BARISAN DAN DERET. AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG

BARISAN DAN DERET

AFLICH YUSNITA F, M.Pd.

1. Pola Bilangan

Adalah: susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu

Contoh: 1,2,3,4,5…mempunyai pola bilangan ditambah satu dari

bilangan sebelumnya.

2. Barisan Aritmatika

Adalah: suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku berurutan (beda) selalu tetap.

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b),…,(a + (n-1)b) Suku ke- n ditentukan dengan rumus:

Un = a + (n-1)b

Dimana:

a = suku pertama b = beda = U_n - U_n-1



Suku barisan adalah bilangan – bilangan

dalam suatu barisan.

suku pertama = U

₁

suku kedua = U

₂

suku ketiga = U

₃

………..

Contohnya : 1. 1, 3, 5, 7, … U₁ = 1 U₂ = 3 U₃= 5 U₄ = 7 2. 5, 10, 15, 20, … U₁ = 5 U₂ = 10 U₃ = 15 U₄ = 20

Rumus suku ke-n



Misalnya suatu barisan aritmatika

mempunyai suku pertama a dan b. barisan

tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

a

a+b

a+2b

a+3b

a+4b

…

Perhatikan :

Dari pola diatas didapatkan bahwa suku ke-n suatu

barisan aritmatika adalah U

_n

= a + (n – 1 )b

U₁ = a U₂ = a + b U₃ = a + 2b U₄ = a + 2b U₅ = a + 2b U₁ = a + (1 – 1 )b U₂ = a + (2 – 1 )b U₃ = a + (3 – 1 )b U₄ = a + (4 – 1 )b U₅ = a + (5 – 1 )b

Contoh soal……..

Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku

ke-n dari barisan aritmatika 3, 8, 13, 18, …

Jawab :

Suku pertama atau a = 3

Beda atau b = 5

Rumus suku ke-n = U

_n

= a + (n – 1 )b

U

_n

= 3 + (n – 1 )5

U

_n

= 3 + (5n – 5 )

U

_n

= 3 + 5n – 5

U

_n

= 5n – 2

Pada suatu barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke-2 adalah 0,dan suku ke-5 adalah 6

a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut b. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut

Jawab :

a. U₂ = 0 → a + b = 0 ….( 1 )

U₅ = 6 → a + 4b = 6 - ….( 2 ) -3b = -6

b = 2

untuk b = 2 maka berdasarkan (1) dapat diperoleh a = -2

jadi, suku pertama dan beda barisan tersebut berturut – turut adalah a = -2 dan b = 2

b. Berdasarkan hasil diatas diperoleh :

U_n = a + (n – 1 )b U_n = -2 + ( n – 1 )2 U_n = -2 + ( 2n – 2 ) U_n = -2 + 2n – 2 U_n = 2n – 4

 Sisipan

B.A = U₁, U₂, U₃, . . . U_n

Misalkan U₁ = x suku awal U₂ = y suku akhir Dengan b = U_n – U_(n-1)



diantara U1 dan U2 disisipkan bilangan sebanyak Sehingga didapat : b = y - ( x + kb ) b = y – x – kb kb + b = y – x b ( k + 1 ) = y – x b = Setelah sisipan



























pan banyaksisi k

y

kb

x

b

x

b

x

kx









),

(

2

),...(

),

(

,

1





k

x

y

Jadi beda barisan aritmetika yang terbentuk : Keterangan : x = bilangan pertama y = bilangan terakhir k = banyak sisipan b = beda

1





k

x

y

Contoh Soal :

1). Diantara 10 dan 13 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dari barisan tersebut! jawab : x = 10 y = 13 k = 3 b = b = 1   k x y 4 3 1 3 10 13 _  

 Lanjutan jawaban : B.A = 10,(10+b), (10+2b), (10+3b),13 = = = 13 , 4 3 3 10 , 4 3 2 10 , 4 3 10 , 10 _                                 13 , 4 9 10 , 4 6 10 , 4 3 10 , 10 13 , 4 1 12 , 4 2 11 , 4 3 10 , 10

Deret Aritmatika



Pengertian :

Deret adalah jumlahan berurut

suku-suku dari suatu barisan

. Jumlah suku deret aritmatika

dinyatakan dengan Sn







a k b



a



a b

 

a b

 

a b





a

 

n b



Sn n k 1 .... 3 2 1 { 1              







   n k Uk Sn 1

U

1



U

2



U

3









U

n

•

Bentuk umum

Bentuk umum deret aritamtika

S

n

= U

1

+ U

2

+ U

3

+ U

4

+…+ U

n

atau

S

n

= a+[ a+b] +[a+2b] +[a+3b]+…+[a+(n-1)b]



a

U



S

n



a



n



b



n

S

_{n n n}

2

1

2

1

2

1













Rumus Deret Aritmatika

 Sn = jumlah suku ke-n

 a = U1 = suku pertama

 b = (U2 – U1) = beda suku

 n = banyak suku

 Un = suku ke-n dengan

Contoh : 1



Seorang pembuat sumur dengan ketentuan

biaya penggalian sebagai berikut:

1 m pertama biayanya Rp30.000,00

1 m kedua biayanya bertambah Rp5.000,00

1 m ketiga biayanya bertambah Rp5.000,00

demikian seterusnya, jika biaya penggalian

seluruhnya habis Rp525.000,00 maka

Diketahui : a = 30.000 b = 5.000 Sn= 525.000 Ditanyakan: n Jawab : Sn = n/2 {2a + (n – 1)b} 525.000 = n/2 {2(30.000) + (n – 1) 5.000} 525.000 = n/2 {60.000 + 5.000n – 5.000} 1.050.000 = 55.000n + 5.000n2 n2 _{+ 11n – 210 = 0} (n +21) (n – 10) = 0 n = -21 atau n = 10

BARISAN DAN

Barisan Geometri

 Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang

memiliki perbandingan(rasio) antara dua buah suku terdekat berturut-turut selalu tetap.

Contoh :

Barisan geometri 1. 1, 3, 9, 27, ...

2. 3, 6, 10, 25, …

Tentukan rasio dari masing-masing contoh di

Contoh 1 :

1, 3, 9, 27, ... rasio :

1, 3, 9, 27, ...merupakan barisan geometri karena mempunyai perbandingan(rasio)tetap yaitu 3.

Contoh 2 :

3, 6, 10, 25, … rasio :

3, 6, 10, 25, …bukan merupakan barisan geometri karena perbandingan(rasio)tidak tetap.

3 ... 3 9 1 3    ... 6 10 3 6  

Rumus barisan geometri

Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah

dengan

Keterangan : U_n = suku ke-n

a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio 1 



n n

ar

U

Contoh :

Tentukan suku ke 8 dari barisan geometri berikut 2, 6, 18, 54, …! Jawab : Barisan geometri 2, 6, 18, 54, … 4374 2187 2 ) 3 ( 2 . 3 3 2 6 2 7 8 1          x U r a U r r a n n

Deret Geometri

Deret Geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah

maka deret geometrinya adalah

Bentuk ini dikenal sebagai jumlah n suku pertama deret geometri,

Untuk itu, gunakan sifat bahwa rasio antara dua suku berurutan selalu r dengan proses berikut.

Kita tuliskan hasil ini dalam teorema berikut tentang suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri.

Teorema

Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri Pada deret geometri

dengansukupertama = = a danrasio deret = r,

dengan _{maka suku ke-n deret ini adalah} dan jumlah n suku pertamanya adalah

Contoh



Pada suatu deret geometri, jika suku

pertamanya adalah 7, suku terakhirnya

adalah 448 dan jumlahnya 889, tentukan

rasio dan banyaknya suku deret tersebut.

n n u u u S  ₁  ₂ ...

,

448

7

,

7

1 1









 n n

r

u

a

u

Jawab:

Jika deretnya maka kita mempunyai

dan ₈₈₉ 1 1 . 7     r r S n n

dan

dari

diperoleh

sehingga

.

Gantikan data ini pada persamaan terakhir

diperoleh

889 1 1 . 7     r r S n n

448

7

r

n1



rn1  64,

r

r

n



64

2 126 63 127 127 64 1 127 1 64 1 889 1 64 1 . 7            r r r r r r r r

Gantikan r = 2 ke persamaan

Jadi rasio deret adalah 2 dan banyaknya suku deret adalah 7

, 64r r n  7

2

128

2

n





sehingga

_n



₇

Deret Geometri konvergen

( tak hingga )

Deret geometri tak hingga adalah

penjumlahan dari suatu deret geometri

yang jika deret tersebut kita

jumlahkan,maka kita tidak dapat

menghitung banyak seluruh deret

geometri tersebut. Atau dapat kita

tuliskan :

U

₁

+ U

₂

+ U

₃

+ …..

contoh :

Jika suatu deret geometri tak hingga

dapat ditentukan pendekatan

jumlahnya, maka deret tersebut

dinamakan deret yang konvergen.

Contoh :

a. 1000 + 100 + 10 + 1 + 0.1 + …..

b. 100 – 50 + 25 – 12½ + …..

Rasio masing - masing deret tersebut

adalah 0.1dan -½

Suatu deret geometri tak hingga

mempunyai jumlah tertentu

(konvergen) jika rasio deret tersebut

terletak pada interval

Rumus jumlah deret geometri tak

hingga

Jumlah n suku pertama deret geometri

dengan suku pertama a dan rasio r

adalah :

r

a

S







1

Contoh 1 :

Carilah jumlah deret geometri berikut.

Jawab :

sehingga,

...

3

4

4

12

36









36



a

₃ 1   r

r

a

S







1

27 3 4 36 3 1 1 36                  S

Contoh 2 :

Diketahui jumlah tak hingga 4 dan rasionya ½, maka tentukanlah suku pertamanya !

Jawab :

Sehingga,

Jadi suku pertamanya adalah 2

4   S 2 1  r r a S    1 2 1 1 4   a 2 1 4  a 2 2 1 . 4   a

Soal

1. Carilah jumlah deret geometri berikut

2. Diketahui jumlah tak hingga 4 dan suku

pertamanya 16, maka tentukanlah

rasionya !

...

2

1

1

2

4









Deret Geometri tak terhingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1.

Jumlah S dari dert geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak

terhingga terdapat dua kasus yang harus

kalian perhatikan, yaitu:





r a r a s       1 1 0 1

Kasus

Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n →∞, nilai rn makin besar.

Untuk r < -1, n →∞, dengan n ganjil

didapat rn →∞

Untuk r < -1, →∞, dengan n genap

didapat rn →∞

Untuk r > 1, rn →∞ didapat rn →∞ Akibatnya,

Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini

disebut deret geometri divergen (memencar).





_

_











r

a

s

1

1

Contoh 1 :

Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama

dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku

pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut! Jawab: 8 64 8 64 . 64 : , 64 8 : , 8 3 3 3 4 5 2        r r r ar ar berarti u ar berarti u

Sehingga didapat r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan

ar = 8, kalian mendapatkan a.2 = 8 sehingga a = 4

Jumlah n suku pertama deret ini adalah :

 

4

2

4

2

.

2

4

2

.

4

1

2

.

4

4

2

1

2

1

4

2 2

























n n n n n n

S

Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah :

092

.

4

4

096

.

4

4

2

4

2

12 10 2 10

















S

Sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian

6 m. pada setiap pantulan, bola memantul dan

mencapai ketinggian dari ketinggian semula.

Tentukan panjang lintasan yang terjadi

hinggabola benar-benar berhenti.

Jawab

Panjang lintasan

total

bola hingga berhenti dinyatakan oleh deret berikut



...



2

_{1 2} 0











h

h

h

S

h

0

= ketinggian mulamula 6 m.

m h h 6 4 3 2 3 2 0 1     m h h h h 9 24 6 9 4 3 2 3 2 . 3 2 3 2 0 2 0 1 2                   m h h h h 27 8 3 2 3 2 . 3 2 3 2 0 3 0 2 2 3                 1

3

2





_n n

h

h

Dengan demikian, anda dapat menuliskan

      _                        6 ... 3 2 6 3 2 2 6 ... 2 2 3 2 1 0 h h h hn h S                          4 ... 3 2 4 3 2 4 2 6 2

Dapat anda lihat bahwa:

....

4

3

2

4

3

2

4

2































Merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan a = 4 dan r =2/3 .Oleh karena itu, jumlah dari deret tersebut (dimisalkan D) adalah 12 3 1 4 3 2 1 4 1  _    r a D Dengan demikian:

30

)

12

(

2

6

2

6













D

S

Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola sampai bola berhenti adalah 30 m.