ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WEIBULL TERMODIFIKASI

ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WEIBULL TERMODIFIKASI

Nama Mahasiswa

:

Amboro Putro

NRP

:

1204100028

Jurusan

:

Matematika FMIPA-ITS

Dosen Pembimbing

:

Drs. Farida Agustini Widjajati, MS

Abstrak

Sarhan dan Zainudin (2008) memperkenalkan generalisasi dari distribusi Weibull yang dinamakan dengan distribusi Weibull termodifikasi (Modified Weibull Distribution). Dalam Tugas Akhir ini, akan diselidiki mengenai sifat-sifat dari MWD (Modified Weibull Distribution). Selanjutnya, parameter dari distribusi MWD akan diestimasi berdasarkan data Tipe II dengan menggunakan maximum likelihood dan least square. Masing-masing dari dua metode ini akan menghasilkan beberapa persamaan non linier yang nantinya akan digunakan untuk mencari nilai estimasi dari parameter (



,



,



). Selanjutnya, persamaan-persamaan non linier tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode biseksi. Dalam prosesnya nanti akan digunakan data yang telah dibangkitkan dengan menggunakan metode acceptance-redjection. Hasil yang didapat kemudian dibandingkan. Dari perbandingan kedua hasil estimasi diperoleh bahwa metode Least Square mempunyai nilai RMSE (Root Mean Square Error) yang lebih besar daripada metode MLE (Maximum Likelihood Estimator). Hal ini menunjukkan bahwa dalam permasalahan ini metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) memberikan estimasi yang lebih tepat daripada metode Least Square.

Kata kunci: Maximum likelihood, Least Square.

1. PENDAHULUAN

Distribusi yang biasa digunakan dalam penerapan reliabilitas adalah distribusi eksponensial, Rayleigh, Linier Failure Rate Distribution (LFRD) dan distribusi Weibull. Distribusi eksponensial memiliki fungsi rasio kegagalan yang konstan sedangkan distribusi Rayleigh mempunyai fungsi rasio kegagalan yang naik. Linier Failure Rate Distribution (LFRD) merupakan perluasan dari kedua distribusi Rayleigh dan eksponensial yang mempunyai fungsi rasio kegagalan turun. Ditribusi Weibull juga merupakan pengembangan dari dua distribusi , yaitu Rayleigh dan eksponensial tetapi memiliki rasio kegagalan naik atau turun.

Distribusi Weibull termodifikasi merupakan perluasan dari distribusi LFRD dan distribusi Weibull. MWD (Modified Weibull Distribution) sangat berguna dalam penerapannya pada model-model reliabilitas. Distribusi Weibull termodifikasi dengan tiga parameter







, , dinotasikan dengan MWD(



,



,



). Persamaan CDF dari MWD(



,



,



)diberikan oleh:

0

},

exp{

1

)

,

,

;

(

x







x



x

x



F

_L













Dimana



0,



,



0sedemikian hingga







0. Terlihat bahwa distribusi ini merupakan perluasan dari ke empat distribusi sebelumnya.

Dalam Tugas Akhir ini akan dibahas mengenai estimasi tiga parameter dari MWD(



,



,



). Dalam

proses estimasi akan digunakan prosedur maximum likelihood dan least square. Estimasi parameter akan dilakukan dengan menggunakan data tersensor Tipe II.

Permasalahan yang dibahas dalam Tugas Akhir ini adalah bagaimana sifat-sifat dari MWD(



,



,



)dan mengestimasi parameter pada MWD(



,



,



). Sedangkan batasan masalah yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir adalah estimasi parameter hanya dilakukan berdasarkan data tersensor tipe II. Tujuan dalam Tugas Akhir ini adalah mengetahui sifat-sifat dari MWD(



,



,



) dan mendapatkan estimasi parameter dari MWD(



,



,



).

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 DISTRIBUSI WEIBULL

Sebelum dibahas lebih lanjut mengenai distribusi weibull, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai konsep reliability, availability dan maintainability[8]. Setelah itu, akan dibahas mengenai penjelasan tentang distribusi weibull.

2.1.1 Konsep Reliability

Keandalan dapat didefinisikan sebagai probabilitas sistem akan memiliki kinerja sesuai fungsi yang dibutuhkan dalam periode waktu tertentu.

2.1.2 Konsep Mantainability

Keterawatan didefinisikan sebagai probabilitas suatu sistem / komponen akan kembali pada keadaan

yang memuaskan dan dalam kondisi operasi mampu mencapai waktu downtime minimum. Definisi lain keterawatan adalah probabilitas bahwa komponen atau sistem yang rusak akan diperbaiki ke dalam suatu kondisi tertentu dalam periode waktu tertentu sesuai dengan prosedur yang telah ditentukan.

Prosedur perawatan melibatkan perbaikan, ketersediaan sumber daya perawatan (tenaga kerja, suku cadang, peralatan, dan sebagainya), program perawatan pencegahan, keahlian tenaga kerja dan jumlah orang yang termasuk di dalam bagian perawatan tersebut.

2.1.3 Konsep Avalibility

Ketersediaan dapat didefinisikan sebagai probabilitas suatu sistem beroperasi sesuai fungsinya dalam suatu waktu tertentu dalam kondisi operasi yang telah ditetapkan. Sehingga ketersediaan merupakan fungsi dari suatu siklus waktu operasi (reliability) dan waktu downtime (maintainability).

Distribusi weibull pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Swedia, Waloddi Weibull, pada tahun 1939. Suatu peubah acak x berdistribusi Weibull, dengan parameter



dan



jika memiliki Pdf berbentuk:

 









_



 

lainnya

yang

x

untuk

x

e

x

x

f

x

,

0

0

,

1  



;



0 dan 0 



Mean dan variansi dari distribusi Weilbull masing-masing diberikan oleh

Mean (Nilai Harapan): 1 ( ) 1 x E X         _{ }   Varians: 2 2 2 ₁ 2 ₁ 1 x      _{    }     _ _{ }  _{   }         

2.2 DATA TERSENSOR TIPE II

Ada tiga macam tipe penyensoran data yaitu : 1. Sensor tipe I

Semua obyek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah batas waktu pengujian

t

₀ yang ditentukan. Kelemahan dari sensor tipe I ini bisa terjadi sampai batas waktu

t

₀ yang ditentukan

semua obyek tidak ada yang gagal sehingga tidak diperoleh data kesalahan yang diinginkan.

2. Sensor tipe II

Semua obyek yang diteliti (n) masuk pengujian dalam waktu yang bersamaan, dan pengujian dihentikan setelah mendapatkan r obyek diantaranya gagal, dengan1r n. Kelemahan dari sensor tipe II ini waktu yang diperlukan untuk memperoleh r obyek yang gagal.

3. Sensor tipe III

Obyek masuk dalam pengujian pada waktu yang tidak bersamaan selama periode waktu yang telah ditentukan. Beberapa obyek yang gagal sebelum pengamatan berakhir mempunyai data kesalahan (error), sebagian lain masih tetap berhasil sampai waktu pengujian berakhir.

2.3 DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi eksponensial dan Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi eksponensial adalah sebuah kasus khusus distribusi gamma (dengan



1). Suatu peubah acak x berdistribusi eksponensial, dengan parameter



jika memiliki Pdf berbentuk:

 

       lainnya yang x untuk x e x f x , 0 0 , 1 



dengan



0.

2.4 DISTRIBUSI RAYLEIGH

Distribusi Rayleigh mempunyai Pdf (probability density function ) diberikan oleh :

 















lain

yang

x

untuk

x

x

x

x

f

,

0

0

,

0

,

)

exp(

2





2



Sedangkan cumulative distribution function (CDF) atau fungsi distribusi kumulatif :



2



exp

1

)

(

x

x

F









2.5 MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION

Estimasi MLE dikembangkan oleh R.A.Fisher, yang menyatakan bahwa distribusi probabilitas yang diinginkan adalah distribusi yang mampu mencari nilai dari parameter-parameter. Pencarian nilai parameter ini dilakukan dengan memaksimalkan fungsi likelihood,

) | (w y

L . Parameter ini disebut estimasi MLE dan



MLE MLE kMLE



MLE w w w

W  1, , 2, ,, , . Untuk

mempermudah perhitungan, Pencarian nilai parameter ini dilakukan dengan memaksimalkan fungsi log-likelihood, ln L(w| y). Karena kedua fungsi,

) | (w y

L dan lnL(w|y), merupakan fungsi yang secara monoton saling berkaitan. Sehingga estimasi MLE yang sama dapat diperoleh dengan memaksimumkan salah satu dari kedua persamaan tersebut.

2.6 LEAST SQUARE PROCEDURE

Misalkan diberikan data



 

 





x

₁

,

y

₁

,

x

₂

,

y

₂

,



x

_N

,

y

_N



berkaitan dengan persamaan yaxb. Dapat didefinisikan fungsi error sebagai berikut:











    N n n n ax b y b a E 1 2 ) , (

Dimana N menunjukkan varians himpunan data















y

₁



ax

₁



b

,

y

₂



ax

₂



b

,



,

y

_N



ax

_N



b



. Tujuannya adalah mencari nilai dari a dan b dengan error paling kecil. Dua konstanta ini dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut:

0    a E dan 0   b E

2.7 METODE ACCEPTANCE-REJECTION

Dalam proses pembangkitan data tersensor tipe II yang berdistribusi weibull termodifikasi, dibutuhkan suatu metode khusus, yaitu metode acceptance-rejection. Hal ini dilakukan karena MWD (Modified Weibull Distribution) bukan merupakan distribusi statistika pada umumnya. Metode Acceptance-Rejection adalah suatu algoritma untuk membangkitkan random sample dari sebarang distribusi probabilitas, diberikan seperti random sample dari distribusi terkait dan distribusi normal. Dimisalkan X adalah variabel random dengan suatu distribusi probabilitas. Kemudian, dimisalkan pula U sebagai variabel berdistribusi normal pada interval [0 , 1], dan Y adalah variabel random yang ingin dibangkitkan.Pada beberapa aplikasi, X dan Y kedua-duanya adalah variabel random kontinu dengan kerapatan (densities)

g

dan f . Sehingga diperoleh density

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x





, dengan f(x)cg(x), c1. Adapun prosedur untuk membangkitkan nilai dari data Y adalah sebagai berikut:

1. Membangkitkan nilai dari data X 2. Membangkitkan nilai dari data U

3. Jika c x U 



( ), maka

Y



X

(diterima). 4. Jika c x

U 



( ) kembali ke langkah 1 sampai diperoleh nilai untuk data Y seperti pada langkah 3.

2.8 METODE BISEKSI

Salah satu metode untuk mencari penyelesaian dari suatu persamaan non linier adalah dengan metode biseksi. Pada umumnya, suatu fungsi f(x) mengalami pergantian tanda pada kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar. Jika f(x) riil dan kontinu dalam suatu interval



x ,

_l

x

_u



serta

f

(

x

_l

)

dan

f

(

x

_u

)

berganti tanda, yaitu

f

(

x

_l

)

f

(

x

_u

)

0.Sehingga sekurang-kurangnya terdapat satu akar pada selang tersebut (pada selang



x ,

_l

x

_u



).

Algoritma dari metode ini adalah sebagai berikut. Langkah 1

Pilih taksiran terendah

x

_l dan taksiran tertinggi u

x

untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan meyakinkan bahwa

)

(

x

_l

f

f

(

x

_u

)

0.

Langkah 2

Taksiran pertama, x_rdiberikan oleh:

2

u l r

x

x

x





Langkah 3

Buat evaluasi berikut untuk menentukan subinterval mana yang didalamnya terdapat akar penyelesaian

a. Jika

f

(

x

_l

)

f(x_r)0 , maka akar terletak pada subinterval pertama. Maka,

r

u

x

b. Jika

f

(

x

_l

)

f(xr)0 , maka akar terletak pada subinterval kedua. Maka,

r l

x

x



dan lanjutkan ke Langkah 4.

c. Jika

f

(

x

_l

)

f(xr) 0 , maka akar



x

_rdan penghitungan dihentikan.

Langkah 4

Hitung taksiran baru akar dengan:

2

u l r

x

x

x





Langkah 5

Tentukan apakah taksiran baru sesuai keinginan (sesuai eror yang diinginkan). Jika tidak, kembali ke Langkah 3. Eror yang dimaksud dapat dihitung denagn cara berikut:

%

100

)

(

)

(

)

(







baru

x

lama

x

baru

x

e

r r r

3

SIFAT-SIFAT MWD (Modified Weibull

Distribution)

Fungsi survival dari MWD (Modified Weibull Distribution) diberikan oleh:





,

0

exp

)

(

x





x



x

x



S





 ...…..(3.1) dimana



0,



,



0sedemikian hingga

0  





. Sedangkan Pdf dari MWD (



,



,



) adalah





exp{

},

0

)

,

,

;

(

x





x

1



x



x

x



f

















 ...(3.2)

Gambar berikut menunjukkan beberapa pola dari Pdf MWD (Modified Weibull Distribution) (



,



,



).

Gambar 1. Pola Berbeda dari Pdf MWD(



,



,



) Warna merah menunjukkan Pdf untuk nilai

5 . 2 , 1  





dan



0.5 dan warna hijau

menunjukkan Pdf untuk nilai



1,



1 dan



6. Sedangkan yang berwarna biru menunjukkan Pdf dari MWD untuk nilai



1,



1 dan



1.5[6].

Fungsi rasio kegagalan dari MWD diberikan oleh:





1

,

,

;















x



x

h

Sifat-sifat dari fungsi resiko dapat dilihat dari sifat-sifat turunannya. Sedangkan turunan dari fungsi rasio kegagalan terhadap variabel x adalah:







2



2

,

,

;









_

_

_

_

_

_



x

x

h

...…(3.3)

Persamaan (4.3) disamadengankan nol (0) agar dapat diperoleh sifat fungsi rasio kegagalannya. Jadi, fungsi rasio kegagalan merupakan suatu fungsi konstan jika



1, merupakan suatu fungsi naik jika



1, dan merupakan suatu fungsi turun jika



1.

Gambar berikut menunjukkan sifat-sifat tersebut dengan mengganti nilai



dengan



1,



1.5,dan

5 . 0 



.

Gambar 2. Fungsi Rasio kegagalan Untuk Nilai



Yang Berbeda

Grafik dengan warna merah menunjukkan nilai fungsi rasio kegagalan untuk nilai



1,



0.5 dan

1 



, warna hijau menunjukkan nilai fungsi rasio kegagalan untuk nilai



1,



0.5 dan



0.5. Sedangkan yang berwarna biru menunjukkan nilai fungsi rasio kegagalan dari MWD untuk nilai

5 . 0 , 1  





dan



1.5.

4

ESTIMASI PARAMETER

Diasumsikan terdapat n data yang digunakan dalam uji kelayakan. Proses pengujian dilakukan sampai didapatkan r kali kegagalan. Diasumsikan bahwa kegagalan sebanyak r adalah

x

₁



x

₂



x

₃





x

_r. Misalkan x menotasikan informasi yang diperoleh dari proses pengujian. Sehingga diperoleh,



n

r

x

x

x

x

_r



x



,

:

₁

,

₂

,

₃



,

. Diasumsikan pula bahwa kelayakan setiap data mengikuti fungsi Pdf dari MWD

(Modified Weibull Distribution), seperti dinyatakan dalam persamaan (3.2).

4.1 ESTIMASI PARAMETER

MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM

LIKELIHOOD ESTIMATION

1. Titik Estimasi

Fungsi likelihood dari x diberikan oleh:





 







_





_ 



  r i i r n r f x x S r n n x L 1 ) ( , , ; , , ; ! ! ) (













...(4.1)

Dengan melakukan substitusi persamaan (3.1) dan (3.2) pada persamaan (4.1) diperoleh:

   

















_            _{ }        _{ }    







           r i r i r i r i i r i x r n x x r n x x r n n x L 1 1 1 1 exp ! ! ! …………(4.2) Dimana,

 

i





r r i x r n x T 



  1 11 dan

  

_



  i r i r x x r n T



    1 1 .

Persamaan log likelihood dari L adalah:

 

L ln   

 

x













₁

 



₁

 



1 1 1 ln x T T C r i i     



  (4.3) dengan C lnn!ln



nr



!

Kemudian, akan dihitung turunan pertama dari  yang bergantung pada



,



,



lalu disamadengankan nol (0), sehingga didapatkan persamaan log likelihood dalam persamaan non linear dalam



,



,



sebagai berikut:

 

_{ }

1 1 1 1 1 1 T x x r i     

_













 

_{ }

_









  1 1 1 1

T

x

x

x

r i _i i











_

  



 



 



_

_{ }

_









 















_

   1 1 1 1

ln

1

T

x

x

x

x

r i _i i i



Turunan pertama persamaan log likelihood terhadap



disamadengankan nol (0), sehingga didapat:

 

0   



x 

 

1 0 1 1 1 1 1   



  T x r i 





………(4.4)

Turunan pertama persamaan log likelihood terhadap



disamadengankan nol (0), sehingga didapat:

 

0









x



 

0

1 1 1 1









  









 

T

x

x

r i _i i ………(4.5) Turunan pertama persamaan log likelihood terhadap



disamadengankan nol (0), sehingga didapat:

 

0









x



 





_{ }

0

ln

1

1 1 1 1













  











 

T

x

x

x

r i _i i i _{………(4.6)} Karena

  





    r i i r x x r n T 1 1  



, maka diperoleh :

     



i

 

i



r i r r x x x x r n d dT ln ln 1 1  







   

Untuk mencari MLE (Maximum Likelihood Estimator) dari



,



,



, persamaan non linear (4.4),(4.5) dan (4.6) yang bergantung pada



,



,



harus diselesaikan. Untuk itu, akan digunakan metode biseksi dalam menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk mendapatkan penyelesaian dengan menggunakan biseksi adalah sebagai berikut:

Langkah 1

Pilih taksiran terendah



₀

,



₀

,



₀ dan taksiran tertinggi



1,



1,



1 untuk akar agar fungsi berubah

tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan

meyakinkan bahwa

)

(



₀

f

f(



₁) 0,

f

(



₀

)

f(



₁) 0,

f

(



₀

)

f(



₁) 0

 . Dengan fungsi f adalah persamaan (4.7) – (4.9), yaitu:

 

1 0 1 1 1 1 1   



  T x r i 





 

0

1 1 1 1









  









 

T

x

x

r i _i i

 





_{ }

0

ln

1

1 1 1 1













  











 

T

x

x

x

r i _i i i Langkah 2

Taksiran pertama,



r,



rdan



rdiberikan oleh:

2

1 0







_r





,

2

1 0







_r





,

2

1 0







_r





Langkah 3

Buat evaluasi berikut untuk menentukan subinterval mana yang didalamnya terdapat akar penyelesaian

a.

f

(



₀

)

f(



1)0,

f

(



0

)

f(



1)0,

)

(



₀

f

f(



1)0,akar terletak pada subinterval pertama. Maka,

r u







,



_u





_r,



_u





_rdan lanjutkan ke Langkah 4. b.

f

(



₀

)

f(



1) 0,

f

(



0

)

f(



1) 0

 ,

f

(



₀

)

f(



1) 0 , akar terletak pada subinterval kedua. Maka,

r l







,



_l





_r,



_l





_r dan lanjutkan ke Langkah 4. c.

f

(



₀

)

f(



₁)0,

f

(



₀

)

f(



₁) 0,

)

(



₀

f

f(



₁) 0, maka akar







_r

,



_r

,



_r



dan penghitungan dihentikan.

Lamgkah 4

Hitung taksiran baru akar dengan:

2

1 0







_r





,

2

1 0







_r





,

2

1 0







_r





Langkah 5

Tentukan apakah taksiran baru sesuai keinginan (sesuai eror yang diinginkan). Jika tidak, kembali ke Langkah 3. Eror yang dimaksud dapat dihitung denagn cara berikut: % 100 ) ( ) ( ) (    baru lama baru e r r r     % 100 ) ( ) ( ) (    baru lama baru e r r r     % 100 ) ( ) ( ) (    baru lama baru e r r r    

2. Batas Interval Kepercayaan

Matriks informasi parameter



,



,



diperoleh dari  pada turunan kedua terhadap



,



,



, yang diperoleh sebagai berikut:





11 2 1 1 2 2 1 A xi r i         



     Dengan



₁



2 1 11

1

 













_i r i

x

A





12 1 2 1 1 2 A x x r i i i        

_

           Dengan







  





r i i i

x

x

A

1 2 1 1 12 _ 















13 2 1 1 1 2 ln 1 A x x x i i i r i            



 













 Dengan







₁



2 1 1 13

ln

1

  









 









i i i r i

x

x

x

A

 





22 1 1 1 2 2 2 2 A x x r i _i i       

_

    









 Dengan  







  





r i _i i

x

x

A

1 1 1 2 2 22  















 

              



   r i i i i T x x x 1 1 2 1 1 2 ln 1

_













  





A

₂₃ Dengan













 







 













   1 1 2 1 1 23

ln

1

T

x

x

x

A

r i i i i







 





 

                 



    1 1 2 1 1 2 1 2 2 _{ln 2 ln} T x x x x x r i i i i i i 





A

₃₃ dengan

33

A







 





 

             



    1 1 2 1 1 2 1 ln 2 ln T x x x x x r i i i i i i dan

  



_

     r i i i r r x x x x r n T 1 2 2 1 ln ln  



Sehingga matrik informasi parameter diberikan oleh : I                       33 23 13 23 22 12 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A I I I I I I I I I

Jadi matrik covarian-varian dapat didekati oleh :

V 1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11                        A A A A A A A A A V V V V V V V V V

Seperti yang sudah diketahui bahwa distribusi asimtotis dari MLE (



ˆ,



ˆ,



ˆ)diberikan oleh :

                                        33 32 31 23 22 21 13 12 11 , ~ ˆ ˆ ˆ V V V V V V V V V N       ...(4.7)

Karena V memuat parameter



,



,



, maka parameter tersebut diganti oleh parameter-parameter yang berkaitan dengan MLE, yaitu hasil estimasi dari V, yang dinotasikan dengan :

1 33 23 13 23 22 12 13 12 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Vˆ             A A A A A A A A A

Dimana Aˆij  Aij ketika





ˆ,



ˆ,



ˆ



diganti dengan





,



,





.

Dengan menggunakan (4.10),diperoleh:

11 2

ˆ

ˆ

ˆ

_z

_V

 









, ₂₂ 2

ˆ

ˆ

ˆ

_z

_V

 









, dan 33 2

ˆ

ˆ

ˆ

_z

_V

 









Sehingga didapatkan pendekatan terhadap interval kepercayaan 100(1



)%dari



,



,



berturut-turut adalah: ) 8 . 4 ..( ... ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ 22 2 11 2           V z V z V z            

dengan

z

adalah distribusi normal standar.

4.2 ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN

METODE LEAST SQUARE

Diberikan waktu teramati x1 x2 xr dalam sample MWD





,



,





. Kemudian Least Square akan digunakan untuk mengestimasi parameter





,



,





yang dinotasikan dengan (



ˆ_R,



ˆ_R,



ˆ_R). Estimasi dengan menggunakan metode Least Square diawali melakukan transformasi logaritma natural sebagaimana diturunkan sebagai berikut:









 





 





0 ln ln ) , , ; ( 1 ln ) , , ; ( 1 ln }} ln{exp{ ) , , ; ( 1 } exp{ 0 }, exp{ 1 ) , , ; (                              

















































x x x S x S x x x F x x x F x x x F x x x x x x F i e i e L L L L Didapatkan persamaan:







    r i i i i x x y Q 1 2 





...(4.9) dengan

y

_i





ln

S

_e

(

x

_i

)

dan

S

ˆ

e

(

x

i

)

adalah estimasi dari S(x)pada observasi

x

_i

,

i



1

,

2

,



m

yang diberikan oleh

r i x

Sˆ_e( _i) 0.5. Sehingga parameter-parameter





,



,





dapat diperoleh melalui minimalisasi persamaan kuadrat terkecil (4.9).

Untuk mendapatkan



ˆR,



ˆR,



ˆR diperlukan turunan pertama dari persamaan (4.9) terhadap



, yang ditunjukkan sebagai berikut:



        r i i i i ix x x y Q 1 1 2 2









Turunan pertama dari persamaan (4.9) terhadap



, yang ditunjukkan sebagai berikut:







  _      r i i i i ix x x y Q 1 2 1 2 











Dan turunan pertama dari persamaan (4.9) terhadap



, yang ditunjukkan sebagai berikut:



_  _    r i i i i i i ix x x x x x y Q 1 2 ln ln ln 2















Untuk mendapatkan nilai minimum, maka 0   



Q ,



0







Q

, dan



0







Q

. Sehingga diperoleh : 0   



Q







    _   r i r i r i i i i ix x x y 1 1 1 1 2 0 





...(4.10)

0









Q

, diperoleh :







    _{ }  r i r i r i i i i ix x x y 1 1 1 2 1 0   

_

_

...(4.11)

0









Q

, sehingga diperoleh :







    _{ }  r i r i r i i i i i i i ix x x x x x y 1 1 1 2 1 0 ln ln ln   

_

_

...(4.12) Untuk mendapatkan R 



dan _R 



, digunakan aturan Cramer terhadap persamaan (4.10) dan (4.11). Sebelumnya, persamaan (4.10) dan (4.11) perlu dicari bentuk perkalian matriksnya sebagai berikut:







    _  r i r i r i i i i i x yx x 1 1 1 1 2 _  







    _{ } r i r i r i i i i i x y x x 1 1 1 2 1    _  Diperoleh persamaan:                               













        r i i i r i i i r i i r i i r i i r i i x y x y x x x x 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2      

Oleh karena itu dapat ditentukan R





dan R 



sebagai berikut:

 



























                               r i r i r i i i i r i r i r i r i i i i i i i r i i r i i r i i r i i r i i r i i i r i i r i i i R x x x x y x x x y x x x x x x y x x y 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1             ...(4.13)

 







 

















                               r i r i r i i i i r i r i r i r i i i i i i i r i i r i i r i i r i i r i i i r i i r i i i r i i R x x x x x y x x y x x x x x y x x y x 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2           ...(4.14) Selanjutnya, untuk memperoleh R





, kedua persamaan untuk R 



dan R 



disubstitusikan pada persamaan (4.12), sehingga didapat :







 











 



















  



                                                                 r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i i i i x x x x x x x y x x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x y 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ln ln ln ln ln                   ...(4.15) Dari persamaan (4.15), tampak bahwa penyelesaiannya sangat sulit dicari secara analitik, sehingga akan digunakan metode numerik untuk mendapatkan pendekatan dari R





. Metode yang akan digunakan adalah Metode Biseksi. Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk mendapatkan penyelesaian dengan menggunakan biseksi adalah sebagai berikut:

Langkah 1

Pilih taksiran terendah



₀ dan taksiran tertinggi



₁ untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan meyakinkan bahwa

)

(



₀

f

f(



1) 0. Dengan fungsi f adalah persamaan (4.18), yaitu:







 











 



















  



                                                                 r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i i i i x x x x x x x y x x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x y 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ln ln ln ln ln                   Langkah 2

Taksiran pertama,



_rdiberikan oleh:

2

1 0







r





Langkah 3

Buat evaluasi berikut untuk menentukan subinterval mana yang didalamnya terdapat akar penyelesaian

a. Jika

f

(



₀

)

f(



₁)0,akar terletak pada subinterval pertama. Maka,



_u





_rdan lanjutkan ke Langkah 4.

b. Jika

f

(



₀

)

f(



₁) 0 , akar terletak pada subinterval kedua. Maka,



_l





_r dan lanjutkan ke Langkah 4.

c. Jika

f

(



₀

)

f(



₁)0,maka akar



 



_r dan penghitungan dihentikan. Langkah 4

Hitung taksiran baru akar dengan:

2

1 0







_r





Langkah 5

Tentukan apakah taksiran baru sesuai keinginan (sesuai eror yang diinginkan). Jika tidak, kembali ke

Langkah 3. Jika sudah sesuai, substitusikan akar pada persamaan (4.16) dan (4.17) untuk mencari estimasi terhadap



dan



,yaitu R





dan _R





. Sedangkan eror yang dimaksud dapat dihitung dengan cara berikut:

%

100

)

(

)

(

)

(







baru

lama

baru

e

r r r









%

100

)

(

)

(

)

(







baru

lama

baru

e

r r r









%

100

)

(

)

(

)

(







baru

lama

baru

e

r r r









5 PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI

PARAMETER

(



,



,



)

Tahap ini diawali dengan membangkitkan sejumlah data yang berdistribusi weibull termodifikasi. Pembangkitan data ini dilakukan dengan menggunakan metode acceptance-rejection dengan menentukan terlebih dahulu nilai dari tiap-tiap parameter yang diinginkan. Setelah diperoleh data yang dibutuhkan, langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan data tersebut kedalam persamaan (4.10) – (4.12).

Data yang dibangkitkan dengan n20, , 5 . 1 , 2  







1.3 Data ke- x 1 0.367809 2 0.602658 3 0.657486 4 0.732114 5 0.802478 6 1.147281 7 1.501448 8 1.751831 9 1.893359 10 2.329458 11 0.921592

12 0.988296 13 1.280237

Tabel 5.1. Data hasil generating dengan 3 . 1 , 5 . 1 , 2   







Data pada Tabel 5.1 kemudian disubstitusikan pada persamaan (4.10) – (4.12) dan diperoleh hasil sebagai berikut: Turunan likelihood terhadap α Turunan likelihood terhadap β Turunan likelihood terhadap γ Nilai α 0.75 0.75 0.75 Nilai β 1.25 0.725 1.25 Nilai γ 0.575 1.295 0.95 RMSE 0.10753 0.10816 0.087375 Tabel 5.2. Perbandingan Hasil Estimasi dengan MLE antara turunan fungsi likelihood

dengan



,



dan dengan



.

Dari Tabel 5.2 tampak bahwa turunan fungsi likelihood terhadap γ mempunyai RMSE (Root Mean Square Error) yang paling kecil, yaitu 0.087375. Hal ini menyebabkan dalam proses estimasi parameter





,



,





akan digunakan fungsi likelihood yang diturunkan terhadap γ. Selanjutnya, perbandingan antara hasil estimasi dengan menggunakan MLE dan Least Square adalah sebagai berikut:

MLE Least Square Nilai α 0.75 -0.074644 Nilai β 1.25 0.033632

Nilai γ 0.95 0.5

RMSE 0.087375 0.35472 Tabel 5.3 Perbandingan Antara Hasil Estimasi

Menggunakan MLE dengan Least Square Data dengan n = 20,



2.5 ,



2.5,



1.3 Data ke- x 1 1.147281 2 1.501448 3 1.751831 4 1.893359 5 2.329458 6 0.921592 7 0.988296 8 1.280237

Tabel 5.4. Data hasil generating dengan 3 . 1 , 5 . 2 , 5 . 2   







Data pada Tabel 5.4 kemudian disubstitusikan pada persamaan (4.10) – (4.12) dan diperoleh hasil sebagai berikut:

MLE Least Square

Nilai α 0.75 -0.54768 Nilai β 1.5 -0.15309

Nilai γ 0.95 -0.5

RMSE 0.20925 0.97836 Tabel 5.5. Perbandingan Antara Hasil Estimasi Menggunakan MLE dengan Least Square Dari Tabel 5.3 dan Tabel 5.5 terlihat bahwa metode Least Square mempunyai nilai RMSE (Root Mean Square Error) yang lebih besar daripada metode MLE (Maximum Likelihood Estimator). Hal ini menunjukkan bahwa dalam permasalahan ini, metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) memberikan estimasi yang lebih tepat daripada metode Least Square.

6 KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang diperoleh dari hasil dan pembahasan adalah sebagai berikut:

1. Sifat-sifat dari Modified Weibull Distribution (MWD) dapat dilihat dari sifat-sifat turunan fungsi rasio kegagalan, yaitu merupakan suatu fungsi konstan jika

1 



, fungsi naik jika



1, fungsi turun jika



1. 2. Fungsi likelihood dalam persamaan non linear atas



,



,



adalah sebagai berikut:

 

1 0 1 1 1 1 1   



  T x r i   

 

0 1 1 1 1   



         T x x r i _i i

 





_{ }

0 ln 1 1 1 1 1     



          T x x x r i _i i i dengan

 

_i





_r r i x r n x T 



  1 11 dan

  

_



  i r i r x x r n T



    1 1 .

Nilai estimasi



,



,



dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan metode biseksi. Hasil menunjukkan bahwa persamaan ketiga yang merupakan turunan fungsi log likelihood terhadap



memberikan hasil yang lebih baik dari kedua persamaan yang lain. Sedangkan pendekatan terhadap interval kepercayaan dari



,



,



berturut-turut adalah: 11 2 ˆ ˆ ˆ  z_ V    , ₂₂ 2 ˆ ˆ ˆ _{z V}      ,dan ₃₃ 2 ˆ ˆ ˆ  z_ V    dengan

z

adalah distribusi normal standar.

Kemudian estimasi parameter dengan Least Square dapat diperoleh melalui fungsi kuantitas berikut:







    r i i i i x x y Q 1 2 





Dengan

y

_i





ln

S

_e

(

x

_i

)

dan

S

ˆ

e

(

x

i

)

adalah estimasi dari S(x)pada observasi

x

_i

,

i



1

,

2

,



m

. Untuk mendapatkan



ˆR,



ˆR,



ˆR (estimasi dari



,



,



) diperlukan turunan pertama dari Q terhadap



,



,



. Sehingga diperoleh



ˆ_R,



ˆ_R,



ˆ_R sebagai berikut:

 



























                               r i r i r i i i i r i r i r i r i i i i i i i r i i r i i r i i r i i r i i r i i i r i i r i i i R x x x x y x x x y x x x x x x y x x y 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1            

 







 

















                               r i r i r i i i i r i r i r i r i i i i i i i r i i r i i r i i r i i r i i i r i i r i i i r i i R x x x x x y x x y x x x x x y x x y x 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2          

Dan untuk



ˆ_R diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut:







 











 



















  



                                                                 r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i r i i r i i i r i r i r i i i i i i r i i i i x x x x x x x y x x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x y 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ln ln ln ln ln                  

persamaan diatas dapat diselesaiakan dengan menggunakan metode biseksi. Setelah estimasi parameter diperoleh, terlihat bahwa metode Least Square mempunyai nilai RMSE (Root Mean Square Error) yang lebih besar daripada metode MLE (Maximum Likelihood Estimator). Hal ini menunjukkan bahwa dalam permasalahan ini, metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) memberikan estimasi yang lebih tepat daripada metode Least Square.

.

6.2 Saran

Saran yang diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah mengestimasi parameter dari distribusi MWD (Modified Weibull Distribution) berdasarkan data Tipe II dengan menggunakan teknik Bayes (Bayesian Technique), dan membandingkan teknik ini dengan kedua metode sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chapra, C.Stephen, Raymond P.Canale, S. Sardy. 1991. Metode Numerik untuk Teknik. UI-Press. Jakarta.

[2] Djunaedi, Much san Mila FS. 2007. Usulan Interval Perawatan Komponen Kritis pada Mesin Pencetak Botol (Mould Gear) Berdasarkan Kriteria Minimasi Downtime. Teknik Industri. Universitas Muhammadiyah. Surakarta.

[3] James, E.Gentle. 2003. Random Number Generation and Monte Carlo Methods, second edition, springer.

[4] Miller,Steven.J. 2007. The Method of Least Square. Mathematics Department. Brown University.

[5] Myung, Jae.2001.Tutorial on maximum likelihood estimation. Department of Psychology, Ohio State University, 1885 Neil Avenue Mall.

[6] Sarhan, Ammar M dan Mazen Zaindin. 2009. Parameters Estimation of the Modified Weibull Distribution.

[7] Walpole, Ronald E dan Raymond H Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.

[8] Widiharih, Tatik, Wiwin Mardjiyati. 2008. Inferensi Data Uji Hidup Tersensor Tipe II Berdistribusi Rayleigh. FMIPA UNDIP Semarang.