Modul Siap UN Matematika SMA Program IPS

BAB 6

PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat 0

2 _{  }

c bx

a , a0

B. Akar-akar Penyelesaian Persamaan Kuadrat a. Metode pemfaktoran

0 2_bx_c

ax

0 ) )(

(pxr qxs  gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat 0

 r

px  qxs0

p r x₁ 

q s x₂ 

b. Metode melengkapi kuadrat sempurna Contoh:

3x2 12x210 kedua ruas dibagi 3 2 _4 _7_0

x x

(x2)2 470 (x2)2 110

11 ) 2 (x 2 

11 )

2 (x 

11 2 2 , 1  

x

Jadi x1 2 11 atau x2 2 11 c. Menggunakan rumus persamaan kuadrat (abc)

0

2 _{  }

c bx a

Dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna, diperoleh rumus:

a ac b

b x

2 4 2 2

, 1

   

C. Diskriminan Persamaan Kuadrat 0

2_{  }

c bx

ax

ac b

D 2 4

a. Jika D0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil.

b. Jika D0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang berbeda. c. Jika D0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang sama

(kembar).

d. Jika D0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar penyelesaian yang riil (tidak nyata/imajiner).

D. Hasil Jumlah Dan Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 0

2 _{  }

c bx ax

a b x x₁ ₂ 

a c x x₁. ₂ 

E. Hubungan Antara Koefisien Persamaan Kuadrat 2 _{  }0

c bx

a Dengan Sifat Akar-Akarnya a. Akar-akar penyelesaiannya sama/kembar

ac b2 4

b. Akar-akar penyelesaiannya berlawanan (salah satu akar-akarnya positif dan yang lain negatif) 0



c. Akar-akar penyelesaiannya berkebalikan (salah satu akar-akarnya

F. Persamaan Kuadrat Baru

a. Persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya x₁ dan x₂adalah 0 dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat ax2 bxc0 adalah



xn



2 b



xn



c0

a

c. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kurangnya atau (x₁n) dan (x₂ n) dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2 _{  }0

c bx

ax adalah



xn



2b



xn



c0

a

d. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kali akar-akar persamaan kuadrat 0

e. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya

n

Contoh:

Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat x26x20 adalah x₁ dan x₂. Nilai 1 2 Pembahasan:

0 Jika akar-akar penyelesaiannya x₁ dan x₂, maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

2

Pembahasan Soal-soal:

1. Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2_x23_x50 _adalah 1

x dan x₂. Jika x₂ x₁, maka nilai dari 4x₁3x₂ adalah ....

Pembahasan:

Sehingga:

2 1 3

4x  x = 3(1) 2

5

4 

    

= 103= 7

2. Jika  dan  adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 3_x24_x50_{, maka nilai}  

1 1 _

adalah .... Pembahasan:

0 5 4 3_x2 _x 

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2bxc0, sehingga a3, b4, c5. Jika akar-akar penyelesaiannya  dan , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah



  =

a b



= 3

) 4 ( 

= 3 4



. =

a c

= 3 5

 

1 1 _

=  

 

. 

=

3 5 3 4

 

1 1 _

= 5 3 . 3 4

= 5 4

3. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2_x2_3_x7_0_{, maka nilai}

2 1 2 2

1 ) 2

(x x  xx adalah .... Pembahasan:

0 7 3 2x2  x 

Bentuk umum persamaan kuadrat _ax2_bx_c0_{, sehingga a2, b3, c7.} Jika akar-akar penyelesaiannya x₁ dan x₂, maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

2 1 x

x  =

a b



= 2

) 3 ( 

= 2 3

2 1.x

x =

a c

= 2 7 

2 1 2 2

1 ) 2

(x x  xx = 

           

2 7 2 2 3 2

= 1 7 4 9_

= 4

= Pembahasan:

0

Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  serta  2 , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah



dengan 3

dikalikan silang 0

Pembahasan:

Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya x₁5 dan x₂5, maka setiap x diganti

Sehingga:

3 2

 4

---

+++ +++

0

3 7

---

+++ +++

0

G. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat 0

2 _{  }

c bx

a , a0

0

2 _{  }

c bx

a , a0

0

2 _{  }

c bx

a , a0

0

2 _{  }

c bx

a , a0

H. Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Contoh 1:

Himpunan penyelesaian dari x2 2x3 > 0 adalah .... Pembahasan:

2 _2 _3

x

x = 0

) 1 )( 3

(x x = 0 (x3)0 V (x1)0 x = 3 x = -1

Jadi Hp =



x|x1atau x3,xR



Contoh 2:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 3_x2 _10_x8_0 _{adalah ....} Pembahasan:

0 8 10 3_x2  _x  Pembuat nol:

0 8 10 3x2  x 

0 ) 4 )( 2 3

( x x 

4 2 3x x

3 2  

x

Uji x diganti dengan 0 pada persamaan kuadratnya. Ternyata bernilai negatif, berarti daerah mulai

3 2

 sampai 4 bernilai negatif, sedangkan daerah lainnya bernilai positif.

Karena soal diminta , berarti daerah penyelesaiannya adalah daerah dengan nilai negatif.

Jadi, HP =

   



 _{   }

R x x

x 4,

3 2 |

Pembahasan Soal-soal:

1. Himpunan penyelesaian dari _x210_x210 _{adalah ....} Pembahasan:

0 21 10

2_{  }

x x

Pembuat nol: 0 21 10

2_{  }

x x

0 ) 3 )( 7

(x x 

3 7  

 x

x

Karena >, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif HP =



x|x3atau x7,xR



-1 3

---

+++ +++

2 1

5

+++

--- ---

0

2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 2_x2 11_x50 _{adalah ....} Pembahasan:

0 5 11 2 2 _{  }

 x x

Pembuat nol: 0 5 11 2 2   

 x x

0 ) 5 )( 1 2

( x x 

5 1 2   

 x x

2 1 

x

Karena , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif

Hp =

   



 _{  }

R x x

x 5,

2 1 |

I. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

c bx ax x

f( ) 2   , a0

J. Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:

a). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x → y = 0

c bx ax x

f( ) 2  

c bx ax

y 2  

c bx

ax  

 2 0

) )( (

0 pxr qxs gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat 0

 r

px  qxs0

p r x₁ 

q s x₂ 

Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah _   

 

 ,0

p r

dan _   

 

 ,0

q s

b). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0

c bx ax x

f( ) 2  

c bx ax

y 2  

c b a

y (0)2  (0)

c y

Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah

 

0,c

c). Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat

c bx ax x

f( ) 2  

a b x

2  

d). Menentukan koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat (xp,yp)

c bx ax x

f( ) 2  

a b x_p

2 

 yp  f(xp)

Koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (xp,yp)

K. Persamaan Fungsi Kuadrat yang Diketahui Beberapa Titik

a). Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui dua titik potong dengan sumbu x, yaitu (x₁,0) dan )

0 ,

(x₂ dan satu titik lain, yaitu (x,y) )

)( (x x₁ x x₂ a

y  

Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a.

) )( (

)

(x a x x₁ x x₂

f   

Lalu masukkan a, x₁, dan x₂ (x dan f(x) dibiarkan tetap). Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

b). Diketahui titik balik/puncak/ekstrim



xp,yp



dan satu titik lain, yaitu (x,y)

p

p y

x x a

y (  )2 

Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a.

p

p y

x x a x

f( ) (  )2

Lalu masukkan a, xp, dan yp (x dan f(x) dibiarkan tetap).

Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

Contoh:

Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah ....

Pembahasan:

memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) sehingga: x₁ 1, x₂ 2, x0, dan y6, maka:

y = a(xx₁)(xx₂)

y = a(xx₁)(xx₂) – 6 = a(01)(0(2)) – 6 = a(1)(2)

– 6 = 2a

a = 2 6  

a = 3

Jadi, fungsi kuadratnya f(x) = a(xx₁)(xx₂) )

(x

f = 3(x1)(x(2)) = 3(x1)(x2) = 3( 2 _2 _{ }2)

x x x

= 3( 2 _{ }2)

x x

) (x

f = 3_x2_3_x6

Pembahasan Soal-soal:

1. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y3x2x2 dengan sumbu x dan sumbu y berturut-turut adalah ....

Pembahasan:

Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x → y = 0 2

3 2   x x y

2 3

0 x2 x

) 1 )( 2 3 (

0 x x untuk mengecek kebenaran gunakan aturan perkalian aljabar 0

2

3x   x10

3 2 1

x x₂ 1

Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah       ,0

3 2

x y

-3 5

30

Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0 2

3 2   x x y

2 ) 0 ( ) 0 (

3 2  



y

2  

y

Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah



0,2



2. Koordinat titik balik grafik fungsi ( )_ 2 _2 _4

x x x

f adalah ....

Pembahasan:

Koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat (xp.yp)

c bx ax x

f( ) 2  

4 2 )

( _ 2_{ }

x x x f

Sehingga: a1, b2, c4

1 2 2 ) 1 ( 2

) 2 (

2  

    

a b

x_p

4 2 )

( _ 2_{ }

x x x f

) ( p

p f x

y 

) 1 (

f yp 

4 ) 1 ( 2 ) 1

( 2 _{ } 

p

y

4 2 1  

p

y

4 1  

p

y

3 

p

y

Jadi, koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (1 , 3)

3. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti di bawah ini adalah ....

Pembahasan:

Berdasarkan grafik pada soal, diketahui bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu x di titik (– 3 , 0) dan (5 , 0) dan melalui titik (0 , 30)

sehingga: x₁ 3, x₂ 5, x0, dan y30, maka:

y = a(xx₁)(xx₂)

y = a(xx₁)(xx₂) 30 = a(0(3))(05) 30 = a(3)(5)

30 = 15a

a = 15 30



a = 2

Jadi, fungsi kuadratnya f(x) = a(xx₁)(xx₂) )

(x

f = 2(x(3))(x5) = 2(x3)(x5) = _2( 2_5 _3 _15)

)

4. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang titik puncaknya (–2 , 6) dan melalui titik (0 , 4) adalah .... Pembahasan:

Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik balik/puncak/ekstrim



xp,yp



, yaitu

(–2 , 6) dan satu titik lain (x,y), yaitu (0 , 4)

LATIHAN UN:

4. Jika akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2_x2 3_x50 _{adalah m dan n, maka nilai}

D.

   



 _{ }

1 atau 2 3

|x x

x

E.

   



 _{ }

2 3 atau 1

|x x

x

10.Grafik fungsi kuadrat f(x)2x2 5x12 memotong sumbu X dan sumbu Y di titik ....

A. ,0 ,

 

4 ,0 ,dan



0 , 12



2

3 _

   

 

B. ,0 ,

 

4 ,0 ,dan



0 , 12



3

2 _

   

 

C. ,0 ,



4 ,0



,dan



0 , 12



3

2 _{ }

     

D. ,0 ,



4 ,0



,dan



0 , 6



2

3 _{ }

     

E. ,0 ,



4 ,0



,dan



0 , 12



2

3 _{ }

     

11.Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat y x2 10x24 adalah .... A. (5 ,1)

B. (1 ,5) C. (5 ,1) D. (5 ,1) E. (5 ,2)

12.Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah ....

A. _3 2_3 _6

x x y

B. _3 2_3 _6

x x

y

C. _2 2_3 _6

x x y

D. _ 2_3 _6

x x y

E. _ 2_3 _6

x x y

13.Fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik balik (– 2 , – 10) dan melalui titik (0 , – 6) adalah .... A. y x24x6

B. y x24x6 C. y x24x6 D. y2x24x6 E. y2x24x6

14.Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ....

A. _ 2 _4 _6

x x y

B. _y_x2 4_x6 C. yx2 2x6 D. _ 2 _2 _6

x x y

E. _y_x2 5_x6

x y

2

15.Grafik fungsi kuadrat _yx2 _3_x4

adalah ....

A. D.

B. E.

C.

x y

– 4 1 – 4

x y

4

1 – 4

x y

4 – 1

– 4

x y

4

4 – 1

x y

4