Trans Sistem n Partikel Identik ( fisika kuantum )

(1)

Sistem N partikel dinyatakan dengan fungsi Sistem N partikel dinyatakan dengan fungsi gelombang: gelombang:

ψ

( x( x11, x, x22, ……., x, ……., xNN)) Keadaan ternormalisasi: Keadaan ternormalisasi:

∫ ∫

…………

∫ ∫

dxdx11 dxdx22 ……. dx……. dxNN

ψ

( ( xx11, , xx22,, ……., x ……., xNN))22= 1= 1

ψ

( ( xx11, , xx22, ……., x, ……., xNN))22 adalah generalisasiadalah generalisasi

dari

ψ

(x)(x)22

artinya: artinya:

probabilitas menemukan patikel 1 pada probabilitas menemukan patikel 1 pada x

x 1,1, partikel 2 pada x partikel 2 pada x 22, dan partikel N, dan partikel N

pada x pada x NN..

Hamiltonian sistem N partikel: Hamiltonian sistem N partikel:

H= H=∑∑ = = N N ii 11 mmii P Pii 2 2 2 2 + + V(xV(x11, x, x22, ……., x, ……., xNN)) SISTEM

(2)

H= H= -- 22(( 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x x m m ∂∂ ∂ ∂ +……+ +……+ 22 2 2 2 2 1 1 N N N N xx m m ∂∂ ∂ ∂ ) ) ++ V(xV(x11, , xx22, …….,, ……., x xNN)) S SIISSTTEEM M 2 2 N N PPAARRTTIIKKEELL IDENTIK IDENTIK T

Tiinnjjaau u ssiisstteem m 2 2 ppaarrttiikkeel l iiddeennttiikk, , ttiiddaakk b

beerriinntteerraakkssi i ssaattu u ddeennggaan n yyaanng g llaaiinn dinamakan partikel 1 dan partikel 2.

dinamakan partikel 1 dan partikel 2. e

e11 ee22

••

intiinti

Par

Partiktikel el sissistetem tm tidak idak salsaling ing berberintintereraksaksi,i, maka fungsi Hamilton total sistem adalah: maka fungsi Hamilton total sistem adalah:

Ĥ

Ĥ ((11,,22) ) = = ĤĤ((11))++ĤĤ((22)) ………..(1)

………..(1)

Parsamaan Schrodinger sistem 2 partikel: Parsamaan Schrodinger sistem 2 partikel:

Ĥ

Ĥ ((11,,22))

ψ

(1(1,2,2)= )= (E(E11 + + EE22))

ψ

(1,2)(1,2)

………(2) ………(2)

(3)

ψ

(1,2) adalah fungsi diri sistem 2 partikel(1,2) adalah fungsi diri sistem 2 partikel identik.

identik.

A

Adda a 4 4 mmaaccaam m bbeennttuukk

ψ

((11,,22) ) yyaanngg memenuhi persamaan (2): memenuhi persamaan (2): 1). 1). ψ ψ (1,2) =(1,2) = ψ ψ αα (1)(1) ψ ψ ββ (2)(2) 2). 2). ψ ψ (1,2) =(1,2) =ψ ψ αα (2)(2) ψ ψ ββ (1)(1) 3). 3). ψ ψ (1,2)=(1,2)= 11₂₂ [[ ψ ψ αα (1)(1) ψ ψ ββ (2) +(2) + ψ ψ αα (2)(2) ψ ψ ββ (1)](1)] 4). 4). ψ ψ (1,2)=(1,2)= 11₂₂ [[ ψ ψ αα (1)(1) ψ ψ ββ (2) -(2) - ψ ψ αα (2)(2) ψ ψ ββ (1)](1)] B

Buukkttiikkaan n aappaakkaah h kkee--4 4 ssoolluussi i ddi i aattaass memenuhi persamaan (2)? memenuhi persamaan (2)?

ψ

(1,2) =(1,2) =

ψ

αα (1)(1)

ψ

ββ (2)(2) Ĥ (1,2) Ĥ (1,2)

ψ

(1,2) = [(Ĥ(1,2) = [(Ĥ 11 + + ĤĤ 22)])]

ψ

αα (1)(1)

ψ

ββ (2)(2) = =Ĥ Ĥ ((11))

ψ

αα (1)(1)

ψ

ββ (2) + Ĥ (2)(2) + Ĥ (2)

ψ

αα (1)(1)

ψ

ββ (2)(2) = (E = (E11 + E+ E22))

ψ

αα (1)(1)

ψ

αα (2)(2) =(E

=(E11 + + EE22))

ψ

(1,2)(1,2)→→memenuhi pers.memenuhi pers.

(2)

(4)

Buktikan untuk 3 bentuk solusi

Buktikan untuk 3 bentuk solusi ψ ψ (1,2) yang(1,2) yang

lain !!!!

D

Diiaannttaarra a 4 4 kkeemmuunnggkkiinnaann

ψ

(1,2)(1,2) →→

m

mananaakkaah h yyaanng g mmeerrupupaakkaan n ffuunngsgsi i ddiriri i 22 partikel identik?

partikel identik?

⇓⇓

cek dengan operator

cek dengan operator ˆˆ ₁₂₁₂

(penukar partikel 1 dengan 2) (penukar partikel 1 dengan 2) (i) (i) ˆˆ ₁₂₁₂ Ĥ (1,2)Ĥ (1,2) ψ ψ (1,2)=(1,2)= ˆˆ ₁₂₁₂ (E(E₁₁+ E+ E₂₂)) ψ ψ (1,2)(1,2) = = (E(E11 + + EE22)) ˆˆ 1212 ψ ψ (1,2)(1,2) ………(*) ………(*) (ii) (ii) Ĥ (1,2)Ĥ (1,2) ˆˆ ₁₂₁₂ ψ ψ (1,2) = Ĥ (1,2)(1,2) = Ĥ (1,2) λλ ψ ψ (1,2)(1,2) = = λλ Ĥ (1,2)Ĥ (1,2) ψ ψ (1,2)(1,2) = = λλ (E(E11 + E+ E22)) ψ ψ (1,2)(1,2) =(E =(E11 + E+ E22)) λλ ψ ψ (1,2)(1,2) =(E =(E11 + + EE22)) ˆˆ 1212 ψ ψ (1,2)(1,2) ………(**) ………(**) Dari (*) dan (**): Dari (*) dan (**): ˆˆ ₁₂₁₂ Ĥ (1,2) = Ĥ (1,2)Ĥ (1,2) = Ĥ (1,2) ˆˆ ₁₂₁₂ [[ ˆˆ ₁₂₁₂, Ĥ (1,2)] = 0, Ĥ (1,2)] = 0 KOMUTKOMUT H

Haarruus s ddiippiilliih h ffuunnggssi i ddiirri i bbeerrssaamma a bbaaggii operator

(5)

Misal

ψ

(1,2) adalah fungsi diri(1,2) adalah fungsi diri ˆˆ ₁₂₁₂ dengandengan

nilai diri nilai diri

λλ

:: ˆˆ ₁₂₁₂

ψ

(1,2) =(1,2) =

λλ ψ

ψ

(1,2)(1,2) ˆˆ ₁₂₁₂22 == ˆˆ ₁₂₁₂ .. ˆˆ ₁₂₁₂ ˆˆ ₁₂₁₂22

ψ

(1,2) =(1,2) = ˆˆ ₁₂₁₂ ˆˆ ₁₂₁₂

ψ

(1,2)(1,2) = = ˆˆ ₁₂₁₂

λλ ψ

ψ

(1,2)(1,2) = =

λλ

ˆˆ ₁₂₁₂

ψ

(1,2)(1,2) = =

λλ

22

ψ

_(1,2)_(1,2) Ka

Karreena na sesettiaiap p peperrmumuttasasi i ddua ua kakali li haharrusus kembali ke keadaan semula, maka nilai

kembali ke keadaan semula, maka nilai

λλ

22

harus sama dengan 1. harus sama dengan 1.

2 2₌₁₌₁_→_→ _{= +1 dan}_{= +1 dan} _{= -1}_{= -1} ↓ ↓ ↓↓

ψ

ss (1,2)(1,2)

ψ

aa (1,2)(1,2) ( (ssiimmeettrrii)) ((aannttiissiimmeettrrii))

Untuk sistem 2 partikel identik, 1 partikel Untuk sistem 2 partikel identik, 1 partikel dalam keadaan

dalam keadaan

ψ

αα , lainnya dalam keadaan, lainnya dalam keadaan

ψ

ββ ,, mamaka ka fufungngsi si gegelolombmbanang g sisimemetrtri i dadann

anti simetri yang mungkin adalah: anti simetri yang mungkin adalah:

ψ ψ ss (1,2)=(1,2)= ₂₂ 1 1 { {ψ ψ αα (1)(1) ψ ψ ββ (2) +(2) + ψ ψ αα (2)(2) ψ ψ ββ (1)}(1)}

(6)

ψ ψ aa (1,2)=(1,2)= ₂₂ 1 1 { {ψ ψ αα (1)(1) ψ ψ ββ (2) -(2) - ψ ψ αα (2)(2) ψ ψ ββ (1)}(1)}

1. Sistem yang mengandung partikel identik dengan 1. Sistem yang mengandung partikel identik dengan

spin ½ bilangan gasal (spin ½, 3/2, ……) spin ½ bilangan gasal (spin ½, 3/2, ……) dideskripsikan dengan

dideskripsikan dengan fungsi gelombangfungsi gelombang

antisimetris

Contoh: Contoh:

Elektron, proton dan netron

Partikel-partikel tersebut disebut “

Partikel-partikel tersebut disebut “FermionFermion””

Mengikuti

Mengikuti statistik Fermi-Diracstatistik Fermi-Dirac

2. Sistem yang mengandung partikel identik dengan 2. Sistem yang mengandung partikel identik dengan

spin berupa bilangan bulat (spin 0, 1, 2, ……) spin berupa bilangan bulat (spin 0, 1, 2, ……)

dideskripsikan dengan fungsi gelombang simetris. dideskripsikan dengan fungsi gelombang simetris. Contoh

Contoh::

Foton, partikel α

Partikel tersebut disebut “

Partikel tersebut disebut “BosonBoson””

Mengikuti

(7)

SISTEM N FERMION IDENTIK

Fungsi

Fungsi Gelombangnya Gelombangnya adalahadalah antisimetrisantisimetris (terjadi pertuktaran pasangan partikel)

(terjadi pertuktaran pasangan partikel) Contoh:

Contoh:

Fungsi gelombang 3 partikel fermion, berbentuk:

[ [ ((11,,22,,33)) ((22,,11,,33)) ((22,,33,,11)) ((33,,22,,11)) ((33,,11,,22)) ((11,,33,,22))]] 6 6 1 1 )) 3 3 ,, 2 2 ,, 1 1 (( ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ aa == −− ++ −− ++ −−

Fungsi gelombang 3 partikel boson, berbentuk:

[ [ ((11,,22,,33)) ((22,,11,,33)) ((22,,33,,11)) ((33,,22,,11)) ((33,,11,,22)) ((11,,33,,22))]] 6 6 1 1 )) 3 3 ,, 2 2 ,, 1 1 (( ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ s s == ++ ++ ++ ++ ++

Untuk system N fermion yang tidak berinteraksi satu Untuk system N fermion yang tidak berinteraksi satu dengan yang lain maka:

dengan yang lain maka:

)) (( 2 2 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 2 2 1 1 ii ii ii N N ii ii x x V V m m P P H H H H H H + + = = = =∑∑ = =

Jika fungsi diri suatu partikel adalah U

Jika fungsi diri suatu partikel adalah UEk Ek (x), maka:(x), maka: ))

(( ))

((

ˆˆ_k_kU U _E_Ek_k x x E E _k_kU U _E_Ek_k xx_k_k H

H ==

Untuk N partikel berlaku:

E E E E E E E E x x U U x x U U x x U U N N U U N N E EU U N N U U H H N N N N E EN N E E E E E E E E E E = = + + + + + + = = = = ... ... )) (( )... )... (( )) (( )) ,.... ,.... 2 2 ,, 1 1 (( )) ,.... ,.... 2 2 ,, 1 1 (( )) ,... ,... 2 2 ,, 1 1 (( ˆˆ 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1

(8)

Untuk 2 partikel fermion:

[ [ (( )) (( )) (( )) (( ))]] 2 2 1 1 )) 2 2 ,, 1 1

(( U U ₁₁ x x₁₁ U U ₂₂ x x₂₂ U U ₁₁ x x₂₂ U U ₂₂ xx₁₁ U

U _a_a == _E_E _E_E −− _E_E _E_E

Untuk 3 partikel fermion :













−−

++

−−

++

−−

==

))((

66

11 ))33,,22

,,11((

22 33 33 22 11 11 22 33 11 22 33 11 11 33 22 22 33 11 11 33 33 22 22 11 33 33 11 22 22 11 33 33 22 22 11 11

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

x x

U U

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E aa

Secara umum untuk N partikel:

(9)

)) (( . . .. . . . . . . .. . . ) ) . . . .. . . . (( ) ) . . . .. . . . (( )) (( . . .. . . . . . . . . ) ) . . . .. . . . (( ) ) . . . .. . . . (( )) (( . . .. . . . . . . . . ) ) . . . .. . . . (( ) ) . . . .. . . . (( !! 11 )) , . . . . , . . . . 33,, 22,, 11(( 22 11 22 22 22 11 22 11 22 11 11 11 N N E E N N E E N N E E N N N N E E E E E E N N E E E E E E aa x x U U x x U U x x U U x x U U x x U U x x U U x x U U x x U U x x U U N N N N U U   == (x

(x11), (x), (x22), …… (x), …… (x N N) ) posisi posisi partikelpartikel U

UE1E1, U, UE2E2, …….U, …….UENEN fungsi dirifungsi diri

FERMION, PRINSIP ESKLUSI PAULI, FERMION, PRINSIP ESKLUSI PAULI,

ENERGI FERMI ENERGI FERMI

FERMION

(10)

Un

Unttuk uk ssisistetem m 2 2 ffeerrmimioon n idideentntikik, , bebentntukuk fungsi gelombang adalah:

fungsi gelombang adalah:

ψ

aa (1,2)=(1,2)= ₂₂_!! 1 1

ψ

11 (1)(1)

ψ

11(2)(2)

ψ

22 (1)(1)

ψ

22(2)(2)

•• Bila 2 fermion ( elektron ) berada dalamBila 2 fermion ( elektron ) berada dalam

kkeeaaddaaaan n yyaanng g ssaamma a ddaan n eenneerrggi i yyaanngg sama

sama →→maka determinan = 0.maka determinan = 0.

••

JJaaddi i ssuuaattu u kkeeaaddaaaan n yyaanng g eenneerrggiinnyyaa tertentu, dengan momentum sudut sama tertentu, dengan momentum sudut sama dan spinnya berbeda, hanya dapat di isi dan spinnya berbeda, hanya dapat di isi oleh 2 elektron.

oleh 2 elektron.

Di kenal dengan prinsip esklusi Pauli Di kenal dengan prinsip esklusi Pauli

1.

1. “Tidak terdapat 2 elektron dalam sebuah“Tidak terdapat 2 elektron dalam sebuah atom yang dapat berada dalam keadaan atom yang dapat berada dalam keadaan kkuauantntum um yayang ng sasamama. . MMasasining g – – mmasasiningg e

elleekkttrroon n ddaallaam m sseebbuuaah h aattoom m hhaarruuss memiliki kumpulan bilangan kuantum n, memiliki kumpulan bilangan kuantum n, l, m

l, mll dan mdan mss yang berbeda”.yang berbeda”.

2.

2. “ Elektron pada atom H“ Elektron pada atom H→→pada keadaanpada keadaan no

normrmal al beberarada da papada da kekeadadaaaan n kukuanantutumm terendah”.

terendah”. Apakah 92 e

Apakah 92 e-- _{pada uranium juga berada}_{pada uranium juga berada}

dalam keadaan kuantum yang sama? dalam keadaan kuantum yang sama?

(11)

Tidak Mungkin

Tidak Mungkin!!

M

Meerreekka a aakkan an beberrddeessakakaan n ddaalalam m 1 1 oorrbbiitt mengelilingi inti.

mengelilingi inti.

•• AAdda a ppeerrbbeeddaaaan n yyaanng g ssaannggaat t bbeessaarr

terhadap sifat kimia unsur yang hanya terhadap sifat kimia unsur yang hanya memiliki struktur atomik yang berbeda 1 memiliki struktur atomik yang berbeda 1 e e-- _saja._saja. Contoh Contoh:: 9 9F,F, 1010Ne,Ne, 1111NaNa ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ h

haallooggeenn ggaas s mmuulliiaa llooggaamm

•• J Jikika a sselelururuh uh ee-- beberarada da dadalalam m kekeadadaaaann

kuantum yang sama maka akan sulit bagi kuantum yang sama maka akan sulit bagi kkitita a uuntntuk uk mmenenjejellasaskakan n memengngapapa a adadaa perbedaan sifat ketika jumlah e

perbedaan sifat ketika jumlah e-- _berbeda._berbeda.

•• Prinsip esklusi Pauli memiliki konsekuensiPrinsip esklusi Pauli memiliki konsekuensi

bahwa: bahwa:

kkeeaaddaaaan n ddaassaar r bbaaggii N N eelleekkttrroonn

d

(12)

ssaannggaat t bbeerrbbeedda a ddi i bbaannddiinnggkkaann keadaan dasar untuk

keadaan dasar untuk N bosonN boson.. U

Unnttuuk k lleebbiih h jjeellaassnnyya a ttiinnjjaau u N N bbuuaahh pa

partrtikikel el ididenentitik k dadalalam m susumumur r popotetensnsiaiall tak berhingga: tak berhingga: V(x) V(x) 0 0 11 V(x)= V(x)=

∞

; ; x<0x<0 = 0 ; 0<x<b = 0 ; 0<x<b = = --

∞

; ; x>bx>b

Solusi persamaan Schrodinger pada x = 0 Solusi persamaan Schrodinger pada x = 0 dan x = b adalah: dan x = b adalah: U Unn = sin (= sin ( bb n n_πχ_πχ )) n = 1,2,3,………. n = 1,2,3,……….

Dengan nilai diri energinya: Dengan nilai diri energinya:

E Enn == 22 22 2 2 2 2 2 2 n n m mbb π π n = 1,2,3,………. n = 1,2,3,……….

(13)

•• J Jikika a N N ppararttikikeel l ididenenttik ik tterersesebubut t aadadalalahh

BOSON

BOSON, , maka maka dalam dalam keadaan keadaan dasar dasar (n=(n= 1), energinya adalah: 1), energinya adalah: E = E = N N m mbb22 2 2 2 2 2 2 π π

Energi per partikel (BOSON): Energi per partikel (BOSON):

N N E E = = 22 2 2 2 2 2 2mmbb π π

•• J Jikika a N N ppararttikikeel l ididenenttik ik tterersesebubut t aadadalalahh

FERMION,

FERMION, maka total energinya adalah:maka total energinya adalah:

••

E = E = 22 2 2 2 2 2 2 2 2 // 1 1 22 2 2 nn m mbb N N n n π π ∑ ∑ = = == ∑ ∑ = = 2 2 // 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 N N n n n n m mbb π π

Setiap state di isi oleh 2 elektron Setiap state di isi oleh 2 elektron sehingga state tertinggi

sehingga state tertinggi →→n =n =

2 2 N N E E nn ddnn m mbb N N n n ∫ ∫ = = ≅ ≅ 2 2 // 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 π π

≈≈

//22 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 N N n n mb mb π π

≈≈

11₃₃ 2 2 2 2 2 2 m mbb π π [( [( N N ₂₂ ))33_-1_-122_]]

≈≈

₂₂_..₄₄33 2 2 2 2 2 2 _N_N m mbb π π

Energi per partikel (

Energi per partikel ( fermionfermion ):):

N N E E = = ₂₂₄₄22 2 2 2 2 2 2 _N_N m mbb   π π

(14)

Fermion 1 dimensi

Fermion 1 dimensi →→kerapatan fermionkerapatan fermion

ρρ

== bb N N

•• Energi Fermi ( EEnergi Fermi ( E_f_f))



 Energi pada saat n =Energi pada saat n =

2 2 N N   EE_f_f= E= E_n_n ( pada n =( pada n = 2 2 N N )) E Ef f == (( ))22 22 22 2 2 2 2 N N mb mb π π = = 22 2 2 2 2 2 2 8 8 bb N N m m π π = = _π_π₈₈22_m_m22

ρρ

22 Tambahan: Tambahan: Perbedaan

Perbedaan

ψ

ss dandan

ψ

aa ::

••

ψ

_ss : kedua partikel 1 dan 2 dapat berada: kedua partikel 1 dan 2 dapat berada

da

dalalam m kekeadadaaaan n kukuanantutum m yayangng sama secara serentak (

sama secara serentak (

α

==

ββ

))

••

ψ

_a_a : jika: jika

α

==

ββ

→→berartiberarti

ψ

_a_a = 0, artinya= 0, artinya

kedua partikel tidak dapat berada kedua partikel tidak dapat berada d

daallaam m kkeeaaddaaaan n kkuuaannttuum m yyaanngg sama, sehingga

sama, sehingga

α

α ≠≠ ββ

sehinggasehingga

ψ

aa

≠≠

0.0.

S

Seehhiinngggga a jjiikka a kkiitta a bbaannddiinnggkkaan n ddeennggaann pr

prininsisip p esesklklususi i paupauli li mamaka ka beberarartrti i sisiststemem electron (

(15)

fu

fungngsi si gegelolombambang ng anantitisisimemetrtri i ( ( tatandndananyaya be

berlrlawawanaanan n ) ) jijika ka teterjrjadadi i pepertrtukaukararan n titiapap pasang elektron.