• Tidak ada hasil yang ditemukan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)"

Copied!
32
0
0

Teks penuh

(1)

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

Keterkendalian

(Controlability)

(2)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Asesmen

Ringkasan

(3)

Vektor Bebas Linear

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Asesmen

Ringkasan

Bentuk Lain Syarat

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna Pada

Bidang-s

(4)

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar

Asesmen

Pengantar

Suatu sistem dikatakan dapat dikendalikan (controllable) pada saat to, jika vector pengendalian dapat memindahkan sistem dari keadaan mula-mula sebarang x(to) ke keadaan yang lain dalam suatu interval waktu yang berhingga.

Konsep controllability diperkelnalkan oleh Kalman. Konsep tersebut digunakan untuk merancang sistem pengendalian dengan menggunakan metode ruang keadaan.

Pada beberapa sub-bab berikut akan dibicarakan tentang: • vektor bebas linier,

• keterkendalian sempurna dari sistem kontinyu, • syarat keterkendalian keadaan secara sempurna,

• syarat keterkendalian keadaan secara sempurna pada bidang-s, • keterkendalian keluaran.

(5)

Vektor Bebas Linear

Vektor x1, x2, …..,xndikatakan bebas linier jika,

c

1

x

1

+c

2

x

2

+ …..+c

n

x

n

= 0

dimana c1, c2,…..,cnadalah konstan, mempunyai arti bahwa

c

1

=c

2

=…..=c

n

=0

Sebaliknya, vektor-vector x1, x2,…..,xndisebut bergantung linier jika dan hanya jika xi dinyatakan sebagai kombinasi linier dari xj (j=1,2,…,n ; ji),

atau

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

 

n i j j j j i

c

1

x

x

(Pers. 1) (Pers. 2) (Pers. 3)

(6)

Vektor Bebas Linear

Untuk suatu himpunan konstanta cj. Ini berarti bahwa xi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam himpunan tersebut, xi bergantung linier padanya atau bukan

merupakan anggota himpunan yang bebas.

Contoh

(1). Vektor-vektor berikut :

adalah bergantung linier karena : x1 + x2 – x3 = 0 .

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen                                  4 2 2 , 1 0 1 , 3 2 1 3 2 1 x x x

(7)

Vektor Bebas Linear

(2). Vektor-vektor berikut :

adalah bebas linier, karena : c1y1 + c2y2 + c3y3 = 0 hanya dipenuhi jika c1 = c2 = c3 =0

.

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen                                  2 2 2 , 1 0 1 , 3 2 1 3 2 1 y y y

Perhatikan jika suatu matrik nxn adalah nonsingular (yang berarti bahwa matrik tersebut mempunyai rank-natau determinannya tidak nol), maka n vektor kolom (baris)-nya bebas linier.

(8)

Vektor Bebas Linear

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Jika matrik nxn tersebut singular (yang berarti bahwa rank-nya kurang dari n atau determinan = nol), maka n vektor kolom (baris)-nya bebas

linier.

Contoh,

perhatikan bahwa

Nonsingular Singular                         2 1 3 2 0 2 2 1 1 4 1 3 2 0 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 y y y x x x Det (X) = 0 Det (X) = 4

(9)

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari

Sistem Kontinyu

Tinjau sistem kontinyu dalam bentuk persamaan keadaan non homogen sebagai berikut,

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

dimana :

x = vektor keadaan (n-dimensi). u = sinyal pengendalian.

A = matriknxn. B = matrik nx1.

Sistem yang dinyatakan Pers. 1 disebut terkendali pada saat t=tojika dapat ditentukan sinyal pengendalian tanpa kendala yang akan memindahkan suatu keadaan awal ke keadaan akhir sembarang dalam selang waktu terhingga tott1. Jika setiap keadaan sistem terkendali, maka sistem dikatakan terkendali sempurna.

Bu

Ax

(10)

• Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna.

• Dianggap bahwa keadaan akhirnya adalah titik asal ruang keadaan sedangkan waktu awalnya adalah nol, atau to=0.

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari

Sistem Kontinyu

Keterkendalian sempurna  Jika setiap keadaan sistem terkendali,

At t t

d

u

e

e

t

0 ) (

)

(

)

0

(

)

(

x

B

x

A

1 1 1 0 ) ( 1

)

(

0

)

(

)

(

t t At

d

u

e

e

t

x

B

x

A (Pers. 5) (Pers. 6)

(11)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Atau

perhatikan bahwa e-Adapat dituliskan,

dengan mensubtitusi Pers. 7 dan Pers. 8 diatas diperoleh,

1 0

)

(

)

0

(

t

d

u

e

B

x

A

  

1 0

)

(

n k k k

e

A

A

(Pers. 7) (Pers. 8)

(12)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari

Sistem Kontinyu

                       

1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 ) ( ) ( ) 0 ( n n n k k k n k t k k d u           A B AB B B A B A x

Jika keadaan sistem terkendali sempurna, maka persamaan di atas harus dipenuhi untuk setiap keadaan awal x(0). Ini memerlukan syarat awal bahwa rank dari matrik nxn,

Harus sama dengan n.

B

A

AB

B

n1 (Pers.9) (Pers. 10) (Pers. 11)

(13)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Dari analisis ini kita dapat menyatakan syarat keterkendalian keadaan secara sempurna sebagai berikut :

Keadaan sistem yang dinyatakan oleh persamaan

terkendali sempurna jika dan hanya jika vektor B, AB,…,A

n-1

B bebas

linier, atau matrik nxn,

Mempunyai rank-n.

Bu

Ax

x

(14)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Hasil yang baru saja diperoleh dapat diperluas untuk kasus vector pengendalian u dengan r-dimensi, maka dapat dibuktikan bahwa syarat keterkendalian keadaan secara sempurna adalah bahwa matrik berikut

nxnr berikut

Dimana u adalah vector r-dimensi, syarat keterkendalian keadaan secara sempurna adalah matrik nxnr berikut,

harus mempunyai rank-n, atau mengandung n-vektor kolom bebas

linier.

Bu

Ax

x

(15)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

Tinjau sistem kontinyu dalam bentuk persamaan keadaan non-homogen sebagai berikut,

dimana :

x = vektor keadaan (n-dimensi). u = sinyal pengendalian (r-dimensi). A = matrik nxn.

B = matrik nxr.

Bu

Ax

(16)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan

Secara Sempurna

• Jika eigenvektor dari matrik A tidak ada yang rangkap, maka dapat dicari suatu matrik transformasi P sedemikian rupa sehingga,

• Perhatikan bahwa jika eigenvalue dari A tidak ada yang rangkap, maka

eigenvektor dari A tidak ada yang rangkap, akan tetapi hal ini tidak

berlaku sebaliknya.

• Suatu matrik simetrik nyata nxn yang mempunyai eigenvalue rangkap, mempunyai n-eigenvektor yang berbeda

               n         0 0 0 0 0 0 2 1 1 D AP P (Pers. 12)

(17)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

Perhatikan juga bahwa setiap kolom matrik P merupakan eigenvektor dari A yang berkaitan dengan i (i=1,2,…,n).

Bila transformasi variable keadaan: x = Pz

dengan subtitusi persamaan di atas kedalam persamaan diperoleh

Bu

Ax

x

Bu

P

APz

P

z

1

1 (Pers. 13) (Pers. 14)

(18)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

dengan mendefinisikan

Pers. 15 dapat dinyatakan dalam bentuk: ) (fij    F B P 1 r nr n n n n n r r r r u f u f u f z z u f u f u f z z u f u f u f z z                ... ... ... 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 2 2 1 2 12 1 11 1 1 1

    (Pers. 15) (Pers. 16)

(19)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan

Secara Sempurna

• Jika pada matrik Fnxr terdapat suatu baris yang semua elemennya berharga nol, maka vektor keadaannya tidak dapat dikendalikan dengan sinyal pengendalian ui.

• Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna adalah untuk

eigenvektor dari matrik A yang berbeda, keadaan sistem terkendali

sempurna jika dan hanya jika tidak ada baris dari matrik P-1B yang

semua elemennya berharga nol.

• Untuk menerapkan syarat keterkendalian keadaan secara sempurna matrik P-1AP pada persamaan z  P1APzP1Bu dalam bentuk diagonal.

(20)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

• Jika ada eigenvektor dari matrik A: sama, maka tidak mungkin didapatkan bentuk matrik diagonal. Pada kasus ini dapat mentranformasikan matrik A ke dalam bentuk kanonik Jordan.

• Sebagai contoh, jika A mempunyai eigenvalue1,1,4,4,6,…..,n dan mempunyai (n-3) eigenvektor yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari matrik A adalah,

                         n        0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 6 4 4 1 1 1    J

(21)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

• Jika ada eigenvektor dari matrik A: sama, maka tidak mungkin didapatkan bentuk matrik diagonal. Pada kasus ini dapat mentranformasikan matrik A ke dalam bentuk kanonik Jordan.

• Sebagai contoh, jika A mempunyai eigenvalue1,1,4,4,6,…..,n dan mempunyai (n-3) eigenvektor yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari matrik A adalah,

                         n        0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 6 4 4 1 1 1    J Blok Jordan

(22)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

• Submetrik 3x3 dan 2x2, pada diagonal utama disebut blok Jordan. Misal kita dapat menentukan matrik transformasi S sedemikian rupa sehingga,

S-1AS = J

Jika kita definisikan vektor keadaan baru z dengan

x = Sz

Maka,

z

S

1

ASz

S

1

Bu

Jz

S

1

Bu

(Pers. 17) (Pers. 18)

(23)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna dari sistem yang dinyatakan oleh persamaan

x

= Ax + Bu

Keadaan sistem terkendali sempurna jika dan hanya jika :

1). Tidak ada dua blok Jordan pada matrik J yang dinyatakan oleh persamaan bentuk kanonik Jordan dari matrik A dengan eigenvalue yang sama.

2). Elemen-elemen dari suatu baris matrik S-1B yang berkaitan dengan

baris terakhir blok Jordan tidak seluruhnya berharga nol.

3). Elemen-elemen setiap baris matrik S-1B, yang berkaitan dengan

(24)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna Pada Bidang-s

 Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna, dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi alih atau matrik alih.

 Syarat perlu dan syarat cukup keterkendalian keadaan secara sempurna adalah bahwa tidak terjadi penghapusan pada fungsi alih atau matrik alih.

 Jika terjadi penghapusan, maka sistem tidak dapat dikendalikan pada mode yang dihapuskan.

(25)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keluaran

 Dalam sistem pengendalian yang praktis, mungkin kita lebih

memilih

mengontrol

keluaran

sistem

daripada

mengontrol

keadaan sistem.

 Keterkendalian keadaan sistem secara sempurna adalah tidak

perlu dan tidak cukup untuk mengontrol keluaran sistem.

 Oleh karena itu didefinisikan secara terpisah, keterkendalian

keluaran sistem secara sempurna.

(26)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keluaran

Tinjau sistem yang dinyatakan dengan persamaan berikut,

dimana,

x = vektor keadaan (vektor n-dimensi).

u = vektor pengendalian (vektor r-dimensi). y = vektor keluaran (vektor m-dimensi)

A = matrik nxn. B = matrik nxr. C = matrik mxn. D = matrik mxr.

Bu

Ax

x

Du Cx y   (Pers. 20)

(27)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Keterkendalian Keluaran

Keluaran sistem yang dinyatakan pada Pers. 20 disebut terkendali sempurna jika dapat ditentukan vektor pengendalian tanpa kendala u(t) yang akan memindahkan setiap keluaran awal y(to) ke suatu keluaran akhir y(t1) dalam selang waktu yang terhingga tott1.

Syarat keterkendalian keluaran secara sempurna adalah sebagai berikut,

Sistem yang dinyatakan oleh persamaan Pers. 20, keluarannya terkendali sempurna jika dan hanya jika matrik mx(n+1)r,

mempunyai rank-m.

(28)

Contoh Soal 1

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Sebuah fungsi transfer system dinyatakan dalam bentuk berikut,

Periksa sifat keterkendalian sistem.

)

1

)(

5

,

2

(

5

,

2

)

(

)

(

s

s

s

s

U

s

X

(29)

Contoh Soal 1

Penyelesaian

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Jika bahwa terjadi penghapusan faktor (s+2,5) pada pembilang dan penyebut fungsi alih ini. (jadi kita kehilangan satu derajat kebebasan). Karena penghapusan ini, maka keadaan sistem tidak terkendali sempurna. Cara lain untuk memeriksa sifat keterkendalian, dengan Penyajian ruang keadaan berikut ini,

karena

maka rank dari matrik adalah satu. Dengan demikian kita peroleh kesimpulan yang sama, keadaan sistem tidak terkendali sempurna.

 

u x x x x                            1 1 5 , 1 5 , 2 1 0 2 1 2 1  

      1 1 1 1 AB BB AB

(30)

Ringkasan

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

1. Keadaan sistem yang dinyatakan oleh persamaan

terkendali sempurna jika dan hanya jika vektor B, AB,…,A

n-1

B bebas

linier, atau matrik nxn,

Mempunyai rank-n.

Bu

Ax

x

B

AB

A

n1

B

2. Dan keluaran system terkendali sempurna jika dan hanya jika matrik

mempunyai rank-m.

(31)

Latihan

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar Asesmen

Tinjau fungsi alih berikut,

Periksa sifat keterkendalian sistem.

)

2

)(

6

(

2

)

(

)

(

s

s

s

s

U

s

X

(32)

SEKIAN

&

Referensi

Dokumen terkait

Penelitian Kasuba dkk [7] lainnya juga menunjukkan fenomena yang sarna yaitu tipe aberasi kromosom yang paling banyak ditemui pada pekerja rumah sakit di Kroasia yang terpapar sinar

Tahapan kegiatan yang telah dilakukan yaitu pembuatan (konstruksi dan instalasi) pabrik biodiesel portable oleh Tim Dosen, sosialisasi manfaat penggunaan biodiesel pada

Dalam penelitian ini, penulis menerapkan pembelajaran dengan menggunakan modul kimia inovatif berbasis model pembelajaran Problem Based Learning bertujuan untuk

Mengidentifikasi dan mengevaluasi kondisi eksisting aset alat berat yang meliputi aspek teknis, pembiayaan, legal, dan manajemen; tingkat kepentingan dan Analisis Statistik

 Dalam welfare state, hak kepemilikan diserahkan kepada swasta sepanjang hal tersebut memberikan insentif ekonomi bagi pelakunya dan tidak merugikan secara sosial,

Daya simpan telur itik kira-kira 20% lebih lama bila dibandingkan dengan daya simpan telur ayam dalam kondisi lingkungan yang sama (Srigandono 1986)... Telur biasanya

15 Berdasarkan hasil simulasi, dengan menggunakan polis asuransi yang mengandung aggregate deductible sebesar Rp100 000 000 dan aggregate limited coverage sebesar Rp300

Penyampaian pesan tersebut akan di realisasikan melalui media informasi yang mewaliki identitas visual dan daya Tarik dari setra produsen oleh-oleh susu sapi yang dimiliki oleh