Pengujian Hipotesis (Hypothesis Testing)

(1)

Pengujian Hipotesis (Hypothesis Testing)  Pada awalnya kita mempunyai hipotesis

substansi, yaitu pernyataan awal yang bersifat sementara mengenai substansi penelitian atau pendapat (klaim) yang akan kita uji.

 Pengujian hipotesis, secara statistik, pada hakekatnya adalah suatu pengambilan

keputusan mengenai populasi berdasarkan informasi yang ada di dalam contoh.

 Prosedur yang akan kita pelajari berasal dari J. Neyman dan E.S. Pearson.

 Hipotesis statistic adalah suatu pernyataan

tentang sebaran peluang suatu peubah acak atau parameter populasi yang inheren dalam sebaran itu.

 Unsur-unsur Pengujian Hipotesis 1. Hipotesis nol, H₀.

- Pernyataan awal yang kita anggap benar sebagai titik tolak kerja.

- Biasanya berupa pernyataan yang bersifat “status quo” atau “tidak ada perbedaan.”

(2)

- Mengimplikasikan kita mempunyai sebaran tertentu yang spesifik.

- Berdasarkan informasi contoh, hipotesis nol akan diterima atau ditolak.

- Pengujian hipotesis pada hakekatnya adalah untuk memutuskan apakah

informasi yang dikandung dalam contoh merupakan bukti yang kuat(beyond

reasonable doubt) atau bukan bukti yang kuat untuk melawan H₀.

2. Hipotesis tandingan atau alternatif, H₁ atauH_a.

- Di dalam praktek biasanya merupakan pernyataan tandingan (lawan) daripada hipotesis nol.

- Hipotesis substansi atau klaim biasanya menjadi hipotesis tandingan.

3. StatistikUji (SU)

- Merupakan fungsi dari data contoh.

- Digunakan untuk memutuskan apakah data merupakan bukti kuat untuk melawanH₀. - Berdasarkan data contoh akan dihitung

(3)

4. Wilayah Penolakan (WP)

- Disebut juga wilayah kritis (critical region).

5. Kesimpulan.

- Kalau nilai statistic uji jatuh kedalam wilayah ini, hipotesis nol ditolak; kalau tidak jatuh kedalam wilayah ini, hipotesis nol diterima (tidak ditolak).

- Jika hipotesis nol ditolak, sering dikatakan data merupakan bukti yang kuat (within reasonable doubt) untuk menolakH₀. - Jika hipotesis nol diterima, ada dua

kemungkinan: hipotesis nol memang benar atau hipotesis nol salah tetapi data yang dimiliki/diperoleh tidak cukup kuat untuk menolaknya.

 Di dalam praktek, hipotesis nol-nya biasanya berbentuk H₀ :

 

 ₀,



₀_{adalah sebuah nilai} (bilangan real) tertentu.

 Hipotesis tandingan berbentuk: (1) H_a :

 

 ₀, atau (2) H_a :

 

 ₀, atau (3) H_a :

 

 ₀.

(4)

 Kalau hipotesis tandingannya berbentuk (1), ujinya dikatakan duaarah (two tailed); kalau berbentuk (2) atau (3), satuarah (one tailed).  Perlu diingat bahwa statistic uji adalah fungsi

dari contoh acak, jadi merupakan suatu peubah acak yang mempunyai sebaran peluang.

Teladan 1.Andaikan ingin diuji hipotesis nol 0 : 0

H

 

 lawanH_a :

 

 ₀,



₀sebuah nilai yang diketahui. Andaikan populasinya adalah normal dengan ragam



2 yang diketahui.Perhatikan X yang merupakan penduga tak bias bagi



yang di dasarkan pada contoh acak X X₁, ₂,..., X_n. Maka

0 X Z n







 merupakan fungsi dari contoh acak

1, 2,..., n

X X X dan mempunyai sebaran yang

diketahui, yaitu normal baku bilaH₀benar. Bila data telah diperoleh, misalnyax x₁, ₂,...,x_n, maka

0 x z n







(5)

 Definisi. Suatu hipotesis dikatakan sederhana (simple hypothesis) bila hipotesis itu

menspesifikasi sebarannya secara khas, artinya berdasarkan hipotesis itu sebarannya menjadi diketahui dan tertentu(khas). Hipotesis yang bukan hipotesis sederhana dikatakan hipotesis majemuk(composite).

Teladan 2.Hipotesis 1 2

p  adalah sederhana, sebab hipotesis itu menjadikan sebarannya diketahui dan tertentu, yaitu , 1 2 B n_ _  . Hipotesis 1 2 p  adalah majemuk, sebab walaupun sebarannya diketahui bentuk umumnya yaitu binom, namun belum

tertentu atau khas karena nilai parameter p belum diketahui pasti.

 Karena keputusan dalam pengujian hipotesis di dasarkan pada suatu contoh acak, maka

keputusan itu mungkin salah.

 Ada dua kesalahan (galat) yang mungkin terjadi. Galat Jenis I danGalat Jenis II.

(6)

 GalatJenis I (Type I Error) terjadi bila hipotesis nol yang benar ditolak.

 GalatJenis II (Type II Error) terjadi bila hipotesis nol yang salah diterima.

 Jadi kita menghadapi keadaan berikut:

Keputusan KeadaansebenarnyaH0 0

H benar H₀salah JangantolakH₀ Benar GalatJenis II TolakH₀ GalatJenis I Benar





_{adalah peluang terjadinya GalatJenis I:} 0 0

(menolak | benar)

P H H 







_{disebut juga taraf nyata (level of} significance).





_{adalah peluang terjadinya GalatJenis II:} 0 0

(menerima | salah)

P H H 



 Idealnya

 

  0. Namun itu hanya terjadi bila yang menjadi contoh adalah seluruh populasi (sensus).

 Kita ingin kedua jenis kesalahan itu peluangnya kecil.

(7)

 Bila ukuran contoh telah ditetapkan, n fixed, memperkecil



, akan memperbesar



, dan sebaliknya.

Teladan3. Sebuah took mainan anak mengatakan bahwa sedikitnya 80% anak perempuan lebih

menyukai mainan boneka dibandingkan

lainnya.Untuk menguji pernyataan toko itu, akan diamati 20 anakperempuan, dan dilihat apakah ia membeli boneka atau lainnya. Kita inginmenguji

0 : 0.8

H p  atauH₁ : p  0.8. Andaikan kita

membuat kaidah keputusan”TerimaH₀bila X 12 ( 13

X  )” Ini berarti bila X 12kita akan menolak 0

H .

a. Hitunglah



.

b. Hitunglah



untuk p  0.6 c. Hitunglah



untuk p  0.4.

d. Tentukan wilayah penolakan yang berbentuk X  k yang menghasilkan (i)



 0.01; (ii)

0.05



 .

e. Hitunglah



_untuk p  0.6jika wilayah

penolakannya seperti yang diimplikasikan oleh pertanyaan (d) bagian (ii).

(8)

Jawab

a. JikaH₀benar, maka p  0.8, 0 0 12 20 0 (menolak | benar) ( 12 | 0.8) 20 0.8 0.2 0.0321 x x x P H H P X p x



         _ _   



b. JikaH₀salahdan p  0.6, maka 0 0 20 20 12 12 20 0 (menerima | salah) ( 12 | 0.6) 20 0.6 0.4 20 1 0.6 0.4 1 0.584 0.416 x x x x x x P H H P X p x x



           _ _       _ _     



c. Jika p  0.4, maka

(9)

0 0 20 20 12 12 20 0 (menerima | salah) ( 12 | 0.4) 20 0.4 0.6 20 1 0.4 0.6 1 0.979 0.021 x x x x x x P H H P X p x x



           _ _       _ _     



d. (i) Kita harus menentukan k sedemikian rupa sehingga

( 12 | 0.8) 0.01 P X p



   

Dari table peluang kumulatif binom kita peroleh k 11.

(ii) Kita harus menetukan k sedemikian rupa sehingga

( 12 | 0.8) 0.05 P X p



   

Dari table peluang kumulatif binom kita peroleh k 12

e. Bila



 0.01, wilayah penolakannya adalah 11

(10)

0 0 20 20 12 11 20 0 (menerima | salah) ( 11| 0.6) 20 0.6 0.4 20 1 0.6 0.4 1 0.404 0.596 x x x x x x P H H P X p x x



           _ _       _ _     



Teladan 4.Andaikan X adalah peubah acak binom.Ingin diuji hipotesis H₀ : p  0.8_lawan

: 0.6.

a

H p  Andaikan ditetapkan



 0.03. Hitunglah



untukn 10_dann  20.

Jawab

Untukn 10. Dari table binom diperoleh ( 5 | 0.8) 0.03 P X  p  

Sehingga wilayah penolakannya adalah X  5. Dengan demikian,

(11)

0 0 (menerima | salah) ( 5 | 0.6) 1 ( 5 | 0.6) 0.733 P H H P X p P X p



        

Untukn  20. Dari table binom diperoleh ( 12 | 0.8) 0.03 P X  p  

Sehingga wilayah penolakannya adalah X 12. Dengan demikian, 0 0 (menerima | salah) ( 12 | 0.6) 1 ( 12 | 0.6) 0.416 P H H P X p P X p



        

Terlihat bahwa jika



_{telah ditetapkan,}

meningkatnya ukuran contoh akan menurunkan



; dan sebaliknya, menurunnya ukuran contoh akan meningkatkan



.

Teladan 5.Suatu contoh acak berukuran n  36dari populasi yang ragamnya diketahui, yaitu



2  9

(12)

hipotesis H₀ :



15_lawanH_a :



16pada taraf nyata



 0.05. Tentukan



.

Jawab

Di sini n  36, x  36_dan



2  9. Karena : 16

a

H



 _dan16 15 , maka logikanya kita akan cenderung menolak H₀_{jika x besar. Dengan kata} lain wilayah penolakan berbentuk X  c.

Berdasarkan definisi



, 0 0 (menolak | benar) 0.05 ( | 15) 15 0.05 3 36 P H H P X c c P Z





     _   _  _  

Dari tabel normal baku kita tahu bahwa ( 1.645) 0.05 P Z   . Dengan demikian 15 1.645 3 36 15.8225 c c   

(13)





0 0 (menerima | salah) ( 15.8225 | 16) 15.8225 16 3 36 0.36 0.3594 P H H P X P Z P Z





     _   _  _      