BAB II
LANDASAN TEORI
A. Matriks
1. Pengertian Matriks
Definisi II.A.1
Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks (Anton, 2000:45).
Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan kolom (garis vertikal) yang dikandungnya. Suatu matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom atau vektor kolom dan suatu matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris atau vektor baris.
Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai aij. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital A, B, K, dan sebagainya. Bentuk matriks secara umum,
Amxn=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
... ... ... ... ...
... ...
2 1
2 22
21
1 12
11
Anggota suatu matriks berindeks rangkap, misalnya pada matriks A di atas a12 menyatakan anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-2, sedangkan matriksAberordo m x n di tulisAmxn.
(Anton, 2000:45)
2. Macam-macam matriks
Macam-macam matriks diantaranya sebagai berikut: a. Matriks persegi
Suatu matriks disebut matriks persegi, jika banyaknya baris dan banyaknya kolom sama. Disebut juga matriks persegi berorde n.
(Anton, 2000:46) Contoh II.A.1 :
Matriks persegi 3 x 3
A3x3=
5 0 2
0 1 3
2 1 1
Pada matriks persegi unsur-unsur yang terletak pada garis penghubung
11
a dengan ann dinamakan diagonal utama. b. Matriks identitas
Suatu matriks persegi dimana anggota-anggotanya mempunyai niai 1 pada diagonal utama dan 0 pada anggota selain diagonal utamanya.
(Anton, 2000:63) Contoh II.A.2 :
1 0 0
0 1 0
c. Matriks Diagonal
Suatu matriks persegi dimana semua anggota di luar diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu anggota pada diagonal utama tidak sama dengan nol, biasanya diberi simbolD.
(Anton, 2000:94) Contoh II.A.3 :
3 0 0
0 2 0
0 0 1 D
3. Kesamaan matriks
Definisi II.A.3
Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggotanya yang bersesuaian sama.
(Anton, 1998 : 23) Contoh II.A.4 :
Diberikan matriks :
A
4 3
1 2
B
5 3
1 2
= 2 1 0 3 4 0 maka
4. Operasi Matriks
a. Penjumlahan matriks
Definisi II.A.4
Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah matriks A + B adalah matriks D yaitu matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota B dengan anggota-anggota A yang bersesuaian. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan (Anton, 1998 : 23). Contoh II.A.5 :
Diberikan matriks :
b. Perkalian skalar dengan matriks
Definisi II.A.5
JikaAadalah sebarang matriks dancadalah suatu skalar, maka
hasil kali(product) cAadalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggotaAdenganc(Anton, 1998 : 24). Contoh II.A.6 :
Diberikan matriks :
=
4 2 1 3 − 1 0
maka
2 = 2
4 2 1 3 − 1 0
2 =
8 4 2 6 − 2 0
dan
(− 1) = − 1
4 2 1 3 − 1 0
(− 1) =
− 4 − 2 − 1 − 3
1 0
Contoh II.A.7 : Diberikan matriks :
= 2 3 4
1 2 1 dan =
0 2 7 1 − 3 5
Dari definisi-definisi di atas maka
–B= 0 − 2 − 7
− 1 3 − 5
dan
A–B= 2 3 4 1 2 1 +
0 − 2 − 7 − 1 3 − 5
= 2 1 − 3 0 5 − 4
Jadi A – B dapat diperoleh secara langsung dengan mengurangkan anggotaBdari anggotaAyang bersesuaian.
(Anton, 1998 : 24)
c. Perkalian matriks dengan matriks
Definisi II.A.6
Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari anggota dalam baris i dalam kolom j dari AB , pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan anggota-anggota yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.
Contoh II.A.8 : Diberikan matriks :
KarenaAadalah matriks 2 x 3 dan Badalah matriks 3 x 4, maka hasil kaliABadalah sebuah matriks 2 x 4.
B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi II.B.1
JikaAadalah sebuah matrik nn , maka sebuah vektor yang tak nolx
di dalam Rndinamakan sebuahvektor eigen (eigen vector)dariAjika Axadalah kelipatan skalar darix, yaitu
Ax = x
Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value)
dariA dan x dikatakan sebuah vektor eigen yangbersesuaian dengan
(Anton, 1998: 277).
Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks A yang berukuran n
Ax = x
Agar menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tidak nol dari
persamaan (II.B.1) dan persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian
tidak nol apabila det
I A
0. (II.B.2)Persamaan (II.B.2) dinamakan persamaan karakteristik dari A, skalar
yang memenuhi persamaan tersebut adalah nilai eigen dari A. Apabila
IA
det dijabarkan, maka akan membentuk polinomial yang
dinamakanpolinomial karakteristikdariA.
(Anton, 1998: 278) Contoh II.B.9:
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
0 1
2 3
(3)(2)0
2 320 (II.B.3)
Persamaan (II.B.2) merupakan polinomial karakteristik dari matriks A. Dari persamaan(II.B.2)diperoleh:
0 2 3
2
(1)(2)0 1
1
dan 2
2
Jadi nilai eigen matriksAadalah 1 dan 2.
(Anton, 1998: 279)
C. Populasi, Ekosistem dan Pertumbuhan Populasi
ekosistem yaitu suatu unit fungsional yang terdiri dari berbagai ukuran yang tersusun dari bagian-bagian hidup (lingkungan biotik) dan bagian-bagian tak hidup (lingkungan abiotik) yang saling berinteraksi.
Dalam suatu ekosistem pada waktu dan tempat tertentu populasi akan mengalami perubahan. Perubahan populasi dapat berupa penambahan maupun pengurangan jumlah individunya. Pengurangan maupun penambahan jumlah individu ke dalam populasi disebut sebagai pertumbuhan populasi.
(Tarumingkeng, 1994:10)
D. Populasi Kambing
1. Pertumbuhan populasi kambing
Kambing yang banyak dikembangkan di Indonesia umumnya kambing Peranakan Etawa (PE), yang umumnya masih lebih dominan sebagai sumber daging dibandingkan sebagai sumber air susu. Permintaan daging kambing di Indonesia dan dunia mengalami peningkatan. Indonesia mengkonsumsi daging kambing sebagai salah satu sumber protein hewani yang utama setelah sapi dan ayam. Pasokan daging kambing relatif terbatas karena usaha peternakan kambing di Indonesia didominasi oleh usaha rumah tangga (Smith, 1988:170).
2. Mortalitas
kambing antara 8-10 tahun, prosentase kematian kambing rata-rata 2% perdua tahun (Smith, 1988:172).
3. Fertilitas
Fertilitas dihubungkan dengan jumlah kelahiran hidup yang dipunyai oleh seekor betina atau kelompok betina. Suatu kelahiran disebut lahir hidup (live birth) apabila pada waktu lahir terdapat tanda-tanda kehidupan misalnya, bersuara, bernapas, jantung berdenyut. Apabila pada waktu lahir tidak ada tanda-tanda kehidupan disebut dengan lahir mati (still birth)(Mantra, 1985:128).
Umur kambing betina yang baik untuk dikawinkan adalah 15-18 bulan, sedangkan umur kambing jantannya adalah 10 bulan. Jumlah anak yang dilahirkan oleh seekor betina 1-4 ekor per satu kali melahirkan, tetapi kebanyakan 2 ekor. Dalam waktu 2 tahun seekor kambing dapat melahirkan anak sebanyak 3 kali (Smith, 1988:172).
E. Matriks Leslie
Definisi II.E.1
Bentuk umum dari Matriks Leslie dapat didefinisikan sebagai berikut :
L= 0
⋮
0 0
⋮
0 0 0
⋮
0
0 0
⋮
0 0
⋮
0
Dengan, ai danbi merupakan faktor-faktor yang menentukan laju pertumbuhan populasinya.
i
a = laju kedewasaan individu pada kelompok umur ke-i
i
b = peluang banyaknya individu dari populasi dalam kelompok umur ke-i yang mampu bertahan hidup sampai memasuki kelompok umur ke-i+1.
Misalkan ai adalah rata-rata banyaknya anak betina yang lahir dari setiap kelompoki dan bi adalah perbandingan antara banyaknya betina yang bertahan hidup sehingga mampu masuk kedalam kelompok i+1, dengan banyaknya betina dalam kelompok i. Oleh karena itu:
1. ai ≥0, untuki= 1, 2, 3, ...., n 2. 0 < bi≤1, untuki= 1, 2, 3, …., n-1.
