PDF Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Matrik Alih

Pengantar Materi

Contoh Soal

Latihan

Asesmen

Ringkasan

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar

^Asesmen

Pengantar

 Dalam Persamaan Ruang Keadaan berdimensi n, teradapat n variable keadaan saat t = to, dan saat t sebarang.

 Sebuah fungsi dalam t, yang berfungsi

mentransformasikan variable keadaan untuk setiap waktu t.

 Fangsi transformasi ini dinamakan sebagai Matriks

Alih

Matrik Alih

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Konsep matrik alih merupakan perluasan dari konsep fungsi alih.

Terlebih dahulu mari kita perhatikan persamaan ruang keadaan dan persamaan keluaran sebagai berikut,

Du Cx

y

Bu Ax

x









 (Pers.1)

dimana, x = vektor keadaan (n-vektor)

u = vektor pengendali (r-vektor) y = vektor keluaran (m-vektor) A = matrik n x n.

B = matrik n x r.

C = matrik m x n.

D = matrik m x r.

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Matrik Alih

Transformasi persamaan 1 adalah sX(s)-x(0) = AX(s) + BU(s)

Y(s) = CX(s) + DU(s)

Dengan mengambil kondisi awal x(0)=0 dan mensubtitusikan kedalam kedua persamaan tersebut, diperoleh

Y(s) = [C(sI-A)^-1B+D]U(s)

Dengan demikian diperoleh matrik alih sebagai berikut,

D B A I U C

G  Y  (  )^1  )

( ) ) (

( s

s

s s (Pers. 2)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Matrik Alih

Perhatikan bahwa ruas kanan dari persamaan 2 melibatkan (sI-A)

^-

1

. Oleh karena itu Matriks Alih G(s) dapat dituliskan sebagai berikut,

A G I

  s

s s Q( )

) (

dimana Q(s) adalah polynomial dalam s. Oleh karena itu, sI-A

sama dengan polynomial karakteristik dari G(s). Dengan kata lain eigenvalue dari A identik dengan pole-pole dari G(s).

(Pers. 3)

Matrik Alih Sistem Loop

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Sistem multi-masukan-multi-keluaran (MIMO) seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini

Matrik alih lintasan umpan maju adalah G

_o

(s), sedangkan pada

lintasan umpan baliknya adalah H(s).

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Matrik alih antara vektor sinyal umpan balik B(s) dan vektor kesalahan E(s) diperoleh sebagai berikut,

B(s) = H(s)Y(s)

= H(s)G

_o

(s)E(s)

Matrik alih antara B(s) dan E(s) adalah H(s)G

_o

(s).

Matrik Alih Sistem Loop

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Matrik alih elemen-elemen yang terhubung seri (cascade) merupakan hasil perkalian dari matrik alih masing-masing elemennya.

Matrik lup tertutup :

Y(s) = G

_o

(s)[U(s) - B(s)] = G

_o

(s)[U(s) - H(s)Y(s)]

atau, [I + G

_o

(s)H(s)]Y(s) = G

_o

(s)U(s) Kedua ruas persamaan terakhir dikalikan dengan [I + G

_o

(s)H(s)]

^-1

, dihasilkan

Y(s) = [I + G

_o

(s)H(s)]

^-1

G

_o

(s)U(s) Matrik Alih Loop Tertutup

𝒀(𝒔

𝑼(𝒔 = 𝑰 + 𝑮_𝟎 𝒔 𝑯(𝒔 ^−𝟏𝑮_𝟎(𝒔

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Matrik Alih Sistem Loop Maka matrik alih lup tertutup diperoleh, G(s) = [I + G

_o

(s)H(s)]

^-1

G

_o

(s)

G(s)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input- Multi-Output (MIMO)

• Beberapa sistem pengendalian pada proses

mempunyai multi-masukan-multi keluaran (MIMO)

• Sering digunakan bahwa perubahan pada satu

masukan acuan hanya mempengaruhi satu keluaran.

•Jika non-interaksi tersebut dapat dicapai, maka akan

mempermudah dalam menjaga tiap harga keluaran

pada harga konstan yang diinginkan tanpa adanya

gangguan-gangguan eksternal.

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input- Multi-Output (MIMO)

•Perhatikan matrik alih plant G

_p

(s) (matrik nxn) dan dirancang suatu kompensator seri G

_c

(s) (matrik nxn) sehingga n masukan dan n keluaran sistem tidak berinteraksi. Jika diinginkan non- interaksi antara n masukan dan n keluaran, maka matrik alih lup tertutup harus merupakan matrik diagonal, atau dinyatakan dalam bentuk berikut

 

 





 

 







) ( 0

0 0

0 )

(

0 0

) ( )

(

²²

11

s G s

G s

G s



nn







G

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input- Multi-Output (MIMO)

• Matrik umpan balik H(s) merupakan matrik satuan, H(s) = I

• Persamaan G(s) = [I + G

_o

(s)H(s)]

^-1

G

_o

(s) Maka, persamaan

G(s) = [I + G

_o

(s)]

^-1

G

_o

(s) Dimana,

G(s) = G

_p

(s)G

_c

(s)

[I + G

_o

(s)]G(s) =G

_o

(s)

G

_o

(s) [I- G(s)] =G(s)

Materi

Ringkasan

Materi

Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-Multi-Output (MIMO)

•Jika kedua ruas persamaan terakhir dikalikan dengan [I + G_o(s)]^-1 , maka diperoleh

G_o(s) = G(s)[I - G(s)]^-1

•Bentuk G(s) adalam matrik diagonal, maka [I - G(s)] juga merupakan matrik diagonal.

•Selanjutnya G_o(s), hasil kali dua buah matrik diagonal, juga merupakan matrik diagonal.

•Kondisi yang diharapkan agar tidak terjadi interaksi, harus dibuat agar

G_o(s) merupakan matrik diagonal, dengan syarat bahwa matrik umpan balik H(s) merupakan matrik satuan.

Contoh Soal 1

Cari fungsi alih sistem yang ditunjukan pada gambar dibawah.

Soal 1

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Contoh Soal 1

Penyelesaian

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Dari gambar dibawah diperoleh persamaan keadaan dan keluaran sebagai berikut,

dalam bentuk matrik-vektor, dapat dituliskan

2 1

2 1

2

2 1

1

2

5 3

2 5

x x

y

u x

x x

u x

x x























 

 

_



 



 



 







 







 









 



 





2 1

2 1 2

1

2 1

5 2 1

3

1 5

x y x

x u x x

x





Contoh Soal 1

Penyelesaian

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Selanjutnya fungsi alih sistem adalah,

 

 

) 4 )(

2 (

59 12

5 2 2

1

5 2 1

3

1 2 5

1

) (

) (

) 4 )(

2 (

5 )

4 )(

2 (

3

) 4 )(

2 (

1 )

4 )(

2 (

1

1 1





 

 

 



 



 



 

 

 



 



 









 







 







 



 





s s

s

s s

s s

s s

s s

s

s s s

s s

B A

I

C

G

Contoh Soal 2

Soal 2

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Tinjau sistem seperti Gambar sistem loop tertutup di bawah ini.

Tentukan matrik alih dari kompensator seri tersebut, sedemikian rupa sehingga matrik alih lup tertutup sistem tersebut adalah,



 



 





1 5

1 1 1

0 ) 0

(

s

s s

G

Contoh Soal 2

Penyelesaian

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Matrik alih lintasan umpan maju,



 



 



 







 



 



 ^ _







s s s

s s

s

s s

5 1 1

5 1 5 1

1 5

1 1 1 1

0 0

0 0

0 0

) 0 (I G G

G



 







 



 



 









) (

) ( 1

0 )

( ) (

2 1 1

1 1 2

1

2 1

s U

s U s

Y s Y

s s



 







 



 



 



 





(s) Y (s) R

(s) Y (s) R s

G s

G

s G s

G s

U s

U _{1 1}

c c

c c

2 2

22 21

12 11

2 1

) ( )

(

) ( )

( )

( ) ( dan

Contoh Soal

Penyelesaian

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

G_c11

G_c21

G_c12

G_c22

1/(2s+1)

1

1/(s+1) Plant r₁

r₂

u₁ y₁

u₂ y₂

+

+

+ +

- -

+

+ +

+

Gambar Blok diagram sistem multi-masukan-multi-keluaran (MIMO).

Contoh Soal

Penyelesaian

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Selanjutnya diperoleh



 







 



 



 



 







 



 







 



 



 









(s) Y (s) R

s Y s R (s)

Y (s) R

s Y s R s G s

G

s G s

G s

Y s Y

s s c

c

c c

s s

2 2

1 1

5 1 1

2 2

1 1

22 21

12 11

1 1 1 2

1

2

1 ( ) ( )

0 0 )

( )

( )

( )

(

) ( )

( 1

0 )

( ) (

dengan demikian matrik alih kompensator adalah,



 





 



 







 



 



 



  _ ^ _{ }





s s s

s s

s s

s s s

s c

c

c c

c G s G s

s G s

s G

5 ) 1 1 2 )(

1 (

1 2

5 1 1

1 1 1 2

1

22 21

12

11 0

0 0 1

0 )

( )

(

) ( )

) ( ( G

Contoh Soal

Penyelesaian

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Persamaan terakhir adalah merupakan matrik alih kompensator seri. Perhatikan bahwa G_c11(s) dan G_c22(s) adalah pengendali proporsional-plus-integral dan G_c21(s) adalah pengendali proporsional-plus-integral-plus-turunan.

Dalam analisis ini belum ditinjau gangguan eksternal. Dalam pendekatan kali ini, pada umumnya, terjadi penghapusan pada pembilang dan penyebut.

Oleh karena itu beberapa eigenvalue dari G_p(s)G_c(s) akan hilang. Ini berarti bahwa sekalipun pendekatan ini akan memberikan hasil yang diinginkan, yakni non- interaksi pada respon terhadap masukan-masukan acuan tanpa adanya gangguan eksternal, akan tetapi jika sistem diganggu oleh gaya eksternal, maka sistem menjadi tidak terkendali karena setiap gerakan yang ditimbulkan oleh eigevalue yang terhapus tidak dapat dikendalikan.

Ringkasan

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

1. Matriks alih merupakan matrik yang mempunyai

fungsi sebagai transformator variable keadaan saat t dari t sebelumnya

2. Matriks alih mempunyai fungsi yang sama sebagai

fungsi alih / fungsi transfer.

Latihan

Ringkasan

Materi Contoh Soal Latihan

Pengantar ^Asesmen

Perhatikan sistem yang dinyatakan dalam persamaan keadaan berikut ini :

Tentukan keluaran sistem dengan masukan fungsi step.



 







 



 



 







 



 

 



 





2 1 2

1 2

1

0 1

1 1 0

5 , 6

1 1

u u x

x x

x







 







 



 



 







 



 



 





2 1 2

1 2

1

0 0

0 0 1

0 0 1

u u x

x y

y

SEKIAN

&

TERIMAKASIH