut ini [3], yaitu 1. Tingkat permintaan dengan bentuk fungsi konstan, dimana 𝐷(𝑡) = 𝑎 2. Tingkat permintaan dengan bentuk fungsi linier, dimana 𝐷(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 3.Tingkat permintaan dengan bentuk fungsi kuadrat, dimana 𝐷(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2
Terdapat beberapa biaya pada persediaan barang dengan adanya kerusakan dan perubahan tingkat permintaan seperti rata – rata biaya penyimpanan (𝐻𝐶), rata – rata biaya kerusakan (𝐷𝐶), dan rata – rata biaya pemesanan (𝑆𝐶).
3. METODOLOGI
Metode yang digunakan bersifat literatur, prosedur dalam penelitian ini mengumpulkan dan mengkaji bahan-bahan yang terkait dengan persamaan diferensial dan masalah persediaan. menentukan solusi model persediaan dengan adanya kerusakan dan perubahan tingkat permintaan, menentukan biaya total persediaan dan menganalisis parameter yang berpengaruh dalam model persediaan.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Persediaan Dengan Adanya Kerusakan Barang Pada Persediaan Dan Perubahan Tingkat Permintaan
Pembentukan model persediaan dengan adanya kerusakan dan perubahan tingkat permintaan diperlukan asumsi-asumsi berikut ini
1. Tingkat permintaan diasumsikan dengan bentuk fungsi kuadrat yaitu 𝐷(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 dan konstanta 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 positif.
2. Selama satu siklus perencanaan persediaan pada periode waktu [0, 𝑇], terdapat banyaknya persediaan awal saat yang disediakan yaitu sebesar 𝑄 dan persediaan selalu memiliki cadangan sebesar 𝑄 sebagai antisipasi persediaan yang mengalami kekurangan (Shortage stock) karena adanya pengaruh tingkat permintaan dan kerusakan pada persediaan.
3. Kerusakan yang terjadi dalam persediaan dipengaruhi oleh waktu dan diasumsikan nilainya sangat kecil dan konstan yaitu sebesar 0 < 𝜃 ≪ 1.
Berdasarkan asumsi diatas dapat dijelaskan secara umum [0, 𝑇] adalah waktu satu siklus perencanaan persediaan. Dalam periode [0, T] terdapat banyaknya persediaan pada waktu 𝑡 dengan banyaknya persediaan awal yaitu pada saat 𝑡 = 0 adalah sebesar 𝑄. Kemudian banyaknya persediaan tersebut akan berkurang karena adanya permintaan serta kerusakan, dan banyaknya persediaan akan mencapai titik nol. Pada kondisi ini siklus akan berulang kembali pada saat kondisi awal. Sehingga terbentuklah satu siklus perencanaan persediaan. Laju
perubahan banyaknya persediaan dalam periode [0, 𝑇] dengan menggunakan persamaan diferensial diperoleh
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡 = −𝜃𝐼(𝑡) − (𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡
2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ...(4.1)
Solusi dari model (3.1) yaitu 𝐼(𝑡) = 𝑎(𝑇 − 𝑡) +𝑎𝜃+𝑏(𝑇2−𝑡2) 2 + (𝑏𝜃+𝑐)(𝑇3−𝑡3) 3 + 𝑐𝜃(𝑇4−𝑡4) 4 ...(4.2)
dan solusi banyak persediaan 𝑡 = 0 dengan syarat awal 𝐼(0) = 𝑄 yaitu 𝑄 = 𝑎𝑇 +(𝑎𝜃+𝑏)𝑇2 2 + (𝑏𝜃+𝑐)𝑇3 3 + 𝑐𝜃𝑇4 4 ...(4.3)
4.2 Biaya Total Persediaan Denga Adanya Kerusakan Barang Pada Persediaan Dan Perubahan Tingkat Permintaan
Adapun komponen biaya – biaya pada persediaan sebagai berikut:
4.2.1 Biaya penyimpanan (𝑯𝑪)
Rata-rata biaya penyimpanan dalam periode waktu [0, 𝑇] dapat ditulis sebagai berikut 𝐻𝐶 = 𝛼𝑎𝑇 2 + 𝛼𝑏𝑇2 3 + 𝛼𝑎𝑇2𝜃 3 + 𝛼𝑐𝑇3 4 + 𝛼𝑏𝑇3𝜃 4 + 𝛼𝑐𝑇4𝜃 5 + 𝛽𝑎𝑇2 6 + 𝛽𝑏𝑇3 8 + 𝛽𝑎𝑇3𝜃 8 + 𝛽𝑐𝑇4 10 + 𝛽𝑏𝑇4𝜃 10 + 𝛽𝑐𝑇5𝜃 12 ....(4.4) 4.2.2 Biaya kerusakan (𝑫𝑪)
Rata-rata biaya kerusakan yang terjadi dalam periode waktu [0, 𝑇] dapat ditulis sebagai berikut
𝐷𝐶 = 𝐶1 𝑎𝜃𝑇 2 + 𝐶1 𝑏𝜃𝑇2 3 + 𝐶1 𝑐𝜃𝑇3 4 ...(4.5) 4.2.3 Biaya pemesanan (𝑺𝑪)
Rata-rata biaya pemesanan dalam periode waktu [0, 𝑇] dapat ditulis sebagai berikut
𝑆𝐶 = 𝐴
𝑇 ...(4.6)
Jumlahan dari ketiga biaya di atas diperoleh biaya total persediaan (𝐼𝑇𝐶) sebagai
berikut 𝐼𝑇𝑐 =𝛼𝑎𝑇 2 + 𝛼(𝑏+𝑎𝜃)𝑇2 3 + 𝛼(𝑐+𝑏𝜃)𝑇3 4 + 𝛼𝑐𝑇4𝜃 5 + 𝛽𝑎𝑇2 6 + 𝛽(𝑏+𝑎𝜃)𝑇3 8 + 𝛽(𝑐+𝑏𝜃)𝑇4 10 + 𝛽𝑐𝑇5𝜃 12 + 𝐶1𝑎𝑇𝜃 2 + 𝐶1𝑏𝑇2𝜃 3 + 𝐶1𝑐𝑇3𝜃 4 + 𝐴 𝑇 ...(4.7)
Waktu total satu siklus persediaan optimal diperoleh dari turunan pertama bernilai nol 𝑑(𝐼𝑇𝑐) 𝑑𝑇 = 𝛼𝑎 2 + 2𝛼(𝑏+𝑎𝜃)𝑇 3 + 3𝛼(𝑐+𝑏𝜃)𝑇2 4 + 4𝛼𝑐𝑇3𝜃 5 + 2𝛽𝑎𝑇 6 + 3𝛽(𝑏+𝑎𝜃)𝑇2 8 + 4𝛽(𝑐+𝑏𝜃)𝑇3 10 + 5𝛽𝑐𝑇4𝜃 12 + 𝐶1𝑎𝜃 2 + 2𝐶1𝑏𝑇𝜃 3 + 3𝐶1𝑐𝑇2𝜃 4 − 𝐴 𝑇2 ...(4.8) Dari persamaan (4.7) diperoleh (𝑇 = 𝑇∗) yaitu waktu total satu siklus persediaan
optimal.
4.3 Analisa Sensitivitas Model EOQ dengan Adanya Kerusakan Barang pada Persediaan dan Tingkat permintaan yang Berbeda
Analisis sensitivitas adalah suatu analisa yang digunakan untuk menentukan parameter yang berpengaruh atau tidak terhadap solusi model persediaan dengan menggunakan nilai awal parameter pada ilustrasi numerik dan perhitungannya akan melibatkan rumusan pada solusi model persediaan tersebut. parameter yang akan digunakan yaitu 𝜃. Parameter tersebut akan mengalami perubahan dari 0,01 sampai 0,1. Solusi yang dianalisa kesensitivitasannya adalah 𝑇∗, 𝑄∗ dan 𝐼∗𝑇𝐶, dengan menggunakan solusi dari persamaan (4.3), (4.4), (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) dan perhitungannya dari aplikasi microsoft Excel 2007 jika diberikan nilai 𝐴 = 1000, 𝑎 = 25, 𝑏 = 40, 𝑐 = 20, 𝛼 = 0,5, 𝛽 = 0,01 𝐶 = 1,5 hasilnnya dimuat dalam tabel berikut
Tabel 4.3 Hasil perhitungan analisis sensitivitas pada perubahan nilai parameter terhadap solusi optimal
𝜃 𝑇∗ 𝑄∗ 𝑆𝐶∗ 𝐻𝐶∗ 𝐷𝐶∗ 𝐼 𝑇𝑐∗ 0,01 2,8986 410,6876 344,9941 141,0422 4,0504 490,0867 0,02 2,8598 405,9664 349,6748 139,5444 7,8521 497,0713 0,03 2,8206 400,6849 354,5345 137,8313 11,4091 503,7749 0,04 2,7803 394,6662 359,6734 135,8325 14,7169 510,2228 0,05 2,7431 389,2925 364,5511 134,0528 17,8365 516,4404 0,06 2,7112 385,3137 368,8404 132,7684 20,8389 522,4477 0,07 2,6854 383,0510 372,3840 132,0946 23,7874 528,2660 0,08 2,6502 377,4238 377,3300 130,1900 26,3813 533,9013 0,09 2,6148 371,4807 382,4384 128,1574 28,7869 539,3827 0,10 2,5957 370,6772 385,2525 127,9900 31,4590 544,7015
Dari asumsi nomor 1 terdapat dua kasus khusus yang dapat terbentuk sebagai berikut
4.3.1 Kasus I
Jika diberikan nilai 𝑐 = 0, maka tingkat permintaan menjadi bentuk fungsi linier yaitu 𝐷(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡. Dengan menggunakan perhitungan yang sama dari aplikasi microsoft Excel 2007 dimuat dalam tabel berikut
Tabel 4.3.1 Hasil perhitungan analisis sensitivitas pada perubahan nilai parameter terhadap solusi optimal
𝜃∗ 𝑇∗ 𝑄∗ 𝑆𝐶∗ 𝐻𝐶∗ 𝐷𝐶∗ 𝐼𝑇𝑐∗ 0,01 3,8954 410,6458 256,7130 132,7932 3,7652 393,2714 0,02 3,8235 406,5309 261,5405 131,7756 7,2815 400,5976 0,03 3,7641 404,1172 265,6678 131,3005 10,6184 407,5867 0,04 3,6672 395,6453 272,6876 128,0579 13,5753 414,3208 0,05 3,6143 391,2614 276,6787 127,5223 16,4516 420,6526 0,06 3,5546 386,9754 281,3256 126,3230 19,1611 426,8097 0,07 3,4741 377,9355 287,8443 123,4700 21,4569 432,7712 0,08 3,3911 367,8640 294,8896 120,2394 23,4859 438,6149 0,09 3,3411 364,1006 299,3026 119,1545 25,7314 444,1885 0,10 3,2962 361,0354 303,3796 118,2952 27,9102 449,5850 4.3.1 Kasus II
Jika diberikan nilai 𝑏 = 0 dan 𝑐 = 0 maka tingkat permintaan menjadi bentuk fungsi konstan yaitu 𝐷(𝑡) = 𝑎. Dengan menggunakan perhitungan yang sama dari aplikasi microsoft Excel 2007 dimuat dalam tabel berikut
Tabel 4.3.2 Hasil perhitungan analisis sensitivitas pada perubahan nilai parameter terhadap solusi optimal
𝜃∗ 𝑇∗ 𝑄∗ 𝑆𝐶∗ 𝐻𝐶∗ 𝐷𝐶∗ 𝐼∗𝑇𝑐 0,01 10,8127 284,9318 92,4838 77,7170 2,0516 172,2524 0,02 10,3133 284,4235 96,9622 78,4390 3,8675 179,2687 0,03 9,8311 282,0214 101,7180 78,4440 5,6093 185,7713 0,04 9,4242 280,0128 106,1098 78,4510 7,0682 191,6290 0,05 9,0823 278,6126 110,1043 78,5570 8,5334 197,1947 0,06 8,7916 277,7592 113,7449 78,7650 9,8906 202,4005 0,07 8,5397 277,3032 117,1001 79,0440 11,2084 207,3525 0,08 8,3057 276,6272 120,3992 79,2120 12,4586 212,0698
0,09 8,1052 276,5361 123,3776 79,5280 13,6775 216,5831 0,10 7,9141 276,1437 126,3568 79,7190 14,8389 220,9147 Dapat disimpulkan dari tabel 4.3, tabel 4.3.1, dan tabel 4.3.2 terdapat beberapa poin berikut ini:
a. Semakin besar nilai parameter 𝜃 maka akan mengakibatkan nilai 𝑇∗ dan 𝑄∗
berkurang.
b. Rata - rata biaya penyimpanan optimal (𝐻𝐶∗) mengalami penurunan pada tingkat permintaan dengan bentuk fungsi linier dan fungsi kuadrat, serta mengalami peningkatan pada tingkat permintaan dengan bentuk fungsi konstan.
c. Rata – rata biaya kerusakan optimal (𝐷𝐶∗), rata – rata biaya pemesanan optimal (𝑆𝐶∗), dan rata – rata biaya total persediaan minimal (𝐼
𝑇𝑐∗ ) pada
tingkat permintaan dengan bentuk fungsi kuadrat, fungsi linier dan fungsi konstan sama – sama mengalami peningkatan.
5. Kesimpulan
Model persediaan dengan adanya kerusakan barang dan perubahan tingkat permintaan digunakan untuk menyelesaikan masalah persediaan yang dipengaruhi oleh banyak sedikitnya barang yang rusak. Dengan menggunakan analisis sensitivitas dapat disimpulkan jika tingkat permintaan fungsi konstan maka biaya total persediaan yang dibayarkan kecil tetapi waktu total satu siklus persediaan lama, sedangkan tingkat permintaan dengan fungsi linier dan fungsi kuadrat biaya total persediaan yang dibayarkan besar tetapi waktu satu siklus persediaan cepat.
6. DAFTAR PUSTAKA
[1]Abell, M. L & James, P. B. 1993. Differential Equation with Mathematica, Second Edition. Universitas Michigan,AP Professional.
[2]Affandi,P., 2014. Kendali Optimal Sistem Pergudangan Dengan Produksi Yang Mengalami Kemerosotan. Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan. 2014. Yogyakarta.
[3]Begum, R., Sahu, S.K., & Sahoo, R.R., An EOQ Model for DeteWeibull
Distribution Deterioration,Unit production cost with Quadratic demand and Shortages, Applied Mathematical Science, 271-288.
Modern, Edisi Kedua, Terjemahan Widiarti Santoso. Jakarta, Erlangga. [5]Handoko T. Hani, 2000, Manajemen Personalia dan Sumberdaya Manusia,
Edisi II, Cetakan Keempat Belas, Penerbit BPFE, Yogyakarta.
[6]Inka, Chella Angella. 2017. Analisis Sensitivitas Model Black-Litterman Pada
Portofolio Reksa Dana. Fakultas MIPA Jurusan Matematika Jurnal
Matematika Vol.6 No.40. Universitas Negeri Yogyakarta.
[7]Limansyah, Taufik. 2011, Analisis Model Persediaan Barang EOQ Dengan Mempertimbangkan Faktor Kadaluarsa Dan Faktor All Unit Discount. Universitas Katolik Parahyangan. Bandung
[8]Pardi Affandi, Faisal, &Yuni Yulida. 2012. Penerapan Teori Kendali Pada
Masalah Inventori. Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No.2.
Universitas Lambung Mangkurat. Banjarbaru.
[9] Pardi Affandi. Optimal Control Inventory Stochastic With Production
Deteriorating. Departement of Mathematics FMIPA UNLAM Banjarbaru,
Indonesia, 57200725905.
[10]Pontoh Rasyitho, Sutomo Wim Palar, Mauna Th. B Maramis. 2016.
Permintaan Dan Penawaran Beras Di Indonesia. Jurnal Berkala Ilmiah
Efisiensi Vol. 16 No. 04. Universitas Sam Ratulingi.
[11]Purcell, Edwin J., Varberg, Dell, (1987), Kalkulus, Edisi 5 Jilid 2, Erlangga, Ciracas, 564.
[12]Purcell, Edwin J., Varberg, Dell, (1999), Kalkulus, Edisi 9 Jilid 1, Erlangga, Ciracas, 93-143.
[13]Rangarajan, K. & K. Karthikeyan,.“Analysis of an EOQ Inventory Model for Deteriorating Items with Different Demand Rates”,Applied Mathematical Science, 2255 – 2264.
[14]Ross, S. L. 1984. Differential Equation Third Edition. New York, John Wiley & Sons.
[15]Widya Tamodia. 2013. Evaluasi Penerapan Sistem Pengendalian Intern
Untuk Persediaan Barang Dagang Pada PT. Laris Manis Utama Cabang Manado. Fakultas Ekonomin Jurusan Akuntansi Vol. 1, No. 3. Universitas
Sam Ratulangi. Manado.
[16]Yuliana Candra. 2016. Penerapan Model EOQ (Economic Order Quantity)
Dalam Rangka Meminimumkan Biaya Persediaan Bahan Baku. Fakultas
Ilmu Administrasi. Jurnal Administrasi Bisnis (JAB) Vol. 36, No. 1. Universitas Brawijaya. Malang
