ISSN 0853-0823
Aplikasi Transformasi Hartley
pada Analisa Kontinuasi Data Gravitasi dan Geomagnet
Syamsu Rosid dan Benny Irawan
Departemen Fisika, FMIPA Universitas Indonesia Kampus Depok, Depok 16424 E-mail:srosid@fisika.ui.ac.id
Abstrak – Transformasi Hartley (HT) sesungguhnya hampir sama dan memiliki banyak kesamaan sifat dengan transformasi
Fourier (FT). Algoritme yang digunakan pada FT dapat dimodifikasi untuk digunakan pada HT. Akan tetapi, HT merupakan transformasi ke bilangan real sementara FT menghasilkan bilangan kompleks, sehingga transformasi Hartley diskrit (DHT) dapat lebih cepat dan menggunakan lebih sedikit memori komputer daripada transformasi Fourier diskrit (DFT). Dalam paper ini kami implementasikan transformasi Hartley (HT) untuk menganalisis data gravitasi dan magnetik dalam domain frekuensi. Kontinuasi upward dan downward merupakan salah satu ‘alat’ dan berfungsi sebagai filter kontinuasi. Ia dapat digunakan untuk menganalisis data gravitasi dan magnetik dalam eksplorasi geofisika. Analisis kontinuasi ini biasanya dilakukan untuk data survey airborne, dan untuk melihat trend data regional dalam survey darat. Dalam prosesnya, analisis data dapat dilakukan dalam domain frekuensi maupun dalam domain ruang atau waktu. Analisis data yang dilakukan dalam domain frekuensi umumnya menggunakan transformasi Fourier. Dalam hal ini penulis mencoba menggunakan HT. Algoritme DHT telah di-running dengan menggunakan software MatLab. Implementasi DHT pada filter kontinuasi upward dan downward untuk analisis data gravitasi dan magnetik ternyata memberikan beberapa keuntungan prosesing matematis. Analisis data geofisika ini dapat memberi gambaran dengan baik dalam mengestimasi benda anomali bawah tanah.
Kata kunci: Transformasi Hartley, transformasi Fourier, Upward and Downward Continuation, Data Gravitasi dan Magnetik.
I. PENDAHULUAN
Dalam banyak kasus geofisika, pengolahan datanya banyak melakukan filtering frekuensi. Meskipun dalam proses akuisisi data telah dilakukan filtering dengan melakukan set up dari sampling rate maupun konfigurasi sensornya, tidak dapat dipungkiri noise masih mungkin terekam dalam data kita. Selain itu filter frekuensi juga disesuaikan dengan target obyek pengukuran (ukuran dan posisi kedalamannya). Akuisisi data umumnya dilakukan dalam domain waktu dan/atau ruang, sementara filtering frekuensi harus dilakukan dalam domain frekuensi. Transformasi Fourier telah dikenal secara umum sebagai ’alat matematis’ untuk melakukan transformasi domain waktu-frekuensi ini secara bolak-balik. Sejak tahun 1942 [1] telah mengajukan alternatif lain dalam proses transformasi waktu–frekuensi ini.
Transformasi Hartley sesungguhnya sangat mirip dan memiliki relasi yang dekat dengan transformasi Fourier. Perbedaannya dengan transformasi Fourier dan sekaligus merupakan keuntungan dari transformasi Hartley adalah ia mentransformasi fungsi/data real (dalam domain ruang dan waktu) menjadi fungsi/data real juga (dalam domain frekuensi) dan oleh karenanya relatif lebih mudah dalam inversinya [2]. Transformasi Hartley tidak perlu melakukan integrasi bilangan kompleks dalam prosesnya.
Dalam analisis data gravitasi dan geomagnetik kita kenal dua macam kontinuasi: up ward dan down ward. Kontinua-si up ward merupakan proses kontinuaKontinua-si data yang seakan kita melakukan pengukuran di tempat yang lebih tinggi dari pada tempat pengukuran sesungguhnya. Metode ini memberikan hasil yang hampir sama dengan hasil pengukuran airborne gravity atau aeromagnetic. Survey ini memang dimaksudkan untuk mengurangi efek anomali dangkal dan untuk mendapatkan efek anomali gravitasi/magnetik dari benda dalam yang dikenal sebagai
anomali regional. Dengan demikian kontinuasi up ward dapat dikatakan sebagai low pass filter. Dan sebaliknya untuk kontinuasi down ward, ia mendekatkan bidang pengukuran terhadap benda anomali dan ini berarti mendominankan pengaruh anomali benda lokal/dangkal. Meskipun kontinuasi down ward bukanlah low cut filter tetapi ia dapat dikatakan sebagai sebuah high pass filter. Transformasi Fourier lebih awal dan masih lebih populer digunakan dalam mentransformasi domain waktu-frekuensi. Filtering kontinuasi dilakukan dalam domain frekuensi. Sejak tahun 70-an hingga era 80-an transformasi waktu-frekuensi dilakukan dengan menggunakan transformasi Fourier oleh [3] dan [4]. Dan mulai era 90-an penggunaan transformasi Hartley mulai ditawarkan oleh [5] sebagai alternatif yang dirasakan lebih efisien dari pada transformasi Fourier.
II. METODE PENELITIAN
A. Kontinuasi
Medan gravitasi dan magnetik memenuhi hukum Laplace. Dengan demikian dimungkinkan untuk menghitung medan gravitasi dan magnetik pada suatu area permukaan tertentu jika diketahui besar medan gravitasi dan magnetik di suatu luasan permukaan yang lain selama diantara kedua permukaan tersebut dianggap tidak ada benda bermassa (yang dapat menimbulkan medan gravitasi dan magnetik). Prinsip inilah yang mendasari konsep kontinuasi.
(
)
{
2}
3/ 2 2 2 / 2 ( ', ', ) ( , , 0) ' ( ') h F x y h F x y dxdy x x y y h π − = − + − +∫∫
(1)
Persamaan (1) merupakan persamaan untuk kontinuasi up ward pada medan gravitasi ataupun medan magnetik dimana
( ', ', )
F x y −h merupakan total medan di titik P x y( ', ',−h) yang
berada di atas permukaan yang besar medannya (F x y( , , 0)) diketahui. Persamaan (1) disebut juga dalam pustaka [6]
ISSN 0853-0823 sebagai integral konvolusi dari F x y( , ) dan fungsi filter
(
2 2 2)
3/ 2 / 2 h x y h π + +atau Wup( , )x y . Konvolusi dalam domain ruang sama dengan perkalian dalam domain frekuensi Fourier. Dalam bentuk frekuensi, persamaan kontinuasi berupa
K u v( , )=G u v Y( , ) up( , )u v (2) dengan K u v G u v , dan ( , ), ( , ) Yup( , )u v merupakan
transformasi Fourier dari H x y , ( , )( , ) F x y , dan fungsi filter
( , ) up W x y .
( )
(
)
2 2 1 / 2 ( ) 3/ 2 2 2 2 ( )/ 2
,
i ux vy up h u vh
Y
u v
e
dxdy
x
y
h
e
π
∞ ∞ − + −∞ −∞ − +=
+
+
=
∫ ∫
(3)sehingga persamaan kontinuasi upward dalam domain frekuensi 2D berbentuk K u v( , )=G u v e( , ) −h u( 2+v2 1 / 2) , dan disederhanakan oleh [7] menjadi K u v( , )=G u v e( , ) −h u. Untuk kontinuasi downward dapat diperoleh dengan hanya membalik persamaan kontinuasi upward. Pada kontinuasi downward, H x y( , ) atau K u v( , ) merupakan besar medan yang diketahui atau diukur, sedangkan ( , )F x y atau G u v merupakan medan yang dicari. ( , )
G u v( , )=K u v Y( , ) down( , )u v
(4) Dari persamaan kontinuasi upward dapat diperoleh
2 2 1 / 2 2 2 1 / 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) h u v h u v K u v G u v e K u v e − + + + = = (5)
sehingga persamaan kontinuasi downward dua dimensi dalam domain frekuensi
2 2 1/ 2
( )
( , )
( , )
h u vG u v
=
K u v e
+ + dan dapat disederhanakan menjadiG u v
( , )
=
K u v e
( , )
+h uB. Transformasi Hartley
Transformasi Hartley berbentuk:
( )
( )
( )
H
ω
∞f x cas
ω
x dx
−∞
=
∫
(6)Sedangkan inversi transformasi Hartley berbentuk: f x
( )
H( )
ω
cas( )
ω
x dω
∞ −∞
=
∫
(7)dimana: cas
( )
ω
x =cos( )
ω
x +sin( )
ω
x .Untuk data diskrit maka bentuk transformasi Hartleynya adalah sebagai 1 0 ( ) ( ) ((2 / ) ) N n X k x n cas π N nk − = =
∑
(8)sedangkan inversi dari transformasi Hartley diskrit adalah
(
)
1 0 1 ( ) ( ) 2 / N k x n X k cas nk N N π − = =∑
(9)dengan N jumlah data, n=0,1,...,N− , 1 k=0,1,...,N− 1
Transformasi Hartley diskrit dua dimensi berbentuk
(
)
1 1( )
(
)
0 0 , , / / M N x y x y x y H ω ω f x y cas ω x M ω y N − − = = =∑∑
× + , (10)sedangkan inversi dari transformasi Hartley diskrit dua dimensi adalah
( )
1 1(
)
(
)
1 1 0 0 , , / / x y M N x y x y f x y M N H cas x M y N ω ω ω ω ω ω − − − − = = = ×∑ ∑
× + (11) Untuk mendapatkan transformasi Fourier dari transformasi Hartley ataupun sebaliknya, dapat dengan memecah transformasi tersebut menjadi dua bagian: ganjil (odd/o) dan genap (even/e). Dengan menggunakan bagian imajiner dan real dari transformasi Fourier, makaH
( )
ω =Re⎣⎡F( )
ω ⎤⎦−Im⎡⎣F( )
ω ⎤⎦. (12) Dari analisis di atas dapat dilihat bahwa perhitungan dengan transformasi Fourier lebih banyak daripada menggunakan transformasi Hartley. Semakin panjang prosesnya semakin besar juga perbedaan jumlah perhitungan antara transformasi Fourier dengan transformasi Hartley, seperti antara transformasi data dua dimensi dengan satu dimensi. Selain itu menggunakan transformasi Fourier juga membutuhkan memori komputer lebih besar dari pada menggunakan transformasi Hartley karena data hasil transformasi Fourier berupa bilangan kompleks sedangkan hasil transformasi Hartley berupa bilangan real. Selain itu, filter kontinuasi yang dapat digunakan pada transformasi Fourier juga dapat digunakan pada transformasi Hartley karena merupakan fungsi genap.C. Program Antar Muka
Dalam penelitian ini, penulis mencoba membuat program antar muka untuk program kontinuasi menggunakan Matlab yang hanya menggunakan skrip MATLAB supaya dapat digunakan di semua seri MATLAB. Program ini dibuat untuk dapat mengolah data 1-D ataupun 2-D.
Gambar 1. Tampilan Awal Program Kontinuasi dengan pilihan data (gravitasi/magnetik) yang akan
diproses dan metoda (upward/downward) yang akan digunakan.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam penelitian ini data yang digunakan adalah data sekunder. Data lapangan tidak diakuisisi secara langsung. Data awal gravitasi dan magnetik yang diperoleh sudah dalam bentuk data anomali Bouger dan anomali magnetik seperti nampak pada Gambar 2.
ISSN 0853-0823 711800 712000 712200 712400 712600 712800 713000 9271000 9271200 9271400 9271600 711800 712000 712200 712400 712600 712800 713000 9271000 9271200 9271400 9271600 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
711800 712000 712200 712400 712600 712800 713000 9271000 9271200 9271400 9271600 -1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 711800 712000 712200 712400 712600 712800 713000 9271000 9271200 9271400 9271600 (a) (b)
Gambar 2. Peta data (a) Anomali Bouger dan (b) Anomali magnetik.
Sebelum menggunakan program kontinuasi yang dibuat untuk mengolah data real, penulis terlebih dahulu mencoba menggunakan data sintetik untuk diolah. Data sintetik yang digunakan merupakan data yang sudah tersedia di software SignProc. Penggunaan data sintetik ini hanya untuk membandingkan dan menguji hasil pengolahan data yang dibuat oleh program kami dengan program yang sudah ada (SignProc).
Gambar 3 menunjukkan bahwa program telah bekerja dengan baik. Hal ini terlihat dari bentuk kurva hasil
kontinuasi yang sama antara hasil MatLab dan SignProc. Pengolahan data magnetik dan gravitasi menggunakan spasi grid 30 meter dan dilakukan beberapa kali kontinuasi upward dengan perubahan tinggi 10 m, 50 m, 100 m, 200 m, 500 m, dan 1000 m. Kemudian melakukan kontinuasi downward dengan perubahan tinggi 10 meter, 15 meter, 20 meter, 25 meter, dan 30 meter. Di antara hasilnya dapat dilihat pada Gambar 4 hingga Gambar 6.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 3. Hasil uji program untuk kontinuasi Upward data magnetic (a) sintetik terhadap (b) SignProc dan data gravitasi (c) sintetik terhadap (d) SignProc.
Hasil kontinuasi upward (Gambar 4 dan Gambar 5) memperlihatkan bahwa nilai anomali semakin kecil dan kurva semakin smooth dengan naiknya ketinggian h. Hal ini karena kontinuasi upward memberikan hasil yang
seolah-olah pengukuran dilakukan dari tempat yang lebih tinggi daripada tempat pengukuran sebenarnya. Hasil kontinuasi upward mendominankan pengaruh data regional terhadap anomali lokalnya.
ISSN 0853-0823 (a)
(b)
(c) (d)
Gambar 4. Hasil kontinuasi upward dari data anomali magnetik dengan variasi ketinggian h (a) 50 m, (b) 100 m, (c) 200 m, dan (d) 500 m. Nampak trend regional anomali magnetik makin jelas pada nilai h yang makin besar.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 5. Hasil kontinuasi upward dari data anomali gravitasi dengan variasi ketinggian h (a) 50 m, (b) 100 m, (c) 200 m, dan (d) 500 m. Sebagaimana data magnetik, trend regional anomali gravitasi makin jelas pada nilai h yang makin besar.
Sedangkan pada kontinuasi downward sebaliknya (lihat Gambar 6), yaitu seolah-olah data diambil dari tempat yang lebih rendah dari tempat pengukuran yang sebenarnya. Hal itulah yang menyebabkan kontinuasi downward memberikan hasil yang lebih besar daripada data aslinya. Kontinuasi downward berfungsi untuk mendominankan
pengaruh anomali lokal relatif terhadap data regionalnya. Namun hal ini dapat membuat data magnetik dan gravitasi menjadi nampak ringing dan noisy. Walau demikian filter kontinuasi adalah bukan filter frekuensi (seperti high cut filter misalnya).
ISSN 0853-0823
(a) (b)
(c)
(d)
Gambar 6. Hasil downward data magnetik untuk h (a) 10 m, dan (b) 30 m; dan data gravitasi Bouguer untuk h (c) 5 m, dan (d) 15 m.
Pengolahan satu dimensi dan dua dimensi telah memperlihatkan hasil yang sama untuk kedua data magnetik dan gravitasi. Hanya saja dalam prosesnya 2D memerlukan waktu lebih lama daripada penghitungan 1D. Makin besar dimensinya makin banyak parameternya sehingga makin lama waktu yang dibutuhkan untuk prosesing. Apalagi ketika dimensi tinggi itu di implementasikan pada transformasi Fourier dibandingkan pada transformasi Hartley.
IV. KESIMPULAN
Program MatLab kami telah teruji dapat digunakan untuk melakukan filter kontinuasi pada data magnetik dan gravitasi, baik satu dimensi ataupun dua dimensi. Kontinuasi upward menghasilkan data regional yang lebih dominan dan mengurangi efek anomali lokal. Kontinuasi downward sebaliknya menghasilkan pengaruh data lokal yang semakin tajam. Kontinuasi menggunakan transformasi Hartley memberikan hasil yang sama dengan menggunakan transformasi Fourier. Hanya saja menggunakan transformasi Hartley lebih cepat dan lebih kecil dalam penggunaan memori daripada menggunakan transformasi Fourier.
PUSTAKA
[1] R. V. L., Hartley, A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems, Proc. IRE 30, 144–150, 1942.
[2] R.S. Saatcilar, Ergintav, and N. Cannitez, The Use of Hartley Transform in Geophysical Applications, Geophysics, 55, 1488-1495, 1990.
[3] B.K. Bhattacharya and M.E.Navolio, A Fast Fourier Transform Method for Rapid Computation of Gravity and Magnetic Anomalies due to Arbitrary Bodies, Geophysics Prospecting, 24, 633-649, 1976.
[4] B.K.Bhattacharya, , Computer Modeling in Gravity and Magnetic Interpretation, Geophysics, 43, 912-929, 1978.
[5] B. Narasimha Rao, and P.Rama Krishna, , Magpros : An Interactive Fortran-77 PC Program for Magnetic Data Processing, Computers & Geosciences, 20, 681-717, 1994.
[6] L.J. Peters, The Direct Approach to Magnetic Interpretation and Its Practical Aplication, Geophysics, 14, 290-320, 1949.
[7] Maurizio Fedi, Upward Continuation of Scattered Potential Field Data, Geophysics, 64, 443-451, 1999.
TANYA JAWAB M. F. Rosyid (UGM)
? Hartley transform ataupun Fourier Transform biasa sesungguhnya adalah Generalized Fourier Transform dalam mekanisme ruang Hilbert. Bagaimana dengan basis abnormal lain?
Syamsu Rosyid
@ Belum dicoba tetapi akan dicoba.
Pekik Nurwantoro (UGM)
? Pertimbangan pemilihan Transformasi Hartley dibanding transformasi Fourier adalah kesederhanaannya, yaitu dapat menghindari bentuk atau bilangan kompleks. Tetapi ada faktor lain yang belum disinggung bahwa transformasi Fourier bersifat simetri dengan inversnya sehingga dapat dibangun Fast Fourier Transform. Dalam konteks ini nampaknya akan sulit apabila dibangun Fast Hartley Transform karena fungsi genap dan ganjil (cos & sin) menjadi tercampur, tidak terpisah.
Syamsu Rosyid
@ Memang belum dikaji hingga ke sana, jadi baru dibandingkan dengan trasnformasi Fourier baku, bukan dengan Fast Fourier Transform.
