0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d

Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi.

Ilustrasi 1.1

Perhatikan himpunan ₅ 



0,1, 2,3, 4



.

(a) Apakah ₅ grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu!

Gunakan tabel Cayley bila perlu!

(b) Apakah pada ₅ berlaku sifat komutatif pada penjumlahan?

(c) Apakah pada ₅ berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian?

(d) Selidiki pula apakah pada ₅ berlaku sifat distributif kiri dan kanan?

Jelaskan pendapatmu!

(e) Perhatikan jawabmu pada (a) – (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam ₅.

Ilustrasi 1.2

Perhatikan himpunan ₂( ) a b , , ,

M a b c d

c d

  

   

 

 .

(a) Apakah M2

 

grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu!

Gunakan tabel Cayley bila perlu!

(b) Apakah pada M2

 

berlaku sifat komutatif pada penjumlahan?

(c) Apakah pada ^M₂

 

berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian?

(d) Selidiki pula apakah pada M2

 

berlaku sifat distributif kiri dan kanan?

Jelaskan pendapatmu!

(f) Perhatikan jawabmu pada (a) – (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang terdapat dalam M2

 

.

Jika himpunan dengan operasi penjumlahan membentuk grup komutatif dan terhadap operasi perkalian memenuhi sifat asosiatif dan distributif, maka himpunan dengan dua operasi biner tersebut dikenal sebagai ring. Berikut ini adalah definisi ring secara rinci.

Definisi 1.1 Ring

Ring R adalah suatu himpunan dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan (dinyatakan dengan a+b) dan perkalian (dinyatakan dengan ab), sehingga untuk semua a,b,c di R, berlaku sifat-sifat berikut:

1. a b  b a.

2.



^{a b    }



^{c a}



^{b c}



^.

3. Terdapat elemen 0 di R sehingga a 0 a. 4. Terdapat elemen –a di R sehingga ^{a  }

 

^{a 0.}

5.

 

^{ab ca bc}

 

^.

6. ^{a b c}



^{ }



^{ab ac dan}



^{b c a}



^{ba ca .}

Latihan 1.1

Perhatikan kembali definisi ring secara keseluruhan. Apakah pada ring berlaku sifat komutatif pada perkalian? Adakah elemen kesatuan dan invers perkalian pada ring? Jelaskan pendapatmu!

Latihan 1.2

Perhatikan sifat asosiatif pada ring. Dengan adanya sifat tersebut, apakah kita dapat menuliskan operasinya sebagai

 

^{ab ca bc}

 

^abc, tanpa tanda kurung?

Jelaskan pendapatmu.

Latihan 1.3

Perhatikan sifat distributif pada ring. Sifat ^{a b c}



^



menyatakan bahwa kita dapat menjumlahkan terlebih dahulu baru diikuti dengan perkalian kiri. Akan sama saja dengan perkalian kiri dahulu diikuti dengan penjumlahan. Berikan komentar Anda mengenai



^{b c a}



^.

Ilustrasi 1.3

Suatu ring yang mempunyai sifat komutatif pada perkalian disebut ring komutatif.

Bila suatu ring mempunyai elemen kesatuan terhadap perkalian, maka dikatakan ring tersebut mempunyai elemen kesatuan (unity). Bila suatu elemen tak nol pada suatu ring komutatif (dengan elemen kesatuan), mempunyai invers terhadap perkalian, maka dikatakan elemen tak nol tersebut sebagai satuan (unit) dari ring tersebut. Dengan kata lain, misalkan a elemen ring komutatif R, dengan a0, maka a dikatakan unit dari ring R bila a^1 ada.

Jika a dan b adalah anggota ring komutatif R dan a tak nol, dikatakan a membagi b (a faktor dari b) dan ditulis a b , jika ada elemen c di R sehingga bac. Bila tidak demikian, maka dikatakan a tidak membagi b, ditulis a∤b.

Latihan 1.4

Perhatikan himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian.

Apakah suatu ring? Bila ya, apakah suatu ring komutatif? Jelaskan alasanmu dan tentukan elemen kesatuan dan satuan dari , bila ada!

Latihan 1.5

Apakah himpunan bilangan bulat modulo n, _n 



0,1, 2,...,n1



, dengan operasi penjumlahan dan perkalian, merupakan ring komutatif? Apakah ia mempunyai elemen kesatuan? Apakah mempunyai satuan? Jelaskan pendapatmu!

Latihan 1.6

Apakah himpunan bilangan bulat genap 2 , dengan operasi penjumlahan dan perkalian, merupakan ring komutatif? Carilah elemen kesatuannya, bila ada!

Latihan 1.7

Himpunan semua matriks 22, M₂( ), dengan elemen-elemennya (entries) adalah bilangan bulat, merupakan ring nonkomutatif, dengan elemen kesatuannya adalah 1 0

0 1

 

 

 . Selidiki kebenaran pernyataan tersebut!

Latihan 1.8

Himpunan dari semua fungsi kontinu bernilai real dari suatu variabel real yang grafiknya melalui titik (1,0), adalah ring komutatif tanpa elemen kesatuan, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian titik demi titik [yaitu operasi (f g a)( ) f a( )g a( ) dan (fg a)( ) f a g a( ) ( )]. Benarkah pernyataan tersebut?

Jelaskan pendapatmu!

Ilustrasi 1.4

Misalkan R R₁, ₂,...,R_n adalah ring. Misalkan

 

 

1 2 ... _n 1, 2,..., _{n i i} R R  R  a a a a R , dengan penjumlahan perkomponen didefinisikan sebagai berikut:



a a1, 2,...,a_n

 

 b b1, 2,...,b_n

 

 a1b a1, 2b2,...,a_n b_n



, dan perkalian perkomponen didefinisikan sebagai berikut:



^{a a}₁^, ₂^,...,a_n



^{b b}₁^, ₂^,...,b_n

 

^{ a b a b}_{1 1}^, _{2 2}^{,...,a b}_{n n}



^.

Ring yang demikian ini disebut sebagai jumlah langsung (direct sum) dari

1, 2,..., _n R R R .

1.1 Sifat-sifat Ring

Teorema 1.1 Aturan Perkalian

Misalkan a,b, dan c anggota ring R. Maka, 1. a00a0

2. a(  b) ( a b)  (ab) 3. (a)( b) ab

4. a b c(  ) ab ac dan (b c a ) ba ca

Selanjutnya, jika R mempunyai elemen kesatuan 1, maka 5. ( 1)a  a

6. ( 1)( 1)  1.

Latihan 1.9

Buktikan teorema tersebut.

Petunjuk:

1. Gunakan sifat a0a(0 0) dan invers terhadap penjumlahan.

2. Mulailah dengan a0  a( b b)dan sifat 1.

3. Untuk aturan 3-6, mulailah membuktikan dari informasi yang kamu ketahui.

Latihan 1.10

Berikan sebuah contoh suatu ring nonkomutatif yang berhingga.

Latihan 1.11

Misalkan R sebuah ring. Buktikan bahwa ^{a2b2 }



^{a b a b}



^



untuk semua a, b di R jika dan hanya jika R komutatif.

Latihan 1.12

Tunjukkan bahwa jika m dan n bilangan bulat dan a dan b elemen dari ring, maka



^{m a n b}

     

^{  mn  ab} . Petunjuk: ...

m

m a    a a a.

Teorema 1.2 Ketunggalan dari Elemen kesatuan dan Invers

Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka tunggal. Jika setiap unsur di suatu ring mempunyai invers, maka tunggal.

Latihan 1.13

Buktikan Teorema 1.2 tersebut.

Latihan 1.14

Selidiki apakah ring A



0, 2, 4, 6,8



terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 10 mempunyai elemen kesatuan. Carilah tersebut, bila ada!

Latihan 1.15

Misalkan R ring dengan elemen kesatuan 1 dan a adalah elemen dari R sehingga

2 1

a  . Misalkan ^{S }



^{ara rR}



. Buktikan bahwa S ring dengan operasi yang sama dari R. Apakah S memuat 1?

1.2 Subring

Ilustrasi 1.5

Perhatikan ring ₆. Himpunan ^A



^{0, 2, 4}



adalah subset dari ₆. Periksa apakah A merupakan ring dari ₆. Carilah elemen kesatuannya, bila ada. Perhatikan pula himpunan ₆, yang merupakan subset dari ring ₁₂. Apakah yang dapat kamu katakan tentang hubungan antara ₆ dan ₁₂? Jelaskan pendapatmu.

Definisi 1.2 Subring

Suatu subset S dari suatu ring R adalah subring dari R jika S sendiri ring dengan operasi dari R.

Latihan 1.16

Tunjukkan bahwa 2 3 bukan subring dari .

Latihan 1.17

Jelaskan mengapa setiap subgrup dari _n terhadap penjumlahan juga merupakan subring dari _n.

Teorema 1.3 Tes Subring

Subset tak kosong S dari ring R adalah subring jika S tertutup terhadap pengurangan dan perkalian, yaitu jika a b dan ab terdapat di S bilamana a dan b ada di S.

Latihan 1.18

Buktikan teorema tersebut.

Petunjuk: gunakan tes subgrup satu tahap.

Latihan 1.19

Misalkan M2

 

sebuah ring dari semua matriks ukuran 2x2 yang beranggotakan bilangan bulat. Misalkan a a b ,

R a b

a b b

   

    . Selidiki apakah R subring

dari M2

 

.

Latihan 1.20

F adalah ring, tetapi



^{F \ 0 ,}

  

juga membentuk grup. Selidiki eksistensi dan ketunggalan persamaan linier ax b c.

Latihan 1.21

Persamaan linier di ring R dengan a b c, , R adalah ax b c. Selidiki kapan persamaan linier tersebut mempunyai jawab dan kapan jawab tersebut tunggal.

2.1. Pembagi Nol, Integral Domain dan Lapangan

Ilustrasi 2.1. Pembagi Nol

Perhatikan himpunan ₅ dengan operasi penjumlahan dan perkalian.

1. Selidiki apakah ₅ merupakan ring komutatif.

2. Buatlah tabel Cayley untuk ₅ terhadap operasi perkalian.

3. Perhatikan unsur-unsur dalam tabel tersebut. Apakah 2 membagi 3? Sebutkan unsur pembagi 3 yang selain 2.

4. Apakah 4 membagi 1? Adakah unsur pembagi 1 selain 4? Perhatikan, bila 1

ab , maka dikatakan a membagi 1 atau b membagi 1. Demikian pula a pembagi 1 atau b pembagi 1. Apakah syarat agar a atau b dikatakan pembagi suatu bilangan? Jelaskan pendapatmu.

5. Misalkan a ₅, a0. Dapatkah kamu temukan b ₅, b0, sedemikian sehingga ab0? Dengan kata lain, dapatkah kamu menemukan pembagi nol a dalam ₅? Jelaskan pendapatmu.

6. Periksa apakah dalam ₆ terdapat elemen pembagi nol? Jelaskan jawabmu.

Definisi 2.1. Pembagi Nol

Pembagi nol adalah suatu elemen tak nol a dari suatu ring komutatif R sedemikian sehingga ada suatu elemen tak nol bR dengan ab0.

Latihan 2.1.

Tuliskan elemen-elemen dari ₁₀ dan sebutkan pembagi-pembagi nol dalam ₁₀. Sebutkan pula unit dari ₁₀. Periksa apakah ada hubungan antara pembagi nol

dengan unit dari ₁₀. Apakah yang dapat kamu simpulkan tentang elemen-elemen dari ₁₀ tersebut?

Latihan 2.2.

Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu ring, yang mempunyai sifat: a dan b adalah pembagi nol, a b 0, dan a b bukan pembagi nol. Carilah beberapa ring yang memenuhi sifat-sifat demikian dan sebutkan elemen a dan b nya.

Latihan 2.3.

Misalkan a dan b adalah elemen suatu ring komutatif dan ab adalah pembagi nol.

Tunjukkan bahwa a atau b adalah pembagi nol.

Latihan 2.4.

Jika a dan b bukan pembagi nol, buktikan bahwa ab bukan pembagi nol.

Latihan 2.5.

Tentukan pembagi nol dalam Z i5

 





a bi a b Z ,  5



, dengan i²  1.

Ilustrasi 2.2. Integral Domain

Perhatikan kembali Ilustrasi 2.1 tentang ₅ dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Apakah ₅ merupakan ring komutatif? Apakah ₅ mempunyai elemen kesatuan? Sebutkan elemen kesatuannya. Apakah ₅ mempunyai unsur pembagi nol? Bila ya, sebutkan unsur pembagi nolnya. Selidiki pula himpunan

6, 7, 9, 11, dan 15. Jelaskan jawabmu.

Ring komutatif yang mempunyai elemen kesatuan, tetapi tidak mempunyai elemen pembagi nol disebut sebagai integral domain. Dari Ilustrasi 2.2 tersebut dapat disimpulkan bahwa ₅, ₇, ₁₁ merupakan integral domain. Perhatikan definisi integral domain berikut ini.

Definisi 2.2. Integral domain

Integral domain adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan dan tanpa elemen pembagi nol.

Latihan 2.6.

Selidiki apakah _n, ring bilangan bulat modulo n, adalah integral domain. Jika n adalah bilangan prima p, apakah _p integral domain? Jelaskan jawabmu.

Latihan 2.7.

Berikan dua contoh ring (selain ring bilangan bulat modulo n) yang merupakan integral domain dan bukan integral domain.

Latihan 2.8.

Berikan contoh ring komutatif tanpa pembagi nol yang bukan integral domain.

Latihan 2.9.

Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif berhingga dengan tanpa pembagi nol dan paling sedikit mempunyai dua elemen, mempunyai suatu elemen kesatuan.

Latihan 2.10.

Tunjukkan bahwa ^{ }

  

^{a b a b, , }



adalah bukan integral domain.

Latihan 2.11.

a) Periksa apakah ring ^_ ^{2  }_



^{a b 2 a b, }



merupakan integral domain.

b) Periksa pula apakah ring ^n_ ^{2  }_



^{a b 2 a b,  n}



merupakan integral domain.

Ilustrasi 2.3. Nilpoten

Misalkan a adalah elemen suatu ring R dengan elemen kesatuan. Elemen a dikatakan nilpoten jika aⁿ 0, untuk n bilangan bulat positif. Periksa apakah

0 1 0 0

A  

  

  dan

0 1 0

0 0 1

0 0 0

B

 

 

  

 

 

merupakan nilpoten. Jelaskan jawabmu.

Latihan 2.12.

Tunjukkan bahwa 0 adalah satu-satunya elemen nilpoten dalam integral domain.

Latihan 2.13.

Tunjukkan bahwa elemen nilpoten dalam suatu ring komutatif membentuk suatu subring.

Ilustrasi 2.4. Idempoten

Suatu elemen a dari suatu ring disebut idempoten jika a² a. Selidiki apakah 0 0

0 0

A  

  

  dan

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

 

 

  

 

 

merupakan idempoten. Jelaskan jawabmu.

Latihan 2.14.

Buktikan bahwa satu-satunya idempoten dalam suatu integral domain adalah 0 atau 1.

Teorema 2.1. Pembatalan

Misalkan a, b, dan c adalah elemen-elemen suatu integral domain. Jika a0 dan abac, maka bc.

Latihan 2.15.

Buktikan Teorema 2.1 tersebut.

Petunjuk: mulailah dari persamaan abac. Latihan 2.16.

Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif dengan sifat pembatalan (terhadap operasi perkalian) tidak mempunyai pembagi nol.

Ilustrasi 2.5.

Perhatikan ring ^A



^{0,3, 6,9}



yang merupakan subring dari bilangan bulat modulo

12. Selidiki apakah ring A tersebut merupakan ring komutatif. Apakah elemen kesatuannya? Apakah setiap elemen taknolnya adalah unit (mempunyai invers)?

Perhatikan juga ring R



0, 2, 4, 6,8



terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 10. Selidiki apakah R merupakan ring komutatif. Adakah elemen kesatuannya?

Selidiki pula apakah setiap elemen taknolnya mempunyai invers.

Bila ring A dan R tersebut merupakan ring komutatif, yang mempunyai elemen kesatuan dan setiap elemennya tak nolnya mempunyai invers, maka A dan R dikatakan lapangan. Perhatikan definisi berikut ini.

Definisi 2.3. Lapangan

Lapangan adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan, di mana setiap elemen taknolnya adalah suatu unit (mempunyai invers).

Latihan 2.17.

Selidiki apakah suatu lapangan merupakan integral domain.

Latihan 2.18. Tes Sublapangan

Misalkan F adalah lapangan dan K adalah subset dari F yang mempunyai paling sedikit dua elemen. Buktikan bahwa K adalah sub lapangan dari F jika untuk sebarang a,b (b0) di K, a b dan ab^1 adalah elemen K.

Latihan 2.19.

Misalkan F adalah lapangan berorde 32. Tunjukkan bahwa satu-satunya sublapangan dari F adalah F sendiri dan

 

0,1 .

Teorema 2.2. Integral domain Berhingga adalah Lapangan Suatu integral domain berhingga adalah suatu lapangan.

Latihan 2.20.

Buktikan Teorema 2.2 tersebut.

Petunjuk:

1. Misalkan D adalah integral domain berhingga dengan elemen kesatuan 1.

2. Misalkan aD a, 0. Tunjukkan bahwa a adalah unit.

3. Selidiki untuk a1 dan a1.

Latihan 2.21.

Tuliskan elemen-elemen dari 2

 

i 



a bi a b ,  2



, ring bilangan bulat Gauss modulo 2. Buatlah tabel perkalian untuk 2

 

i . Selidiki apakah ring tersebut merupakan integral domain atau lapangan.

Latihan 2.22.

Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu lapangan berorde 8 dan bahwa

2 2

0

a ab b  . Buktikan bahwa a0 dan b0. Bila lapangannya berorde 2ⁿ, dengan n ganjil, buktikan pula bahwa a0 dan b0.

Akibat: _p adalah suatu lapangan

Untuk setiap bilangan prima p, ring dari bilangan bulat modulo p ( _p), adalah suatu lapangan.

Latihan 2.23.

Buktikan Akibat dari Teorema 2.2 tersebut.

Petunjuk:

1. Berdasarkan Teorema 2.2, buktikan bahwa _p tidak mempunyai pembagi nol.

2. Misalkan a b, _p dan ab0. Ambil ab pk k,  dan tunjukkan bahwa 0

a atau b0.

Latihan 2.24.

Tunjukkan bahwa ₇[ 3] { a b 3 a b,  ₇} adalah suatu lapangan. Untuk sebarang bilangan bulat k dan bilangan prima p, dapatkah kamu menentukan suatu kondisi yang perlu dan cukup _p[ k] { a b k a b ,  _p} agar membentuk suatu lapangan? Jelaskan jawabmu.

2.2. Karakteristik Ring

Ilustrasi 2.6.

Perhatikan A



0, 2, 4, 6,8



yang merupakan subring dari ₁₀. Untuk setiap xA, 5x     x x x x x 0. Perhatikan juga ring 3[ ]i 



a bi a b ,  3



. Untuk setiap x ₃[ ],i 3x   x x x 0. Bilangan 3 dan 5 yang membuat 3x0, x 3[ ],i dan 5x0, xA disebut karakteristik dari suatu ring. Jadi 3 adalah karakteristik dari ₃[ ],i dan 5 adalah karakteristik dari A. Selidiki karakteristik dari  . Jelaskan jawabmu.

Definisi 2.4. Karakteristik Ring

Karakteristik dari suatu ring R (notasi: kar R) adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga nx0, untuk semua x di R. Jika bilangan bulat yang demikian tidak ada, maka dikatakan bahwa ring R tersebut mempunyai karakteristik 0.

Latihan 2.25.

Hitunglah karakteristik dari 2

 

a b , , , ,

M a b c d

c d

  

   

 

 

  

^{2  a b 2 a b, }



^{dan 44 }

^{  }

^{a b a,  4,b4}

^

^.

Latihan 2.26.

Misalkan F adalah lapangan yang berorde 2ⁿ. Buktikan bahwa kar F = 2.

Latihan 2.27.

Jelaskan mengapa suatu ring berhingga yang mempunyai paling sedikit dua elemen, pasti mempunyai karakteristik tak nol.

Latihan 2.28.

Misalkan F adalah lapangan berkarakteristik 2, yang mempunyai lebih dari dua elemen. Tunjukkan bahwa



^xy



^{3  x3y3} untuk beberapa x dan y di F.

Teorema 2.3. Karakteristik dari Suatu Ring dengan Elemen Kesatuan

Misalkan R suatu ring dengan elemen kesatuan 1. Jika 1 mempunyai orde tak hingga terhadap penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah 0. Jika 1 mempunyai orde n terhadap penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah n.

Latihan 2.29.

Buktikan Teorema 2.3 tersebut.

Petunjuk:

1. Untuk elemen kesatuan yang mempunyai orde n, n1 0. 2. Untuk suatu xR, tunjukkan bahwa n x0.

Latihan 2.30.

Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan 1 dan karakteristik prima. Jika aR adalah nilpoten, buktikan bahwa ada suatu bilangan bulat positif k sedemikian sehingga



^1a



^{k 1.}

Teorema 2.4. Karakteristik dari suatu Integral domain

Karakteristik dari suatu integral domain adalah 0 atau bilangan prima.

Latihan 2.31.

Buktikan Teorema 2.4 tersebut.

Petunjuk:

1. Gunakan Teorema 2.3.

2. Tunjukkan bahwa jika orde penjumlahan dari 1 adalah berhingga, maka karakteristik dari integral domain tersebut adalah prima.

3. Misalkan nst, 1s t, n, tunjukkan bahwa sn atau tn.

Latihan 2.32.

Misalkan R adalah ring komutatif tanpa pembagi nol. Tunjukkan bahwa karakteristik dari R adalah 0 atau bilangan prima.

Latihan 2.33.

Perhatikan persamaan x²5x 6 0. Carilah semua solusi yang mungkin dari persamaan tersebut di ₇, ₈, ₁₂ dan ₁₄.

Dalam materi grup telah dipelajari mengenai grup faktor (kuosien) dan subgrup normal. Analog dengan subgrup normal dan grup faktor, dalam pembahasan ring kali ini, akan dipelajari ideal dan ring faktor dari suatu ring.

3.1. Ideal

Ilustrasi 3.1.

Perhatikan ring R.

 

0 dan R adalah subring dari R. Periksa apakah untuk setiap rR dan ,

aR ra dan ar terdapat di R. Demikian pula untuk ^r

 

^{0 dan a}

 

^{0 , selidiki}

apakah ra dan ar terdapat di

 

0 . Jelaskan jawabmu.

Perhatikan pula himpunan 2 . Untuk setiap r dan setiap a2 , selidiki apakah ra dan ar terdapat di 2 . Jelaskan pendapatmu.

Ilustrasi 3.2.

Perhatikan kedua contoh pada Ilustrasi 3.1 tersebut. {0} dan R adalah disebut ideal dari R, bila ra dan ar terdapat di R dan {0}. Demikian pula, 2 adalah ideal dari , bila ra dan ar terdapat di 2 . Istilah khusus untuk ideal {0} adalah ideal trivial dari R dan ideal R disebut ideal unit dari R. Berikut ini adalah definisi ideal dari suatu ring.

Definisi 3.1. Ideal

Suatu subring A dari ring R disebut ideal kiri dari R jika untuk setiap rR dan setiap aA, ra terdapat di A. Selanjutnya, subring A disebut ideal kanan dari R jika untuk setiap rR dan setiap aA, ar ada di A. Jika subring A adalah ideal kiri dan kanan dari R, maka A dikatakan ideal (dua sisi) dari R.

Latihan 3.1.

Untuk suatu bilangan bulat positif n, selidiki apakah ring ^{nZ }



^{0, n, 2 ,...n}



merupakan ideal dari .

Ilustrasi 3.3.

Subring A dari ring R adalah suatu ideal dari R jika ^rA



^{ra aA}



^{ A dan}

 

Ar ar aA  A untuk semua rR. Dengan kata lain, A ideal dari R jika A

“menyerap” elemen-elemen dari R terhadap perkalian.

Ilustrasi 3.4.

Perhatikan ring R dan subset A2 . 2  disebut subset murni (proper subset) dari . Dari jawaban Latihan 3.1, diketahui bahwa 2 adalah ideal dari . Karena 2 adalah subset murni, maka ideal 2 disebut ideal murni dari . Secara umum, suatu ideal A dari ring R disebut ideal murni dari R jika A adalah subset murni (proper subset) dari R.

Teorema 3.1. Tes Ideal

Suatu subset tak kosong A dari suatu ring R adalah sebuah ideal dari R jika 1. a b A untuk setiap a b, A.

2. ra dan ar di A untuk setiap aA dan rR.

Latihan 3.2.

Buktikan Teorema 3.1 tersebut di atas.

Petunjuk: gunakan Tes Subgrup satu tahap.

Latihan 3.3.

Misalkan ring ^{1 2}

3 4

i

a a

R a

a a

  

 

   

  

  dan I adalah subset dari R, dengan

1 2

3 4

2 .

j

b b

I b

b b

  

 

   

  

  Selidiki apakah I ideal dari R.

Latihan 3.4.

Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan aR. Apakah himpunan ^{a }



^{ra rR}



adalah sebuah ideal dari R?

Ilustrasi 3.5.

(1) Bila ^{a }



^{ra rR}



ideal dari R, maka ideal yang demikian disebut ideal prinsipil yang dibangkitkan oleh a.

(2) Suatu integral domain D disebut domain (daerah) ideal prinsipil (principal ideal domain = PID) jika setiap ideal dari D mempunyai bentuk

 

a  ad dD untuk suatu a di D.

Latihan 3.5.

Perhatikan ring bilangan bulat. Tentukan bilangan bulat positif a sedemikian sehingga:

a). a  2  3 ; b). a  3  6 ; c). a  4  6 ;d). a  m  n .

Latihan 3.6.

Perhatikan ring bilangan bulat. Carilah bilangan bulat positif a sedemikian sehingga a  3 4 , a  2 3 dan a  m n .

Latihan 3.7.

Misalkan

 

^{x }



^{a xn nan1xn1 ... a x a a1  0 i}



menyatakan ring dari semua polinom dengan koefisien bilangan bulat. Misalkan

   



^{(0) 0}



x  f x  x f  subset dari

 

x Selidiki apakah x ideal dari ^.

 

^{x .}

Latihan 3.8.

Perhatikan ring bilangan bulat Gaussian

 

^{i }



^{a bi a b , }



^{dan 2 i adalah}

subset dari

 

i . Selidiki apakah 2 i ideal dari

 

^{i .}

Latihan 3.9.

Tunjukkan bahwa adalah suatu domain ideal prinsipil.

3.2. Ring Faktor

Misalkan R ring dan A ideal dari R. Dalam pembahasan Grup, telah dipelajari bahwa R adalah grup terhadap penjumlahan dan A adalah subgrup normal dari R.

Dari informasi ini dapat dibentuk suatu grup faktor ^{R A/ }



^{rA rR}



^{. Analog}

dengan grup faktor, akan dipelajari bagaimana membentuk suatu ring dari grup koset tersebut.

Ilustrasi 3.6.

Ambil n , dan A6 . Tulis ^{n A}



^{n a a A}



^. Sebutkan semua anggota dari 1A, 2A, 3A,... Apakah ada dua himpunan di antara himpunan-himpunan tersebut yang mempunyai anggota bersama?

Ilustrasi 3.7.

Jika n m,  , tuliskan



^nA

 

^{ mA}

 

^{ n m}



^A. Buatlah tabel Cayley terhadap operasi penjumlahan tersebut.

Ilustrasi 3.8.

Jika n m,  , tuliskan



^{nA m}



^A



^nmA. Buatlah tabel Cayley terhadap operasi perkalian untuk koset tersebut.

Latihan 3.10.

Perhatikan subring 4 dari ring . Tuliskan ^{/ 4 }



^{n4 n}



^. Sebutkan semua anggota dari ring faktor / 4 . Hitunglah penjumlahan dan perkalian dari

2 4 dan 3 4 , terhadap operasi modulo 4.

Latihan 3.11.

Perhatikan subring 6 dari ring 2 . Sebutkan semua anggota dari ring faktor

 

2 / 6  n6 n2 . Hitunglah penjumlahan dan perkalian dari 4 6 dan 4 6 terhadap operasi modulo 6.

Teorema 3.2. Keujudan (Eksistensi) dari Ring Faktor

Misalkan R suatu ring dan misalkan A subring dari R. Himpunan koset-koset

 

/

R A rA rR adalah ring (faktor) terhadap operasi penjumlahan



^sA

 

^{ t A}



^{  s t A} dan operasi perkalian



^{sA t}



^A



^{ st A}, jika dan hanya jika A adalah ideal dari R.

Latihan 3.12.

Buktikan Teorema tersebut.

Petunjuk:

1. ()Gunakan pengandaian A subring dari R, yang bukan ideal dari R.

2. Ambil elemen a  A 0 A dan rA.

3. ()Tunjukkan bahwa perkalian terdefinisi dengan baik (well defined) bila A ideal.

4. Misalkan A ideal dan s  A s' A, t  A t' A.

Latihan 3.13.

Perhatikan ring R dan I pada Latihan 3.3. Tuliskan ring faktor

 

1 2

3 4

/ r r _i 0,1 .

R I I r

r r

  

 

   

  

  Ukuran (banyaknya elemen) dari R/I adalah 16.

Tuliskan semua anggota dari R/I tersebut. Selidiki apakah 2 4

6 8 I

 

 

  , 1 3

5 7 I

 

 

  , dan 5 4

2 9 I

 

 

  merupakan anggota dari R/I.

Latihan 3.14.

Tuliskan ring faktor

 

^{i / 2 i}



^{x }



^{2 i}



^x

 

ⁱ



. Bila banyaknya anggota dari ring faktor

 

^{i / 2i} ada lima, sebutkan semua anggota dari

 

^{i / 2i .}

3.3. Ideal Prima dan Ideal Maksimal

Ilustrasi 3.9.

Perhatikan ideal A2 dari suatu ring komutatif . Apakah 2 merupakan ideal murni dari ? Selidiki apakah untuk setiap a b, dan ab2 , menyebabkan a2 atau b2 . Bagaimanakah bila A adalah ideal

3 , 4 , 5 atau 6 ? Selidiki apakah untuk setiap a b,  dan abA, menyebabkan aA atau bA.

Definisi 3.2. Ideal Prima

Ideal prima A dari suatu ring komutatif R adalah ideal murni dari R sedemikian sehingga a b, R dan abA mengimplikasikan aA atau bA.

Latihan 3.15.

Perhatikan Ilustrasi 3.3. Misalkan n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1.

Pada ring bilangan bulat, ideal n adalah prima jika dan hanya jika n prima.

Buktikan pernyataan tersebut.

Latihan 3.16.

Perhatikan Latihan 3.7. Tunjukkan bahwa x merupakan ideal prima dari

 

^{x .}

Latihan 3.17.

Misalkan R ring komutatif dengan elemen kesatuan, yang mempunyai sifat a² a, untuk semua a di R. Misalkan I adalah ideal prima dari R. Tunjukkan bahwa

/ 2.

R I 

Ilustrasi 3.10.

Perhatikan ring komutatif R ₃₆. Ideal dari ₃₆ antara lain adalah 0 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 dan ₃₆. Misalkan ideal murni A 2 . Selidiki apakah terdapat ideal B dari ₃₆, sehingga A B R. Apakah B A atau BR? Jelaskan pendapatmu.

Lakukan hal yang sama untuk ideal murniA 3 . Selidiki pula untuk ideal-ideal murni yang lain dari ₃₆. Bagaimana pendapatmu?

Ideal murni yang memiliki sifat seperti 2 dan 3 tersebut, dikatakan sebagai ideal maksimal. Berikut ini diberikan definisinya.

Definisi 3.3. Ideal Maksimal

Ideal murni A dari ring komutatif R adalah ideal maksimal dari R jika untuk setiap B ideal dari R dan A B R, maka B A atau BR.

Latihan 3.18.

Tentukan semua ideal maksimal dalam ₈, ₁₀, ₁₂, dan _n.

Latihan 3.19.

Dalam  , misalkan ^{I }

  

^{a, 0 a}



. Periksa apakah I ideal prima. Apakah I ideal maksimal? Jelaskan pendapatmu.

Latihan 3.20.

Misalkan ^{x }



^{f x( )Z x f}

 

^(0)0



. Apakah x ideal maksimal di

 

^{x ?}

Jelaskan pendapatmu.

Latihan 3.21.

Selidiki apakah x² x 1 ideal maksimal dari 2

 

x .

Teorema 3.3. R/A adalah integral domain jika dan hanya jika A ideal prima Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan A adalah ideal dari R. Maka R/A adalah integral domain jika dan hanya jika A adalah ideal prima.

Latihan 3.22.

Buktikan teorema tersebut.

Petunjuk:

 

^ Gunakan pemisalan R/A integral domain dan abA. Tunjukkan bahwa aA atau bA.

 

^ Gunakan pemisalan A prima dan



^{aA b}



^A



^{ab   A 0 A A.}

tentukan koset nol di R/A.

Latihan 3.23.

Periksa apakah ring faktor / 4 merupakan integral domain.

Latihan 3.24.

Selidiki apakah ring faktor 2 / 8 merupakan integral domain.

Teorema 3.4. R/A adalah lapangan jika dan hanya jika A ideal maksimal Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan A adalah ideal dari R. Maka R/A adalah lapangan jika dan hanya jika A ideal maksimal.

Latihan 3.25.

Buktikan teorema tersebut.

Petunjuk:

(1)

 

^{ Misalkan} bB, tetapi bA, tentukan elemen tak nol dan identitas perkalian dari R/A.

(2) Ambil b A R A/ , dan tentukan invers perkaliaannya.

(3) Misalkan



^{bA c}



^A



^bcA, tunjukkan bahwa 1  bc A B. (1)

 

^ Gunakan pemisalan A maksimal dan bB, tetapi bA. (2) Tunjukkan bahwa bAmempunyai invers perkalian.

(3) Gunakan pemisalan ^B



^{bra rR a, A}



^{. Bila 1B dan}

1bca a', 'A, tunjukkan bahwa ^{1 A}



^{bA c}



^A



^.

Latihan 3.26.

Berikan contoh ring komutatif R dengan elemen kesatuan. Tentukan ideal maksimal dari R tersebut. Periksa apakah R/A lapangan.

Latihan 3.27.

Misalkan 2

 

x adalah ring dari semua polinom dengan koefisien di ₂. Tunjukkan bahwa 2

 

x / x² x 1 adalah lapangan.

Latihan 3.28.

Tunjukkan bahwa 3

 

x / x² x 1 bukan lapangan.

Dalam pembahasan grup, telah dibicarakan mengenai grup homomorfisme. Untuk menguji kesamaan atau perbedaan dua buah grup G₁ dan G₂, digunakan pemetaan

1 2

: G G

  , yang mengawetkan satu operasi grup. Bagaimana dengan ring homomorfisme? Analog dengan grup homomorfisme, untuk menguji kesamaan atau perbedaan dua buah ring R dan S, digunakan pemetaan : RS, yang mengawetkan dua operasi ring.

Ilustrasi 4.1.

Perhatikan pemetaan :  , dengan aturan x2x. Apakah pemetaan tersebut mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian? Apakah pemetaan tersebut pemetaan yang satu-satu dan pada? Jelaskan jawabmu.

Ilustrasi 4.2.

Perhatikan pemetaan : ₅  ₁₀, dengan aturan x5x. Selidiki apakah pemetaan  tersebut mengawetkan operasi penjumlahan dan operasi perkalian.

Jelaskan jawabmu.

Definisi 4.1. Ring Homomorfisme, Ring Isomorfisme

Ring homomorfisme  dari suatu ring R ke suatu ring S adalah pemetaan dari R ke S yang mengawetkan (preserved) dua operasi ring; yaitu untuk semua a, b di R,



^{a b}

    

^{a b}

    dan ^

     

^{ab  a  b .}

Ring homomorfisme yang satu-satu dan pada disebut ring isomorfisme. Jika  merupakan ring isomorfisme, maka R dan S dikatakan dua ring yang “sama”

(isomorf).

Latihan 4.1.

Perhatikan pemetaan : ₅ ₃₀, dengan aturan x6x. Apakah pemetaan tersebut merupakan suatu ring homomorfisme? Apakah  suatu ring isomorfisme?

Jelaskan pendapatmu.

Latihan 4.2.

Selidiki apakah pemetaan : ₁₀ ₁₀, dengan aturan x2x, merupakan ring homomorfisme. Apakah  suatu ring isomorfisme? Jelaskan jawabmu.

Latihan 4.3.

Perhatikan pemetaan : M2

 

 , dengan aturan a b c d a

 

 

  . Apakah

pemetaan tersebut merupakan ring homomorfisme?

Latihan 4.4.

Dapatkah kamu menentukan beberapa ring homomorfisme dari ₆ ke ₆? Jelaskan jawabmu.

Latihan 4.5.

Misalkan R dan S adalah ring.

a) Selidiki apakah pemetaan : R S R, dengan aturan

 

^{a b, a,}

merupakan ring homomorfisme.

b) Tunjukkan bahwa pemetaan : R R S, dengan aturan ^a

 

^{a, 0 ,}

merupakan ring homomorfisme yang satu-satu.

c) Selidiki apakah RS isomorfik ke SR.

Teorema 4.1. Sifat-sifat Ring Homomorfisme

Misalkan  adalah ring homomorfisme dari suatu ring R ke suatu ring S. Misalkan A adalah subring dari R dan misalkan B adalah ideal dari S.

1. Untuk sebarang rR dan sebarang bilangan bulat bulat positif n,

 

^{nr n}

 

^r

   dan ^

 

^{rn }



^

^{ }

^r



^n.

2. ^

 

^{A }



^

 

^{a aA}



adalah subring dari S.

3. Jika A adalah suatu ideal dan  pada S, maka ^

 

^A adalah ideal juga.

4. ^1

 

^{B  }



^{r R }

 

^{r B}



adalah ideal dari R.

5. Jika R komutatif, maka ^

 

^R komutatif.

6. Jika R mempunyai elemen identitas 1, ^{S }

 

^{0 , dan } pada, maka ^

 

¹

adalah elemen identitas dari S.

7.  adalah isomorfisme jika dan hanya jika  pada dan

  

⁰

 ^{ }

^{0 .}

Ker r R  r  

8. Jika  adalah isomorfisme dari R pada S, maka ^1 adalah isomorfisme dari S pada R.

Latihan 4.6.

Buktikan Teorema 4.1 untuk nomor 1 dan 2 di atas.

Petunjuk:

1. Perhatikan bahwa

 

^...

n

nr r r r r

 ^     ^

 . Gunakan sifat ring

homomorfisme untuk membuktikan bahwa 

 

^nr ⁿ

 

^r .

2. Tunjukkan bahwa A adalah ring. Mulailah dari sifat komutatif ring A untuk membuktikan sifat komutatif dari ^

 

^A terhadap operasi perkalian.

Latihan 4.7.

Perhatikan pemetaan : ₁₂ ₁₂, dengan ^

 

^{x 3 .x}

a) Carilah semua x di ₁₂ sehingga ^

 

^{x 0.}

b) Misalkan ^A



^{x 12 }

 

^{x 0 .}



Selidiki apakah A ideal dari ₁₂.

c) Kita mengetahui bahwa ^

 

^{1 3.} Carilah semua x di ₁₂, sehingga ^

 

^{x 3.}

d) Misalkan ^B



^{x 12 }

 

^{x 3 .}



Apakah B ideal dari ₁₂?

e) Apakah ada hubungan antara B dan A? Bagaimana cara memperoleh himpunan B dari himpunan A? Jelaskan pendapatmu.

Teorema 4.2. Kernel adalah Ideal

Misalkan  adalah suatu homomorfisme dari ring R ke ring S. Maka

  

⁰



Ker r R  r  adalah suatu ideal dari R.

Latihan 4.8.

Ambillah A suatu ideal di ₁₂. Definisikan suatu pemetaan : ₁₂ ₁₂, sehingga Ker  A.

Latihan 4.9.

Perhatikan pemetaan : ₁₂ ₁₂, dengan aturan x3 .x a) Carilah kernel .

b) Tentukan 

 

12 . Apakah 

 

12 ring?

c) Tentukan himpunan



^{x }

 

^{x a ai, i}

 

¹²



^.

d) Tuliskan ^0



^{0, 4,8 ,}



^1



^{1,5,9 ,}



^2



^{2, 6,10 ,}



^{dan 3}



^{3, 7,11 .}



Definisikan operasi ^{a b }



^{xy xa y, b}



^{, dan a b }



^{xy xa y, b}



^.

Misalkan ^A



^{0,1, 2,3}



. Ujilah apakah A ring.

e) Himpunan A disebut juga ₁₂/ Ker. Apakah hubungan antara ₁₂/ Ker dan 

 

12 ? Dapatkah dicari hubungan antara ₁₂/ Ker dan 

 

12

sehingga mereka isomorf?

Latihan 4.10.

Lakukan hal yang sama seperti pada Latihan 4.9, tetapi untuk 

 

^x ^{4 .x}

Teorema 4.3. Teorema Isomorfisme Pertama untuk Ring

Misalkan  adalah suatu ring homomorfisme dari ring R ke ring S. Maka pemetaan dari R/Ker  ke ^

 

^R , yang dinyatakan dengan ^{rKer}

 

^{r ,}

adalah suatu isomorfisme. Simbolnya, ^{R Ker/  }

 

^{R .}

Latihan 4.11.

Misalkan a b ,

R a b

b a

  

   

 

 , dan misalkan  adalah suatu pemetaan, dengan

: R , yang memetakan a b b a a b

 

  

  .

a) Tunjukkan bahwa  adalah homomorfisme terhadap ring.

b) Carilah kernel dari .

c) Tunjukkan bahwa R/Ker  isomorfik ke . d) Apakah Ker  ideal prima?

e) Apakah Ker  ideal maksimal?

Latihan 4.12.

Buatlah sebuah contoh ring R dan tentukan ideal A dari ring R tersebut. Misalkan

 adalah ring homomorfisme dari R ke R/A. Apakah A kernel dari ? Jelaskan jawabmu.

Teorema 4.4. Ideal adalah Kernel

Setiap ideal dari suatu ring R adalah kernel dari suatu ring homomorfisme dari R.

Khususnya, suatu ideal A adalah kernel dari pemetaan r r A dari R ke R/A.

Homomorfisme dari R ke R/A disebut homomorfisme natural dari R ke R/A.

Ilustrasi 5.1

Perhatikan polinomal ^{f x}

 

^{x3dan g x}

 

^{x5 di} 3

 

x . Untuk setiap a di ₃, selidiki nilai-nilai dari ^{f a dan}

 

g a . Bagaimana pendapatmu tentang

 

^{f a}

 

dan g a ? Apakah

 

^{f x dan}

 

g x merupakan dua fungsi yang sama dari

 

₃ ke

3?

Perhatikan kembali ^{f x dan}

 

g x di atas, yang merupakan dua elemen yang

 

berbeda dari 3

 

x . Kapan dua elemen dari 3

 

x dikatakan sama? Jelaskan pendapatmu.

Definisi 5.1. Ring Polinomial atas R

Misalkan R adalah ring komutatif. Himpunan dari simbol-simbol formal

  

_n ⁿ _n ^{1 n 1 ... 1 0} _i ^, adalah bilangan bulat non negatif



R x  a x a _x ^  a xa a R n

disebut ring polinomial atas R dengan x tak tentu (indeterminate).

Dua elemen

1

1 ... 1 0

n n

n n

a x a _x ^  a xa dan b x_m ^mb_m1x^m1 ... b x b₁  ₀

dari R x dipandang sama jika dan hanya jika

 

a_i b_i untuk semua bilangan bulat non negatif. (Definisikan a_i 0jika in dan b_i 0 jika im).

Latihan 5.1.

Misalkan fungsi ^{f x}

 

^{x4x dan g x}

 

^{x2x di} 3

 

x . Apakah ^{f x dan}

 

 

g x menyatakan dua fungsi yang sama dari ₃ ke ₃? Jelaskan pendapatmu.

Definisi 5.2. Penjumlahan dan Perkalian di ^{R x}

 

Misalkan R adalah ring komutatif dan misalkan

1

1 1 0

( ) _n ⁿ _n ⁿ ...

f x a x a _ x ^  a xa dan g x( )b x_m ^mb_m1x^m1 ... b x b₁  ₀ adalah elemen R x . Maka

 

    

_{s s}



^s



_s 1 _s 1



^{s 1} ...



1 1



0 0

f x g x  a b x  a_ b_ x ^   a b xa b

dengan s adalah maksimum dari m dan n, a_i 0 untuk in, dan b_i 0 untuk im.

Juga berlaku

   

_{m n} ^{m n} _{m n} 1 ^{m n 1} ... 1 0

f x g x c _ x ^ c _{ } x ^{ }  c x c

dengan c_k a b_{k 0}a b_{k1 1} ... a b_{1 k1}a b_{0 k}, untuk k 0,...,m n .

Latihan 5.2.

Perhatikan fungsi ^{p x}

 

^{  1 x x2 dan q x}

 

^{ 2 x2x3}, yang merupakan elemen dari ring komutatif R x . Hitunglah

 

^{p x}

   

^{q x dan p x q x}

   

^{ , dengan}

cara yang sudah kamu ketahui. Lakukan penghitungan kembali dengan cara seperti pada Definisi 5.2 tersebut. Bandingkan hasilnya. Bagaimana pendapatmu?

Latihan 5.3.

Misalkan ^{f x}

 

^4x3^2x2 ^{x 3} dan ^{g x}

 

^3x4^3x3^3x2 ^{x 4}, dengan

   

, 5

 

.

f x g x Z x Hitunglah ^{f x}

 

^{g x}

 

^{dan f x}

   

^{g x .}

Ilustrasi 5.2

Dari pembahasan sebelumnya tentang integral domain, diketahui bahwa adalah integral domain. Apakah

 

^x 



^{f x}

 

^{a xn n}^an^1xn1 ^{... a x1} ^{a a0 i}



merupakan integral domain juga? Jelaskan pendapatmu.

Teorema 5.1. D adalah Integral Domain yang mengakibatkan ^{D x}

 

Integral Domain

Jika D adalah integral domain, maka ^{D x}

 

adalah integral domain.

Latihan 5.4.

Buktikan Teorema 5.1 tersebut.

Latihan 5.5.

Diketahui bahwa ₃ adalah integral domain. Selidiki apakah 3

 

x juga integral domain. Bagaimana pula dengan 4

 

x dan 5

 

x ? Jelaskan pendapatmu.

Ilustrasi 5.3

Perhatikan polinomial ^{f x}

 

^{a x}_n ⁿ^a_n₁^xn1 ^{... a x a}₁  ₀, a_n 0. Bila derajat (degree) suatu polinom dinyatakan oleh besarnya derajat (pangkat) terbesar dari variabel f x nya, apakah yang dapat kamu katakan tentang derajat dari

 

^{f x}

 

tersebut? Bila derajat f x adalah n, maka ditulis

 

^{deg f x}

 

^n.

Koefisien dari variabel xⁿ, yaitu a , disebut sebagai leading coefficient. Bila _n

 

⁰

f x  , maka f x dikatakan tidak mempunyai derajat. Secara umum, bila

 

 

0

f x a , maka f x merupakan konstanta, yang derajatnya nol. Bila leading

 

coefficient dari f x adalah elemen identitas perkalian dari R, maka

 

^{f x}

 

disebut monic polinomial.