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一 一 ノ .･.1J有限オートマトンの代数的研究
植
１９９６年２月
２ 本論文の構成‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥３ 第２章 有限オートマトンの自己同型群 ２ ２ ２ ２ １ 概説‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥６ ２ 有限オートマトンに関する基本的性質と定義‥‥‥‥７ ３ 置換群と半群‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１０ ４ 有限オートマトンの自己同型群‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥１７ 第３章 基本置換群 ３ ３ ３ １ 概要‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥２６ ２ 基本置換群と自己同型群‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥２７ ３ 極小べき等元と基本置換群の決定‥‥‥‥‥‥‥‥‥３３ 第４章 商オートマトン ４ ４ ４ １ ２ ３ 概説‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥３８ 許容分割と商オートマトン‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥３９ 自己同型群の正規部分群 による商オートマトンの自己同型群‥‥‥‥‥‥‥‥４５ 第５章 有限オートマトンの分解と被覆 ５．１概説‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥５４ ５．２直積とカスケード積‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥５５
第６章 結論 辞 謝 １ ６ ６３ 参考文献‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥６４ 研究業績‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥６７
への関心が高まっている．そして機械の理論は単に計算機科学やそ れに関連する言語やソフトウェアの発展のみに限らず，生物学や生 化学などの分野の発展にも大きく貢献している．それらの中には理 論生物学と呼ばれる分野もある．また，サイバネティクス的観点か らの基礎研究も，多くの分野において行なわれ，様々な成果が得ら れている．生物機械などの用語も生まれており，これらはすべて， 根本において，種々の機械の数学的理論を川いている． 人ゲノム解析のように計算機科学の支援なしには到底解決出来な いプロジェクトも現在進行中である． 有限オートマトンは，離散的な入力及び出力をもつ機械の数学的 モデルで，有限個の内部状態を持っている．これの動きは現在の状 態と，入力記呼によってのみ定まる．そして，現在の状態の中にの み，これまでの人力の情報が貯えられている．訪い換えれば有限 オートマトンは，過去の情報を有限個に分類して状態の中に保存し ている．有限オートマトンが収り扱う問題はいくつかの有限状態と， その状態に対する入力によって次の状態が決定されるという有限状 態系に関する問題である． 有限状態系として捉えられる問題は幅広い分野に存在する．自動 販売機の制御機構も，有限状態系であり，化学プラント制御もその 様に捉えられる．さらに，周辺の環境の影響を受けて活動する細胞 １
や，他のニューロンからの刺激を受けて反応する脳細胞活動も有限 状態系として捉えられる．有限オートマトンに，初期状態と受理集 合を付け加えたオートマトンは，ソフトウェア没計や，テキスト編 集さらにコンパイラの語彙解析部など日常よく使われるプログラム の中においても多く利用されている胆要な機械である．このオート マトンは，数学的にはＴｕｒｉｎｇ機械の制限機械であり，正則集合と呼 ばれる記号列の集合を受理する．そして種々のオートマトンが計算 可能性や，形式言語における種々のクラスを決定するのに定義され 川いられている．またセルラーオートマトンなどのように生物学や サイバネティクスなどへの応用研究の対象となっているものもある． これら有限状態系の数学的モデルにおいて用いられる数学分野は 有限代数のほかに，組み合せ論，さらにはグラフ理論などのいわゆ る離散数学といわれる分野に属するものである． このように計算機科学において重要な概念である有限オートマ トンの代数的理論研究は，様々な種類のオートマトンを，より単純 な構造のオートマトンを用いて表現し，それらの構造を調べること や，オートマトン開の準同型写像や被覆の概念によって保存される 性質を調べることなどを研究対象としている．そしてこれらは， １９６０年代頃から姑まった． そこでの重要なテーマのーつは，有限オートマトンを，より単純 な構造を持つ有限オートマトンの積に分解することであり，一般的 にはＫｒｏｈｎとＲｈｏｄｃｓ（１ｏ）がカスケード積を川いて１９６５年に解い ている．以後，彼らの定理の別証明や条件を付けた場介，またいく つかの異なるオートマトンなどの場合や，より効率的な分解及び被 覆の研究が多く行なわれてきた．
有限オートマトンの自己同眼打は，商オートマトンを導き，その 商オートマトンを川いた元のオートマトンの分解が可能である．こ の事からオートマトンの自己開眼群自体の研究も多く行なわれて来 た． そして，可換オートマトンや，完全オートマトンさらには状態独 立オートマトンなど相当条件の強いオートマトンの場合における結 果や，直積オートマトンについての結果などが多く得られた． 本研究においては，誘導置換オートマトンの概念を導入すること によって，自己同梨打に関する定理が統一的に捉えられることを示 す．さらに商オートマトンの自己同型群も元のオートマトンの誘導 置換オートマトンから得られることなど誘導置換オートマトンの重 要な役割を示す． これらの議論は，自己同型打は構造平群と可換な置換群であると いう点に基づいており，群論及び半詳論を川いて，代数的手法を とっている．なお，群論に関する文献として（１８），置換群の文 献として（１７），半群に関するものとして（４）を挙げておく． また，代数的オートマトンの文献としては（３），（７），（８） などがある． ！ ２ 本論文の構成 第２章において有限オートマトンの自己同型群について述べる． 構造半群を定義して，自己同型群との関連を調べるために，貼群や 置換群に関するいくつかの基本的性質について述べる．そして構造 半群の部分群である基本置換群と，誘導置換オートマトンを定義す ３
-､､＿ る．ニれらを川いて，強連結オートマトンの自己同型群は基本置換 群の部分群の準則聖像であることを示す，また，誘導置換オートマ トンとのいくつかの関係を示す．これらは論文３において紹介した． 第３章においては基本置換群と自己同や群の関係をより詳しく調 べる．第２噺で示したように，強連結有限オートマトンの自己同や 群は基本匠換群の中心化群の部分群となっているが，この部分群を 特徴づけ，具体的に構成することを考える．そのために基本分割の 概念を導入する．そして有限オートマトンの自己同型群は，基本匠 換群の中心化群の要素で，基本分割の同値類を，固定しているもの が構成する部分群であることを示す．この結果は，掲載が決定して いる論文１６において紹介される． 第４章においては商オートマトンの自己同型群について論ずる． 有限オートマトンの状態集合上の評言分割は商オートマトンを導く． オートマトンの自己同型群は許容分割を与えるから，有限オートマ トンの自己同型群は商オートマトンを導くことになる． 商オートマトンの自己同型群は九のオートマトンの自己同型群と は独立であることが知られているが，元のオートマトンの自己同型 群と［司様に，商オートマトンの自己同型群も，元のオートマトンの 基本置換群の部分群の準同型像であることを示す．これはﾉuのオー トマトンと商オートマトンの自己同型群の関係を示す興味ある結果 である．この結果も論文１６において紹介する． また，自己同型群ＧのI社規部分群だが導く商オートマトンの自己同 型群はＧ７Ｈと同型な部分群を持つことが知られているがこれの逆と なる定理を，写像脂群と置換群のリース積を用いて示す．これは， 掲載が決定している論文！７において糾介される．
第５章においては有限オートマトンの分解について述べる．そし て有限オートマトンの自己同型群を用いた分解と，誘導置換オート マトンを川いたカスケード被覆について述べる，自己同型群を川い た分解は，自己同型群が単位元のみからなる群の場合には用いられ ないが，誘導置換オートマトンを用いる場合には，自己同型群が単 位匹のみであっても，基本置換群が単位元以外の元を持っていれば 利用出来るので，より広いオートマトンのクラスで被覆を考えられ る．この結果については現在投稿先を検討中である． ５
-第２章 有限オートマトンの自己同型群
２ １ 概説 ｲ」‘限オートマトンの自己同丿肩群の部分群は瓦のオートマトンの商 オー1ヽマトンを導く．そして，商オートマトンを川いたオートマト ンの分解が得られることもあり，オートマトンの自己同型群自体の 研究も多くなされて来た． ＦｌｅｃｋＤ）は吋換で強連結なオートマトンを完全オートマトンと 名付けて，完全オートマトンが二つのオートマトンの￨在積に同型で ある必要十分条件は自己同聖群が二つの群の直積となっていること であることを示した．Ｔｒａｕｔｈ（１４）はＦｌｃｃｋの結果を群オートマト ンに拡げても成り立つことを示した．Ｂａｖｅｌ（３）は素部分オートマ トンの概念を用いて，自己同型群を調べた．柴田く１３）は可換オート マトンの場合の自己同型群をステージの概念を導入して表した．こ れらはいずれもオートマトンの構造半群を川いており，構造半群と 自己同聖群の￨川の直接の関係を詳しく，凋べる必要が生まれてくる． 強連結有限オートマトンj＝（Ｓ，Σ，Ｎ）の構造脂群をr（j･1），eをそ の極小べき等元とする時，ｇ ･（?ｊ）ｇは.?ε上の置換群を導く．この置 換群を基本置換群と･名付ける，基本置換群は極小べき等J1Jの取り 方にかかわらず，置換群として同型であり，これは有限オートマト ンの自己同や群を調べるのに眠要な，構造半群の部分群である．本 章での主定理は２．４で述べられており，ｊの自己同jW群は，基本 置換群の部分群の準同聖像となるという定理である． ２．２においては有限オートマトンの基本的な定義をり，え，２．３ 行 を 定 ２ では正則置換や極小べき等元など後章で ｰ､要となる概念の説明を つ 付 理 2./1では土定理以外に，自己同型群や，基本置換群に条件 けた場合についても調べる．本啄での定理２．４．３，定理２．４．８ ２．４．９は，いずれも業績３に掲載されている． ２ 有限オートマトンに関する基本的性質と定義 本節では有限オートマトンに関する基本的性質と定義を記す． 定義２．２．１ 有限オートマトンとは、二項対ｊ＝（Ｓ、Σ、Ｎ）をいう． ここにＳは状態の空でない有限集合であり、27は記り･のやでない有限 集合である．また．Ｎは状態遷移関数と呼ばれるＳＸＪからＳへの写 像である．有限オートマトンを準有限オートマトンと呼ぶ文献もあ る．木論文では単にオートマトンと呼ぶこともある．有限オートマ トンノ1 °（,9，2;，Ⅳ）に初期状態,，ｏと受理状態の集合Ｆ⊂Ｓを加えた五 項対ｊ’＝（Ｓ，２;，ｙ，．¶．Ｆ）を有限オートマトンと呼ぶこともあるが， 本論文ではこれは取り扱わない． Ｊ＊をＪの記号から得られるすべての記号列の集介とし，λを空 とする，すべての ，ｙＥＸに対して （１）刄い，λ）＝ら （２）任意のｘＥＪ＊とバァ∈27に対して 語 刄（､､、xr7･）＝7V（刄（｡、ｘ）、･･）と定めれば、刄はjVの領域をＳ ×2’＊へ拡張したものとなる．以下ではこの刄も/Vで表す．また，部 分集合 ﾒ1⊂Sと記号，7∈27に対して7V（ﾒ1，cy）＝ U，Ej｛7Vい，（7）｝と 定める． ７
- 有限オートマトンは，状態を哨点とし，A/0.fJ･）＝1のとき，堕 点,vから／ヘラベルcyをもつ有向辺をり，えたグラフを利川して図示出 来る．これを有限オートマトンの状態遷移図と呼ぶ． 例２．２．１ ｊ ＝（Ｓ，２;，７Ｖ）を，Ｓ ＝｛α，ゐ，らｊｈ ２;＝｛ｏ，１｝，ｊＶを 図２．２．１のように定めた場合の状態遷移図は図２．２．２である． ０ ＱＱ Ｑｔ３ ０ Ｑ ＩＱｔｌ 図2,2.1 １ ｃｊ″’︰７む ／% -七−一一− 上 Ｉ ／ ／ ｚ ︱ Ｉ ｌ ｘ ｘ ／ 〃 ∼ へ ０ １ ０ ／ ／ ／ 図2.2.2 １ ︶ ド ⋮⋮☆キ ｀ ∼ ／ 、 １ う ０ 有限群Ｇに対して／Ｖ（ｇ，ｇｌ）＝ｇｇ１で定められるオートマトンｊ ＝ （Ｇ，Ｇ，Ａ’）を群オートマトンと￨呼ぶ．また，Ⅳ（Ｓ，（ｙ）＝Ｓがすべての ryEΣに対して成り立つオートマトンを1肖換オートマトンという． 定義２．２．２ 有限オートマトンｊが強連結とは，任意の２状癌い･と／ に対して，ｚ＝Ｎい，ｘ）となるＸＥＪ＊が存在する時をいう． 定義２．２．３ ｊを有限オートマトンとする｡，F11の置換ｇがｊの自 己同型写像とは，すべての.s･∈，Sと，7∈Σ’に対してjV（s，r7）g − 7V（sg。7）が成り収つときをいう．ｊの自己同型写像の全休はS」1の
置換群となる．これをd（/Oで表し、ｲF限オートマトンｊの自己同や 群という、 （注）代数的オートマトン理論の文献では集介ドの写像を右に沢く 記法がよく川いられており、本論文でもその記法に従う．すなわち ズけ）と記す代わりにxyと記す．また写像の積はｘけ･μ）＝けダ）μと 定める．これは次の定義のようにオートマトンの状態遷移とタトの 写像を考える時に演算の順序が不統 −にならないようにするためで ある． 定義２．２．４ ｊをオートマトンとする.Σ＊−｛λ｝11の関係∼を ｘ∼ｙ⇔Ｎい，ｘ）＝八ﾘ.9，y）がすべての.･ＥＳに対して成り立つ時 と定めればこれは同値関係となり，（27*−｛λ｝）/∼はＳ上の写像の 半蔀を導く． この緊群をオートマトンｊの構造半群と呼び，rl（/1）で表す．ＸＥ ２７*−｛λ｝が導くご（ｊ）の要素をｉで表す． 定 （Ｓ２ ￠ 義 ．Σ'２ Ｓ ２． ．Ｎ １￣゛Ｓ２とφ:2; 1 −゛ j2;2が存在して すべての.りＥ剣とｃｒ１ Ｅ Ｊ１に対して ｘｌ０１・り）が ＝Ⅳ２（月￠5，f7 1 φ）が成り立つ時をいう 定義２．２．６ ニつのオートマトンj （S2，272，A/2）が等価とは， 一 一 （.SI、2;1、7V I ）とｊ 全県射写像￠５：ＳＩ→Ｓ２と同型写像φ’プ（ｊ）→ｒ（刃）が存在して すぺての,りＥＸＩとｉＥｒ’（ｊ）に対して ９ 一 一
-ＤＩ柏φ 一 一 ＤＩが）（ｉφｊ）が成り立つ時をいう 同型なこつのオートマトンにおいては，記号の集合ＪＩと272の間 に１対１の対応があるが，等価な場合には，記S･間の対応は必要な く，構造半群が写像ｔ群として同型になっていればよい．り;価な二 つのオートマトンにおける自己同型群は同型となる． ２ ３ 置換群と緊群 有限オートマトンの自己同型詳の研究においては，構造半影の極 小べき等元が重要な役割を果たす．本節では置換群と半群の性質を いくつか述べる．また，基本置換群を定義する．これは極小べき等 元を用いて表される構造不詳の部分群で，同型を除いて一意である． これらは後章において有限オートマトンの構造や打と自己同型影の 関係を調べるのに用いられる． まず最初に，極小べき等元と置換群，及び写像不群に関するいく つかの定義と性質を述べる． 定義２．３．１ 半群Ｓの要素ｅがε２＝ｅをみたすとき，ｅはべき等 と呼ばれる./?でＳのぺき等元全休の集合を表す． き り・り∈￡に対して・り≦゛． と定めると，≦は￡上の緊jllr ／ ｌ ｘ とはｅ ４／９ ’刀 ︲Ｚヂ ど ＝ ．ｒＩ ｅ 、／ ど ＝ ／ ｅ ■∼ 庁になる 一 見 成り立つと 補題２．３．１ ｓを有限參群Ｘの任意の要素とする．このときががべ き等元となるjE整数z、が存在する． 証明）ｊい≒/＝J･となるIE整数ｊと､ﾉ‘がある．幻≧ｊをみたすＨこ対
し と てｎ ＝ ｋｉとおけば，１２” なる， 一 一 ロ 石2幻 ＝．け２１−】幻＝ 定義２．３．２ ｇＥ￡が，ｙＥ／引こ対してｇｇ となるとき，ｅを極小べき等元という． 一 一 ε・ｇ 一 一 一 一 い０ ＝ ｓｎ 召゛ならｇ゛＝ ｇ 定義２．３．３ ｘｊげ＝ｘとなるJH整数ﾀ2とＸＥχが存在するならｇｚ･＝ ｉＪ（恒等置換）となるχ上の置換μを，’ilUIlj置換という．置換群Ｇの すべての･要素が正則置換であるときＧを正UI」置換群という． 定義２．３．４ Ｓを有限集合χ上の写像による寥群とする．任意のx， Jバ≡χに対して，ｙ＝ｘ．,･となる,，ＥＳが存在する時，Ｓを可造学齢と いう． 定義２．３．５ ＸＥＸとＸﾄlの置換群Ｇに対して．ＸＧをｘのＧによる可 追放という．ただ一つの可否放からなる置換群を可追置換群という． このとき，任意のズ，ｙＥＸに対してｙ 一一 ｘｇとなるμＥＧが存在する． 正則置換群Ｇの同じ可造成に含まれる要素の個数はＧの位数に等 しいことは容易に示される． 与えられたｲ￨’限群Ｇに対して，G I!の置換jりを，ゐgj?＝ゐＸ（ゐ∈ Ｇ）で定めると，Gj?＝｛別戸ｇＥＧ｝はＧ上の可遷IUIIH7換群となり， 写像φ：ｇ４ｇ沢によ，てＧと同型になる． 同様にｇｌをｈｇＬ＝ｇ−１ゐ（ゐＥＧ）で定めると，ＧＩ ＝ りＱｌｇＥＧ｝ はGIこの可遷正則置換群となり，写像ｗ：ｇﾄ4g/によってＧと同型に なる．作り方より，Gj?の要素はGjlの要素と可換である．これらを まとめて次の定理が得られる． ＩＩ
-,＿ 定理２．３．２ ぐ;をＸ上の可遷IE則置換群とする．このときＧと同 りなＸ土の可遷正貝￨」置換群f7で，任意のｇＥ（７; ，カEj7に対してゐｇ＝ ｇみが成り立つものがただ ・つ存在する． μが強連結オートマトンｊ ＝（別2;，y）の自己同’SII写像で，与えら れた。ＥＳに対して，りげ＝.9が成り々つとする．・ＥＳを任意にとる と，Z ＝7Vり，幻となるｘＥＪ＊が存在する．このとき， /g77 − 一 ヽノ Ｘ Ｏ ｙ ｇ″ 一 一 7Vりが，幻 ＝yv白'，幻 ＝ 「 となってｇは正則である．すなわち強連紡オートマトンの自己同 型群は状態乗合上の正則置換群となる． 定理２．３．３（４） Ｓを有限脂群，ｇをＳのべき等元とする．部分甲･群 ｇＳｅが群となる必要ト分条件は1,が極小であることである． 証明）必要性．ｇＳｅが群とする．９３ ＝ ｅゆえ，ｅはｅＳｅの要素で ある．ｅＯＸＯ＝（ｅｘＯｇ＝ＯＸＯが成り窪って，．はＥＳｇのりt位元 となる． ｇ’∈７?に対してｇｅ’＝ｇ’ｇ＝ｇ’が成り立つ時を考える．・.’・＝ ｅｌｅ＝ε’となってｇ’はｅＳｇの要素である．よって．ぷεの中に，ε’ の逆元（ε’）＾１が存在する．（ｅ’）２＝ｇ’の両辺にｏ’）−ｌをかけて，ｇ’ ＝ｇが得られる． すなわち，ｇは極小べき等元である 十分性．ｅを極小べき等元とする． 明らかに、回陥は演算に関して閉じている． 必要性の特と同様に、６よ回りの単位元となる．ｅｘｅに対して
ＯＸＯ”が゛き等元とする． （ｅｘｇ）″り ＝ ε（ｅｘｇ）”＝（ｅｘｅ）” となって，０ＸＯ”≦ｅである．ｅが極小であることからＤｘｅ）”＝ ｇとなり，（ｇｘｅ）”’１ＥｇＳｅはｅｘｇの逆元である．すなわち．ｅＳｅは群 である． □ 補題２．３．４ Ｘを有限脂群，り，ｅ２をＸの極小べき３元とする．こ の時，（ｅげ２り）″7 ＝り，Ｄ２ｅげ２）“ ＝ｅ２を満たす正整数，77 ，y7が ある.ｍ，ｎがそれらの数の最小のものであれば，・＝，7である． 証明）けげ：ド１）″’が４き等元であれば，けげ２り）″7≦りとなっ てけげ２り）″7 ＝ りが成り立つ．同様に（ｅ２ｅド２）“ ＝ｅ２も成り立 つ ≧ 一 s，zlをそれらの数の最小のものとする.・＞，1とすると，・−，１−１ ０ゆえ， り ニ けげ２り）″’＝ ｅげ２け２ｅげ2）″7−り１ °ｅげ２け２りｅ２ドづ″ｏ”’Ｉ）り ゜ｅげ２（ｅリ?げ2）″7’″“りＩ ’（ｅμ２り）ｍ一一となりて， j7･が最小であるということに反する。よ・て，。≦。となる 同様にして，・≧。が示されて，・＝。となる。 □ 補題２．３．５（１削 Ｓを有限集合χ卜の写像によるや群．Ｇを刄の部 分群，ｇをＧの甲一位元とする．Ｇをχ６こ制限したものはＧと同型な置 換群である． 以下の ｌつの補題は基本置換群を定義するのに必要である． 補題２．３．６ Ｓを有限緊群，り，りをＳの極小ぺき等元とする．こ １３
-の時，群りＳりと群ε2jり２は同やである．さらにＳがX 11の写像によ る￥群の時，りＳりのχり上の制限と，９２Ｓ,りのχg2 11の制限は， 置換群として同型である，またＳがχ上で可遷ならば，りＳｅｌのχり 上の制限もまたＸり上可選である． 証明）補題２．３．４． より・（り゛２゛｜）”＝ り，０２りｇ２）”＝ ｇ２ を満たす最小整数ﾀ1が存在する．りＳりから・２Ｓｅ２への写像φを （ｅドり）φ ＝ ０２９１）″りぃりりｏげ２）＝ ０２り）”.Hりｇ２ で定める． ０作り方よりこのφはｗｅ１１−ｄｅｌｆｉｎｅｄである． 川）ｇ２．りりＥｅ２ｊＱ２とする． り･に２゛（りり）り≒ドり（りり）″ ニ（りり）≒≒ドり（りり）″’りげ２であるから （りりｘりけげ２）″’１り）φ ニ（勺り）″（りに２０･１ｅ２）にｌ）ｅげ２ ニ（ど２どｌｅ２）ｙｙ（ｅ２ｅｌど2）f? ゜（?2 ‘yど２ となって，φは全射写像である． ｉド）ＤドドＩ）φ（り,≒ド１）φ ニ ｛け２り｝yyげげい｛け２り｝″,りｅげ２｝ ニ（ｅ２ｅ１）ｙり（ｅｌｅ２ε１）″列げｌｅ２ ＝（ｅ２ｅｌ戸り１ｅド２ｅｌＥ２ ニ（（りりり）Ｄレりり））φ となって，φは準則や写像である． ｉｖ） レドり）φ＝ ｅ２とおく． すなわち，（りげ1）”.回げ２＝ｅ２とする． ゛１（゛２゛１）″,ｙｃｌｅ２ ニ ｅげ２が成り 俘ってｅドりｅ２ ＝，ｙｌｅ２が
︱ ノ イ ¶｝られる どレye?｜ ニ ど卜s･ど１（ど２ど1）fフ ニ ｅｌ‘ｙどｌｅ２（!?２ｃｌ）ｎ ＝ ｅ１ｃ２（ｅ２ど1）y7 ゛（りりり回 ゜りとなって，りハフ｜ ニりが示され，φは吊射写像である 以￨ﾕにより，φは同型写像であることが示された． 次にＸりからｘｅ２͡ヽの写像Ｆをけり）ｙ＝ｘりｅ２と定めれば， （けり）’り.に1）ｙ ニ（ｘｅレｙｇｌ）Ｆ ゛ｘど卜ｓ’ｅｌｅ２ ２ ｘ（ｅｌｅ２ｅ１）″･ｓｌｅｌｅ２ °ｘＥＩど２（ど２ど１）ｙ≒ｙｅｌｅ２ ゛けり）Ｆけドり）φとなって りj侵１とｅﾊﾞり２は置換群として同型である． またＸりｎｘｅ２≠φのとき，そこではＦは恒等写像となっている ・り・夕りｅχりとする．Ｓ力 （・り戸＝ｙｅｌとなる.9ESカ い1｣^遷ゆえ φ Ｘ 存在する．この時， ｘｅｌ（ｅドｅｌ）＝（ｘり）.に1 ＝ Jﾉごげ１ ニｙｅ１となってε１ｘｅｌのＸ６，１上の制限にLVc 1 11 可遷である □ この補題により，オートマトンｊの構造半群の極小べき等元ｅ，ｅ’ から得られる置換群パリ戸のｙにLの制限と，置換群どご（ｊ）どの Ｘノトの制限は，置換群として同型であることが判る．これから基 本置換群の概念が得られる． 定義２．３．６ ｇを，有限オートマトンj＝（S，27，7V）の構造半群 ’!I（/1）の極小べき等元とする．任意の,9∈心，と任意のｉＥど’（ｊ）刈こ対 １５
--_ して7V’白･，幻 ＝ .（iと定めて得られる置換オートマ トン （,Se，s ･‘｀（,4）e，jV″）をﾒ11の誘導置換オートマトンと呼ぶ．補題２．３．６ により，誘導置換オートマトンは同一型を除いてただ ーつである．ま たど’･（/1りのＳｅ上の制限を基本置換群と呼ぶ． 誘導置換オートマトンと基本沢換群については後砿で詳し＜調べ る．以下の補題と定理は極小べき等元の性質に関するものである． 補題２．３．７ り･･りを有限集合χ上の写像による饗群Ｓの４き等元 とする・ り≦りならばχら.⊂χりである． 証明）・∈χりとする． ゛’゛りが成り立ち・゛り ’（゛り）゛./ ゜ ゛（り白）ニ゛り ニ゛とな（）て．゛ｅｘ白である． よｏてＸ゛ された． □ 謳二λり／ が示 補題２．３．８ り・りを有限集合Ｘ上の写像による參群Ｓの４き等元 とする． χり．’χり である． ｘｅ であって，ら･≦ｇ ゾが成り立つならば’ｅｊ ° ｅ．ｊ 証明）任意のｌｅｙに対して・Ｊ白ｅｘらが成り立９から・゛白７ 一 ！ ｅ ノ 一 一 ｘｅ j･とな’!）て・り．゜りである □ 定理２．３．９ りを有限集合χ上の写像による半群Ｓの極小ぺき等元 とする． ｇき等九ｅ２が極小であるための必要十分条件は，＃ｘｇｌ＝ ＃χｇ２が成り立つことである． 証明）必要性．０が】り）”が･゛き等元とすると，りが極小である ことから，Ｄ２ｇげ２）”＝ε２となる．よって， χｅ２ °χ０２ε｜ε２）”⊂Ｊ¥りε２⊂χε２となり， χりｇ２ °χり!が示される．
よって＃ｙり≧＃A々2である． 同様にして＃ｘｅ２≧＃ｙりが示され，＃Ｘｏ 一 一 ＃Ｘりとなる 十分性．ｇ’を．’≦りを満たす極小ぺき等瓦とする． 本定理の必要性より，＃χg’＝ ＃χり ＝ ＃χe2となる．仙題 ２．３．７よりχe’⊂xg2となり，χe’＝χg2が得られる，補題２．３．８ よりノニｅ２となってｅ２は極小である． □ 定理２．３．１０ Ｓを有限集合Ｘ上の写像による吋遷半蔀，ｘＯをχの 任意の要素とする．この時，ｘｏｅ＝ｘＯとなるＳの極小べき等7GEが 存在する． 証明）り】を極小べき等元とする．Ｓが可遷であるので，ｘＯりμ＝ ｘｏを満たす／ＥＳが存在する．（りり）”をべき等元，ｇ″を.″≦（ｇＯＯ” を満たす極小べき等元とする．補題２．３．７よりｘｅ’⊂ＸＯＯＯ”とな る． またχ（りμ）”＝Ｘ（り）０”’１りμ⊂χりμゆえ， ＃χｅ’≦＃χ（りμ）”≦￨￨χ・（μ≦ Ｌ¥・ｏが成り立つ． 定理２．３．９よりがχｅ’＝ ＃χりlとなって，Ｌ¥（りり）”＝ ＃ｘｇｏが成 り立つ． ｇ’（り）０”とおけば，ｇはｘｏｅ＝ｘＯを満たす極小べき等 元である． □ ￡０’ すると， す． ｛ｅＯ・ ｅｌｌｌ・・ これは.9の部 詞 脂 ’分 −１ 群 ｝をざのすべての極小べき等元の集合と となる’また’Ｕ（川≡ｆｏｘ゛ニＸを満た １７
-２ ４ 有限オートマトンの自己同や群 強連結有限オートマトンの構造半農と自己同聖群の関係は，有限 集合上の'び像ｔ群と，その中心化群との関係に置き換えられる．特 に構造緊群が農になっているときは，自己同型群は置換群の中心化 群である． 本節では，まず，置換オートマトンの陽介の自己同や群について 触れ，その後で，一般の強連結有限オートマトンの自己同や群が基 本置換群の部分群の準則や像となることを示す．さらに，自己同型 群が基本置換群の部分群に同型となる場合や，誘有限換オートマト ンの自己同型群と同型になる場合について調べる．基本置換群と同 型になる必要十分条件についても述べる． 定理２．４．１ ｊ＝（Ｇ、Ｇ、７Ｖ）を群オートマトンとすると、/1の自己 同型群はGjlである． これは定理２．３．２より明らかである． 定理２．４．２ ｊ＝（Ｓ，ｆ,Ⅳ）を強連結置換オートマトンとすると， ﾒ1の自己同型群は構造半群（この場合は群である）の中心化群であ る． 次の定理は本ぐの土定理である，ここでは，強連結有限オートマ トンの自己同型群が基木賊換群の部分群の準同や像であることを示 す． 定理２．４．３ ｊ＝（Ｓ、Σ、Ｎ）を強連結ｲj’限オートマトン、。をｊの 構造參群削ｊ）の極小べき等元とする．ｊの自己･同型群４（ｊ）は、基
木置換群e .（j’j）．の油分群の準II I ･j聖像である． 証明）･りＥＳｓとする． ｘｃにt恥’･gを満たす27*−｛λ｝の要素の ー つとする． この時，ｊｏｇ °･りが成り立つ． ｊＯを含むり（ｊ）の可造成をＳｏで表すと， Ｓｏ °り戸（ｊ） ゜．゛（パ’1（j）゜A/OIO，xe）･j（ﾒ1）＝ jV（りμ（ｊ），ｘｃ）＝ りμ（.4）ε （ﾆ･りとなって，タｏは･りに含まれる． 列，･りｅ Ｓｏとすると，補題２．３．６より，ド（j）1,のjりjlの制限は 可遷であるから，･りi7 ° 52となるｉ７ｅｙ?（ｊ）ｇが存在する． また別〕’り4（/1）＝・一（ｊ）であるから， 50Zj °･りり（j）i7＝ ，sj（j）i7＝ 7V（.vμ（j），．）＝ 7V01，･，），i（/1） ニ ･りi71バｊ）＝りり（ｊ） ゜Ｓｏとなって， このｉはＳｏ上の置換となる．よ・て，ｒ?（ｊ）ｅのＳ・上の制限の部 分群￡’２｛ｉｌｉＥμ｀（ｊ）ｅ． Ｓｏｉ −Ｓｏ目こおいてＳｏは￡’の可選成で ある． ￡’をＳＯ上に制限した置換群￡を考えると，これは可遷である． またi7がｄ（ｊ）の要素と可換であることから，￡はSo llの可選一Ｆ則置 換群,1（/1）の要素と可換である． よりて定理２．３．２より，￡はSO IIの可遷TF tll」置換群･i（j）と同型 である． またφ：￡’→￡をμφ＝ｇｌＳＯで定めれば，このがはil’同JW写像とな る．よって，i（j）にｈド（ｊ）ｇの部分群の準同’駅像である． □ 例２．４．１ ｓ＝Ｕ，２，３，４，５，６｝，Ｊ＝Ｄ，ゐ，ｄ，状態遷移関数7Vが 図２．４．１の様に定められている強連結有限オートマトンｊ ＝ 19
-._ （S、27、7V）を考える 柄 １２３４５６︶ ａ ３４２１２１ み ５６２１２１ 図２．４ C ’ ２１３４３４ １ 造や群･?（ｊ）は生成要素a-、＆Fによって生成される要素数１６の ト肘である 削〕゜｛ i4、ぷ引、 ･ぐ（ｊ） ･ 一 一 ｛ｉ，ｉ２，Ｊ３ る．４（ｊ）の１を含む可造成はい，２｝である ｛,i2，i4，F，i2剖である −２ α α ４ １２３４５Ｒ︶ −︲− ２１４３４︵ｊ １２３４３４ Ｃ ２１３４３４ 図２．４．２ ２ α １２４３４９り − Ｃ φ:￡’→Årは｛Ｊ２ドμ，ｉ４ １２ Ｃ １２ びjl yl α ２ Ｃ よりI ﾄ⇒(?， Ｘ ２１ 図２．４．４ ･ j2 Ｃ ２ ｎ￣Ｃ 一 ￡Iﾄﾞ4X， ２ ａ ∂2 α４ a 4S｀ Ｃ ｉ４，Ｆ，ａ７， また， Ｃ C’ 2 α α１ = -￡ ’ j2 図２．４．３ Ｊ２Ｆﾄ⇒削となる a'2 F，a'3 F}とな 瓦″ 一 一 α￣ご α￣Ｃ C･ ｎ乙 ａ j4 以下では，極小べき等元による可遷域に条件を付けた場合や，白
己同や担い（ｊ）が誘導置換オートマトンの白に同や群，または基木 匹換群ドＩ（ｊ）ｅと同やになる条件を求める．最初に置換群の中心化 打に関する定義と，いくつかの哺題を示す． 定義２．４．１ ＧをS 11の置換群とする.77 −｛削任意のjリ≡Ｇに対 して，八万μ｝＝バｇ万）｝と定めれば．ＨはS llのii9換群となる．この 77を（7;の中心化群という． 定義２．４．２ ＧをS llのiR換群とし。、をＳの任意の要素とする． Ｇ．９ ’｛ｇＥＧＩ､ｓｇ＝バはＧの部分群となる。このＧｓを、Ｇの､、にお ける固定群圭だけｘ一囚定部分群という．円ｘ（札Ｇ）でＧいこおける 不動点集合ＤＥＳＩすべてのｇＥＧに対して，ｌｇ ゛ １が成り立つ．｝ を表す． ＧがＳ上の写像による･14群のときも，同様に.に固定部分群と，Ｇｉに おける不動点集合Ｆｉｘ（．９，Ｇ）が定義される． 補題２．４．４ ＧをＳ七のnf遺沢換群，／．，ＥＦｉｘＯ，Ｇ）とする．ｇ ＥＧに対して，／ｘＥ≡Ｆｉｘ（,ｓ，Ｇ）ならばりリ≡￨り．ＸＧ，Ｇ）である． 証明）ゐＥＧ．，とする，／ｇＥＦｉｘ（．ｓ，Ｇ）より，り1/，＝ /gである． ／ｅｌ月ｘ（,９，Ｇ）より，ｇゐｇ−ＩＥ Ｇｓとなる. ･jEIりｘ（,９，Ｇ）から，リゐμ−１ ＝ ．となりて０･ｇ）ゐ＝ り1が成り俣つ． すなわち．,ｇＥＦｉｘ ０， Ｇ）である． □ 補題２．４．５ Ｇを有限集合Ｓ上の可遷ii9換群，１，．ｓＥＳに対してz °･sゐ，みＥＧとする．このとき，（:;，＝ゐ・IG.j･である． 証明）ｇＥ（私とする，このとき，ｆｇ＝１である. ｓｈｇｈ￣１ °りﾘ”１ ニ ｚﾒ1’1 °.yとなってﾉリﾘ”1ECTGである． ２１
-立 ｇ 次 ｒｇ ち 一 一 に， 一 − ゐ’ljlgl･’1ゐ∈ﾒ2￣IGj’とな゜て・Ｇ・⊂ｈ’１Ｇｓｈである 力 ｇＥゐ’】Gj7’ゐ’ｌｇ’ゐ，ｇ’ＥＧ，･，とする． ｔﾒ１’１ｇ’ゐ ゜ｓｇ″ゐ ニ ｓゐ ニ ｙとなって，ゐ’ＩＧ,μ･⊂Ｇ，が成り ’１Ｇ,ｊ’゜Ｇ，が示された． □ 補題２．４．６ Ｇを有限集合Ｓｈの11f遷置換群とする．／∈ Ｆｉｘ Ｇ， Ｇ）ならば，Ｇ，＝（私である． 証明）不動点集合の定義より，（八⊂（貼が成り逞つ． ｓｈ ＝ ｌ，ｈ１≡Ｇ，ゐ”＝ ゐとする．ｌｇ＝ｚならば，j･ゐｇ＝ 一1から ゐｇゐ’ｌｇＧｓとなる．よって，り,ｇ＝り，が得られる．．り,２ｇ＝，り，２か らj1 2 gゐ’２６Ｇｓとなる．これ･を繰り返してゐりﾘ,りり≡Ｇｓとなる．Ｇが 有限群だから，ｊ,−ｌｇゐ（=Ｇｓとな･って．ｌｈ・ｌｇﾒ1 ＝/が成り立ち．9g ＝，,･が示される． □ 補題２．４．４より，Ｇの要素には，Ｇｓの不動点集合を置換するもの があることが判る．補題２．４．６の，次の系はそれらの置換が正則で あることを示す． 系２．４．６ Ｇを有限集合Ｓ土の可遷置換群，ｚ。，ＥＦｉｘ（ｓ，Ｇ）と する．ｇＥＧに対して，ｔｇ＝ｚならば。,ｇ＝。である。 定理２．４．７ Ｇを有限集合y.11の弓道置換群とする．Ｇの中心化群 がは正則であり，その位数けＧｓの不動点の個数に等しい．またμの， 点･yを含む弓遷域はＧｓの不動点からなる集合である． 定理２．４．８ ｊ＝（,Ｓ，Σ，７Ｖ）を強連結有限オートマトン，￡ｏで構 造寥群･｀I（j）の極小ぺき等元の集合を表す．この時，次のｉ），ｉｉ）が 成り立つ．
ｎｅＥＥ（）で，＃ｘｅニ＃いづｊ）ｃが成りぐつものがあれば，バｊ）は 基本置換群ど｀（ｊ）ｅの部分打と同やである． 一 一 ｉｉ）任意のら・りｅ￡ｏに対して・ＳりニＳりか・またぱ9りｎＳり φが成り在つなら。j（/ｎは，ｅだ（ｊｈのＳ・のトの制限（＝Ｇ） の中心化群77 ’と同型となり，ｄ（ｊ）の位数は，ｊＧＳ６こおけるＧの固 定群Ｇｓの不動点数と等しい．すなわち，祠ｊ）は，誘導置換オート マトン（,9g，r‘.゛･I（j）e，7V’）の自己同型群に等しい． 証明）Ｏ定理２．４．３におけるφ：瓦’→￡が同型写像となるから， 明らかである． ｉｉ）召″ＯＣ」!ＦＯを・｛Ｓ祠eE￡10がＳの分割となるように定める． すな わち’ＵｅＥＥ゛ｏＳ゛’Ｓと’任意のり･’りｅ ／ｙｏ（り≠り）に対して Ｓり･ｎＳり゜φが成り立‘7）ように7?’oを定める． 写像φＯ：Ｘり￣゛Ｘりを任意のり・e.ﾉ．ｅ￡″ｏと任意の・６λ’らに対して・ ・φり’゛りで定めると・ 定理２．３．９の証明より・φり･は全軍射写像とな’）て・逆写像φ’１り･ が存在する． ｅｏＥ￡ｏとすると，りげ（ｊ）ｅｏのＳＥｏ ｌｌの制限ＧはＳｅＱ上の可遷置 換群である. Ｈ’ を（Ｓり）11の）Ｇの中心化群とする． 以下ではこのＨ’ をＳ上の置換群/7に拡張する方法を述べる． ,９ＥＳとg’∈77’を任意にとる．．,･ＥＳりとなるり∈￡’ｏが存在する． り１’･ｓφ，ｏｇ’φ’≒ｏと定めると，ｓりｇ＝ｓりとなって，ｇは,9トの置 換である． ｇ， ゐF //と．９ＥＸり，りＥｆ’（）に対して・ げμ）/･ 一 一 ぶ ぐ φ，０ｇ″φ’≒０）φ，（φ’φ’Ｉ，０ ＝ り6（μり１’φ’ｌｊＯが成り立 23
-つ． さらに，ｇﾘり ＝ｇ’であるから，Ｈは7/’をＳに拡張したものに なっている． そしてその可遷」或はＳり（り∈/ら）である． 次に．゛ＥＳら・ｉＥ‘１?（ｊ）・ｇＥ７７・だＦΞＳり（り･・゛.ﾉ．ｅ￡’ｏ）とする． Ｓｇ（μり゜Ｓりゆえ，･9°1りとなる１ＥＳり）が存在する． ｇ’ｅｊ７’がりげ（ｊ）り）の要素と可換であることより， − ∫Ｊｇ 一 一 ／Ｃ ｉｘｇ 一 一 一 ｎ? １‘ｉｅｏｇ’φ’１．ﾒ･０ ’ｚｅ（回り:ｉｅｏｇ’φ’１,／０ ニ リドｅｏｅﾊﾟＦｅｏφ’しＯ ニ りぐ’どｏｅﾄﾞi￣φ,/Oφ‘1./0 ’ ｔＳＺｌｅｏｃｊｙニ ノμ″どｏｃ,･φ,･（）φ’≒ｏｉ゛／μ’どｏｅ／･ど０φ’い0 2i￣ 一 一 ／ど ｏり･ｅｏｇ″φ‘≒Ｏｉ°／εドＯｇ’φ’Ｉ，‘Ｏ:i’ニ ．ｇｇｏｇ″φ’らｏｉ −りi:iとなってｇは自己同型写像である． よって．Ｈは自己同型群一回ｊ）の部分群となる.771Sり）＝/7’ゆえ， ･ｄ（ｊ）ＩＳｏは77’を部分群とする． ｄ（ｊ）￨別〕とj7’が正則で，7/’が可遷であることから，ｄ（ｊ）ＩＳｏ＝ 月”とな･って．4（j）＝/7が示された． 定理２．４．９ ｊ＝（,９，Σ．Ｎ）を強連結有限オートマトン，εを･:’（j） の極小ぺき等元とする．ｊの白己同型群りｊ）が基本置換群e ･?（yl）eと 同型である必要十分条件は，1ほε＝ねげ（ｊ）ｅであって，すべての ・１ ｅ ￥ 一 -ｅに り∈￡ｏに対してぬりニぬ乙ﾉ･か・またぱSり･ｎＳり゜φが成り立つ とである． 証明）十分性 ＬＱ＝＃パりμであるから，定理２．３．２より り）εの中心化群Ｈ゛はeiﾐ（ｊ）ｅと￨司型になる．定理２．４，８より， りj）Ξ/7″g 以（ｊ）ｅが得られる， 之､慢性 ｙﾌり抄力 いＵ）に同やであるから， 定理２．４．３の￡’＝｛il i7 ∈ど2（j）ら Ｓｏｉ＝ｓｏ｝はg ･?（jzlD に等しくなる．，パ?（ｊ）ｅがＳｅ．１レ可
遷であるからＳｅ −Ｓｏとなる． これによ’）て刄゛がりｊ）のrlr遷域となろので・すｇてのら･・り∈￡０ に対してＳり．’Ｓりか． または刃ら･njり.ﾉ゜φが成り立っ． よ’）て ＃ｙ｀（ｊμ ＝ む1（j）＝ ＃.SO ＝ ＃jりとなって，ｌｈ ･（ｊＤ ＝ ＃ＳＥであＩ“･ る． 定義２．４．３ 強連結有限オーﾄマトンｊ＝りi，27，A/）が状態独立と は，任意のc7とrE27に対して，jV0，cy）−N（/，r）となる□≡Ｓが存在 すれば，すべての,ｓＥＳに対して7VO，･7）−7V（s，z･）となる場介をい つ． 系２．４．９ 強連結有限オートマトンj＝（Ｓ、Σ、Ｎ）が状態独立なら ば、自己同型蔚りｊ）は基木沢換群Ｊ?（ｊ）ｇと同型である． 証明）幻7eとｅＦバこ対して，肖り7ど ＝ ｘどＦｅとなるｙＥｊ匈力 きを考える．Ａが状態独立であるから ｃＵｅ ＝ ｅ 一 や ｘ ｌ あると ireとなる．よって ＃Ｓ゛’＃゛Ｉ”（ｊ）゛となる・ ．’‘ｅＳら･ｎＳりとする・ ．゛ な’）てり゜りが成り立’ﾆ）て・Ｓり．゜Ｓりである． 25 一 一 ｓｅｉ ° ｓｅＪ･と □
匹
第３章 基本置換群
３ １ 概要 ２章において４が，状態集介の
群ドリ）ｅの中
ノノ ヽい﹂ ｔ，極小べき局九による状態集合の像 りり｝，リ≡￡０ バ’fl」を導くときには，自己同ぺI!群刎ｊ）は，基本置換 ヽ化群と同型になることを示した．木章では， ﾚUO が状態集合の被覆となっている場合に，基本沢換群の中心化 群の部分群を用いて自己同型群を表すことを考える． 強連結有限オートマトンｊ ＝（ｙＪ，ｙ）に対して，几，＝｛ｘＥ Ｊ＊ｌｙ（札ｘ）＝．０ と定めると，強連結オートマトンの場合は，刎ｊ） がlﾄﾞ則置換群になることより，打ｊ）による分割において同じ同値類 に頴する任意の状態,y，/はＴＮ ７ ＴＩ，を満たす（すなわち等しい固定半 群をもつ）．Ｂａｒｎｅｓｎ）はこの逆について調べ，構造脂群が同値 関係を保存する分割で，同じ同値類に属する任意の状態ｎｒが等し い囚定乍群をもつような最大の分割ｶい（ｊ）による分割と等しいこと を示した．しかしながらこの方法は４（ｊ）を求める具体的方法には触 れていない． 本草では，そのために基本分割の概念を導入する．そしてｘｃＬの 基本置換群μ?（ｊ）ｅの中心化群の要素で，タらこ属する基本分割の同 値類を固定しているものの全体が，群ｊ）と『司聖になることを示す． また，極小べき等元を求める具体的方法にも触れる． 本なの結果は，ド１ｅｃｋ（６仏 Ｐｅｒｒｉｎ ｅｔ ＰｅｒｒｏｔＵいと植村 ∩５バ９）の結果の拡張であり，有限強連結オートマトンの自己同 型群を，極小べき等元の像による頂点被服が分割になっていない場合にも特徴付けたことになる．また前述のl仙ｒｎｅｓ による自己同型 群の記述を，より具体的に示したものとなっている．ドj（j戸を求 めるのがご（ｊ）そのものを求めるより容易なことはよくあり，実￨際に 自己同型群を求める有効なアルゴリズム検波のーつの指針を与える． 本章の定理３．２．２は業績１６において掲載が決定している． ３ ２ 基本置換群と自己同型群 強連結オートマトンｊ＝（到Ｊ,ｙ）の自己同型群を求めることは， ｊの構造形群をざの適当な部分集合上に制限させて，そこでの可造疋 則置換群を求める問題に帰着する．本節ではこの手法によるこれま での成果と，基本匠換群の中心化群を用いる方法について述べる． 札／ＥｙｇＥｊ（ｊ），ｘＥＪ＊に対して，５ｙ＝にｙ（ｙｘ）＝ｒが成り立て ばｙ（／，ｘ）＝ Ｎいg，）c）＝ ｙ０，ｘ）μ＝ リζ＝ ｙとなる．これから， ご（ｊ八＝じ（ｊ）／であることは１ ＝ ∫μとなる自己㈲型写像μが存在す るための必要条件となっていることが判る．旨い換えれば，自己同 梨群は構造予料の同じ固定部分半群を持つ原点ﾄlの正則置換群と なっている． 以￣ﾄﾞにおいては，自己同敵前による分割より粗い分割で，構造半 を極小べき等元として，いずれかのＸいこ含まれることを意味してい る． 27
・■- 定義３．２．１ Ｓを有限集合χ上の写像による吋遷や群とする． ｘ， ｙｅｘに対してＪＲＯＪ，を”すべてのｇＥｊ’ｉ Ｏ に対して，ｘＥχｇ⇔ｙＥ ｙｇ，”と定めればμ０はχ11の同値関係になる．μｏによるχの分割を Ｓによる準基本分割と呼ぶ． 例３．２．１ χ＝ □，２，３，４，５，６，７，８｝，タの生成要素を｛α，ゐ，ｃ｝と して，それらの写像を図３．２．１の様に定める． ･-− ｛ の時，￡ｏ ’｛α３，ご３｝である．そして，準基本分割は ｛１，４｝，１２，３，５，６｝，｛フ，８口 となる． １２３４５６７８ ぴ ２３１５６４２５ ゐ ４６５１３２４１ Ｃ ２３７５６８２LQ 図3.2.1 １２３４５６７８ − ・ ａ １２３４５６１４ ３ ３ 乙’ ７２３８５６７８ 準基本分割は各々の状態が，どの極小べき等元に含まれているか で，状態を分類するものだが，写像による状態遷移は考慮していな い．その点を考慮した同値関係から得られる分割が基本分割である． 定義３．２．２ Ｓを有限集合Ｘ上の写像による可遷や群とする．ｘ， ＪＥＸに対して・7りを”xj?OJﾉであって，かつ任意の.sESに対して， Ｅり?Oy.9が成り立つ場合，”と定めると，この尺は7? o の細分となる． ｰによるχの分割をＳによる基本分割と呼ぶ．作り方より基本分割の
同値類は，あるＸいこ含まれる．誼い換えれば任意のｘｅ ＤＥ￡Ｏ） はμのいくつかの同依頼の和集合となる． 補題３．２．１ Ｓを有限集合χ上の写像による可遷半群とする．こ のとき，基本分割の同値類に含まれる要素の個数は等しい． 証明）（石とＱ２を基本分割の２つの同値類とする．（?１⊂ｘｇとＣ?２ ｃχどを満たすｅとｇ’が存在する，ｙが可遷であることから，ｘＥＣ? １ に対して，．ロｅ（?２となるｓＥｓが存在する．ＱＩ，Ｑ２が基本分割の同 値類であることから，（?り⊂C?2である．χｇ,,･ｇ’＝ｘｇ’であるから， j’はC?｜ から（?２への叫射写像である．よって，回?）≦が（?２である．同 様にして，μ（:?２≦吋?１が示され，μC? I ＝がC?2となる． □ 強連結オートマトンの自己同型群は，基本分割の同値類を固定し た置換という性質，言い換えれば可連城が基本分割の同値類に含ま れるという性質と，Ｘ・上の基本置換群ｇ ･（ｊ）ｅと可換という二つの? 性質をもつ．次の定理はこれについて述べる本章の主定理である． 定理３．２．２ ｊ＝（Ｓ，２;，７Ｖ）を強連結オートマトン，ｅｏを構造半 群ご（j.）の極小べき等冗とする．ｊの自己同型群は，S・o llの基本置 換群り邨（ｊ）り）の中心化群の要素で，Ｓｅｏに含まれる基本分割の同値 類を固定しているものからなる細分群77’に同型である． 証明）μ’が部分群となることは明らかである．｛（石）１≦，≦.を基 本分割の同値類の集合で・恥ｏ°（?ＩＵＱ２Ｕ‥．Ｕ（石7・（石ｎＱｊ． ゜φ い≠ゾ）を満たすとする．ｈ゛Ｅ Ｈ゛に対してＱｉｈ’＝（石が【】≦j≦ 12）成り在つ． 以下において，定理２．４．８の構成法と同様にして，jﾌ・をＳに拡張 し，拡張されたSにの置換が構造半群の要素と可換であること示す． 29
㎜-と （ ／ ｓｇｅ ，．→ｘｇ 定める． また.Hり ／【Ｏ≦に/･≦″゛’】’ら’り.∈￡o）を“り･φり ’｀“≒･り この（ｿﾞは全県射となｏで逆写像が存在する． 圧λ≒ １ ｎｘｇ ．／ （Ｏ≦１≦。−１）力 のとき’．“りφり゜‘“り･と’‘゛りφば゜．゛らφパ り逗り守ち・Ｚｇ げりｎＳり）φ以のとき”φ’】jり ゜り‘ｌげが成り収っ. /2’∈7j「’に対してＳ上の置換jl，を次のように定める 5･ /7 ゜･り｡ｏゐ″φ｀≒ｏ，ｓＥＳり（Ｏ≦ｊ≦。−１） どがｘｅｏに含まれる基本分割の同値類を固定することから， ゛゛oＲｓｅoｈｌとなる． よｏて，5’゛oｅｉＲｓｅｏ／”らとなる・（ら゛ｏら）″＝ り，Ｄｏりり））ｎ ＝ ｅｏとすると，，にげｏら･7いりり）/J’らだから ｙど バｅｏり）ｎＲ.nりりり1’り（ｇｏり）”’１となる．この式の左辺は,9であり， 右辺を／とおくと ／ り 一 一 ぶど ドｏｙりら（りり）”‘１となって，にｏ＝ ｓｅｎｈ°が得られ， 一 一 ｒとｓＲＩが成り立つ よって/zはｘｅ .yEざど 5’ 一 一 ｙ 力 φ １ 一 一 ／０ ｎSe.j リりｏ 力 ・ φ − ｊ上で定義され，基本分割の同値類を￨占￨定している のとき， ゐ’φ’≒ｏ 一 一 ／０ ｌ いり〕ゐ’φ’≒０ ’ぶφ./0ゐ″φ’ｌ･‘０ となってカはyLで定義可能であり，ざ上の置換と なる． 任意のg’，Z･ ’∈77’に対して， ･yらｏ（ｇ／２）’φ’≒ｏ ’バｇゐ）＝ Ｏｇ）ﾒ･＝（･り1’）F ＝ バφｊｏｇ’φ’≒ｏ）φ，｛μ･り’１，･ｏ °ｓφｊｏｇ″ゐ’φ｀ら０ となってφ，ｏ（ｇゐ）’φ’≒ｏ＝φ，ｏｇ″ゐ’φ’いｏが成り，yつ． またｘＥχｇｏのときは，ゐは/，″と等しくなる．よって．ＨはＨ’ の拡
張となv），HとＨ″は同型である． 次に，このゐが.I?（/1）の要素とnf換であることを示す り ｙ ＥＳＣ ツ ﹃ ∼ iEIIﾌ（j）’/1’∈7/”.ドｉＥＳｅ./ （り･・りＥ ／?’Ｏ）とする． ０ /? り ゜Ｓりゆえ，．ｓ’゜１りとなるｒＥＳｅｏが存在する ’g 7/’がりけI（yl）り〕の要素と可換であることより， （F/7 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 Ｚど ･･ｉゐ ゛ｈり･:iφ./oゐ’φ’ｌ．／ｏ °Ｉ００ら･ｉ゛ｏ）ゐ″φ￣Ｉ,ﾉｏ ／ゐ’（ｇＯりｉり））φ’I./0 ニ り”゛０り･ｉφ,／Ｏφ’１．／０ °りり゛０りli //1’ど０り･φ,･０φ’ｌｊ･ｏｉ’ ゜ １ゐ’ε０り･‘ﾖ０φ’１，１０ｉ ／ｅｏりｇｏゐ’φ’≒０:i °1り･ｇｏゐ’が’らｏｉ ’･９９０ゐ’φ’１，１０ｉ ,り7iとなる． すなわち，八で力 一 一 ０１Ｘが示された よってみ∈打ｊ）となり，涅⊂４（ｊ）となる． 圭だμ∈バｊ），ｊ（≡ｘｅのとき，リび ＝ おり; りり）.yｇである． さらに,ｙｉＥＳＥのとき，．（町ぴ 一 一 ∫χｅｇ − 一 一 一 一 りぐとなって （印となってｓＲ､りぐであ る． すなわち，ｇは基木分割による同値類を固定している．よって， り/4）をχｅＯに制限したものは，だの部分群となり，μ⊃ｄ（ｊ）が示さ れる． すなわち，．りj）＝77となって定理が示された． □ 例 ３ 27 一 一 ２．２ ｊ ＝（Ｓ，２７，７Ｖ）。Ｓ ＝｛１，２，３，４，５，６，７，８に ｛ａ，ｂ，ｃ｝として状態遷移を図３．２．２の様に定める ３１
=-Aの状態遷移 ａ ｂ ｃ ２３７５６８２５ ４６５１３２４１ ２３１５６４２５ １２３４５６７８ １２３４５Ｒ︶ Ｈ ｙ １ １ ２ 図3.2.2 り、︶４［︲ｏｒｎ］ 戻 /ぢ 拓
尽
べ
６４５２３１ ５６４３１り乙 ４５６１２Ｑ︶ ３１２５６４ ２３１６４LC ｘ６Σ＊に対するどI（ﾒ0の要素をｉで表す．この時，￡【】＝｛Ｊ３ ， Ｆ３｝，ｊりｉ３ ＝｛１，２，３，４，５，６に ＳＦ３ ＝｛２，３，５，６，７，８｝となり， ｉ和I（/Oi3はＳ３と同型である．ｇとしてi3をとると．ＨＩは図３．２．２ の様に表される．基本分割は｛｛１，４｝，１２，５｝，１３，６｝，１７，８川 とな る． ゐ１，ﾉﾌ４を７ｊ’１ ’７，８ゐ１ °８，７ゐ４ °８，８ﾉ１４ °７となる様 にゐ／とカ４’を拡張したものとすれば，77＝ り,１，ゐ４｝である． 系３．２．２ ｊ＝（Ｓ，２;，７Ｖ）を強連結有限オートマトン，ｇを/1の構 造半群c?（j）の極小べき等元とする．ｊの自己同型群･1（j）は，ｊの 誘導置換オートマトンりり，どｦ（ｊ）ら7V’）の自己同聖群の部分群であ る． 基木分割は自己同型群による分割よりは大きいものではあるが， Ｂａｒｎｅｓ（１）が与えた自己同型群の分割の抽象的な条件とは異なり， 基本分割を用いた定理２．３．１の証明は，有限オートマトンの自己同 型群を求める 一つの具体的方法を示唆している． これにより，自己同型群を構成するのには， ｉ）極小べき等元εを一つ求める．ｉｉ）ｙｊｌｊ）εを構成し，これの中心化群を求める， ｌｉ・）,基本分割を構成する， を行って，中心化群の要素で，基本分割を囚定するものを取り出せ ば良い．次節ではこれについて訓べる． ３ ３ 極小べき等7Eと基本置換群の決定 前節の最後で述べた自己同や群を構成する脂順のｉｉｎは基本分 割の定義から構成法は容易に得られる．∩における極小べき等元の 求め方と，ｉｎにおけるｅバｊ）ｅの構成法を考える．本節でり，える 手法の計算吠についてはまだ調べていないが，それは，これからの 研究課題としたい．本節ではまず最初に，有限巣今上の写像脂群に おける極小べき等元の求め方を考える．次にｇ（ﾌ（/1）eを構成するの に必要な極小べき等元の集合について触れ，それを用いてど?（ｊ）ｅ の構成を考える． まず，極小べき等要素を一つ求める方法を述べる．任意のべき等 元ε’に対して，＃xg≦＃XE’となるεを求めればよい． 一 一 ｊ α ￡ " ％ ゜｛α１，α２‥‥，ＱＪをＸ上の半群Ｓの生成要素の集合とし，。 ゐ’･（１≦削･，1≦j≦jl）を゛^｀゛き等元とする。 ’り１，り‥‥，り｝として，Lye｝。E I｡ ＝（?″1とする。 C?’1の要素Ｘりで・Ｘり.ﾆ）χりとなるχり（χり≠Ｘり）が存在する ものを考える． 任意の‘゛ｅＳに対して・χり.’‘ﾆ）χり ゛だから・χりは 極小べき等元を求めるときには，不必要である．よってこのような ｘｃ ／を（ｙｌからすべて取り除いた集合族（?Ｉ＝｛ｘら｝を作る．このと 33
Ｉ ． ７ ａ Ｚ２・＾・ ａｉｋ 次に，極小べき等元６こ対して，群ｅＳｅを構成する方法を考える． αＥｊに対して，（心7）/をべき等元とすれば，ｘｅ⊃Ｘいα）／となる． εが極小であるから，この不等式は等式になり，（白7）/は極小べき等 ⊃χ【ｇ’】αり）ゐ２‘‘‘αり ⊃ χ!り2￡7り‘‘’αG･ 7）χ（ら･２り３）削‥．“りが成り立っ． この右辺は最後は，C?のどれかの要素を含む．すなわち，χe’⊃ ｘｆｏ． ２ χ,がり･となる４き等元/y･/ec?がある．．’が極小べき等元で あるから・χ゛″゜x-/J≒./とな゜て・ﾊﾞ≒ｌ･は極小べき等元となる． よ゜て・＃χ,/y/が最小であるχ/りeC‰において・４き恟元戸り･は 極小である． この石ﾉ･は（:?の構成において得ることができる． すなわ ち，（:?を求める過程において，極小べき等元を一つ得ることができ る． -き・どのＸらも他のＸ白を部分集合とはしない・ 次にヽ（几を帰納的に構成する， （与゜ﾚ自大 いノ･は４き等元である）・と表されているとする. /ﾌﾞ と宍／ｅｊに対して・宋き等元几ﾉづら町勁を求め・（?’か＋｜゜｛ｘハバ とする．（?１を作るときと同様に，（?’ト,.1の要素の中で，他の要素を 真の部分集合とするものと，すでに（?｜，（?２，‥・，（:4に現れたものを す４て取り除いて得られる集合族をぐ粧 （与士１を求める作業を繰り返していく 現れる． このとき（?＝（ﾊ7とおく． ｅ 一 一 ご７ｙ ｌ α 十１ と と定める。 ，Ｃ? ｡Ｈ．１ ＝ φを満たすｇが １２‘‘‘ ら･,。を極小べき等元とする。αＥＳと任意の自然 数力に対して，ｘａ⊃ｘａｈであるから Ｘど 一 一 Aり り α ｊ つ ・ ‘ ‘ -ａｊｋ ⊃ｘａｏ 力 ］ひ ｊ２‘＾・ ａｉｋ 一 一 ｘｅ
元となる． よって，すぺてのαＥｊに対して，り７＝Ｇα）６となる極 小４き等元ｇαが構成出来る．このとき，任意の極小べき等元ｇ’に対 して・゛’“りド゛’“が成り立っ． よ゛゜て・jに゛ら･１り２‥・りパＥｅＳ゛は ｅａ り ど＜α ど C7/1 ａｉｌｅ ａｊ２ １ ど ａ】’α２１≒７２ α １１１ ５ａｇ e t･と表される．すなわち，tづｅは， ａｉｋ c， ＞む，と表される．これから回昂を構成す るのは，Ｓを構成するより，通常は容易であると思われる． 今後は，自己同型群を決定する実際的なアルゴリズムを求めるこ とと，そのアルゴリズムが有効に機能するオートマトンのクラスを 決定することが倣要である． 例３バ３．１ Ｘ＝｛１，２ ８｝，Ｓの生成元を｛α，ゐ，ｃ｝とする α，ゐ，ｃから得られるべき等冗はα３，ゐ２，ｃ･ ２である Ｃ?１’＝｛Ｘα３，Ｘゐ２，χご２｝＝ ＨＩ，２，３，５，６，７｝，｛｝，２，３，４，５，６，７，８｝，｛３，４，７，８｝｝となって Ｃ?Ｉ −｛χα３，χｃ嗣 ＝｛｛１，２，３，５，６，７｝，０，４，７，８口である． ｌｎ．乙りＪ４ｒａｒり７ＱＵ ａ ゎ ｃ ぶ bl c1 ２３１２６７５ｇｖ ５６３８１２７４ ２ １ １ ２３４５６７Ｑ︰︶ ２３１５６７ｒＤ ３４３６７８７ 図３．３．１ ３４３４７８７Ｑ︶ 次に，α３ゐ，α３らｃ２と。ｃ２ゐからぺき等元を求める 35
-･ １２３４５６７Ｑ︰︶ ぷゐ ［−ｏ６３５１２７１ ３ μＣ ２３４２６７８″り 図３．３ ２ ゐ １２１２５６５ｒｎ︶ どゐ ３８３８７４７４ １２３４５６７只︶ ｜ ゾ φ 一句 φ １２３１５６７︷︲ｏ ４２３４８６７︵ｘ︶ 図３．３ ぐ より １２１２５６︵ａｐｎ︶ ３ 回 ３４３４７８７︵ｘ︶
回
（２２″’｛χ（α３ゐ）２，χ（･２３り３，χご２α，χ（ｃ２ゐ）２｝＝ ｛｛１，２，３，５，６，７｝，１２，３，４，６，７，８｝，１１，２，５，６｝，口，４，７，８□となっ て， Ｃ?２ °｛Ｘ･ｒ２ａ，χ（ｃ２／･）２｝’ ｃ２αｃからべき等冗を求める． ｌｏ／｀りり４［ａＧ］７只︶ Ｃ協
｜ ｒＯＧ︶︵りＲ︶ｌｎ／｀１ｎ／｀ 図３．３ ２ ＣａＣ ２３２３６７６７ ４ ｛｛１，２，５，６Ｈである ｌｎ乙ＱＪ４Lr︶Qc︶F︲ cr︶回雨2斤仙ｿ
− ｊ ｜ １２１２５６５以︶ 図３．３ ３２３２７６７ｒり さらに， Ｃ ５ ２ひゐ Ｃ?３”｛ＸＧ２αゐ戸，χげ２αｏ駒 ＝｛｛｝，２，５，６｝，１２，３，６，７□ と なって，（石 ＝ □２，３，６，７□である．（ｃ２αゐ戸，（ｃ２ａｏｙ （ｃ２ゐ）２α，（（ｃ２ゐ）り）２の中で，今まで川てこなかった写像はJ
第４章 商オートマトン
４．１ 概説 ｲj^限オートマトンの状態の分割で，状態遷移によっても，同値類 が変化しなかったり，あるいは 一つの同慎類の要素全部が他の一つ の同値類に移るものを許容分割と呼ぶ．許容分割は商オートマトン を導く．また有限オートマトンの，自己同型群による可追放は状態 集合上の許容分割となる．本章では，自己同聖群による商オートマ トンのいくつかの性質を調べる．さらに，自己同型群の正規部分群 による商オートマトンと等価なオートマトンに関する一一つの性質の 必要十分条件を示す． 商オートマトンの自己同型れについてはドＬｅｃｋ，Ｐｅｒｒｉｎ ｅｔ Ｐｅｒｒｏｔ，Ｗｅｅｇらの結果がある．ド１ｅｃｋ（６）は有限群涅がｊの自己同 型群の正規部分群の時，商オートマトンｊ／μの自己同型群は パ（ｊ）／亙と同やな部分封を持つことを の結果をμが正規部分群でないときに 云した．Ｂａｙｅｒ（２）はＦｌｅｃｋ の結果をμが疋規部分群でないときに拡張した．状態集合,?上の二 つの置換群を定義することによって，Ｐａｕドに）にＬ４／μの自己同型 群を定めた．Ｗｅｅｇい６）は任意の二つの有限打Ｇ（Ｇ≠ｎｄｎ とだ に対してｊの自己同型群がＧに同やで，ｊ／４（／Oの自己同や群がだに 同型であるような強連結オートマトンｊが存在することを示した． これは強連結オートマトンの自己同型打と，それが府く商オートマ トンの自己同聖群は独逞であることを示している．Ｐｅｒｒｉｎ ｅｔ Ｐｅｒｒｏｔ（１１）は等価なオートマトンの概念を用いて，任意の有限打 Ｇ｛Ｇ≠ｎｄ｝）と任意の強連結オートマトンβに対してｄ（ｊ）がＧに同やで，j/燧（ｊ）が/jと等価であるような強連結オートマトンｊが存 在することを示した． 本喘ではｊ万口Ｊ）の自己同や群は，ｊの自己同型群のときと同様 に，どづｊ）ｅの部分群の準同や像となることを示す．これにより， ｄ（ｊ）による商オートマトンの自己同や群はぺ（ｊ）とは独立であるが， Ｅヴ（ｊ）いこ関係していることが判る．また．4（j）の部分群だによる 商オートマトンy1ZHの基本分割は，オートマトンｊの基本分割と本 質的には変わらないことを示す． さらに，有限群Ｇとその正規部分群が，及びＧＺＨと同聖な自ｄ同 型部分群を持つ任意の強連結オートマトンＢが辱えられた時，バｊ） がＧに同型で，∬に対応する４（ｊ）の正規部分群μ’による商オートマ トンÅＺＨ’がβと等価である有限オートマトンｊが存在することを示 す． ４．２節における定理と内容は業績１６において，４．３節における 定理と内容は業績１７においてそれぞれ拓哉が決定している． ４ ２ 許容分割と商オートマトン Ｗｅｅｇ（１６）は任意の二つの有限群Ｇ｛Ｇ≠ｎｄ｝）とガに対してｊ の自己同や群がＧに同型で，ｊ／４（ｊ）の自己同型群がフバこ同型であ るような強連結オートマトンｊが存在することを示した．これは強 連結オートマトンの自己同型群と，それが導く商オートマトンの自 己同や群は独立であることを示している．しかしながら，これは ｊ／４（ｊ）の自己同型群がぴ（ｊ）と無関係であると述べている訳ではな しヽ． 本節では，ｊ／４（ｊ）の自己同型群は吋?（ｊ）ｅの部分群の準同型 39
J 像となることを示す．これにより，．,１（ｊ）による商オートマトンの 自己同や群はｇ（ｊ）とは独立であるが，ε,Ｃ（ｊ）ｅに関係していること が判る． さらに．:（･4）の部分群7月こよる商オートマ?ヽンj/77の基本分割 は，オートマトンｊの某本分割と本質的には変わらないことを示す． 商オートマトンを構築するためには許容分割の概念が必要である， またオートマトンの自己￨司型群は許容分割を導き，これから商オー トマトンが得られる．本節では，まずこれらについて調べる． 定義４．２．１ 有限オートマトンj ＝（Ｓ、Σ、Ｎ）のＳの分割π ＝ ［j71 、 月ｒ２１一一・ｊ ７ら] （Ｓ ＝ H IIＵ７７２・・・・ｊ ＵＨｎ・Ｈｉ∩Ｈｊ ゛ φ、ｉ≠./）が許容分割とは、任意のjlち∈πと任意のとrE2;に対して 7v（Ｈい（y）（ﾆﾀﾞﾉ’となる聚/が存在するときをいう． 定義４．２．２ ｊ＝（Ｓ、Σ、Ｎ）を有限オートマトンとする．Ｓの許容 分割π ゜｛771 . HII‥‥、7/.｝が与えられたとき、任意のﾉち∈πと．7∈27に対して、刄： πＸＪ→πを 刄（Ｈｉ･･ ゜‘）゜馬･⇔ 7V（馬･j °’）（ﾆ聚/となる馬.6 ″が存在する時・ と定めれば、（π、Ｊ、眉は有限オートマトンとなる．これをzlのπ による商オートマトンと言い、Ａ／πで表す．強連結オートマトン 月゛を有限オートマトンj＝（S，2;，jV）の自己同型群の部分群とし 77の可逓減によるｓの分割ｓ／７ｙ °ＤＩμ，り77‥‥，りμ7｝を考える りj/∈タ/77とcりE≡27に対して， Ⅳ（り77，ry）＝ □V（ｓ油，０･）￨ゐ∈7/｝＝｛7V（,り，cy）み｜ゐ∈7/｝
