Desain Cover : Sandi Agus & Yoyok Yulianto

(1)

(2)

Desain Cover : Sandi Agus & Yoyok Yulianto

Seminar Nasional Matematika ( 2009 : Jember)

Prosiding seminar nasional matematika, Jember 28 Pebruari 2009 Penyunting, Kiswara A Santoso. - - Jember : Jurusan Matematika 1104 hlm; ilus.;. 27 cm

Termasuk Bibliografi dan Indeks ISBN : 979-8176-66-9

I. MATEMATIKA – KONGRES DAN KONVENSI II. Seminar Nasional Matematika 2009

III. SANTOSO, Kiswara Agung

IV. Universitas Jember, Fakultas MIPA, Jurusan Matematika

(3)

Prakata : i

PRAKATA

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmatNya Prosiding Seminar Nasional Matematika 2009 dapat diterbitkan. Prosiding ini merupakan kumpulan dari sebagian besar artikel ilmiah yang disajikan pada Seminar Nasional Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember pada tanggal 28 Pebruari 2009.

Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada editor prosiding dan seluruh panitia seminar yang telah bekerja keras menyusun prosiding Seminar Nasional Matematika 2009. Semoga dokumentasi yang terdapat didalamnya dapat bermanfaat bagi para pembaca

Jember, Maret 2009 Ketua Panitia,

(4)

Dari Editor : ii

DARI EDITOR

Untuk menghasilkan penelitian yang baik perlu adanya konsep dan teori yang jelas serta dukungan dari penelitian-penelitian yang telah ada sebelumnya. Buku ini merupakan hasil penelitian dari sebagian besar makalah yang disajikan dalam Seminar nasional Matematika 2009 yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember

Bidang-bidang khusus yang menjadi topik bahasan dalam seminar ini adalah Matematika Terapan, Analisis, Kombinatorik, Statistika, dan Keguruan. Artikel yang disajikan dalam prosiding ini diharapkan dapat menjadi sumbangan pengetahuan bidang Matematika bagi masyarakat pada umumnya dan para peneliti pada khususnya.

Prosiding ini selain dicetak dalam bentuk hardcopy juga diberikan kepada para peserta yang berminat dalam bentuk CD dengan file yang berupa pdf. Selanjutnya buku ini diharapkan dapat menjadi acuan pengembangan maupun peningkatan kualitas penelitian ke depan.

Jember, Maret 2009 Editor

(5)

Daftar isi : i-x

DAFTAR ISI

Halaman PRAKATA ... i DARI EDITOR ... ii DAFTAR ISI ... iii BIDANG ANALISIS

Studi Komprehensif Terhadap Sebuah Bukti Tidak Langsung Dari Teorema Basis Hilbert

Adi Mesya ... 1 Karakteristik Transmisi Gelombang Optik Pada Grating Linear

Sinusoidal Tak-Homogen

Agus Suryanto ... 7 Algoritma Kode Grup Pada Gaussian Channel Dengan

Pemrograman Geometrik

Agustina Pradjaningsih ... 19 Sistem Persamaan Linear Overdetermined

Alfanuha Yushida, Irawati ... 30 Pelabelan Graceful pada Graph Bintang Rangkap dan Tp Trees

Budi Rahadjeng, Inung Auliya ... 44 Grup Homologi Pada Simplicial Complex

Ema Carnia, Sri Wahyuni, Irawati, Setiadji ... 50 Kajian Perkalian Antara Dua Matriks Alternating

Hendarto, Irawati ... 60 Magic Square Dan Dekomposisi Jumlah Langsung Magic Square

And Direct Sum Decomposition

Nurul Afifah, Irawati ... 69 Himpunan Kritis Pada Graf Cycle Caterpillar

Chairul Imron ... 78 Kajian Seputar N -Homomorfisma

(6)

Daftar isi : i-x Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup Yang Dibangun Oleh

Subhimpunan Fuzzy

Karyati , Sri Wahyuni, Budi Surodjo, Setiadji ... ... 103 Dekomposisi Qr Dengan Menggunakan Eliminasi Gauss

Marhayati, Irawati ... 112 Identifikasi Operator Linear Yang Dapat Didiagonalkan

Michrun Nisa Ramli , Irawati ... 122 Teorema Spektral Tanpa Determinan

Nabilah Faizah, Irawati ... 133 Kaitan Antara Nilai Singular Dan Nilai Eigen Dari Suatu Matriks

Persegi

Pesma Diana, Irawati ... 149 Analisis Kinerja Algoritma Matching Maksimum Dan Aplikasinya

Pada Masalah Penugasan (Assignment Problem)

Sapti Wahyuningsih ... 155 Aplikasi Metode Faktorisasi Masalah Cauchy Degenerate Pada

Masalah Sistem Control Abstrak Degenerate

Susilo Hariyanto, Salmah ... 166 The Super Edge-Magic Deficiency Of Disconnected Complete

Bipartite Graphs

A.A.G. Ngurah ... 177 Sobolev Spaces of Functions on the Unit Square

Abdul Rouf Alghofari ... 182 BIDANG STATISTIKA

Memprediksi Interval Reliabilitas Produk Dengan Metode Bootstrap Persentil

Akhmad Fauzy ... 188 Ketakonvergenan Dalam Model Log-Binomial: Regresi Risiko

Relatif Dengan Pendekatan Poisson Dan Metode Copy

Alfian Futuhul Hadi, Netti Herawati ... 195 Negative-Binomial Regression In The Prespective Of Generalized

Linear Models: Canonical Link Vs Logaritmic Link Function

(7)

Daftar isi : i-x Teknik Pemulusan Log-Spline : Suatu Pendekatan

Non-Parametrik Pada Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang

Aunuddin, Alfian Futuhul Hadi ... 216 Spline Estimator In Multi-Response Nonparametric Regression Model

Budi Lestari, I Nyoman Budiantara, Sony Sunaryo, Muhammad Mashuri ... 226 Model Thin Plate Spline (Tpspline) Dan Perbandingannya Dengan

Model Alternating Conditional Expectations (Ace) Untuk Menduga Fungsi Respon Pergerakan Nilai Tukar Dollar

Dewi Retno Sari Saputro, Winita Sulandari ... 238 Pengaturan Kedatangan Eksternal Optimal Pada Antrian Jaringan

Jackson

Gumgum Darmawan ... 250 Indeks Stabilitas Ammi Untuk Penentuan Stabilitas Genotipe Pada

Percobaan Multilokasi

Halimatus Sa‘diyah, Ahmad Ansori Mattjik ... 259 Transformasi Box-Cox Pada Kasus Distribusi Heavy-Tailed

Herni Utami, Subanar, Dedi Rosadi ... 275 Visualisasi Data Melalui Analisis Komponen Utama (Pca)

Dibandingkan Dengan Analisis Komponen Utama Kernel (Kpca)

Ismail Djakaria, Suryo Guritno, Sri Haryatmi Kartiko ... 289 Model Probit Pada Respons Biner Multivariat Menggunakan Smle

Jaka Nugraha, Suryo Guritno, Sri Haryatmi ... 302 Similarity Based On Entropy For Binary Data

Kariyam ... 315 Metode Statistik Pada Pengukuran Aktivitas Ilmiah Indonesia

Dekade Terakhir Sebagai Aplikasi Dari Metode Bibliometrik

Sri Rahayu, Prakoso Bhairawa Putera ... 323 Pendeteksian Outlier Model Linear Multivariat Pada Produksi

Gula Dan Tetes Tebu

Makkulau, Susanti Linuwih, Purhadi, dan Muhammad Mashuri ... 334 Interpolasi Spasial Cokriging bagi Pemetaan Fosfor Tanah Sawah

Mohammad Masjkur ... 351 Perbandingan Model Respon Pemupukan Nitrogen Pada Padi Sawah

(8)

Daftar isi : i-x Estimasi Parameter Dan Pengujian Hipotesis Model Linier Spatial

Univariat Dengan Metode Maksimum Likelihood Terboboti

Sri Harini, Purhadi, Muhammad Mashuri, Sony Sunaryo ... 385

Value at Risk pada Varianasi Minimum dengan Volatilitas tak Konstan

Sukono, Subanar, Dedi Rosadi ... 393 Volatilitas Model FIGARCH Untuk Perhitungan Value at Risk

Sukono, Subanar & Dedi Rosadi ... 405 `OLS, LASSO and PLS Methods on Correlated Data

Yuliani Setia Dewi ... 417 Analisis Ragam Peubah Ganda (Manova) Pada Rancangan Acak

Lengkap(Ral) Pola Faktorial

Yuliani S.Dewi , Kensiwi Atiulloh ... 432 BIDANG TERAPAN

Peredaman Getaran Bereksitasi Sendiri Menggunakan Eksitasi Parametrik

Abadi ... 443 Algoritma Untuk Membangkitkan Data Sensor Kanan

Aceng Komarudin Mutaqin ... 454 Peramalan Tingkat Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia

Berdasarkan Data Fuzzy Time Series Multivariat

Agus Maman Abadi, Subanar, Widodo, Samsubar Saleh ... 462 Penentuan Waktu Awal Tercepat Pada Jaringan Kabur Dengan

Menggunakan Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo ... 475 Simulasi Penyebaran Aliran Debris 1 Dimensi Dengan Metoda

Beda Hingga

Bandung Arry Sanjoyo, Dieky Adzkiya,Lantip Trisunarno ... 485 Penerapan Model Kriging Untuk Memodelkan Fenomena Teknik

Aerodinamika

Budhi Handoko ... 496 Analisis Terhadap Tingkat Kepuasan Pelanggan Restoran

―Dundee‖ Delta Plaza Surabaya

(9)

Daftar isi : i-x Penentuan Rute Terpendek Pada Traveling Salesmen Problem

Dengan Simulated Annealing

Dian Savitri ... 519 Pemanfaatan Fungsi Spline Linear Pada Stereo Vision

Dwiretno Istiyadi Swasono, Handayani Tjandrasa ... 530 Factors That Influenced To The Satisfaction Of Skin Treament

Services To Customers

Edy Widodo, Dewi Suryaningrum ... 545 Analysis Value At Risk (Var) Of Portofolio With Variance

Covariance Methode

Edy Widodo & Halimatus Sa‘adah ... 560 Estimasi Penyebaran Polutan Di Udara

E. Apriliani, L. Hanafi, N. Wahyuningsih ... 574 The Application Of Gap Analysis In Improving The Quality Of

Transportation Services Trans Jogja

Kariyam, Ramdhani, B.E. , Wahyuni, A.T, Iswahyudi, H. ... 587 Penentuan Kriteria Sistem Persediaan Dengan Pelayanan Dan

Retrial Of Customers Pada Current Inventory Level

Soehardjoepri ... 599 Perancangan Dan Simulasi Sistem Kontrol Posisi Panel Surya

Dengan Metode Sliding Mode Control (Smc)

Mardlijah, M Arif Junaidi ... 612 Model Inflasi Nasional Dengan Peredaran Mata Uang Dan Nilai

Tukar Rupiah Terhadap Dolar

Nuri Wahyuningsih, Fitri Meita Sari ... 624 Optimasi Pemilihan Tanaman Atau Ikan Yang Sesuai Dengan

Potensi Suatu Daerah

Sulistiyo, Anisah ... 644 Manajemen Traffic Light Berdasarkan Panjang Antrian

Menggunakan Algoritma Genetik

Kiswara Agung S, Subanar ... 657 Valuation Of Health Insurance Products Under Market-Consistent

Approach

(10)

Daftar isi : i-x Pemodelan Dampak Tumbuhan Beracun Pada Dinamika

Tumbuhan Herbivora

Nur Kolis ... 674 BIDANG KEGURUAN

Peningkatan Kualitas Pembelajaran Matematika Melalui Kolaborasi Lesson Study Dan Metakognitif

Akhsanul In‘am ... 684 Proses Berpikir Analogi Siswa Dalam Memecahkan Masalah

Matematika

Tatag Yuli Eko Siswono, Suwidiyanti ... 696 Karakteristik Penanaman Nilai Disiplin Dalam Menyelesaikan

Masalah Matematika

Bambang Suharjo ... 714 Karakteristik Abstraksi Reflektif Dalam Pemecahan Masalah

Matematika

Binur Panjaitan, M ... 728 Penerapan Pendekatan Open-Ended untuk meningkatkan hasil

belajar

Edy Wihardjo, Christine Wulandari, Yulianti ... 743 Penggunaan Kriptografi Pada Pembelajaran Matriks Di Kelas XII

Ella Nurfalah, Intan Muchtadi ... 755 Praktikum Untuk Kalkulus

Endah Asmawati, Joice Ruth Juliana ... 766 Wacana Pengembangan Profesi Guru Matematika

Gerzon Seran, Santje M. Salajang ... 775 Aktivitas Siswa dalam Pembelajaran Matematika menurut Model

STAD

Gerzon Seran & Santje M. Salajang ... 787 karakteristik Pemahaman Konsep Mahasiswa Fi

Herry Agus Susanto ... 799 Konstruktivisme Dan Pemahaman Konsep

(11)

Daftar isi : i-x Desain Pembelajaran Matematika Realistik (Pmri) Dengan Setting

Cooperative Learning Serta Pengaruhnya Terhadap Aktivitas Dan

Hasil Belajar Siswa Sltp Kelas I, II, Dan III Di Kabupaten Jember

Hobri ... 823 Penghalusan Pertanyaan Mahasiswa Melalui Pembelajaran

Berbasis Masalah

I Nengah Parta ... 866 Tanggapan Siswa Terhadap Kegiatan Lesson Study Tahap Do

(Pelaksanaan)

Indriati Nurul Hidayah ... 877 Pemecahan Masalah Matematika Oleh Siswa

Janet Trineke Manoy ... 888 Metode Belajar Semi-Mandiri Berbasis Kombinasi Belajar Individu

Dan Kerja Kelompok Dalam Praktek Dan Teori

Joice Ruth Juliana, Endah Asmawati ... 899 Identifikasi Proses Berpikir Anak Autis Dalam Menyelesaikan Soal

Matematika

Kamid ... 907 Aktifitas Metakognisi Dalam Memecahkan Masalah Matematika

Formal Dan Kontekstual

Mustamin Anggo, Mikarna Haryani ... 921 Alur Berpikir Mahasiswa Berkemampuan Sedang Dalam

Memecahkan Masalah Matematika Berdasarkan Langkah-Langkah Polya

Nurdin ... 935 Cara Mengetahui Metakognisi Siswa Dalam Menyelesaikan Soal

Pemecahan Masalah Matematika

Pradnyo Wijayanti ... 944 Kemampuan Siswa ―Camper” Di Kelas VII Sekolah Menenga

Pertama Dalam Menyelesaikan Masalah Matemátika

Sudarman, Akina ... 963 Peningkatan Kemampuan Koneksi Matematika Mahasiswa

Program Studi Fisika Tahun Pertama dengan Model Pembelajaran Pendekatan Open Ended pada Matematika Dasar

(12)

Daftar isi : i-x Proses Kognitif Pada Anak Tunanetra Dalam Menyelesaikan

Permasalahan Persegi Panjang

Susanto ... 987 Proses Metakognisi Siswa Sma Dalam Menyelesaikan Masalah

Matematika Ditinjau Dari Perbedaan Gender

Theresia Kriswianti Nugrahaningsih ... 1001 Pembelajaran Aljabar Linier Elementer Dengan Problem Posing

Tri Hapsari Utami, Indriati Nurul Hidayah ... 1021 Visualisasi Ungkapan Geometris Siswa Smp

I Wayan Ponter ... 1030 Profil Proses Kognitif Siswa Sd Dalam Pemecahan Masalah

Matematika Yang Terkait Dengan Sifat Komutatif Penjumlahan Bilangan Cacah

Wilmintjie Mataheru ... 1045 Strategi Bermain Dengan Alam Dalam Pembelajaran Konsep

Geometri Dimensi Tiga Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Dan Soft Skillss Siswa Kelas X MM SMK Negeri 1 Jember

Priwahyu Hartanti 1060

Membelajarkan Matematika Untuk Membangun Bangsa Unggulan Dalam Sains, Teknologi, Dan Industri

Abdur Rahman As‘ari ... 1072

INDEKS PENULIS ... 1083 INDEKS SUBYEK ... 1087

(13)

Susilo, dkk : 166-176 Aplikasi Metode Faktorisasi ...

APLIKASI METODE FAKTORISASI MASALAH CAUCHY DEGENERATE PADA MASALAH SISTEM CONTROL ABSTRAK DEGENERATE

1

Susilo Hariyanto, 2Salmah

1

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro; (Mahasiswa Universitas Gadjah Mada)

2

Jurusan Matematika FMIPA UGM ABSTRAK

Dalam artikel ini, akan diteliti penerapan metode faktorisasi masalah Cauchy degenerate pada masalah sistem kontrol abstrak degenerate. Permasalahan yang dibahas diformulasikan dalam ruang Hilbert H yang dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan langsung dari Ker M dan *

M

Ran . Dengan menggunakan beberapa asumsi dimungkinkan mereduksi permasalahan tersebut ke masalah Cauchy non-degenerate di ruang faktor H/Ker M. Akhirnya diperoleh beberapa konsekuensi dalam menyelesaikan masalah sistem kontrol degenerate.

Kata Kunci : Degenerate Chaucy problem, Degenerate control system.

PENDAHULUAN Perhatikan masalah Cauchy abstrak,

0 ) 0 ( ), ( ) ( ) (t Az t f t z z Mz dt d (1)

dengan operator M tidak harus mempunyai invers. Masalah Cauchy abstrak disebut masalah Cauchy abstrak degenerate jika M tidak mempunyai invers. Masalah Cauchy abstrak disebut masalah Cauchy abstrak nondegenerate jika M mempunyai invers.

Masalah Cauchy abstrak dalam kasus dimensi berhingga telah dibahas secara lengkap beserta contoh dan aplikasinya dalam teori control (Dai, L. 1980). Masalah Cauchy dalam kasus dimensi berhingga dapat dibahas dan dipahami secara lengkap, karena dimungkinkan membawa matrik M dan A dalam (1) ke bentuk normal bersama yang mempunyai penyelesaian tunggal untuk setiap nilai awal yang diberikan. Sedangkan dalam kasus dimensi takhingga diantaranya dibicarakan oleh Carrol dan Showalter (1976). Dalam pembahasannya diasumsikan bahwa operator M

(14)

self adjoint dan nonnegative. Selain itu masalah Cauchy dalam ruang ruang Banach juga telah dibahas (Favini, 1985).

Metode faktorisasi untuk menyelesaian masalah Cauchy abstrak degenerate dalam ruang Hilbert melalui penyelesaian masalah Cauchy abstrak nondegenerate dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu telah dibahas oleh Susilo(2002). Diantara asumsi-asumsi tersebut adalah diasumsikannya A, M operator-operator linier tertutup yang terdefinisi dense. Ruang Hilbert H dinyatakan sebagai hasil tambah langsung dari Ker M dan *

RanM . Selain itu juga diasumsikan pembatasan operator A pada

Ker M, yaitu *

) ( :

|KerM KerM D A KerM

A mempunyai invers. Untuk

mengawankan setiap penyelesaian nondegenerate ke degenerate didefinisikan suatu operator tertentu, sehingga penyelesaian masalah Cauchy abstrak degenerate dapat diperoleh dari penyelesaian nondegenerate. Metode faktorisasi dan pendekatan solusi masalah Cauchy degenerate dibahas oleh Thaller di tahun 1996 [16,17,18] dengan mengasumsikan operator A1, A2 merupakan generator dari semigrup kontinu kuat

dibahas oleh Kappel, Pazy [12,14]. Dalam artikel ini akan dibicarakan penerapan metode faktorisasi masalah Cauchy degenerate pada masalah sistem kontrol abstrak degenerate.

Konsep Dasar

Dalam menyelesaikan masalah Cauchy abstrak degenerate diawali menyelesaikan kasus homogen terlebih dahulu ( f(t) 0), yakni:

0 ) 0 ( ), ( ) (t Az t z z Mz dt d (2) dengan asumsi-asumsi berikut.

Asumsi 2.1:

Operator A,M tertutup dan terdefinisi secara dense di ruang Hilbert H dan dipetakan ke ruang Hilbert K.

Karena M operator tertutup, maka Ker M merupakan ruang bagian tertutup dari H. Misalkan P proyeksi ortogonal pada Ker M, akibatnya PT 1 P juga merupakan proyeksi ortogonal pada (Ker M) . Karena M tertutup dan terdefinisi dense dalam H, maka M* tertutup dan terdefinisi dense dalam K. Untuk selanjutnya misalkan pula

(15)

Q proyeksi ortogonal pada Ker M* , akibatnya T

Q =1-Q juga merupakan proyeksi

ortogonal pada (Ker M*) . Dengan demikian dapat dituliskan :

PH= Ker M, T

P H= (Ran M*) , QK= Ker M* dan T

Q K= (Ran M). Definisi 2.2:

Suatu penyelesaian strict dari degenerate Chauchy problem adalah suatu fungsi )

, 0 [ :

z H sehingga z(t) D(A) D(M) untuk semua t 0 , Mz continuosly differentiable dan memenuhi persamaan (2).

Setiap penyelesaian strict masalah Cauchy abstrak degenerate pasti memenuhi z(t) DA untuk semua t 0 , dengan

DA = { z(t) D(A)| Az(t) (RanM)}

Lemma 2.3:

Dengan asumsi 2.1 operator A | A

D tertutup.

Operator M injektif jika dan hanya jika Ker M={0}. Oleh karena itu agar dimungkinkan mereduksi operator M yang belum tentu mempunyai invers ke operator yang mempunyai invers terlebih dahulu didefinisikan operator pembatasan dari M pada (Ker M) D(M) sebagai berikut:

Mr = M |D(Mr), dengan D(Mr)= (ker M) D(M).

Operator | ₍ ₎

r

M

M _D =Mr mempunyai invers .

Misalkan PT 1{x(t)} merupakan bayangan invers dari x(t) (KerM) terhadap proyeksi T

P yaitu PT 1{x(t)}={x(t) y(t) | y(t) Ker M}, x(t) (KerM) .

Apabila diperhatikan himpunan PT 1{x(t)} belum tentu merupakan singelton. Selanjutnya didefinisikan operator A0 yang merupakan operator pembatas dari

operator A pada(KerM) sebagai berikut:

A0{x(t)} = A A

T

t x

(16)

dengan, D(A0)= A T )} t ( x { P | ) M Ker ( ) t ( x 1 D

Operator A0 bernilai tunggal jika A T

t x

P 1{ ( )} D merupakan singelton. Disisi lain himpunan PT 1{x(t)} belum tentu merupakan singelton Untuk itu diperlukan asumsi dan lemma berikut:

Asumsi 2.4:

PDA DA dan operator (QAP)|PDA mempunyai invers yang terbatas.

Lemma 2.5:

Dengan asumsi 2.1 dan 2.4 , maka vektor z(t) H merupakan anggota ruang bagian DA apabila z(t) D(A),Pz(t) (QAP) 1QAPTz(t).

Menurut lemma 2.5 setiap T

P t

x )( DA (ker M) menyatakan dengan tunggal

) (t

z DA sehingga x(t) = P z(t) dan z(t) = (1-(QAP)T -1QA) x(t). Selanjutnya dapat

didefinisikan operator ZA yaitu sebagai berikut:

T T

A P QAP QAP

Z ( ) 1

Operator ZA terdefinisi pada D (ZA) P DT A. Pembatasan

A T P A Z D | adalah QA QAP 1 ) (

1 pada P DT A yang merupakan invers dari proyeksi PT |D_A

dalam arti: ZAPT 1 pada DA dan A 1 T

Z

P , pada P DT A

Jadi operator A0 dapat dinyatakan menjadi

A0=A ZA , pada D(A0)= P DT A (2.2)

dan untuk setiap z(t) DA diperoleh A0x(t )= Az(t) dengan x(t) PTz(t). Karena

Az Q

Az T untuk semua z DA, maka operator A0 dapat ditulis dalam bentuk yang

simetrik yaitu:

A0= QTAPT QTAP(QAP) 1QAPT.

Untuk memfaktorkan A0 didefinisikan operator YA QT QTAP Q A P Q

1 ) ( . Oleh karena Y_AAP 0 , maka Y APT Y_AA A dan A0= A Y_A pada D(A0)= P DT A. (2.3)

(17)

Asumsi 2.6:

Operator A tertutup dan mempunyai invers terbatas

Dengan asumsi 2.1,ini ekuivalen dengan operator A injektif dengan Ran A= K. Hal ini berakibat

A

A|D mempunyai invers terbatas yaitu :

A A|D : DA T Q K ( A A|D ) -1 : T Q K DA

Dengan demikian operator A0-1 = (A ZA)-1 = _QT_K T

A

P 1| terbatas dan terdefinisi pada

T

Q K . Lemma 2.7:

Dengan asumsi 2.1, 2.4, dan 2.6 operator A0 tertutup pada D(A0)= P DT A.

Dengan mengkonstruksikan, untuk semua z DA, diperoleh Az= A0x, dengan

). ( )

(t P z t

x T Lebih lanjut untuk z D(M), Mz Mrx, dengan Mr operator

mempunyai invers. Jadi, degenerate Chauchy problem (2) dapat direduksi ke permasalahan: M x(t) A₀x(t), x(t) P z₀

dt

d T

r (2.4)

Bagaimana proses selanjutnya tergantung pada asumsi operator M. Asumsi 2.8:

DA D(M) dan memenuhi paling sedikit satu dari pernyataan berikut:

Kasus (a) Operator M mempunyai range tertutup. Kasus (b) Operator M mempunyai domain tertutup.

Jika asumsi 2.8, kasus (a) dipenuhi, dimungkinkan mendefinisikan operator A1=A0(M_r) 1pada domain alamiah

D(A1)={y T

Q

K| 1 ) (M_r y D(A0)}= T r

P

M

DA=MDA.

(18)

Operator A1 tertutup karena operator ini merupakan komposisi dari operator tertutup

A0 dan operator terbatas (Mr) 1. Operator A1 terdefinisi secara dense di ruang

Hilbert K0=(MD_A)

Jika asumsi 2.8, kasus (b) dipenuhi, maka didefinisikan operator A2=

0 1

)

(M_r A . Operator ini tertutup pada

D(A2)={x

P

TDA|A0x Ran M}=A0 1RanM, karena merupakan komposisi dari

operator invers terbatas 1 )

(Mr dengan operator tertutup A0. Operator A2 terdefinisi

secara dense di ruang Hilbert H0=

(

P

T

D

_A

)

.

Asumsi 2.9:

Operator A1 membangun semigrup kontinu kuat di K0. Operator A2 membangun

semigrup kontinu kuat di H0.

Teorema 2.10:

Dengan asumsi 2.1, 2.4, 2.6, 2.8 dan 2.9 berakibat pernyataan-pernyataan berikut: Kasus (a) untuk setiap nilai awal z₀ D_A degenerate Cauchy problem (2) mempunyai solusi strict tunggal

_z

₍

_t

₎

_Z

₍

_M

₎

1

_e

A1t

_Mz

₀

r

A .

Kasus (b) untuk setiap awal z0 A 1RanM dengan tunggal solusi strict (2) adalah

0

2

)

(

t

Z

e

P

z

_A At T

Selanjutnya diperhatikan masalah Cauchy degenerate nonhomogen berikut:

0 ) 0 ( ), ( ) ( ) (t Az t f t z z Mz dt d (2.5) Asumsi 2.11:

Dengan asumsi 2.1, 2.4, 2.6, 2.8, 2.9, 2.10 dan Mr terbatas dan mempunyai invers

(19)

Syarat perlu z adalah solusi dari (2.5) adalah z(t)=ZA

P

Tz(t)-(QAP)-1Qf(t),

untuk semua t 0. Sebagai konsekuensi dari syarat bahwa Az(t)+f(t) Ran M, dapat dengan mudah membatasi masalah (2.5) ke

M

x

(

t

)

A

₀

x

(

t

)

(

Q

AP

(

QAP

)

1

Q

)

f

(

t

)

dt

d

T T

r (2.6)

=A0 x(t)+YA f(t)

dengan A0=AZA=YA A seperti di persamaan (2.2) dan (2.3).

Dengan asumsi 2.11, masalah (2.6) menurut kasus (a) dan kasus (b) dapat ditranformasi ke ) ( ) ( ) (t A₁y t Y f t y dt d A atau ) ( ) ( ) ( ) (t A2x t M 1Y f t x dt d A r (2.7) Dengan 1 0 1 A (Mr) A dan 1 ₀ 2 (M ) A A _r .

Karena A-1 terbatas, dapat didefinisikan

g

(

t

)

P

T

A

1

f

(

t

)

dan menyatakan (2.7) ke )) ( ) ( ( ) (t A₂ x t g t x dt d . (2.8)

Jika g(t) didalam D(A2)= _A

T

D

P

, maka solusi dari persamaan (2.8) adalah x(t)= t s t A T t A

ds

s

g

A

e

z

P

e

0 2 ) ( 0

(

)

2 2 = t s t A T t A

ds

s

g

e

A

z

P

e

0 ) ( 2 0 2

(

)

2

Adapun solusi dari masalah originalnya adalah

(20)

PEMBAHASAN

Dalam bagian ini dibahas penerapan metode faktorisasi masalah Cauchy abstrak degenerate dalam teori kontrol dengan menggunakan beberapa asumsi. Diperhatikan masalah sistem kontrol degenerate berikut:

Mz(t) Az(t) Bu(t) dt

d

(3.1)

v(t)= Cz(t) (3.2)

Operator B memetakan dari ruang kendali U ke K dan operator C memetakan dari H ke ruang output V, dengan U dan V masing-masing ruang Hilbert.

B: U K dan C: H V

Untuk selanjutnya sistem 3.1 dan 3.2 dinotasikan (M,A,B,C).

Selain asumsi 2.11, diasumsikan pula operator B dan C terbatas dan memenuhi kondisi bahwa:

)

(

Ran

M

B

Ran

dan KerC KerM. (3.3)

Dengan menggunakan teorema 2.12, masalah 3.1 mempunyai solusi strict tunggal z(t,u,z0), bilamana Bu continuosly differentiable dan z0 DA. Fungsi

output v(t)=Cz(t) well defined dan kontinu di t untuk semua nilai awal z₀ H. Ini berakibat Cz=Cx untuk setiap z dan x=

P

T

z

, karena:

Cz=C(Pz+

P

T

z

)=C

P

T

z

=Cx, untuk setiap z dan x=

P

T

z

Dengan asumsi 2.1, 2.4, 2.6, 2.8, 2.9, sistem 3.1 dan 3.2 dapat direduksi ke bentuk nondegenerate (M_r mempunyai invers):

) ( ) ( ) (t A0x t Bu t x M dt d r (3.4) v(t)=Cx(t) (3.5)

Dengan asumsi 2.11, formulasi kasus (a) dan kasus (b) adalah ekuivalen dan diperoleh 2 metode ekuivalen untuk menentukan penyelesaian masalah (3.4), yaitu:

(21)

Metode (a), menunjukkan bahwa masalah kendali (M,A,B,C) dalam H dapat direduksi ke (1,A1,B1,C1) dalam Q K, dengan A1=A0(M_r) 1, B1=B, C1=C

1 ) (M_r .

Metode (b) menunjukkan bahwa masalah kendali (M,A,B,C) dalam H dapat direduksi ke (1,A2,B2,C2) dalam

P

TH, dengan A2=(M_r) 1A0, B2=(M_r) 1B,

C2=C.

Untuk membentuk kendali umpan balik dalam sistem 3.1 terlebih dahulu didefinisikan operator kendali K dengan D(K) H dan dipetakan ke ruang kendali U. Sehingga sistem kendali umpan balik degenerate didefinisikan sebagai:

) ( ) ( ) (t A BK z t Mz dt d (3.6)

Diasumsikan bahwa D(K) D(A), sehingga operator BK terbatas relatif terhadap A. Kita dapat memfaktorkan (3.6) seperti pada konsep dasar. Kondisi (3.3) mengakibatkan QB=0 dan DA+BK=DA. Kita definisikan (A+BK)0=(A+BK)ZA+BK pada

A T

D

P

, dengan

ZA+BK = 1-(Q(A+BK)P)-1Q(A+BK)

= 1- (QAP)-1QA=ZA pada _A

T

D

P

Dengan metode (a) diperoleh A1+B1K1 sebagai generatornya dengan K1=KZA(M_r) 1.

Dan dengan metode (b) A2+B2K2 sebagai generatornya dengan K2=K. Penyelesaian

dari sistem umpan balik degenerate (3.6) adalah z(t)=SA+BK(t) z0,

(22)

KESIMPULAN

Masalah sistem kontrol abstrak degenerate (3.1) - (3.2) dengan asumsi-asumsi tertentu dapat direduksi ke sistem kontrol abstrak non degenerate (3.4)-(3.5), sehingga lebih mudah untuk diselesaikan. Jika sistem (3.1) dilakukan kendali umpan balik, maka sistem (3.1) berubah menjadi (3.6) masalah Cauchy abtrak degenerate homogen. Dengan asumsi tertentu masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode faktorisasi pada Cauchy abstrak degenerate. Selanjutnya dengan operator tertentu solusi masalah Cauchy abstrak degenerate homogen dapat ditranformasi ke solusi masalah semula/original (3.6).

DAFTAR PUSTAKA

1. Carroll, R.W & Showalter,R.E, 1976, Singular and Degenerate Cauchy Problems, Math. Sci. Engrg., Vol. 127, Academic Press, New York-San Fransisco-London.

2. Dai, L., 1989, Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Inform, Sci., Vol.118, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.

3. Favini, A, 1979, Laplace Tranform Method for a Class of Degenerate Evolution Problems, Rend. Mat. Appl. (2) 12

4. Favini, A, 1980, Controllability Condition of Linier degenerate Evolution Systems, Appl. Math. Optim.

5. Favini, A., 1981, Abstract Potential Operator and Spectral Method for a Class of Degenerate Evolution Problems, J. Differential Equations, 39.Favini, A.,1985, Degenerate and Singular Evolution Equations in Banach Space, Math. Ann., 273.

6. A., Plazzi, P.,1988, On Some Abstract Degenerate Problems of Parabolic Type-1 the Linear Case, Nonlinear Analysis, 12

7. Favini, A., Plazzi, P.,1989, On Some Abstract Degenerate Problems of Parabolic Type-2 theNonlinear Case, Nonlinear Analysis, 13.

(23)

8. Favini, A., Plazzi, P.,1990 On Some Abstract Degenerate Problems of Parabolic Type-3 Applications to Linear and Nonlinear Problems, Osaka J. Math. 27.

9. Favini, A., Yagi, A.,1992, Space and Time Regularity for Degenerate Evolution Equations, J. Math. Soc. Japan,44.

10. Hernandez M, 2005, Existence Result For Second-Order Abstract Cauchy Problem With NonLocal Conditions, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2005.

11. Kappel, F. & Schappacher, W., 2000, Strongly Continuous Semigroups, An Introduction.

12. L. Byszewski, V. Lakshmikantham, 1991, Theorem About the Existence and Uniqueness of Solutions of A Semilinear Evolution Nonlocal Abstract Cauchy Problem in A Banach Space.

13. Pazy, A., 1983, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York.

14. Susilo, H & Lina, A, 2002, Metode Penyelesaian Masalah Cauchy Degenerate Melalui Masalah Cauchy Nondegenerate, Majalah Teknosains, Vol. 15 No.8, PascaSarjana UGM.

15. Thaller, B.: 1992, The Dirac Eqution, Text and Monographs in Physics, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg-New York

16. Thaller, B. & Thaller, S., 1996, Factorization of Degenerate Cauchy Problems : The Linear Case, J. Operator Theory, 121-146.

17. Thaller, B. & Thaller, S., 1996, Approximation of Degenerate Cauchy Problems, SFB F0003 ‖Optimierung und Kontrolle‖ 76, University of Graz.

18. Weidman, J., 1980, Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York