f ( x ) 0 maka disebut PD tak homogen.

Download (3)

Full text

(1)

2 II LANDASAN TEORI

Definisi 1 (Turunan Fungsi f )

Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f

( )

a adalah

( ) ( ) ( )

lim0

f a h f a f a

h h

+ −

′ =

→ , (2.1)

jika limit ini ada.

(Kreyszig, 1993) Definisi 2 (Turunan Parsial)

Misalkan f adalah fungsi dua variabel x dan y, dengan x adalah variabel yang berubah-ubah dan y adalah variabel tetap.

Dimisalkan y = dengan b b adalah suatu konstanta, sedemikian sehingga fungsi variabel tunggal x adalah g x

( ) (

=f x b,

)

. Jika g mempunyai turunan di a, maka turunan parsial dari f terhadap x di

( )

a b,

dinyatakan dengan fx

( )

a b, . Jadi

( )

,

( )

fx a b =g a′ (2.2) dengan

( ) (

,

)

g x =f x b .

Menurut persamaan (2.1), maka persamaan (2.2) menjadi

( ) (

,

) ( )

,

, lim .

0

f a h b f a b f a b

x h h

+ −

= → (2.3)

Jika dimisalkan titik (a b, ) berubah-ubah dalam persamaan (2.3) maka f x menjadi fungsi dua variabel. Jika f adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi f x yang didefinisikan oleh

( ) (

,

) (

,

)

, lim

0

f x h y f x y

fx x y h h

+ −

= → .

(Stewart, 1993) Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Linear Suatu Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde ke-n adalah linear ketika persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ( ) )

1

0 1 1

1

0 0

n n

n n

n n

d y d y

a x a x

dx dx

a x dy a x y f x

dx

a x

+ +

+ + =

Fungsi a0

( ) ( )

x ,a x1 ,…,an

( )

x disebut koefisien pada persamaan diferensial, jika

( )

0

f x ≠ maka disebut PD tak homogen.

Sedangkan persamaan diferensial dikatakan homogen jika f x

( )

= . Ketika koefisien 0 adalah fungsi konstan, persamaan diferensial dapat dikatakan memiliki koefisien konstan.

Kecuali jika keadaan sebaliknya, harus selalu diasumsikan bahwa koefisien adalah fungsi kontinu dan a0

( )

x ≠ di setiap interval pada 0 suatu persamaan adalah terdefinisi. Jika suatu PDB orde ke-n tidak dapat ditulis pada bentuk umum di atas maka disebut PDB taklinear

orde ke-n. (Farlow, 1994)

Solusi PDB Linear Orde Dua

Persamaan diferensial linear orde ke-dua mempunyai bentuk ay′′+by′+ = dengan cy 0

a , b dan c konstanta dan a≠ . Persamaan 0

2 0

ar +br+ = disebut persamaan c karakteristik dari persamaan diferensial di atas. Akar-akar r1 dan r2 dapat dicari dengan menggunakan rumus

2

12

4 2

b b ac

r a

− ± −

= .

Sifat 1 (b2−4ac>0)

Jika akar-akar r1 dan r2 dari persamaan karakteristik adalah real dan berbeda maka solusi umum dari ay′′+by′+ = adalah cy 0

1 2

1 2

r x r x

y =c e +c e . Sifat 2 (b2−4ac=0)

Jika persamaan karakteristik mempunyai satu akar real r , maka solusi umum dari

0 ay′′+by′+ = adalah cy

1 2

rx rx

y =c e +c xe . Sifat 3 (b2−4ac<0)

Jika akar-akar persamaan karakteristik adalah bilangan kompleks r1= +α iβ dan

r2= −α iβ maka solusi umum dari 0

ay′′+by′+ = adalah cy

(

1cos 2sin

)

y =eαx c βx +c βx . c1 dan c2 adalah konstanta real.

(Farlow, 1994) PDP Linear Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial parsial orde dua dalam dua variabel dinyatakan dalam

xx xy yy x y u

Au +Bu +Cu +Du +Eu +F =G (2.4)

(2)

dengan A B C D E F G, , , , , , adalah konstanta real dan u adalah fungsi dari x dan y yang diberikan.

Jenis 1 (Persamaan Eliptik)

Jika persamaan diferensial parsial di atas memenuhi B2−4A C <0 maka persamaan (2.4) memiliki tipe eliptik.

Jenis 2 (Persamaan Parabolik)

Jika persamaan diferensial parsial di atas memenuhi B2−4A C =0 maka persamaan (2.4) memiliki tipe parabolik.

Jenis 3 (Persamaan Hiperbolik)

Jika persamaan diferensial parsial di atas memenuhi B2−4A C >0 maka persamaan (2.4) memiliki tipe hiperbolik.

(Farlow, 1994) Nilai dan Vektor Eigen

Jika A adalah matriks n n× , maka vektor taknol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu,

A xx

untuk suatu skalar λ . Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ .

(Anton, 1988) Titik Biasa dan Titik Singular

Titik x =x0 disebut sebagai titik biasa pada persamaan diferensial

( ) ( )

0

y′′+P x y′+Q x y=

jika P x

( )

0 dan Q x

( )

0 masing-masing analitik di x =x0. Setiap titik yang bukan titik biasa pada persamaan di atas, maka disebut sebagai titik singular.

(Goode, 1991)

Titik Singular Regular dan Tak-Regular Titik x =x0 disebut sebagai titik singular regular pada persamaan diferensial

( ) ( )

0

y′′+P x y′+Q x y =

jika dan hanya jika diikuti dua kondisi yang memenuhi :

1. x0 adalah titik singular pada persamaan di atas.

2. Fungsi p x

( ) (

= xx0

) ( )

P x dan

( ) (

0

) ( )

2

q x = xx Q x analitik di x =x0.

Titik singular yang tidak memenuhi (2) disebut sebagai titik singular tak-regular.

(Goode, 1991) Deret Taylor

Andaikan f adalah suatu fungsi dengan turunan ke-

(

n+ , yaitu 1

)

f (n+1)

( )

x ada untuk setiap x pada suatu selang buka I yang mengandung a. Maka untuk setiap x di I berlaku

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2!

!

n

n n

f a

f x f a f a x a x a

f a

x a R x

n

′ ′′

= + − + −

+ +… − +

dengan sisa Rn

( )

x diberikan oleh rumus

( )

( )

( )

(

1

) ( )

1

1 !

n

n n

f c

R x x a

n

+ +

= −

+

dan c suatu titik antara x dan a .

(Purcell, 1987) Deret Frobenius

Asumsikan bahwa x0 = adalah titik singular 0 regular pada persamaan diferensial dalam bentuk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.

P x y′′ x +Q x y x′ +R x y x = (2.5) Suatu deret Frobenius dalam bentuk

( )

0 0

r n n r,

n n

n n

y x x c x c x

+

= =

=

=

dengan cn suatu konstanta, dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Parameter r harus dipilih sedemikian sehingga ketika deret tersebut disubstitusi ke dalam persamaan diferensial, koefisien pangkat terkecil pada x adalah nol. Hal tersebut dinamakan sebagai Persamaan Indeks.

(Goode, 1991) Persamaan Indeks

Misalkan terdapat PD homogen orde ke-2

( ) ( )

0,

y′′+a x y′+b x y =

dengan asumsi bahwa x = merupakan titik 0 singular regular. Diberikan deret Frobenius dalam bentuk

( )

0 0

r n n r,

n n

n n

y x x c x c x

+

= =

=

=

dengan koefisien c c …0, ,1 dan r ditentukan sehingga deret tersebut memenuhi persamaan diferensial. Diasumsikan c0≠ . Penurunan 0 pada deret Frobenius akan dihasilkan

(3)

( )

1

0

n r n n

y n r c x

+ −

=

′ =

+

( )( )

2

0

1 n n r

n

y n r n r c x

+ −

=

′′ =

+ + − .

Substitusi y, y ′ dan y ′′ ke dalam PD homogen orde ke-2 yang diberikan

( )( )

2

0

1 n n r n

n r n r c x

+ −

=

+ + − +

( ) ( )

1

( )

0 0

n r n r 0

n n

n n

a x n r c x b x c x

+ − +

= =

+ + =

∑ ∑

.

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

( )( )

2

0

1 n n r n

n r n r c x

+ −

=

+ + − +

( ) ( )

2 2

( )

2

0 0

n r n r 0

n n

n n

xa x n r c x x b x c x

+ − + −

= =

+ + =

∑ ∑

.

(2.6) Karena x = merupakan titik singular 0 regular maka xa x

( )

dan x b x2

( )

memiliki perluasan deret pangkat dalam bentuk

( )

0 1 2 2 3 3

xa x =α +αxxx +……

( )

2 2 3

0 1 2 3

x b x =β +βxxx +……

Substitusi perluasan deret pangkat di atas ke dalam persamaan (2.6) akan menghasilkan

( ) ( )

( ) ]

2

0 0 0 1

1

0 1 1 0 0 1 1 0

1 1

1 0

r

r

r r r C x r rC

r C r C C C x

α β

α α β β

− + + + + +

⎡ ⎤ ⎡

⎣ ⎦ ⎣

+ + + + + =

(2.7) [Lihat Lampiran 1]

Persamaan tersebut akan memenuhi jika dan hanya jika koefisien pangkat x terkecil sama dengan nol. Dalam hal ini

(

1

)

0 0 0 0, r r− +αrC =

⎡ ⎤

⎣ ⎦ karena asumsi

0 0

c ≠ maka r r

(

− +1

)

α0r0= 0.

Persamaan kuadrat pada r disebut sebagai persamaan kuadratik / persamaan indeks pada PD homogen orde ke-2.

(Andrews, 1991) Operator Laplace

Suatu operator yang dinyatakan sebagai

2 2

2

2 2

u u

u x y

∂ ∂

∇ = +

∂ ∂

disebut operator Laplace dua dimensi dalam koordinat kartesian. Sedangkan

2 2

2

2 2 2

1 1

u u u

u r r r r θ

∂ ∂ ∂

∇ = + +

∂ ∂

disebut operator Laplace dua dimensi dalam koordinat polar. [Lihat Lampiran 2]

(Haberman, 1987)

Persamaan Helmholtz

Persamaan Helmholtz memiliki bentuk

2φ λφ 0

∇ + =

dengan ∇ adalah operator Laplace, λ 2 adalah konstanta, dan φ adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada ruang Euclid R 3 dimensi 2 atau 3. Persamaan Helmholtz termasuk pada persamaan diferensial parsial eliptik.

(Haberman, 1987) Persamaan Bessel

Suatu persamaan diferensial linear orde kedua yang dinyatakan sebagai

2

2

1 1 w 0

v v v

s s

⎛ ⎞

′′+ ′+ −⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ ,

dengan s terdefinisi pada

[ ]

0,∞ dan w

adalah konstanta taknegatif disebut sebagai persamaan Bessel orde ke-w.

(Farlow, 1994) Definisi 3 (Fungsi Gamma)

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

( )

1

0

, 0

p t

p t e dt p

Γ =

> .

(Goode, 1991) Lemma 1 (Fungsi Gamma)

Untuk semua p> , 0

(

p 1

)

p

( )

p

Γ + = Γ .

Bukti:

( )

( )

0

1 0

0

1

.

p t

p t p t

p t e dt

t e p t e dt

p p

Γ + =

⎡ ⎤

= −⎣ ⎦ +

= Γ

(Goode, 1991) Metode Pemisahan Peubah

Misalkan diberikan PDP orde kedua dimensi 2

2 2 2

2

2 2 2 .

u u u

t c x y

⎛ ⎞

∂ = ⎜∂ +∂ ⎟

∂ ⎝∂ ∂ ⎠ (2.8) Metode pemisahan peubah dimulai dengan menunjukkan bahwa peubah waktu t dapat dipisahkan dari peubah x, dan y dengan pemisahan perkalian dalam bentuk

u x y t

(

, ,

)

=h t

( ) (

φ x y,

)

. (2.9)

(

x y,

)

φ adalah fungsi yang belum diketahui pada peubah x, dan y.

(4)

Substitusi persamaan (2.9) ke dalam persamaan (2.8) didapatkan

(

,

)

d h22 2

( )

22 22 .

x y c h t

dt x y

φ φ

φ = ⎛⎜⎝∂∂ +∂∂ ⎞⎟⎠ Setelah pemisahan peubah akan diperoleh

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1

d h . h

c dt x y

φ φ λ

φ

⎛∂ ∂ ⎞

= ⎜⎝∂ +∂ ⎟⎠= −

Untuk h t dan

( )

φ

(

x y,

)

masig-masing akan diperoleh PDB dan PDP berikut

2

2 2

d h c h

dt = −λ dan

2 2

2 2 .

x y

φ φ λφ

∂ +∂ = −

∂ ∂

Untuk persamaan PDP yang diperoleh, dapat dipisahkan lagi antara peubah x dan y dengan cara yang sama seperti metode pemisahan peubah waktu t dengan peubah x dan y.

Dengan demikian u x y t

(

, ,

)

=h t

( ) (

φ x y,

)

adalah penyelesaian dari utt =c2

(

uxx +uyy

)

. (Haberman, 1987) Metode d’Alembert

Metode d’Alembert diilustrasikan untuk sebuah solusi persamaan gelombang 1- dimensi. Langkah awal adalah membuat kuadrat padanan persamaan gelombang 1- dimensi, sehingga dari kuadrat padanan tersebut didapatkan persamaan karakterstik.

Selanjutnya mentransformasi solusi persamaan karakteristik, dengan memisalkan

x ct

ξ = − dan η = + yang kemudian x ct akan diperoleh transformasi akhir untuk

( )

,

(

,

)

u x t =ω ξ η .

Langkah berikutnya adalah menurunkan persamaan u x t

( )

, =ω ξ η

(

,

)

secara parsial dan mensubtitusikannya ke dalam persamaan gelombang 1-dimensi sehingga hasil akhir akan diperoleh

( )

,

( ) ( )

.

u x t =F xct +G x +ct

Dengan F dan G adalah fungsi sembarang yang dapat diturunkan dua kali.

(Andrews, 1991) Metode Fourier

Solusi PDP orde dua dapat berupa solusi deret Fourier. Berikut ini solusi deret Fourier diperoleh dengan ilustrasi sebuah persamaan gelombang.

Misalkan diketahui permasalahan nilai awal dan nilai batas homogen berikut

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 0,

, 0 , , 0 .

0, 0, , 0, 0 1, 1.

tt xx

t

u a u

u x x u x x

u t u l t x t

ϕ ψ

− =

= =

= = ≤ ≤ ≥

Langkah 1:

Penentuan penyelesaian khusus dari PDP dengan pemisalan perkalian

( )

,

( ) ( )

u x t =X x T t . Substitusi ke dalam PD didapat

( ) ( )

2

( ) ( )

0

X x T′′ ta X′′ x T t = . Setelah pemisahan peubah akan diperoleh

2

X T

X′′ a T′′ λ

= = konstanta.

Untuk masing-masing X x

( )

dan T t

( )

diperoleh PDB berikut

( ) ( )

0

X′′ x −λX x = , T′′

( )

t −λa T t2

( )

= 0 dengan penyelesaiannya adalah X x

( )

dan

( )

T t . Dengan demikian u=X T⋅ adalah penyelesaian dari utta u2 xx = . 0

Langkah 2:

Dengan memasukkan penyelesaian ke dalam syarat batas, diperoleh X

( ) ( )

0T t = , 0

( ) ( )

0

X l T t = , untuk semua t ≥ . Untuk 0 X diperoleh persamaan nilai eigen

0

X′′ −λX = dengan syarat nilai batas

( )

0

( )

0

X =X l = . Penyelesaian tak trival hanya didapatkan untuk nilai eigen

2 2

n 2

n l

λ = − π

(

n=1, 2, 3… , yaitu fungsi

)

eigen n

( )

n

X x C sinn x l

= π . Untuk λ λ= n

didapatkan penyelesaian persamaan diferensial bagi T , yaitu

( )

cos sin

n n n

n a n a

T t A t B t

l l

π π

= − . Dengan

mendefinisikan konstanta C An n dan C Bn n sebagai An dan Bn kembali, diperoleh

( )

, cos sin sin

n n n

n a n a n

u x t A t B t x

l l l

π π π

⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠

sebagai penyelesaian persamaan diferensial homogen utta u2 xx = , dengan syarat nilai 0 batas u

( )

0,t =u l t

( )

, = 0.

Langkah 3:

Pemenuhan syarat nilai awal untuk penyelesaian dengan bentuk deret berikut

( ) ( )

1

1

, ,

cos sin sin

n n

n n

n

u x t u x t

n a n a n

A t B t x

l l l

π π π

=

=

=

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

(2.10)

(5)

pada syarat nilai awal

(

, 0

) ( )

, t

(

, 0

) ( )

,

u xx u xx dengan

pemilihan konstanta A dan n B yang sesuai, n

diperoleh

( ) ( )

1 1

sin , sin

n n

n n

n n a n

A x x B x x

l l l

π ϕ π π ψ

= =

= =

∑ ∑

Dengan demikian didapat An dan n a n l B π

sebagai koefisien deret fourier dari ϕ

( )

x dan

( )

x

ψ pada pembentukan deret Fourier bagi pembentukan fungsi eigen sinn a

l x

π . Untuk

memperoleh rumus ini, misalkan ϕ

( )

x dan

( )

x

ψ adalah fungsi ganjil dengan periode 2l, kemudian dengan menggunakan rumus koefisien Fourier diperoleh

1

( )

0

2 sin ,

n

A x n x dx

l l

ϕ π

=

1

( )

0

2 sin .

n

B x n x dx

n a l

ψ π

= π

(2.11)

Dengan demikian persamaan (2.10) dengan koefisen An dan Bn seperti pada persamaan (2.11) adalah penyelesaian masalah nilai awal dan nilai batas homogen yang dicari.

(Nugrahani, 2005)

Figure

Updating...

References

Related subjects :

Scan QR code by 1PDF app
for download now

Install 1PDF app in