BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangSistem saraf merupakan salah satu sistem koordinasi yang berfungsi untuk menyampaikan rangsangan yang dideteksi dan direspon oleh tubuh. Sistem saraf memungkinkan makhluk hidup tanggap dengan cepat terhadap perubahan-perubahan yang terjadi di lingkungan luar maupun dalam. Sistem saraf terdiri atas banyak sel saraf, yang biasa disebut dengan neuron. Sel saraf berfungsi mengirimkan pesan yang berupa rangsangan atau tanggapan dari badan sel menuju ke dendrit. Setelah menerima berjuta-juta rangsangan informasi yang berasal baik dari luar maupun dari dalam tubuh, rangsangan tersebut diintegrasikan dan kemudian digunakan untuk menentukan respon apa yang akan diberikan oleh tubuh.1 Penjalaran atau propagasi serta proses integrasi impuls sel saraf merupakan hal yang menarik untuk dipelajari.
Model matematika dinamika impuls pada satu sel saraf pertama kali dinyatakan oleh model Hodgkin-Huxley dan model FitzHugh-Nagumo.2,3,4 Model Hogkin-Huxley berbentuk sistem persamaan diferensial biasa nonlinear dengan empat variabel yang menggambarkan dinamika dari sel saraf, sedangkan model FitzHugh-Nagumo mempunyai bentuk yang lebih sederhana, yaitu dalam bentuk sistem persamaan diferensial biasa dengan dua variabel yang otonom (autonomous).5,6
Pada tugas akhir ini akan dibuat sebuah model matematika untuk sel saraf terkopel dengan cara memodifikasi model sel saraf dari FitzHugh-Nagumo. Untuk mengetahui model sel saraf terkopel yang dibuat tersebut memiliki perilaku yang mendekati perilaku sel saraf sebenarnya, maka terlebih dahulu dibuat simulasi model satu sel saraf FitzHugh-Nagumo. Selanjutnya dibuat simulasi model sel saraf terkopel untuk mendapatkan hasil yang lebih baik. Hasil simulasi satu sel saraf FitzHugh-Nagumo dengan sel saraf terkopel tersebut dibandingkan. Apabila perilakunya sudah sesuai, maka dilanjutkan dengan menganalisis arti fisis dari model sel saraf terkopel tersebut.
1.2 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk:
1. Membuat model matematika untuk sel saraf terkopel.
2. Membuat simulasi dari model sel saraf terkopel yang telah dibuat.
3. Mempelajari dan menganalisis penjalaran atau propagasi impuls pada model sel saraf terkopel yang telah dibuat.
1.3 Perumusan Masalah
1. Bagaimana hasil simulasi dari model sel saraf terkopel yang telah dibuat ? 2. Apakah manfaat dari model tersebut ? 1.4 Hipotesis
1. Hasil simulasi dari model sel saraf terkopel lebih mendekati perilaku sel saraf sebenarnya dibandingkan dengan hasil simulasi satu sel saraf.
2. Model ini dapat digunakan untuk memperkirakan arus eksternal minimal yang dapat direspon oleh sel saraf terkopel.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem SarafSistem saraf tersusun oleh berjuta-juta sel saraf yang mempunyai bentuk bervariasi. Sistem ini meliputi sistem saraf pusat dan sistem saraf tepi. Dalam kegiatannya, saraf mempunyai hubungan kerja seperti mata rantai (berurutan) antara receptor dan efector. Receptor adalah satu atau sekelompok sel saraf dan sel lainnya yang berfungsi mengenali rangsangan tertentu yang berasal dari luar atau dari dalam tubuh. Efector adalah sel atau organ yang menghasilkan tanggapan terhadap rangsangan, sebagai contoh: otot dan kelenjar.5 Sistem saraf terdiri dari jutaan sel saraf. Fungsi sel saraf adalah mengirimkan pesan (impuls) yang berupa rangsang atau tanggapan. Setiap sel saraf terdiri dari satu badan sel yang di dalamnya terdapat sitoplasma dan inti sel seperti pada Gambar 1. Dari badan sel keluar dua macam serabut saraf, yaitu dendrit dan akson (neurit). Setiap sel saraf hanya mempunyai satu akson dan minimal satu dendrit. Kedua serabut saraf ini berisi plasma sel.
2
Gambar 1. Bagian sel saraf 7
Pada bagian luar akson terdapat lapisan lemak disebut myelin yang merupakan kumpulan sel schwann yang menempel pada akson. Sel schwann adalah sel yang membentuk selubung lemak di seluruh serabut saraf myelin. Membran plasma sel schwann disebut neurilemma. Fungsi myelin adalah melindungi dan memberi nutrisi pada akson. Bagian dari akson yang tidak terbungkus mielin disebut nodus ranvier.1
2.2 Model Hodgkin-Huxley
Alan Lloyd Hodgkin dan Andrew Fielding Huxley 2,8,9 melakukan percobaan yang bertujuan untuk menghitung fluks ionik dan perubahan permeabilitas membran pada mekanisme molekuler. Kemudian pada percobaan tersebut dikembangkan sebuah model deskripsi kinetik empiris yang cukup sederhana untuk membuat perhitungan praktis dari respon elektrik, namun cukup sesuai untuk memprediksi konduksi dari suatu rangsangan. Model tersebut tidak hanya terdiri dari persamaan matematika tetapi juga menunjukkan fitur utama dari mekanisme gerbang membran. Model tersebut kemudian disebut sebagai model Hodgkin-Huxley (model HH).
Model HH menjelaskan bahwa pada membran terdapat saluran-saluran khusus
yang hanya dapat dimasuki oleh ion tertentu. Dua saluran utama membran yaitu saluran potasium (ion K+) dan saluran sodium (ion Na+) yang bisa menyebabkan potensial aksi, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Kedua saluran tersebut secara hipotesis dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu m, h dan n. Variabel m merupakan peluang terbukanya satu rapidly activating channels untuk natrium, sedangkan h adalah peluang terbukanya satu slowly activating channels untuk kalium dan variabel n yang merupakan peluang terbukanya satu slowly activating channels untuk natrium.
Gambar 2. Skema potensial aksi 10
Dari grafik hasil simulasi parameter Hodgkin-Huxley 11 diketahui bahwa m berubah secara cepat sehingga berpengaruh terhadap terjadinya depolarisasi (depolarization) potensial aksi. Kemudian diikuti dengan variabel n yang menyebabkan potensial aksi mencapai puncak, Pada saat ini, potensial aksi mengalami hyper-polarization. Variabel h merupakan variabel yang paling lambat berubah, Variable ini memiliki peranan sebagai penyebab potensial aksi turun melebihi batas potensial istirahat.
Sistem persamaan empat variabel dari Hodgkin-Huxley 2,8,12 adalah sebagai berikut:
m hg E E n g E E g E E I
dt dV L L K K Na Na 3 4 3 1 ... (1)
n
n dt dn n n 1 ... (2)
m
m dt dm m m
1 ... (3)
h
h dt dh h h
1 ... (4)Keterangan :
V adalah potensial membran.
I adalah arus ionik total yang melewati membran.
m adalah probabilitas salah satu dari tiga partikel aktivasi yang diperlukan untuk berkontribusi dalam aktivasi gerbang Na. m3 adalah probabilitas ketiga partikel aktivasi yang telah menghasilkan sebuah channel terbuka.
h adalah probabilitas satu partikel yang tidak aktif yang tidak menyebabkan gerbang Na menutup.
adalah konduktansi sodium maksimal. E adalah potensial membran total.
ENa adalah potensial membran Na.
n adalah probabilitas salah satu dari empat partikel aktivasi yang telah mempengaruhi keadaan dari gerbang K. adalah konduktansi potassium maksimal. EK adalah potensial membran K.
adalah maksimal leakage conductance. EL adalah potensial membran leakage.
αm adalah kontanta untuk partikel yang tidak
mengaktifkan gerbang.
βm adalah konstanta untuk partikel yang
mengaktifkan gerbang. 2.3 Model FitzHugh-Nagumo
Richard FitzHugh dan Nagumo membuat suatu model dengan cara menyederhanakan sistem empat variabel model HH tersebut menjadi sistem dua variabel sehingga lebih mudah untuk dianalisa. Sifat model ini mirip dengan model Hodgkin-Huxley secara kualitatif. Model FitzHugh-Nagumo dapat diaproksimasikan secara kualitatif. Bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:
x y I f dt dx ... (5) y bx dt dy
... (6)
x
x
a
x
x
1
f
... (7)dengan 0 < a <1 dan b, adalah konstanta positif.5 Berdasarkan aproksimasi ini FitzHugh 3 membuat persamaan yang berasal dari persamaan umum osilasi teredam, yaitu: 0 2 2 x dt dx k dt x d ... (8) k merupakan konstanta redaman
FitzHugh menggunakan persamaan Van der Pool 13 yaitu merubah konstanta damping dengan fungsi kuadrat:
21
0
2 2
x
dt
dx
x
c
dt
x
d
... (9) c merupakan konstanta positif.Untuk mendapatkan sistem dua variabel dilakukan transformasi dengan metode Lienard 14, dan didapatkan model FitzHug-Nagumo sebagai berikut :
c y x x I dt dx 3 3 ... (10)
x a by
c dt dy ... (11) Keterangan :a dan b merupakan konstanta positif. Variabel x berperan sebagai potensial membran V pada model HH
Variabel y berperan sebagai variabel m, n, dan h pada model HH
2.4 Model Matematika Sel Saraf Terkopel
Model saraf terkopel yang penulis gunakan ini berdasarkan model matematika dari Hindmarsh-Rose 15, dimana pada model
Hindmarsh-Rose menambahkan fungsi kopel pada salah satu sistem persamaan diferensialnya, seperti terlihat di bawah ini:
n j j ij s s i j i x x V g c x x h 1 , ... (12) Dimana
merupakan kopel dari sinapsis yang dimodelkan dengan fungsi sigmoid dengan memiliki ambang batas potensial aksi di setiap sel saraf.
s j j x x
exp 1 1 ... (13) adalah batas ambang yang dicapai setiap potensial aksi sel saraf. Sel saraf seharusnya identik dan sinapsis yang cepat. Pada model Hindmarsh-Rose parameter = 0.17 sesuai dengan kekuatan kopling dari sinapsis. Karena sinapsis merupakan exitatory maka potensial pembalik ( ) harus lebih besar daripada untuk semua nilai i dan t. Dari pengetahuan ini, model matematika yang akan dibuat adalah sebagai berikut:4
n j j ij s s i i i i i c y x x I x V g c x dt dx 1 3 3 ... (14)
x a by
c dt dy i i i ... (15)
j s jx
x
exp
1
1
... (16)adalah matrik penghubung yang elemennya memenuhi syarat sebagai berikut: jika i dan j saling terhubung
jika i dan j tidak saling terhubung i = 1,2,3...,n, j = 1,2,3....,n
Pada model ini diasumsikan arah perambatan impuls itu bidirection yaitu impuls bisa merambat dua arah. Misalkan rangsangan terjadi pada bagian tengah kumpulan sel saraf, maka arah impuls bisa ke kanan dan ke kiri. Tetapi fokus perambatan yang dipelajari dalam model ini hanya dari efector menuju receptor. Seperti perambatan dari ujung garis (dalam hal ini efector) yang tersusun dari kumpulan beberapa sel saraf ke ujung satunya (receptor ).
2.5 Mekanisme Penghantar Impuls 2.5.1 Penghantaran Impuls Melalui Sel
Saraf
Penghantaran impuls yang berupa rangsangan atau tanggapan melalui serabut saraf dapat terjadi karena adanya perbedaan potensial listrik antara bagian luar dan bagian dalam sel saraf. Pada waktu sel saraf beristirahat, kutub positif terdapat di bagian luar dan kutub negatif terdapat di bagian dalam sel saraf. Rangsangan pada indra manusia menyebabkan terjadinya pembalikan perbedaan potensial listrik sesaat, perubahan potensial ini terjadi berurutan sepanjang serabut saraf. Bila impuls telah lewat maka untuk sementara serabut sel saraf tidak dapat dilalui oleh impuls lagi, karena terjadi perubahan potensial kembali seperti semula (potensial istirahat). Untuk dapat berfungsi kembali diperlukan waktu sekitar 0,001 sampai 0,002 detik.16
Rangsangan yang kurang kuat atau dibawah batas ambang (threshold) tidak akan menghasilkan impuls yang dapat merubah potensial listrik, atau dengan kata lain tubuh tidak merespon rangsangan tersebut. Tetapi bila kekuatan rangsangan
tersebut di atas threshold maka impuls akan dihantarkan sampai ke ujung sel saraf. 2.5.2 Penghantaran Impuls Melalui
Sinapsis
Titik pertemuan antara terminal akson salah satu sel saraf dengan sel saraf lain dinamakan sinapsis. Setiap terminal akson membengkak membentuk tonjolan sinapsis. Di dalam sitoplasma tonjolan sinapsis terdapat struktur kumpulan membran kecil berisi neurotransmitter yang disebut vesikula sinapsis. Sel saraf yang berakhir pada tonjolan sinapsis disebut neuron pra-sinapsis. Membran ujung dendrit dari sel berikutnya yang membentuk sinapsis disebut post-sinapsis. Bila impuls sampai pada ujung sel saraf, maka vesikula bergerak dan melebur dengan membran pra-sinapsis. Kemudian vesikula akan melepaskan neurotransmitter berupa asetilkolin. Neurontransmitter adalah suatu zat kimia yang dapat menyeberangkan impuls dari neuron pra-sinapsis ke post-sinapsis. Neurontransmitter ada bermacam-macam misalnya asetilkolin yang terdapat di seluruh tubuh, noradrenalin terdapat di sistem saraf simpatik, dan dopamin serta serotonin yang terdapat di otak. Asetilkolin berdifusi melewati celah sinapsis dan menempel pada receptor yang terdapat pada membran post- sinapsis. Penempelan asetilkolin pada receptor menimbulkan impuls pada sel saraf berikutnya. Bila asetilkolin sudah melaksanakan tugasnya maka akan diuraikan oleh enzim asetilkolinesterase yang dihasilkan oleh membran post-sinapsis.16
2.6 Metode Ode45
Persamaan diferensial biasa pada MATLAB bisa diselesaikan dengan metode ode45. Metode ini merupakan implementasi dari Runge-Kutta dengan variabel waktu sebagai iterasi.
Metode Runge-Kutta 17 secara umum sebagai berikut :
... (17) Pendekatan solusi dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde-4 adalah :
... (18) Sedangkan untuk mendapatkan nilai yang lebih baik untuk solusi tersebut digunakan metode Runge-Kutta orde 5 sebagai berikut:
... (19)
Sedangkan untuk metode ode45 18 sintak umum pada MATLAB sebagai berikut : [t, y] = ode45(„fname‟, tspan, y0); Keterangan :
Fname : Nama fungsi dari Mfile yang digunakan, biasanya didefinisikan sebagai berikut : function dydt = fname(t, y)
tspan : dua elemen vektor yang mendefinisikan rentang dari waktu awal dan waktu akhir. y0 : vektor dari kondisi awal untuk
variabel y
Simpan dengan nama file subinagumo.m, untuk mejalankan program tersebut ketik pada command window :
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat PenelitianPenelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika, FMIPA, IPB dari bulan September 2010 sampai Januari 2011.
[t, s] = ode45(„subinagumo‟, [1 30], [0 0]); Plot (t, s(:,1));
Hasil simulasinya adalah sebagai berikut :
0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Waktu(ms) P o te n s ia l a k s i( m V )
Contoh program model satu sel saraf sebagai berikut : function dsdt =subinagumo(t,s) dsdt = zeros(size(s)); % parameter a = 0.7; b = 0.8; c = 3; I = -0.35; x = s(1); % kondisi awal x y = s(2); % kondisi awal y % persamaan diferensialnya dsdt(1) = c*(x+y-x^3/3+I); % pers 22 dsdt(2) = -(x-a+b*y)/c; % pers 23
