D. OPTIMISASI EKONOMI DENGAN KENDALA - Optimisasi dengan metode substitusi - Optimisasi dengan metode pengali lagrange

(1)

OPTIMISASI EKONOMI

Ari Darmawan, Dr. S.AB, M.AB Email: aridarmawan_fia@ub.ac.id A. PENDAHULUAN B. TEKNIK OPTIMISASI EKONOMI C. OPTIMISASI EKONOMI TANPA KENDALA

- Hubungan Antara Nilai

Total, Rata-rata dan Marjinal - Fungsi dan Diferensiasi - Turunan Fungsi D. OPTIMISASI EKONOMI DENGAN KENDALA - Optimisasi dengan metode substitusi - Optimisasi dengan

metode pengali lagrange

2

MODUL

O

P

T

IM

IS

A

S

I

E

K

O

N

O

M

I

Modul 2 ini membahas berbagai metode optimasi fungsi ekonomi. Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Memahami dan menerapkan untuk memaksimalkan laba perusahaan

2. Memahami metode-metode pengekspresian hubungan ekonomi 3. Memahami diferensial dan kaedah-kaedah penurunan fungsi

A. PENDAHULUAN

Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya sumber daya, telah menyebabkan individu dan masyarakat terpaksa untuk memiliih kebutuhan yang menjadi prioritas pertama. Sebagai manusia ekonomi, individu dan masyarakat berusaha untuk memenuhi kebutuhannya secara optimal berdasarkan sumber daya yang dimilikinya. Sub pokok dalam ekonomi manajerial berikut ini akan membahas penentuan alternatif kebutuhan yang optimal berdasarkan sumber daya yang dimiliki.

(2)

13

Dari sudut pandang ekonomi manajerial, pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna). Alternatif pilihan dapat dikatakan efektif jika tingkat output produksi mencapai tingkat yang maksimal berdasarkan pada tingkat penggunaan input yang telah ditetapkan. Pada sisi yang lain, alternatif pilihan dapat dikatakan efisien ketika tingkat output produksi mencapai tingkat yang maksimal telah mencapai tingkat yang maksimal dan dengan penggunaan input yang minimal. Berdasarkan pada sudut pandang ekonomi manajerial, terminologi optimalisasi ekonomi adalah maksimalisasi output dan minimalisasi input.

Pilihan yang optimal merupakan solusi yang efisien (berhasil guna) dan efektif (berdaya guna) merupakan hasil akhir dari pengambilan keputusan. Untuk membantu manajer dalam mengambil keputusan, terdapat beberapa metode kuantitatif untuk membantu dalam proses menemukan keputusan tindakan yang terbaik.

B. TEKNIK OPTIMISASI EKONOMI

Suatu proses pengambilan keputusan memerlukan suatu teknik yang dapat digunakan untuk membantu pengambil keputusan untuk menentukan keputusan. Teknik optimasi ekonomi ini pada umumnya menyederhanakan kompleksitas permasalahan dengan hanya memfokuskan pada ruang lingkup yang ditentukan dan sifatnya terbatas. Sebagai contoh, permasalahan dalam penetapan jumlah produknya untuk mencapai total pendapatan perusahaan yang telah ditetapkan sebelumnya. Untuk proses pengambilan keputusan, maka masalah optimasi ekonomi dapat diterapkan tiga teknik analisis yaitu: persamaan, tabel dan grafik dengan tujuan untuk menentukan suatu alternatif yang optimal.

Beberapa teknik dalam optimasi ekonomi dapat dilakukan melalui tiga metode, yaitu:

1. Persamaan fungsi

Persamaan fungsi merupakan persamaan matematis yang menyatakan hubungan antara dua hal. Beberapa contoh persamaan fungsi yang dibahas dalam ekonomi manajerial, antara lain:

a) Fungsi permintaan

Persamaan fungsi permintaan dalam dirumuskan sebagai berikut: 1) Q = a – bP

2) Q = 70 – 80P b) Fungsi penawaran

Persamaan fungsi penawaran dalam dirumuskan sebagai berikut: 1) Q = - a + bP

2) Q = - 20 + 45P

c) Hubungan antara kuantitas (Q) dan total pendapatan (TR) dapat diekspresikan sebagai berikut:

TR = f (Q) 2. Metode tabel

Metode tabel merupakan salah satu metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan tabel. Berikut ini akan dijelaskan contoh mengenai penggunaan metode tabel.

(3)

14

Contoh 2.1

Diketahui: Fungsi persamaan TR = 200Q

Hitung: Gambarkan hubungan ekonomi fungsi persamaan TR di atas Pembahasan:

Jumlah Unit Terjual Total Revenue

25 5.000

30 6.000

35 7.000

40 8.000

3. Metode grafik

Metode grafik merupakan salah satu metode yang yang menyatakan hubungan antara dua hal dengan menggunakan grafik. Berikut ini akan dijelaskan contoh mengenai penggunaan metode grafik.

Contoh 2.2

Diketahui: Fungsi persamaan TR = 200Q

Hitung: Gambarkan hubungan ekonomi fungsi persamaan TR di atas Pembahasan:

C. OPTIMISASI EKONOMI TANPA KENDALA

Sebelumnya telah dijelaskan untuk menggambarkan hubungan ekonomi secara sederhana hal dapat dijelaskan dalam bentuk persamaan, tabel dan grafik. Contoh mengenai aplikasi bentuk persamaan, tabel dan grafik, telah dijelaskan pada sub bagian sebelumnya.

TR=200Q D 25 30 5.000 Q P 35 40 6.000 7.000 8.000 D

(4)

15

Hubungan Antara Nilai Total, Rata-rata dan Marjinal

Analisis hubungan antara nilai total, rata-rata dan marjinal sangat berguna didalam menganalis optimisasi ekonomi. Nilai marjinal merupakan perubahan variabel terikat yang disebabkan karena adanya perubahan perubahan independen sebesar satu unit. Analisis hubungan ini juga bermanafaat untuk menganalisis: total penerimaan, total biaya dan laba yang akan diperoleh oleh perusahaan.

Salah satu analisis yang dapat digunakan untuk perusahaan untuk dapat memaksimalkan perusahaan adalah analisis hubungan biaya total, biaya rata-rata dan biaya marjinal. Berikut ini penjelasan dari analisis hubungan biaya total, biaya rata-rata dan biaya marjinal.

1. Biaya total (total cost, TC)

Biaya total merupakan jumlah total biaya secara keseluruhan yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi suatu produksi. Pada umumnya, biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan terdiri dari: a) biaya tetap total [total fixed cost], dan b) biaya variabel total [total variable cost]. Secara matematis, biaya total dapat dirumuskan sebagai berikut:

Biaya Total = Biaya Tetap Total + Biaya Variabel Total TC = TFC + TVC

Biaya Tetap Total (TFC) merupakan biaya produksi yang sifatnya tetap (tidak berubah) pada tingkat produksi berapapun.

Biaya Variabel Total (AVC) merupakan biaya produksi yang sifatnya berubah-berubah sesuai dengan jumlah output yang di produksi oleh perusahaan.

2. Biaya rata-rata (average cost, AC)

Biaya rata-rata merupakan jumlah biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk. Secara matematis, biaya rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut:

(Q) produk Jumlah (TC) total Biaya (AC) Cost Average =

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa biaya total terdiri Biaya Tetap Total (TFC) dan Biaya Variabel Total (TVC). Biaya rata-rata tidak hanya terkait pada Biaya Total, akan tetapi juga terkait dengan Biaya Tetap Total (TFC) dan Biaya Variabel Total (AVC), yaitu keberadaan Biaya Tetap Rata-rata (average fixed cost, AFC) dan Biaya Variabel Rata-rata (AVC). Berikut ini akan dijelaskan masing biaya tersebut.

a. Biaya tetap rata-rata (AFC)

Biaya tetap rata-rata (AFC) merupakan biaya tetap yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk. Untuk menentukan Biaya tetap rata-rata (AFC), dapat dirumuskan sebagai berikut:

(Q) produk Jumlah (TFC) total Biaya (AFC) Cost Fixed Average =

b. Biaya variabel rata-rata (AVC)

Biaya variabel rata-rata (AVC) merupakan biaya variabel yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk memproduksi satu unit produk. Untuk menentukan Biaya variabel rata-rata (AVC), dapat dirumuskan sebagai berikut:

(5)

16 (Q) produk Jumlah (TVC) variabel Biaya (AVC) Cost Variable Average =

Berdasarkan pada penjelasan di atas, maka dapat diketahui metode perhitungan Biaya total (TC) yang lain, yaitu:

TC = TFC + TVC

Jika dikembangkan lagi, maka dapat diketahui metode perhitungan Biaya rata-rata (AC) yang lain, yaitu:

AC =AFC + AVC

3. Biaya marjinal (marginal cost, MC)

Biaya marjinal (MC) merupakan tambahan biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan yang dikarenakan adanya pertambahan produk yang diproduksi. Untuk menentukan Biaya marjinal (MC), dapat dirumuskan sebagai berikut:

(Q) produk Jumlah (TC) total Biaya (MC) Cost Marginal ∆ ∆ = Contoh 2.3 Diketahui: Jumlah produk (Q) Biaya total (TC) 0 30 1 150 2 200 3 250 4 300 5 350

Hitung: perbandingan Biaya total, Biaya rata-rata, Biaya marjinal Pembahasan:

Perbandingan Biaya total, Biaya rata-rata, Biaya marjinal Jumlah produk (Q) Biaya total (TC) Biaya rata-rata (AC) Biaya marjinal (MC) 0 30 - - 1 150 150 120 2 200 100 25 3 225 75 25 4 240 60 15 5 250 50 10

(6)

17

Contoh 2.4

Diketahui: TC = 180 + 50Q

Hitung: perbandingan Biaya total, Biaya rata-rata, Biaya marjinal Pembahasan:

Perbandingan Biaya total, Biaya rata-rata, Biaya marjinal Jumlah produk (Q) Biaya total (TC) Biaya rata-rata (AC) Biaya marjinal (MC) 0 180 - - 1 230 230 50 2 280 140 50 3 330 110 50 4 380 95 50 5 430 86 50

Perhitungan secara detail, adalah sebagai berikut: TC = 180 + 50Q TC = 180 + 50 (0) = 180 TC = 180 + 50 (1) = 230 TC = 180 + 50 (2) = 280 TC = 180 + 50 (3) = 330 TC = 180 + 50 (4) = 380 TC = 180 + 50 (5) = 430 TC = 180 + 50Q Q TC AC = Q 50Q 180 AC = + 50 + = Q 180 AC − = + = 50 0 180 AC 230 50 = + = 1 180 AC 140 50 = + = 2 180 AC 110 50 = + = 3 180 AC 95 50 = + = 4 180 AC 86 50 = + = 5 180 AC TC = 180 + 50Q MC = 50

Jadi biaya marjinal (marginal cost untuk tambahan setiap satu unit adalah sebesar 50

(7)

18

Fungsi dan Diferensiasi

Fungsi merupakan bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan suatu variabel dengan variabel lain. Komponen-komponen yang membentuk suatu fungsi adalah:

1. Koefisien 2. Konstanta 3. Variabel

Variabel merupakan komponen penting yang membentuk suatu fungsi. Terdapat dua jenis variabel, yaitu:

a. Variabel bebas (independent variable), merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh variabel lain.

b. Variabel terikat (dependent variable), merupakan variabel yang dipengaruhi oleh variabel lain.

Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah: Y = f(x)

Contoh 2.5

Berikut merupakan contoh suatu fungsi: 1) Fungsi linear

Y = 86 - 0,67X, atau dapat dinyatakan, f(x) = 86 - 0,67X

2) Fungsi non linear

Y = 10 + 5X + X2, atau dapat dinyatakan, f(x) = 10 + 5X + X2

Turunan Fungsi

Turunan fungsi merupakan perubahan dari suatu fungsi yakni bagaimana variabel terikat mengalami perubahan terkait dengan perubahan variabel bebas. Notasi untuk menyatakan suatu fungsi adalah:

dx

dy

atau Y’ atau f’(x)

Syarat utama dari turunan fungsi, adalah sebagai berikut:

x

y

limit

dx

dy

0 x

∆

=

→ ∆ Intepretasi dari

x

y

limit

dx

dy

0 x

∆

=

→

∆ merupakan turunan Y yang berhubungan dengan

X, dimana

dx

dy

nilainya harus sama dengan x y

∆ ∆

saat ∆x mendekati angka nol.

Untuk menurunkan suatu fungsi, terdapat beberapa kaidah-kaidah untuk menurunkan suatu fungsi, atau dikenal sebagai Aturan Diferensiasi (Rules of

Differentiation). Berikut ini merupakan beberapa kaidah-kaidah atau aturan

untuk menurunkan suatu fungsi, antara lain: 1. Turunan dari fungsi y = C (konstanta)

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi y = C adalah: 0 = = y' dx dy Contoh 2.6: Y = 10, maka Y’ = 0

(8)

19 2. Turunan dari fungsi pangkat

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pangkat adalah: Fungsi pangkat Y = aXb X a b. y' dx dy ₌ ₌ b-1 Contoh 2.7: Y = 2X Y’ = 1 . 2 X1-1 Y’ = 2 Contoh 2.8: Y = 3X3 Y’ = 3 . 3 X3-1 Y’ = 9X2

3. Turunan dari penjumlahan atau pengurangan

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi penjumlahan atau pengurangan adalah:

Fungsi penjumlahan (pengurangan): Jika Y = u (X) ± v (X) dx dv dx du y' dx dy ± = = Contoh 2.9: Y = 4X + X2 Y’ = 4 + 2X Contoh 2.10: Y = 2X3 – 2X2 + 2X + 2 Y’ = 6X2 – 4X + 2

4. Turunan dari perkalian

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi perkalian adalah: Jika Y = u (X) × v (X) dx dv . v dx du . u y' dx dy ± = = atau: Y’ = u . v’ + v . u’ Contoh 2.11 : Y = 4X2_{(3X - 6)} Y’ = 4X2 . (3) + (3X - 6) . 8X Y’ = 12X + 24X2 – 48X Y’ = 24X2 – 36X 5. Turunan dari pembagian

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi pembagian adalah: Jika Y = u (X) : v (X) 2 v dx dv u dx du v v u Y' − = = atau: 2 v ) v' . (u -) u' (v. Y'= Contoh 2.12: 2 3X 4X Y 2 + =

( )

(

)

2 3 2 3X . 4X 8X . 2 3X dx dy Y' 2 + − + = =

(9)

20

( )

(

)

2 3 2 3X . 4X 8X . 2 3X dx dy Y' 2 + − + = =

(

)

2 2 2 3X X 1 16X 24X Y' 2 2 + − + =

(

)

2 2 3X 16X 12X Y' 2 + + =

6. Turunan dari fungsi berantai

Kaidah untuk menyatakan turunan fungsi berantai adalah: Jika Y = f(u) dimana u = g(x), maka

dx du v du dy dx dy y'= = + Contoh 2.13 : Y = (4X2 + 5)3, dimana u = 4X2 + 5 Y' = 3 (4X2 + 5)2 (8X) Y' = 16X (4X2 + 5)2

Menentukan Maksimasi dan Minimasi Dengan Kalkulus

Maksimasi dan minimasi seringkali dicari di dalam konsep optimasi. Perusahaan berkepentingan terhadap perhitungan maksimasi dan minimasi dikarenakan perusahaan ingin mengetahui jumlah pendapatan maksimal yang dapat diperoleh perusahaan dan seberapa besar biaya minimal yang harus dikeluarkan untuk memproduksi produk perusahaan. Adanya perhitungan maksimasi dan minimasi, maka perusahaan dapat mengetahui laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan. Untuk memaksimalkan labanya, perusahaan berusaha untuk memaksimalkan pendapatanya dan berusaha untuk meminimalkan biaya produksinya. Untuk menghitung maksimasi dan minimasi, fungsi derivatif harus bernilai nol. Berikut ini merupakan contoh untuk memperjelas konsep maksimasi dan minimasi, yaitu sebagai berikut.

Contoh 2.14 :

Diketahui: TR = 120Q – 10Q2

Hitung: Maksimasi TR (total revenue) Permbahasan:

TR = 120Q – 10Q2 TR’ = 120 – 20Q

TR yang maksimal ketika: 120 – 20Q = 0

– 20Q = – 120 Q = 6 unit

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka jumlah unit (Q) untuk mencapai TR maksimal adalah sebesar 6 unit. Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut:

(10)

21 TR = 120Q – 10Q2 Jumlah produk (Q) Penerimaan total (TR) 0 0 1 110 2 200 3 270 4 320 5 350 6 360 7 350 8 320 9 270 10 200 Contoh 2.15 Diketahui: TC = 200 + 25Q

Hitung: 1. Biaya rata-rata (average cost) 2. Biaya marjinal (marginal cost) Pembahasan: TC = 200 + 25Q Y’ = MC = 25 Q TC AC = 25 200 + = + = Q Q 25Q 200 AC

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka jumlah MC adalah sebesar 25 dan jumlah AC adalah 200 + 25

Q . Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut: Jumlah produk (Q) Biaya total (TC) Biaya rata-rata (AC) Biaya marjinal (MC) 0 200 - - 1 225 225,00 25 2 250 125,00 25 3 275 91,67 25 4 300 75,00 25 5 325 65,00 25 6 350 58,33 25 7 375 53,57 25 8 400 50,00 25 9 425 47,22 25 10 450 45,00 25

(11)

22

Jika contoh 2.14 dan contoh 2.15 digabung, maka perhitungannya akan dijelaskan dalam contoh berikut ini.

Contoh 2.16

Diketahui: 1. TR = 120Q – 10Q2 2. TC = 200 + 25Q Hitung: Laba yang optimal (∏) Pembahasan: ∏ = TR – TC = (120Q – 10Q2) – (200 + 25Q) = 120Q – 10Q2 – 200 – 25Q = – 10Q2 + 95Q – 200 = – Q2 + 9,5Q – 20

Untuk menentukan jumlah unit (Q) yang mana perusahaan dapat memperoleh laba yang optimal, selanjutnya akan dihitung sebagai berikut:

∏ = – Q2 + 9,5Q – 20 Y’ = – 2Q + 9,5 2Q = 9,5 Q = 4,75 = 5 unit (pembulatan) ∏ = – 10Q2 + 95Q – 200 = – 10 (5)2 + 95 (5) – 200 = – 250 + 475 – 200 = 25

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka perusahaan akan memperoleh laba yang optimal jika perusahaan memproduksi 5 unit produk. Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut:

Jumlah produk (Q) Penerimaan total (TR) Biaya total (TC) Laba 0 0 200 -200 1 110 225 -115 2 200 250 -50 3 270 275 -5 4 320 300 20 5 350 325 25 6 360 350 10 7 350 375 -25 8 320 400 -80 9 270 425 -155 10 200 450 -250

(12)

23

Contoh 2.17

Diketahui: 1. TR = 50Q – 0,5Q2

2. TC = Q3 – 12Q2 + 60Q + 4 Hitung: Laba yang optimal (∏)

Pembahasan: ∏ = TR – TC

= (50Q – 0,5Q2_{) – (Q}3_{– 12Q}2_{+ 60Q + 4)}

= 50Q – 0,5Q2_{– Q}3_{+ 12Q}2_{– 60Q – 4}

= – Q3 _{+ 11,5Q}2_{– 10Q – 4}

Untuk menentukan jumlah unit (Q) yang mana perusahaan dapat memperoleh laba yang optimal, selanjutnya akan dihitung sebagai berikut:

∏ = – Q3 + 11,5Q2 – 10Q – 4 Y’ = – 3Q2 + 23Q – 10 a . c . a . b b -Q 2 1,2 2 4 − ± = (-3) . (-10) . (-3) . ) 3 ( (23) -Q 2 1,2 2 4 2 − ± = 6 120 5 − − ± = -(23) ( 29) ( ) Q_1,2 6 409 − ± = -(23) Q_1,2 6 2 − ± = -(23) 0,22 Q1,2 n) (pembulata , , , 0,22 (23) -Q₁ 0 46 05 6 78 2 6 2 ₌ ₌ − − = − + = n) (pembulata , , 0,22 (23) -Q₂ 72 7 6 22 43 6 2 ₌ ₌ − − = − − = ∏ = – Q3 + 11,5Q2 – 10Q – 4 = – (7)3 + 11,5 (7)2 – 10(7) – 4 = – 343 + 563,5 – 70 – 4 = 146,5 = 147 (pembulatan)

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka perusahaan akan memperoleh laba yang optimal jika perusahaan memproduksi 7 unit produk. Jika dijelaskan dalam tabel, yaitu sebagai berikut:

(13)

24 Jumlah produk (Q) Penerimaan total (TR) Biaya total (TC) Laba 0 - 4,0 (4,0) 1 49,5 53,0 (3,5) 2 98,0 84,0 14,0 3 145,5 103,0 42,5 4 192,0 116,0 76,0 5 237,5 129,0 108,5 6 282,0 148,0 134,0 7 325,5 179,0 146,5 8 368,0 228,0 140,0 9 409,5 301,0 108,5 10 450,0 404,0 46,0

Memaksimumkan Fungsi Dengan Banyak Variabel

Pada pembahasan sebelumnya, kita mempelajari hubungan antara dua variabel saja. Secara matematis hubungan antara dua variabel dapat dirumuskan sebagai berikut: Y = f(X). Variabel Y sebelumnya pada umumnya menghitung mengenai: a) penerimaan total [TR], b) biaya total [TC], dan c) laba total [∏], yang dipengaruhi oleh satu variabel X yaitu jumlah kuantintas (Q). Pokok pembahasan selanjutnya adalah menganalisis hubungan ekonomi yang berkaitan dengan lebih dari dua variabel. Sebagai contoh hubungan lebih dari dua variabel dapat dirumuskan sebagai berikut: ∏ = f(X, Y). Intepretasi dari ∏ = f(X, Y) adalah laba yang optimal dipengaruhi atau tergantung oleh variabel X dan variabel Y. Untuk menentukan dampak marjinal pada variabel terikat (misalnya laba yang optimal) yang disebabkan karena adanya perubahan variabel X dan variabel Y, maka analisis perubahan variabel X dan variabel Y akan di analisis secara terpisah. Untuk menghitung dampak marjinal dari perubahan variabel X dan variabel Y, dapat menggunakan metode turunan parsial. Berikut ini merupakan contoh yang dapat memperjelas konsep turunan parsial, yaitu sebagai berikut.

Contoh 2.18

Diketahui: ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y Hitung: Laba yang optimal (∏)

Pembahasan:

Turunan parsial variabel X turunan dari ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY Y 8X 100 X π − − = ∂ ∂

Turunan parsial variabel Y turunan dari ∏ = f(X,Y) = XY – 5Y2 + 120Y 120 Y 1 X Y π + − − = ∂ ∂ 0

Untuk memaksimumkan fungsi laba, kita harus membuat setiap turunan parsial sama dengan nol.

0 Y 8X 100 X π = − − = ∂ ∂ 0 120 Y 1 X Y π = + − − = ∂ ∂ 0

(14)

25

Langkah selanjutnya adalah kalikan persamaan pertama dengan -10 dengan tujuan nilai Y menjadi nol, sehingga perhitungan akan sebagai berikut:

–1000 + 80X + 10Y = 0 120 – X – 10Y = 0 – 880 + 79X = 0 79X = 880 X = 11,14 = 11 (pembulatan) 100 – 8X – Y = 0 100 – 8 (11) – Y = 0 100 – 88 – Y = 0 12 – Y = 0 Y = 12

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui perusahaan akan memperoleh laba yang optimal ketika perusahaan menjual produk X sebesar 11 unit dan menjual produk Y sebesar 12 unit. Laba optimal yang akan diperoleh perusahaan adalah sebagai berikut:

∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y

= 100 (11) – 4 (11)2 – (11) (12) – 5 (12)2 + 120 (12) = 1100 – 484 – 132 – 720 + 1440

= 1204

D. OPTIMISASI EKONOMI DENGAN KENDALA

Sub pokok pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari optimisasi ekonomi tanpa kendala dan berikut ini kita akan mempelajari optimisasi ekonomi dengan kendala. Optimisasi ekonomi dengan kendala perlu kita perhatikan dikarenakan pada umumnya manajer perusahaan akan menghadapi berbagai kendala di dalam keputusan optimisasi. Beberapa kendala yang dihadapi oleh manajer perusahaan di dalam keputusan optimisasi, antara lain: a) terbatasnya kapasitas produksi, b) terbatasnya bahan mentah, c) terbatasnya sumber daya manusia, d) kendala hukum, dan lain-lain. Berdasarkan pada berbagai contoh tersebut, kita menghadapi permasalahan optimisasi yang terkendala, yaitu maksimisasi dan minimalisasi dengan kendala.

Berikut ini dua metode yang dapat digunakan untuk menganalisis optimisasi ekonomi dengan kendala, yaitu:

1. Optimisasi terkendala dengan substitusi

Metode ini mengubah permasalahan optimisasi terkendala menjadi permalsalahan optimisasi tanpa kendala, dengan cara memecah persamaan kendala untuk satu variabel keputusan dan kemudian mensubstitusikan nilai ini ke dalam persamaan optimisasi terkendala. Berikut ini merupakan contoh untuk memperjelas konsep optimisasi terkendala dengan substitusi, adalah sebagai berikut.

Contoh 2.19

Diketahui: 1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2_{– XY – 5Y}2_{+ 120Y}

2. X + Y = 20 Hitung: Laba yang optimal (∏) Pembahasan:

(15)

26 Fungsi kendala

X + Y = 20 X = 20 – Y

Persamaan optimisasi dengan kendala ∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y

= 100(20 – Y) – 4(20 – Y)2 – (20 – Y)Y – 5Y2 + 120Y

= 2000 – 100Y – 4(400 – 40Y + Y2) – 20Y + Y2 – 5Y2 + 120Y = 2000 – 100Y – 1600 + 160Y – 4 Y2_{– 20Y + Y}2_{– 5Y}2_{+ 120Y}

= – 4 Y2_{+ Y}2_{– 5Y}2_{– 100Y + 160Y – 20Y + 120Y + 2000 – 1600}

= – 8 Y2_{+ 160 Y + 400}

Untuk memaksimumkan optimisasi tanpa kendala di atas, kita harus menurunkan persamaan tersebut, yaitu:

16 16Y Y π 0 0 = + − = ∂ ∂ - 16Y = - 160 Y = 10

Langkah selanjutnya adalah mensubsitusikan nilai Y=10 kedalam persamaan kendala, maka perhitungan adalah sebagai berikut:

X + Y = 20 X + 10 = 20 X = 20 – 10 X = 10

∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y

= 100 (10) – 4(10)2 – (10) (10) – 5(10)2 + 120 (10) = 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200

= 1200

2. Optimisasi terkendala dengan metode pengali Lagrange

Metode lainnya yang dapat digunakan untuk menganalisis optimisasi terkendala, dapat digunakan metode pengali Lagrange. Berikut ini merupakan contoh untuk memperjelas konsep optimisasi terkendala dengan metode pengali Lagrange, adalah sebagai berikut.

Contoh 2.20

Diketahui: 1. ∏ = f(X,Y) = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y 2. X + Y = 20

Hitung: Laba yang optimal (∏) Pembahasan:

Fungsi kendali, X + Y = 20, maka: X + Y – 20 = 0

(16)

27 Fungsi lagrange, adalah:

L∏ = 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y

= 100X – 4X2 – XY – 5Y2 + 120Y λ (X + Y – 20)

Langkah berikutnya adalah mencari turunan parsial L∏ terhadap X, Y dan λ dan

ditetapkan sama dengan nol, sehingga dapat diperoleh: λ Y 8X X L_π 0 100 − − + = = ∂ ∂ λ 120 Y 1 X Y L_π 0 0 + + = − − = ∂ ∂ 20 Y X λ L_π 0 = − + = ∂ ∂

Langkah berikutnya adalah, λ Y 8X X L_π 0 100 − − + = = ∂ ∂ dikurangi oleh λ 120 Y 1 X Y L_π 0 0 + + = − − = ∂ ∂ , maka 100 – 8X – Y = 0 120 – X – 10 Y = 0 – - 20 – 7X + 9 Y = 0

Langkah berikutya adalah, mengalikan persamaan X + Y – 20 dengan angka 7, sehingga perhitungannya sebagai berikut:

7X + 7 Y – 140 = 0 – 7X + 9 Y – 20 = 0 + 16 Y – 160 = 0 16 Y = 160 Y = 10 X + Y – 20 = 0 X + 10 – 20 = 0 X – 10 = 0 X = 10

Berdasarkan pada perhitungan di atas, maka dapat diketahui nilai X sebesar 10 dan nilai Y sebesar 10, maka langkah berikutnya adalah mencari nilai

λ Y 8X X L_π 0 100 − − + = = ∂ ∂ 100 – 8X – Y + λ = 0 100 – 8 (10) – 10 + λ = 0 100 – 80 – 10 + λ = 0 10 + λ = 0 λ = - 10 - X – 10 Y + 120 + λ = 0 - (10) – 10 (10) + 120 + λ = 0 - 10 – 100 + 120 + λ = 0 10 + λ = 0 λ = - 10

(17)

28

Intepretasi dari λ sebesar –10 adalah perubahan penurunan satu unit dari kendala dari 20 menjadi 19, akan menyebabkan penurunan laba sebesar 10, atau dengan kata lain, perubahan peningkatan satu unit dari kendala dari 20 menjadi 21, akan menyebabkan peningkatan laba sebesar 10.

∏ = 100X – 4X2_{– XY – 5Y}2_{+ 120Y}

= 100 (10) – 4(10)2_{– (10) (10) – 5(10)}2_{+ 120 (10)}

= 1000 – 400 – 100 – 500 + 1200 = 1200

REFERENSI

Arsyad, Lincolin. 2011. Ekonomi Manajerial. BPFE

Salvatore, Dominick. 1989. Managerial Economics. McGraw-Hill

PROPAGASI

1. Sebut dan jelaskan mengenai optimisasi ekonomi.

2. Sebut dan jelaskan mengenai metode dalam optimisasi ekonomi.

3. Jelaskan perbedaan antara: biaya total, biaya rata-rata, biaya marjinal. 4. Hitung laba optimal dari fungsi:

TR = 100Q – 20Q2 TC = 200 + 2Q