PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT LEPTOSPIROSIS
NOVIA YULIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014 Novia Yuliani NIM G54100075
ABSTRAK
NOVIA YULIANI. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Penyakit leptospirosis merupakan masalah serius bagi masyarakat dunia. Salah satu cara pemantauan penyebaran penyakit leptospirosis dilakukan dengan membangun suatu model matematika. Model penyebaran penyakit leptospirosis diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, dipilih operator linear dan taklinear berdasarkan model matematika yang ditinjau. Hasilnya berupa deret pangkat dengan suku pertama berupa penyelesaian pendekatan awal. Hasil dari metode perturbasi homotopi dibandingan dengan metode numerik (Runge-Kutta), dan diperoleh bahwa penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian metode numerik dengan sangat baik. Contoh ilustratif diberikan untuk menggambarkan dinamika penyebaran penyakit leptospirosis.
Kata kunci: model penyebaran, penyakit leptospirosis, metode perturbasi homotopi
ABSTRACT
NOVIA YULIANI. The Implementation of Homotopy Perturbation Method in Solving Leptospirosis Transmission Model. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Leptospirosis disease is a very serious threat for people in the world. One way of analyzing the spread of leptospirosis disease is by constructing a mathematical model. In this work, the leptospirosis transmission model is solved by using homotopy perturbation method. By this method, linear and nonlinear operators are selected based on mathematical model under consideration. The solution of the model is formulated in term of power series with the first term of the solution constitutes as the initial approach. The result from homotopy perturbation method is then compared with numerical method, i.e., Runge-Kutta method. It is demonstrated that both methods provide quite similar results. An illustrative example is presented to describe the transmission dynamic of the disease.
Keywords: model of the spread, leptospirosis disease, homotopy perturbation method
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT LEPTOSPIROSIS
NOVIA YULIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
Nama : Novia Yuliani NIM : G54100075
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan yang Maha Esa atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada :
1. Ayah dan Ibuku yang selalu memberikan doa terkasihnya, dukungan, perhatian, serta nasihat.
2. Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing yang telah banyak meluangkan waktunya untuk memberikan ilmu, motivasi, serta perhatian dalam pembuatan karya ilmiah ini.
3. Dosen dan staf Departemen Matematika atas semua ilmu dan bantuannya.
4. Kakak Matematika 46 yang telah memberikan ilmu, masukan, serta semua bantuannya.
5. Teman-teman seperjuangan Matematika 47 yang telah melewati suka duka bersama selama kurang lebih tiga tahun ini terutama untuk Yuli, Leny, Mira, Vina, dan Bilyan.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat, dan bisa menginspirasi untuk melakukan penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2014 Novia Yuliani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Model Matematika 2Metode Perturbasi Homotopi 4
HASIL DAN PEMBAHASAN 7
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis 8
SIMPULAN 16
DAFTAR PUSTAKA 17
LAMPIRAN 18
DAFTAR TABEL
1 Penjelasan notasi pada persamaan (1) beserta satuannya 4 2 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan penyelesaian eksak untuk persamaan (4) dan (5) 7 3 Nilai parameter yang digunakan untuk persamaan (1) dalam
penerapan metode perturbasi homotopi dan hampiran numerik 11 4 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numerik untuk kelompok manusia 12 5 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numerik untuk kelompok vector 12
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit leptospirosis pada
manusia dan vector 3
2 Grafik populasi pada kelompok manusia yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis 13
3 Grafik populasi pada kelompok manusia yang terinfeksi penyakit
leptospirosis 13
4 Grafik populasi pada kelompok manusia yang sembuh pasca
terinfeksi penyakit leptospirosis 14
5 Grafik populasi pada kelompok vector yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis 15
6 Grafik populasi pada kelompok vector yang terinfeksi penyakit
leptospirosis 16
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Leptospirosis merupakan penyakit yang disebabkan oleh bakteri Leptospira. Penyakit ini ditularkan dari hewan ke manusia, manusia ke hewan, atau dari manusia ke manusia melalui air seni. Penularan pada manusia terjadi ketika orang dengan luka terbuka melakukan kontak langsung dengan air atau tanah yang sudah dicemari oleh air seni hewan atau manusia yang terinfeksi penyakit ini. Selain ditularkan melalui luka yang terbuka, bakteri ini juga dapat menyerang manusia dengan cara masuk melalui mata atau selaput lendir lainnya.
Hewan yang menularkan penyakit ini ke manusia adalah hampir semua jenis mamalia, seperti tikus, musang, rubah, kerbau, sapi, dan opossum, serta jenis burung dan serangga. Bakteri ini berdiam pada ginjal hewan, yang kemudian dikeluarkan bersama air seni dari hewan tersebut. Kontaminasi air seni hewan pengidap leptospirosis dapat bertahan selama berbulan-bulan di air dan tanah. Orang dengan pekerjaan tertentu yang sering berinteraksi dengan air dan tanah, atau yang melakukan kontak langsung dengan hewan tertentu memiliki potensi lebih besar terserang penyakit ini, seperti petani, dokter hewan, petugas pembersih selokan dan sungai, serta petugas penjagalan hewan. Selain itu penyakit ini juga dapat menyerang masyarakat yang tinggal di daerah kumuh, seperti tinggal di bantaran sungai yang menggunakan air sungai tidak layak pakai untuk mandi dan mencuci. Penyakit ini lebih sering terjadi pada daerah dengan iklim tropis dan subtropis, karena bakteri Leptospira tumbuh subur di lingkungan panas dan lembab.
Leptospirosis berat dapat mengacam jiwa, seperti kegagalan organ dan pendarahan internal. Hal demikian dapat terjadi apabila bakteri Leptospira menyerang organ penting seperti ginjal dan hati. Orang yang menderita penyakit leptospirosis berat umumnya adalah penderita pneumonia, balita, dan orang dengan usia lanjut. Menurut WHO (World Health Organisation) sekitar 10 juta penduduk dunia terserang penyakit ini setiap tahunnya, namun kematian karena penyakit ini sulit dihitung karena banyak rumah sakit yang tidak melaporkan penyebab kematian. Beberapa peneliti telah melakukan kajian terkait penyakit ini seperti kajian tentang perilaku dinamika penyakit leptospirosis dan peranan kontrol optimum terhadap penyebaran penyakit ini (Zaman 2010), model interaksi dinamis antara vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis dengan populasi manusia (Zaman et al. 2012), dan perancangan model deterministik sederhana terhadap penyebaran penyakit leptospirosis di Thailand yang dilakukan oleh (Triampo et al. 2007). Karena penyakit ini merupakan penyakit yang serius, maka perlu dilakukan pemantauan terhadap penyebaran penyakit ini.
Pemantauan penyebaran penyakit leptospirosis dapat dilakukan dengan membangun suatu model matematika. Dalam karya ilmiah ini, model matematika yang ditinjau didasarkan pada (Khan et al. 2013) yang modelnya berupa persamaan diferensial taklinear. Seperti yang telah diketahui, persamaan diferensial taklinear tidak mudah didapatkan solusi eksaknya. Pada banyak kasus hanya sebagian kecil dari persamaan diferensial taklinear yang bisa didapatkan solusi eksaknya. Jadi dibutuhkan penyelesaian secara numerik agar didapatkan
2
pendekatan eksaknya. Pada karya tulis ini akan dibahas pendekatan analitik dengan metode perturbasi homotopi. Metode ini merupakan pengembangan dari metode homotopi yang dikombinasikan dengan perturbasi. Beberapa peneliti telah menggunakan metode ini untuk menyelesaikan beberapa masalah dalam sains, seperti penggunaan metode perturbasi homotopi untuk model SEIR dengan total populasi yang bervariasi (Jaharuddin 2014). Metode perturbasi homotopi akan digunakan untuk menyelesaikan model matematika yang telah diperoleh pada (Khan et al. 2013). Hasil yang diperoleh akan dibandingkan dengan metode Runge-Kutta yang dianggap sebagai hasil numerik. Pada bahasan berikutnya hewan yang dapat terinfeksi leptospirosis dinamakan vector.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, maka tujuan penelitian ini adalah :
a. Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model persamaan diferensial dari penyebaran penyakit leptospirosis.
b. Membandingkan hasil yang diperoleh melalui metode perturbasi homotopi dengan hampiran numeriknya.
c. Menginterpretasikan hasil-hasil yang didapat sesuai dengan parameter yang diberikan.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang mendasari penulisan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi pembahasan model matematika dari penyebaran penyakit leptospirosis, konsep dasar metode perturbasi homotopi dari (He 2000), serta suatu contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Model Matematika
Model penyebaran penyakit leptospirosis dikelompokkan menjadi lima kelompok, yaitu kelompok manusia yang sehat namun rentan terinfeksi penyakit leptospirosis, kelompok manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis, kelompok manusia yang telah pulih pasca terinfeksi penyakit leptospirosis, kelompok hewan yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis, dan kelompok hewan yang terinfeksi penyakit leptospirosis. Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit ini diperlihatkan pada Gambar 1.
3
Gambar 1 Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit leptospirosis pada manusia dan vector
Seperti terlihat pada Gambar 1, saat kelompok manusia yang sehat namun rentan terinfeksi penyakit leptospirosis ( ) melakukan kontak dengan air seni hewan atau manusia yang terinfeksi leptospirosis, maka kelompok manusia tersebut masuk ke kelompok manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis ( ). Saat kelompok hewan yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis melakukan kontak dengan air seni manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis, maka kelompok hewan tersebut masuk ke kelompok hewan yang terinfeksi penyakit leptospirosis Kemudian kelompok manusia yang terinfeksi leptospirosis ( ) akan masuk ke kelompok manusia yang pulih pasca terinfeksi leptospirosis , apabila kelompok manusia tersebut mampu melawan penyakit tersebut. Dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa tidak ada penyembuhan terhadap hewan yang terinfeksi penyakit leptospirosis.
Berdasarkan penjelasan di atas, maka diperoleh model persamaan sebagai berikut yang juga mengacu pada (Khan et al. 2013).
(1)
Penjelasan mengenai notasi-notasi dan satuan pada persamaan (1) disajikan dalam Tabel 1
I
hR
hS
hS
vI
v4
Tabel 1 Penjelasan notasi pada persamaan (1) beserta satuannya
Notasi Keterangan Satuan
koefisien kematian vector akibat penyakit leptospirosis
koefisien kematian manusia akibat penyakit
leptospirosis
laju kelahiran populasi manusia
laju kelahiran populasi vector
koefisien penyebaran langsung antara manusia
yang rentan dengan manusia yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara manusia yang rentan
dengan vector yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara vector yang rentan
dengan manusia yang terinfeksi
koefisien kematian alami manusia
koefisien kematian alami vector
koefisien ketika manusia kembali rentan terinfeksi koefisien penyembuhan manusia yang terinfeksi Syarat awal untuk persamaan (1) dinyatakan sebagai berikut :
, , , , dan .
Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan pada He (2000). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:
[ ] (2)
dengan A adalah operator diferensial umum, adalah variabel bebas, dan u(t) adalah fungsi yang akan ditentukan. Didefinisikan operator linear yang memenuhi
[ ] bila Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
[ ] [ ] [ ] (3) dengan merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2), dan merupakan parameter dimana [ ]. Berdasarkan persamaan (3) maka pada saat memberikan persamaan:
5
dan untuk memberikan persamaan:
[ ] [ ]
Sehingga merupakan penyelesaian dari persamaan [ ] dan merupakan penyelesaian dari [ ] Asumsikan bahwa solusi dari persamaan (3) dapat ditulis sebagai deret pangkat dalam
.
Tetapkan sehingga diperoleh solusi pendekatan dari persamaan (2) adalah sebagai berikut:
.
Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi, berikut disajikan contoh dari masalah nilai awal dengan persamaan:
(4)
(5)
dan syarat awal dan . Penyelesaian eksak masalah nilai awal persamaan (4) dan (5) adalah
Berikut akan dicari penyelesaian dari persamaan (4) dan (5) menggunakan metode perturbasi homotopi. Didefinisikan operator linear untuk persamaan (4) dan (5) masing-masing sebagai berikut:
dan operator turunan sebagai berikut:
dengan . Berdasarkan persamaan (3), maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
6 [ ] [ ] =0 (6) [ ] [ ] =0.
Misalkan penyelesaian dari persamaan (6) berturut-turut dinyatakan dalam deret pangkat berikut:
. (7)
Jika persamaan (7) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan (6) dan dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan , maka memberikan persamaan berikut:
(8)
Berdasarkan syarat awal dan , maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (8) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi sebagai berikut: = = = = = = =
7
=
Sehingga penyelesaian dari persamaan (4) dan (5) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde keempat adalah:
Tabel 2 berikut menyajikan galat antara hasil dari metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak dalam beberapa nilai .
Tabel 2 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian eksak untuk persamaan (4) dan (5)
0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Dari Tabel 2 rata-rata galat untuk dan masing-masing sebesar dan 9.92 . Hal ini berarti bahwa metode perturbasi homotopi menghampiri penyelesaian eksak dari persamaan (4) dan (5) dengan baik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penerapan metode perturbasi homotopi dalam menyelesaikan model dari penyebaran penyakit leptospirosis yang persamaannya merupakan persamaan diferensial taklinear. Hasil yang diperoleh melalui metode ini akan dibandingan dengan hampiran numeriknya.
8
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
Model penyebaran penyakit leptospirosis pada manusia dan vector yang diberikan pada persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
Didefinisikan operator linear untuk persamaan (1) adalah sebagai berikut: (9) dan operator tak linear sebagai berikut:
(10)
dengan . Berdasarkan persamaan (3) untuk persamaan (9) dan (10) diperoleh: ( ) ( )
9 ( ) ( ) (11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dengan [ ] suatu parameter dan merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Misalkan penyelesaian dari persamaan (11) dinyatakan dalam deret pangkat berikut:
(12)
dengan syarat awal , , , , dan . Jika persamaan (12) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka koefisien memberikan persamaan:
(13)
dengan syarat awal , , , , dan . Koefisien memberikan persamaan:
(14)
10
dengan syarat awal , , , , dan . Koefisien memberikan persamaan:
(15)
dengan syarat awal , , , , dan . Koefisien memberikan persamaan:
(16)
dengan syarat awal , , , , dan . Penurunan persamaan (13) sampai (16) dapat dilihat pada Lampiran 1.
Syarat awal dari persamaan (1) adalah , , , , dan nilai parameter yang diambil dari Khan et al.(2013) disajikan dalam Tabel 3:
11 Tabel 3 Nilai parameter yang digunakan untuk persamaan (1) dalam penerapan
metode perturbasi homotopi dan hampiran numerik
Notasi Keterangan Nilai
koefisien kematian vector akibat penyakit leptospirosis koefisien kematian manusia akibat penyakit
leptospirosis
laju kelahiran populasi manusia
laju kelahiran populasi vector
koefisien penyebaran langsung antara manusia yang rentan dengan manusia yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara manusia yang rentan
dengan vector yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara vector yang rentan dengan
manusia yang terinfeksi
koefisien kematian alami manusia koefisien kematian alami vector koefisien ketika manusia kembali rentan terinfeksi koefisien penyembuhan manusia yang terinfeksi Berdasarkan data-data pada Tabel 3, dan dengan mengintegralkan persamaan (13)-(16) serta dengan memasukkan syarat-syarat awalnya, maka diperoleh penyelesaian masalah nilai awal dari persamaan (1) yang bergantung pada waktu adalah sebagai berikut:
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (1) menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde keempat adalah:
Hasil penyelesaian dari masalah nilai awal pada persamaan (1) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi untuk orde keempat kemudian
12
dibandingkan dengan hampiran numeriknya yang disajikan pada Tabel 4 dan Tabel 5.
Tabel 4 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan hampiran numerik untuk kelompok manusia
0 0 0 0 0.1 0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tabel 5 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan hampiran numerik untuk kelompok vector
0 0 0 0.1 0 0.2 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Berdasarkan Tabel 4 dan Tabel 5 rata-rata galat yang dihasilkan untuk kelompok manusia yang rentan, kelompok manusia yang terinfeksi, kelompok manusia yang sembuh pasca infeksi, kelompok vector yang rentan, dan kelompok vector yang terinfeksi masing-masing adalah , , , , dan . Dari kedua tabel tersebut, metode perturbasi homotopi memiliki penyelesaian yang mendekati hampiran numeriknya. Pada beberapa selang diperoleh galat yang sangat kecil. Sehingga metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian dari masalah penyebaran penyakit leptospirosis.
Berikut disajikan grafik dari hampiran numerik dengan tiga kondisi. Kondisi 1 terjadi saat dan , kondisi 2 terjadi saat dan
13
Gambar 2 Grafik populasi pada kelompok manusia yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari parameter semula, yaitu ketika dan diubah menjadi dan banyaknya populasi manusia yang rentan meningkat hingga kemudian menurun. Sedangkan untuk parameter semula, populasinya mengalami penurunan dari waktu awal, begitu juga untuk parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector yang dikalikan setengah. Dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi ini akan stabil pada angka 1.7, artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi dalam jangka panjang tidak akan memengaruhi banyaknya populasi manusia yang rentan.
Gambar 3 Grafik populasi pada kelompok manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis
14
Dari Gambar 3 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari parameter semula, yaitu ketika dan diubah menjadi dan , maka untuk waktu yang sama, banyaknya populasi manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal. Kemudian, ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector dikalikan setengah dari parameter semula yaitu ketika dan diubah menjadi dan untuk waktu yang sama, banyaknya populasi manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi awal. Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan stabil. Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi dengan menggunakan parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 170, banyaknya populasi manusia yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 343, dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan setengah dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 84. Artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector memengaruhi nilai kestabilan dari populasi manusia yang terinfeksi dalam jangka panjang.
Gambar 4 Grafik populasi pada kelompok manusia yang sembuh pasca terinfeksi penyakit leptospirosis
Dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari parameter semula, yaitu ketika dan diubah menjadi dan , maka untuk waktu yang sama banyaknya populasi manusia yang sembuh pasca terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal. Kemudian, ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector dikalikan setengah dari parameter semula, yaitu ketika
15 diubah menjadi , untuk waktu yang sama banyaknya populasi manusia yang sembuh pasca terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi awal. Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan stabil. Banyaknya populasi manusia yang sembuh dengan menggunakan parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 296, banyaknya populasi manusia yang sembuh dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 592, dan banyaknya populasi manusia yang sembuh dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan setengah dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 148. Artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector memengaruhi nilai kestabilan dari populasi manusia yang sembuh dalam jangka panjang.
Gambar 5 Grafik populasi pada kelompok vector yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis
Dari Gambar 5 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari parameter semula yaitu ketika dan diubah menjadi dan , banyaknya populasi vector yang rentan meningkat hingga kemudian menurun. Sedangkan untuk parameter semula, populasinya mengalami penurunan dari waktu awal, begitu juga untuk parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector yang dikalikan setengah. Dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi ini akan stabil pada angka 1, artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi dalam jangka panjang tidak akan memengaruhi banyaknya populasi vector yang rentan.
16
Gambar 6 Grafik populasi pada kelompok vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis
Dari Gambar 6 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari parameter semula yaitu ketika dan diubah menjadi dan , maka untuk waktu yang sama banyaknya populasi vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal. Kemudian, ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector dikalikan setengah dari parameter semula yaitu ketika dan diubah menjadi dan , untuk waktu yang sama banyaknya populasi vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi awal. Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan stabil. Banyaknya populasi vector yang terinfeksi dengan menggunakan parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 108, banyaknya populasi vector yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 216, dan banyaknya populasi vector yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan setengah dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 54. Artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector memengaruhi nilai kestabilan dari populasi vector yang terinfeksi dalam jangka panjang.
SIMPULAN
Model penyebaran penyakit leptospirosis dikelompokkan menjadi lima, yaitu kelompok manusia yang rentan terinfeksi, kelompok manusia yang terinfeksi, kelompok manusia yang sembuh pasca terinfeksi, kelompok vector yang rentan terinfeksi, dan kelompok vector yang terinfeksi. Dengan model
17 tersebut, maka diperoleh lima persamaan diferensial taklinear yang saling terkait. Pemantauan dari penyebaran penyakit ini dilakukan dengan menyelesaikan persamaan diferensial tersebut.
Penyelesaian persamaan diferensial dari penyebaran penyakit ini dapat dihampiri dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Galat yang diperoleh antara metode perturbasi homotopi dengan hampiran numeriknya pada beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini menunjukan bahwa metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak dari penyebaran penyakit leptospirosis.
Perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector pada populasi manusia yang rentan dan populasi vector yang rentan dalam jangka panjang tidak memengaruhi banyaknya individu pada populasi tersebut, namun untuk populasi manusia yang terinfeksi, populasi manusia yang sembuh, dan populasi vector yang terinfeksi hal ini akan memengaruhi nilai kestabilan dalam jangka panjang.
DAFTAR PUSTAKA
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear Mechanic. 35(2000):37-43.doi : pii/S0020746298000857.
Jaharuddin. 2014. Homotopy perturbation method for a SEIR model with varying total population size. Far East Journal of Mathematical Sciences. 84(2):187-198.
Khan MA, Islam S, Ullah M, Khan SA, Zaman G, Saddiq SF. 2013. Analytical solution of the leptospirosis epidemic model by homotopy perturbation method. International Science Congress Association. 2(8):66-71.
Triampo W, Baowan D, Tang IM, Nuttavut N, Wong-Ekkabut J, Doungchawee G. 2007. A simple deterministic model for the spread of leptospirosis in Thailand. International Journal of Biological and Medical Sciences. 2(1):22-26.
Zaman G, Khan MA, Islam S, Chohan MI, Jung IH. 2012. Modeling dynamical interactions between leptospirosis infected vector and human population. Applied Mathematical Sciences. 6(26):1287-1302.
Zaman G. 2010. Dynamical behavior of leptospirosis disease and role of optimal control theory. International Journal of Mathematics and Computation. 7(J10):73-79.
18
Lampiran 1 Penurunan persamaan (13)-(16) Tinjau persamaan (11) berikut :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Misalkan solusi persamaan (11) dinyatakan oleh deret berikut :
yang merupakan persamaan (12). Jika persamaan (12) beserta turunannya disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka diperoleh :
[ ] [ ] atau
19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] atau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20 [ ] [ ] atau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] atau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] atau
21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Koefisien berturut-turut memberikan persamaan : Koefisien berturut-turut memberikan persamaan :
Koefisien berturut-turut memberikan persamaan :
22 Koefisien berturut-turut memberikan persamaan :
23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 29 November 1991 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Tugino dan Partini. Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu SDN Karang Asih 04 pada tahun 1998-2004, SMPN 1 Cikarang Utara pada tahun 2004-2007, SMAN 1 Cikarang Utara pada tahun 2007-2010. Di tahun 2010 penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menjalankan studi di IPB, penulis aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa Keluarga Mahasiswa Buddhis (UKM KMB) sebagai bendahara umum pada tahun 2011, dan pada tahun 2012 penulis aktif di himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai bendahara divisi Math Event. Penulis pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Pengantar Teori Peluang pada semester genap tahun akademik 2012-2013, dan Kalkulus II pada semester ganjil tahun akademik 2013-2014. Berbagai kegiatan kepanitiaan yang diikuti penulis yaitu Masa Perkenalan Departemen (MPD) pada tahun 2012, IPB Mathematics Challenge sebagai staf divisi dana usaha pada tahun 2012, IPB Mathematics Challenge sebagai staf divisi sponsorship pada tahun 2013, dan sebagai staf divisi hubungan masyarakat pada Matematika Ria di tahun 2013.
