Sejarah Perkembangan Kalkulus

Sejarah

Kalkulus

Isi Kandungan

Pengenalan

1

Sejarah Perkembangan Kalkulus :



Awal



Pertengahan



Akhir

2-3

4-6

6-9

Tokoh-tokoh Matematik



Zu Chong Ji

10



Isaac Newton

11



Gottfried Leibniz

12



Johann Carl Friedrich Gauss

13



Joseph Louis Lagrange

14



Srinivasa Ramanujan

15

(1)

(1)

Pengenalan

Kalkulus yang juga bermaksud “

batu kecil

” dalam

bahasa Latin merupakan salah satu cabang ilmu matematik

yang merangkumi had, terbitan, kamiran, dan deret tak

terhingga. Kalkulus merupakan ilmu mengenai perubahan

dan mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang

sains, ekonomi, dan teknikal. Selain daripada itu, kalkulus

dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat

diselesaikan dengan algebra asas.

Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus

pembezaan dan kalkulus kamiran yang saling berhubungan

melalui teorem asas kalkulus. Pembelajaran tentang ilmu

kalkulus merupakan pintu gerbang menuju pembelajaran

matematik lain yang lebih mencabar.

Sejarah

Perkembangan

Kalkulus

Awal

(580 SM- 221 SM)

Pada zaman ini, para ahli matematik seperti Archimedes, Euclid dan Pythagoras telah memperkenalkan beberapa idea yang membuatkan skop kalkulus lebih meluas dan secara tidak langsung mengembangkan idea-idea tersebut dengan lebih teratur dan sistematik.

Selain itu, terdapat beberapa idea tentang konsep kalkulus iaitu pengamiran telah muncul. Walau bagaimanapun, idea-idea tersebut tidak dikembangkan dengan baik dan sistematik. Kaedah pengiraan isipadu dan luas yang merupakan fungsi utama konsep pengamiran telah ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa oleh Vladimir Goleniščev.

Pada zaman ini, orang Mesir telah mengira isipadu piramid. Rentetan itu, Archimedes telah mengembangkan idea ini dengan lebih meluas dan menghasilkan pendekatan yang lebih heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Semasa tamadun Yunani, ahli matematik Eudoxus (408-355 SM) telah memperkenalkan ‘method of exhaustion’ yang menggunakan poligon yang kecil yang dimuatkan ke dalam ruang yang ingin dicari untuk mengira keluasan dan isipadu. ‘Method of exhaustion’ ini kemudian diciptakan kembali di China oleh Liu Hui pada abad ke-3 untuk mencari luas lingkaran. Pada abad ke-5, Zu Chongzhi membentuk kaedah yang kemudiannya disebut prinsip Cavalieri 's untuk mencari isipadu sebuah sfera.

Method Of Exhaustion

pertengahan

(Abad Ke-6 Hingga Abad Ke-12)

Pada zaman ini iaitu pada tahun 499, ahli matematik India, Aryabhata telah menggunakan konsep kecil tak terhingga dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan pembezaan. Persamaan ini kemudiannya telah membantu Bhaskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema De Rolle“. Di samping itu, pada sekitar tahun 1000, seorang ahli matematik daripada Iraq, Ibn al-Haytham (Al Hazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat. Selain daripada itu, Ibn al-Haytham juga telah berjaya menggunakan induksi matematik untuk mengembangkan suatu kaedah untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat pengamiran yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus iaitu pengamiran.

Pada abad ke-12, ahli matematik daripada Persia iaitu Sharaf al-Din al-Tusi telah memperkenalkan turunan dari fungsi kubik yang merupakan sebuah hasil yang penting dalam kalkulus iaitu pembezaan. Pada abad ke-14 pula, Madhava, bersama dengan Jyesthadeva seorang ahli matematik dan ahli astronomi daripada mazhab Kerala telah menjelaskan perkara khusus dari deret Taylor ataupun ‘Taylor Series’, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Teks Yuktibhasa ini adalah karya yang unik, kerana mengandungi bukti dan derivasi dari pelbagai toerem. Hal ini merupakan sesuatu yang tidak biasanya dilakukan oleh ahli-ahli matematik yang lain pada zaman itu. Beberapa perkembangan penting yang terdapat dalam teks ini antara lain meliputi pengembangan deret takterhingga dari suatu fungsi, deret pangkat, deret Taylor, deret trigonometri untuk sinus, kosinus, tangen, dan lengkung tangen, deret pangkat untuk π, π/4, θ, jari-jari, diameter dan lingkar dan ujian kovergensi (convergency test).

Taylor Series

akhir

(Abad ke-12 hingga abad ke-17)

Pada zaman ini, dua tokoh matematik yang terkenal iaitu Leibniz dan Newton telah menyumbangkan idea-idea yang hampir serupa dan menyebabkan mereka dianggap sebagai pengasas kalkulus. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fizik sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Konsep aturan produk (product rules) dan aturan rantai (chain rules), gagasan derivatif lebih tinggi, deret Taylor, dan fungsi analisis diperkenalkan oleh Isaac Newton dalam notasi istimewa yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematik dan fizik. Newton juga telah menggunakan kaedah kalkulus untuk menyelesaikan masalah pergerakan planet, bentuk permukaan cairan berputar dan banyak masalah lain yang dibahas dalam bukunya Principia Mathematica (1687). Selain itu, beliau tururt mengembangkan ekspansi turutan (series expansion) untuk fungsi. Hal ini jelas menunjukkan bahawa beliau memahami prinsip-prinsip dari deret Taylor. Walau bagaimanapun, beliau tidak mendedahkan semua penemuan beliau.

Gottfried Wilhelm Leibniz pula adalah orang pertama yang mendedahkan hasilnya tentang perkembangan kalkulus. Idea-idea ini adalah sistematik terutamanya dalam konsep kalkulus iaitu infinitesimals yang pada awalnya dituduh meniru idea-idea yang diperkenalkan oleh Newton. Beliau sekarang dianggap salah seorang penyumbang terbesar dalam kalkulus. Antara konsep yang diperkenalkan olehnya adalah set aturan untuk memanipulasi jumlah yang sangat kecil, membolehkan pengiraan turunan kedua dan lebih tinggi, dan menyediakan aturan produk dan aturan rantai sama ada dalam konsep pembezaan mahupun pengamiran. Tidak seperti Newton, Leibniz memberi perhatian pada formalisme dan sering menghabiskan hari-harinya untuk menentukan simbol-simbol yang sesuai untuk konsep kalkulus.

Tidak dapat disangkal lagi, Leibniz dan Newton sememangnya merupakan perintis kepada penemuan kalkulus. Newton adalah yang pertama menerapkan konsep kalkulus untuk menyelesaikan masalah fizik dan Leibniz mengembangkan banyak notasi yang digunakan dalam kalkulus hari ini. Antara sumbangan terbesar Newton dan Leibniz adalah dalam hukum pembezaan dan pengamiran kedua dan turunan yang lebih tinggi, serta gagasan dari siri polinomial aproksimasi.

Ketika Newton dan Leibniz mendedahkan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi dalam kalangan ahli matematik tentang individu yang akan menerima penghargaan terlebih dahulu terhadap kerja yang mereka telah hasilkan. Newton menyiapkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mendedahkannya kepada umum. Newton menuduh Leibniz mencuri ideanya dari catatan-catatan yang tidak didedahkan kepada umum di mana ianya sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa kedua-duanya bekerja secara berasingan, dengan Leibniz memulakan kajiannya daripada konsep pengamiran dan Newton daripada konsep pembezaan. Oleh itu, Newton dan Leibniz telah diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus. Selain itu, Leibniz telah memberikan nama kepada ilmu cabang matematik ini sebagai kalkulus, manakala Newton menamakannya “The science of fluxions“.

Selain itu, Bonventuara Cavalieri, seorang ahli matematik daripada Milan berpendapat bahawa isipadu dan kawasan yang ingin dikira harus dikira sebagai jumlah dari isipadu dan keratan rentas sesuatu objek. Idea ini serupa dengan idea yang diperkenalkan oleh Archimedes. Walau bagaimanapun, penemuan Cavalieri ini tidak dapat diperkembangkan kerana buku catatan di mana beliau mencatatkan semua penemuannya telah hilang. Selain itu, kerja Cavalieri juga tidak dihormati karena kaedah yang diperkenalkan olehnya menghasilkan jawapan yang salah.

Pembelajaran kalkulus secara formal digabungkan dengan konsep infinitesimals yang diperkenalkan oleh Cavalieri serta konsep pengamiran dan pembezaan telah diperkembangkan di Eropah pada zaman tersebut. Selain itu, Pierre de Fermat, mengatakan bahawa beliau memperkenalkan tentang konsep adequality, yang diwakili kesetaraan hingga jangka kesalahan sangat kecil. Kombinasi ini dicapai oleh John Wallis, Isaac Barrow, dan James Gregory. Pada sekitar tahun 1675 pula, mereka telah berjaya membuktikan teorem dasar kalkulus kedua

Setelah penemuan Leibniz dan Newton, terdapat banyak ahli matematik yang telah memberi sumbangan kepada pembangunan kalkulus. Salah satu karya pertama dan paling lengkap pada analisis konsep terbatas dan sangat kecil ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi .

Tokoh-tokoh

Matematik

S

Isaac Newton

(1642 - 1727)

England

Beliau lahir di Woolsthorpe-by-Colsterworth, Lincolnshire pada 25 Disember 1642 dan meninggal pada 20 Mac 1727 semasa berusia 84 tahun. Beliau merupakan seorang ahli fizik, ahli matematik, ahli astronomi, ahli kimia dan ahli teologi yang berasal dari England. Semasa kecil beliau tidak dapat bermain permainan yang agresif kerana badannya tidak cukup kuat, maka beliau menghabiskan masa lapangnya dengan mereka cipta berbagai permainan seperti lelayang bertanglung, roda yang dipusingkan oleh air, jam kayu dan jam matahari.

Sumbangan

 Memperkenalkan konsep pembezaan yang beliau gelar sebagai “fluxions method”.

 Memperkenalkan konsep baru iaitu konsep pengamiran yang beliau gelar sebagai “inverse fluxions method”.

 Menghasilkan serta memperkembangkan teori binomial.

 Memperkenalkan "Newton Method" untuk melakukan pendekatan terhadap nilai nol suatu fungsi

 Memberi sumbangan terhadap kajian deret pangkat.

Gottfried Leibniz

(1646-1716)

Jerman

Gottfried Wilhelm Leibniz (juga dikenali sebagai von Leibniz) merupakan seorang ahli matematik, ahli falsafah dan ahli fizik yang terkenal dan dilahirkan di Leipzig, Jerman. Bapanya, seorang profesor falsafah moral di universiti di Leipzig meninggal dunia ketika Leibniz hanya berusia enam tahun. Leibniz adalah seorang kanak-kanak yang pintar. Beliau mahir bahasa Latin ketika hanya berusia dua belas tahun. Beliau memasuki Universiti Leipzig ketika berumur empat belas tahun, di mana beliau mengambil kursus falsafah, matematik dan undang-undang. Beliau juga mencipta roda Leibniz dan mencadangkan teori penting tentang kuasa, tenaga dan masa.

Sumbangan

 Memperkenalkan pelbagai notasi yang digunakan dalam konsep kalkulus seperti dy/dx dan lain-lain lagi.

 Memperkenalkan konsep set aturan untuk memanipulasi jumlah yang sangat kecil yang membolehkan pengiraan turunan kedua dan lebih tinggi

 Menyediakan aturan produk dan aturan rantai sama ada dalam konsep pembezaan mahupun pengamiran.

 Memperkenalkan konsep infinitesimals  Menghasilkan nama-nama kalkulus

integral dan kalkulus diferensial

 Memperkenalkan istilah fungsi dan penggunaan secara konsisten untuk kesamaan

Joseph Louis Lagrange

(1736 - 1813)

Itali

Joseph-Louis Lagrange dilahirkan di Turin, Itali pada 25 Januari, 1736 dan merupakan anak sulung daripada 11 orang adik-beradik. Bapanya menginginkan beliau untuk menjadi seorang peguam. Walau bagaimanapun, semasa berada di Kolej Turin, Lagrange membaca kertas yang diterbitkan oleh ahli astronomi Edmond Halley mengenai penggunaan algebra dalam bidang optik. Kertas Halley dan minat Lagrange dalam fizik akhirnya membawa beliau untuk meneruskan kerjaya dalam matematik.

Sumbangan

 Memperkenalkan fungsi Lagrangian dan Lagrange berganda

 Beliau juga membuat banyak sumbangan kepada kalkulus dalam pelbagai variasi termasuklah:-

-masalah pengoptimuman, -kalkulus kebarangkalian -mekanik analisis

-teori fungsi

Bibliografi

Buku

Boyer, C. B. (1959). The History of the Calculus and Its Conceptual Development. New York: Dover Publications.

Edwards, C. H. (1979). The Historical Development Of The Calculus. New York: Springer-Verlag Publications.

Internet

Timeline of Calculus History. (2010, April 24). Dilayari pada Ogos 14, 2013, from The

History of Calculus:

http://www.mhhe.com/math/calc/smithminton2e/cd/tools/timeline/

Matematika. (2012, Jun 22). Dilayari pada Ogos 14, 2013, from Sejarah Kalkulus:

http://matematikacooy.wordpress.com/sejarah-kalkulus/

Irfan, M. (2009, Julai 13). Serunya Matematika. Dilayari pada Ogos 13, 2013, from Sejarah Kalkulus: http://serunya-matematika.blogspot.com/p/sejarah-kalkulus.html

Rahmi, A. (2012, Jun 23). Matematik Duniaku. Dilayari pada Ogos 13, 2013, from PERKEMBANGAN KALKULUS INTEGRAL:

http://rahmiarifa31.blogspot.com/2013/06/perkembangan-kalkulus-integral.html

Rosenthal, A. (1951, Februari 11). Mathematical Association Of America. Dilayari pada Ogos 13, 2013, from History of Calculus:

http://www.jstor.org/discover/10.2307/2308368?uid=3738672&uid=2129&uid= 2&uid=70&uid=4&sid=21102550727191

S, H. N. (2011, November 25). EXPANDING YOUR KNOWLEDGE THROUGH

MATHEMATICS. Dilayari pada Ogos 14, 2013, from Sejarah Perkembangan

Kalkulus: http://10111529.blog.unikom.ac.id/sejarah.35a

Wikipedia . (n.d.). Dilayari pada Ogos 15, 2013, from Kalkulus: