operator mekanika Kuantum

OPERATOR

OPERATOR

ME

MEK

KANI

ANIK

KA K

A KUANT

UANTU

UM

M

W

Weerrnener r HeiseHeisenbenberrgg (1901

(1901 – 1976), – 1976), wawarrggaa  Je

 Jermrmaann, , ssaannggaat t tteerkrkeennaall karena asas

karena asas

Ketidakpastiannya, ia juga Ketidakpastiannya, ia juga

me

mengembangkngembangkan suatuan suatu rumusan lengkap mengenai rumusan lengkap mengenai

teori kuantum yang teori kuantum yang didasarkan pada matriks. didasarkan pada matriks.

6.1

6.1. Pendahu. Pendahu luanluan

Operator yang merepresentasikan variabel dinamik dalam Operator yang merepresentasikan variabel dinamik dalam suatu sistem mekanika kuantum memainkan peran yang suatu sistem mekanika kuantum memainkan peran yang penting dalam mekanika kuantum. Hal tersebut dapat penting dalam mekanika kuantum. Hal tersebut dapat disim-pulkan dari perangkat postulat yang menjadi landasan pulkan dari perangkat postulat yang menjadi landasan mekanika gelombang.

mekanika gelombang.

Bab ini khusus mempelajari sifat-sifat operator mekanika Bab ini khusus mempelajari sifat-sifat operator mekanika kuantum dan hubungan dengan operator-operator dengan kuantum dan hubungan dengan operator-operator dengan beberapa kaedah penting. Kesimpulan tentang perilaku suatu beberapa kaedah penting. Kesimpulan tentang perilaku suatu sistem mekanika kuantum seringkali dapat ditarik melalui sistem mekanika kuantum seringkali dapat ditarik melalui hubungan dan sifat-sifat operatornya tanpa harus memecahkan hubungan dan sifat-sifat operatornya tanpa harus memecahkan persamaan diferensial parsial yang berkaitan dengan sistem itu. persamaan diferensial parsial yang berkaitan dengan sistem itu. Itulaah pula alasan mengapa perlu disajikan satu Bab khusus Itulaah pula alasan mengapa perlu disajikan satu Bab khusus untuk keperluan ini

untuk keperluan ini

Apakah operator liner itu? Secara umum batasan operator Apakah operator liner itu? Secara umum batasan operator linier bilamana kerjanya terhadap suatu kombinasi linier dua linier bilamana kerjanya terhadap suatu kombinasi linier dua fungsi dalam ruang fungsi diberikan oleh:

fungsi dalam ruang fungsi diberikan oleh:

 



o

opp 11 11 22 22 11 oopp 11 22 oopp 22 A

A   





  





 



 

_

_{ }

AA  

 

_{ }



 

_



AA     



_

(6.1)(6.1)

Dalam hubungan di atas

Dalam hubungan di atas   ₁₁ ddaann  ₂₂merupakan tetapan yangmerupakan tetapan yang

boleh berharga kompleks. boleh berharga kompleks.

Berpangkal dari operator linier tertentu dapat dibuat Berpangkal dari operator linier tertentu dapat dibuat operator linier yang baru melalui operasi aljabar sebagai operator linier yang baru melalui operasi aljabar sebagai berikut.

berikut. a.

a. perkalian operatperkalian operator or dengan dengan suatu suatu tettetapan apan c:c: o opp oopp c cAA   cc AA   



 





 

 



 



 

 

b.

b. jumjumlah lah dua dua operator operator AAopopdan Bdan Bopop

o opp oopp A A BB o opp S S  





 



   c.

c. hasil khasil kali ali dua dua operatoperator or AAopopdan Bdan Bopop

o opp oopp oopp oopp A A B B AA BB o opp P P  





 







_

_

  



_

Khusunya tentang butir c di atas dapat dinyatakan disini bahwa Khusunya tentang butir c di atas dapat dinyatakan disini bahwa tidak selamanya A

6.2. Harga Ekspektasi dan Persoalan Nilai Eigen

Apakah ada syarat yang harus dipenuhi oleh suatu operator mekanika kuantum?. Karena operator linier Aop

ber-kaitan dengan variabel dinamika A, maka tentunya diinginkan agar harga ekspektasi A yang diperoleh dengan memper-gunakan operator Aop adalah riel, jadi Persamaan (9.2) harus

riel. op A A      



(6.2)

A adalah riel apabila harga tersebut sama dengan kompleks konjugatenya, yakni:

A = A * (6.3)

Maka ini berarti bahwa :

* * A A         



_{ }  (6.4)  J elas bahwa * _{* * *} karena d d d     



_

   



_

         

Arti daripada      A_op



A_op * adalah





op * * _{* * * * *} A_op A A_op A_op A    d    _op d    d        



_





_

    

 J adi syarat yang harus dipenuhi oleh suatu operator mekanika kuantum adalah bahwa:

op op

A A

Operator yang mempunyai sifat semacam ini dinamakan operator Hermite. Andaikan bahwa suatu keadaan dinyatakan dengan fungsi gelombang yang merupakan kombinasi linier:

  



; apakah syarat yang harus dipenuhi agar harga

ekspektasi suatu variabel dinamik itu berharga riel?. Perhatikan berikut ini.





op * * A_op A_op A_op A_op A               



   



   

adalah riel dengan   adalah tetapan yang mungkin kompleks,

oleh karena itu dipresentasikan saja sebagai o

; dimana adalah riel i

oe

 

 



 

Sekarang masalahnya adalah syarat agar riel untuk :

op op

A A

i i

e  e  

 



    

Agar riel maka harus sama dengan kompleks konjugetnya:

op op A A i i e   



e    =  e i  A_op 



ei  A_op     J adi : A_op A_op A_op A_op i i e e

_



    

_



  



_

    



_

 

Ini berlaku untuk setiap harga , jika dan hanya jika :

op op A A  



   dan op op A A  



    (6.6) Atau * op op A A      



dan * op op A A      



(6.7)

Dari mekanika kuantum telah diketahui bahwa pengukurannya berlandaskan kebolehjadian, sehingga kita harus berbicara tentang harga ekspektasi dan statistik harga variabel dinamik-nya. Dalam statistik maka ukuran yang penting adalah

A=A- A   , dan

 

   

1 2 ₂ 2 2 A



 A



atau A  A













apabila dijabarkan maka diperoleh bahwa:





2 2 2

A A A







(6.8)

Pertantayaan sekarang adalah: Apakah ada situasi dengan

 ΔA = 0?, artinya tidak ada fluktuasi statistik untuk harga

variabel dinamika A? 2 op 2 A A      



2 2 op 2 A A      



 Apabila tidak fluktuasi ΔA = 0, maka A2



A 2

2 2

op op

A A

   



   

 Tetapi karena Aopoperator Hermite :

2

op op

A A

     



Oleh karena itu:

op op op op

A  A   



 A   A   

Kesimpulan yang dapat diambil adalah: op

A

    (6.9)

Andaikan bahwa faktor perbandingan adalah a, maka : op

A  =a  (6.10)

Persamaan (6.10) adalah suatu persamaan nilai eigen untuk operator Aop, dimana   merupakan fungsi eigen operator itu

dengan nilai eigen a.

 J adi kita sampai pada suatu kesimpulkan yang sangat penting, yakni besaran dinamik A memiliki harga yang pasti (kebolehjadian =1) tertentu, sistem fisiknya dipresentasikan

oleh fungsi eigen  a dari operator hermit Aop. Harga yang

dimiliki A untuk keadaan yang dinyatakan dengan  aitu adalah

a: A _op =a .

Kesimpulan tersebut di atas sangat penting. Hal ini antara lain dapat dilihat dari operator Hamilto Hop yang

menya-takan energi total dari suatu sistem. Untuk kasus sistem kon-servatif, seperti umpamanya sistem atom hidrogen, kita mengandaikan bahwa energi total sistem memiliki harga ter-tentu E apabila sistem berada dalam keadaan stationer.

Contoh 6.1.

Momentum linier suatu partikel yang bergerak dalam ruang bebas, momentumnya berharga pasti dan tertentu, yakni:

p



h dengank

_

2

_

12 o

k r



mE .

6.3. Sifat-sifat Operato r Mekanika Kuant um

Untuk memudahkan penyajiannya maka sifat-sifat operator mekanika kuantum ditampilkan dalam seperangkat teorema.

 Teorema I :

Operator Hamilton untuk parikel tunggal dalam medan potensial V(r) adalah operator Hermit.

Bukti:

V(r) adalah operator perkalian saja, oleh karena itu bersifat Hermit.

Contoh 6.2.

Apakah operator

_

2 _{bersifat Hermit?}

Penyelesaian:

Andaikanlah bahwa   dan   merupakan fungsi gelombang

untuk H. Perhatikan operasi di bawah ini:



*

    

* 2 *        

  

     



*

    

* * 2        

        

Pengurangan dan integrasi ruas kiri:

   



* *





2 * * 2



d d                         r r r r 

Integrasi di atas meliputi seluruh ruang konfigurasi; integrasi ruang ruas kiri dapat dikembalikan pada integrasi permukaan batas ruang tersebut.



* *





* *



d ds

          

    

    





Integral ini sama dengan nol, karena baik   maupun  

berharga nol di kedudukan tek-berhingga. J adi dapat dinyatakan sebagai.



2 * * 2



0 d       

  





Atau





* 2 2 * d d   



 

    





Oleh karena : 2 2 2  

  

     

 

,

Maka :

_

2 _{adalah operator Hermit.}  Teorema II

Operator momentum

 

ih bersifat operator Hermit.

 

* * * x x x         

















Intregral memberikan:

 

* * * d d d x x x            























Perhatikan ruas pertama



*





*



0 x x dxdydz dydz x        













Karena   dan  * sama dengan nol di daerah tak berhingga

(solusi persamaan gelombang). Oleh karena itu ruas kanan sama dengan nol, sehingga:

* * d d x x    





 



   









Perkalikan dengan



ih: * * i d i d x x   



_









_



 







_

   









_

_



h



h

Karena ini berlaku juga untuk koordinat y, maupun z, maka persamaan tersebut dapat diluaskan menjadi:

   

*

*

i d i d



 

 

  

    



hr



hr

 J adi

 

ih adalah merupakan operator Hermit. Contoh 6.3.

Apakah operator 2 op

L adalah operator Hermit?. Penyelesaian

Oleh karena p p dan_xop , _yop, P_zopoperator Hermit dan x y z_op , _op , _op selain operator juga riel, maka operator momentum

, ,

xop yop zop

L L L operator Hermit, maka L2_op juga operator Hermit.

 Teorema III

 Andaikanlah bahwa himpunan

 

 _i merupakan fungsi eigen dari suatu operator Aop dengan nilai eigen yang berlainan

 

ai maka

 

 i merupakan fungsi ortogonal meliputi seluruh

daeah dimana Aop operator Hermit.

Bukti:

Pandanglah dua fungsi eigen  _k dan _l . Karena Aop operator

Hermit, maka: * op A   _{k l}



a _k   _{k l}



a_k     _{k l}  Tetapi juga: op A k a k   _l



_l    _l

Aopoperator Hermit, oleh karena itu:

op op

A   _{k l}



 _k A   _l

Darimana diperoleh bahwa:

k k k

a   _l



a_l    _l (6.11)



a a_k



_l





  _{k l}



0

Hubungan di atas benar, apabila   _{k l}



0 untuk setiap kasus dimana indeks k dan l tidak sama. (ingat bahwa

k

a



a_l . J adi

_{ }

 _i merupakan himpunan fungsi yang ortogonal.

 Teorema IV:

 Apabila fungsi gelombang suatu sistem mekanika kuantum secara simultan merupakan fungsi eigen dari operator Aop dan

operator Bop, maka baik A maupun B secara simultan dapat

diukur dengan kepastian.

Bukti:

Andaikan bahwa  _i merupakan fungsi eigen yang dimaksud,

maka: op i i i A 



a  dan op i i i B 



b  Darimana diperoleh:

i op i i

A



 A  



a (6.12)

i op i i

B



 B  



b

Keduanya mempunyai harga yang pasti (dianggap bahwa  _i

dinormalisasikan, sehingga   _{i i}



1).  Teorema V:

 Apabila dua operator Aop dan Bop mempunyai perangkat fungsi

eigen yang sama maka:

op op op op A B



B A Bukti: op op i op i i i op i i i i A B



_



_





A b 



b A



_





_



ba   op op i op i i i op i i i i B A



_



_





B a 



a B



_





_



ab  

Oleh karena itu:

op op i op op i

A B 



B A   (6.13)

Karena  _i



0, maka A B _{op op}



B A_{op op}. Diktehui bahwa Aop dan

Bop berkomutasi. A B _{op op}



B A_{op op}, berarti bahwa

0. op op op op

A B



B A



Aop dan Bop berkomutasi, berarti

, 0. op op A B



 





 Teorema VI.

 Apabila Aop dan Bop berkomutasi, maka fungsi eigen kedua

operator tersebut adalah perangkat yang sama.

Bukti:

Andaikan  _i merupakan fungsi eigen dari operator Aop, maka:

op i i i

A 



a 

op op i op i i

B A 



B a =a B_i



_

_{op i} 



_

Sekarang AopBopberoperasi pada  _i :

op op i op op i

A B 



A B



_

 



_

Aopdan Bop berkomutasi, maka :

op op op op A B



B A  J adi: 0 op op op op A B B A













Atau 0 op op op op i A B B A  













op op i op op i A B 



B A  

Darimana diperoleh bahwa: op

A

   

_{   }

B _{op i} 



a B_{i op i}  (6.14)

Dengan demikian karena ai adalah nilai eigen Aop untuk fungsi

eigeni, maka:

op i i i

B 



b  (6.15)

Dimana i juga fungsi eigen dari Bop.

 Teorema VII

 Apabila Aop dan Bop berkumutasi, maka harga nilai ekspektasi

dan B

A dapat diukur secara serentak dengan kepastian.

Bukti:

Menurut teorema VI karena  Aop dan Bop berkomutasi maka

kedua operator itu mempunyai perangkat fungsi eigen yang sama

 

 _i .

op i

A  _i



a _i

op i

Darimana diperoleh bahwa:

A



  _{i op i} A



a_i    _{i i} (6.16)

B



  _i B _{op i}



b_i    _{i i}

Kedua besaran dinamiknya dapat ditetapkan dengan pasti secara serentak.

6.4. Komut ator d an Prinsip Ketidakp astian

Andaikanlah Aop dan Bop, bagaimanakah sifat operator

, ?

op op

A B









Aop dan Bop Hermit. Bataskan : D_op

 



A ,B_{op op}





.

Andaikanlah bahwa  dan  merupakan fungsi dari ruang

fungsi dimana Aopdan Bopberoperasi.

, op op op D A B  







_



_

   =  A B _{op op} 



 B A_{op op}   op op op op op D  



A B  



B A     = B A _op   _op



A B_op    _op = B A _{op op} 



 A B_{op op}  

Darimana diperoleh bahwa:

op op

D D

 

 

    (6.17)

Dop mempunyai sifat yang lain, operator yang memiliki sifat

seperti ini dinamakan operator anti-Hermit (karena ada perubahan tanda aljabar pada saat dibuat kompleks konjugatenya). Hal ini sangat berguna untuk menentukan prinspi ketidakpastian.

 Teorema VIII

Komutator dua buah operator Hermit, Aop dan Bop, adalah

anti-Hermit. Bila [Aop,Bop] ingin ditulis sebagai operator Hermit Cop,

iCop = [Aop,Bop] (6.18)

Bukti:

Apabila dibataskan Dop= [Aop,Bop}, maka Dop adalah operator

anti-Hermit.

Bila dibataskan [Aop,Bop] = iCop, maka Dop= iCop.

Subsitusi memberikan (sifat anti-Hermit)

op op iC  

 

 iC    Atau op op i C   i C   



 

Atau op op C  



   C

 J adi iCop= [Aop,Bop] adalah operator Hermit.

Contoh 6.4.

Andaikan bahwa [Aop,Bop] = iCop ; Aop dan Bop operator Hermit.

Hubungan apakah yang ada diantara A B dan; ; C ? Penyelesaian:

Perhatikan sifat operator F _op



A i B_op



  _op dengan Aop dan Bop

operator Hermit. J elas bahwa apabila   merupakan fungsi dari

ruang fungsi dimana baik Aopdan Bopberoperasi:

2

0 op op op

F   F





F     d



Darimana diperoleh bahwa:



A i B _op



 _op 





A i B_op



 _op 





  0

Karena baik Aop, maupun Bopoperator-operator Hermit, maka:



A i B A i B_{op op}



_{op op}



0 







 



 



2 2 2



0 op op op A B C 







 



 

2 2 2

0

A



 B



  C



Pertidaksamaan ini berlaku untuk semua  . Ruas kiri

mem-punyai harga terkecil apabila:

2 2

C B

 



; diangga B2



0, untuk mana

2 2 2 0 A



 B



  C



, dengan harga   tersebut diperoleh: 2 2 2 2 2 2 0 4 C C A C B B







Atau 2 2 2 4 C A B



Sehingga secara umum apabila [Aop,Bop]=iCop, maka :

2 2 1 2

4

A B



C

Contoh 6.5.

Apakah yang dapat disimpulkan suatu hubungan antara

; ; C

A B dan







, apabila [Aop,Bop]=iCop.

Penyelesaian:

Bataskan simpangan harga adalah :

 



2



1₂ , dengan A= A A A A 

 



 

 



2



1₂ , dengan B= B B B B 

 



  Oleh karena:

   

 A _op ,  B _op iC_op



_{ }





dan

   

2 2 1 4 A B C   



Sehingga:

  

1

2

A B C



 

Kesimpulan: Apabila 2 operator, yang masing-masing bertautan dengan variabel dinamik suatu sistem mekanika kuantum, tidak berkomutasi, maka hasil perkalian ketidakpastian dalam harga dua besaran itu apabila diukur secara serentak, adalah lebih besar dari suatu harga minimum tertentu.

Ini adalah prinsip Heisenberg dalam bentuknya yang paling umum.

Contoh 6.6.

 Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut di atas dapat diterapkan untuk menentukan hubungan :

  

2 x x p

 



h Penyelesaian:

Operator : p _xop i ; operator x_op x x



 





h , sehingga:



x p p x op xop xop op



i x x i x x i x x x x























_



_





_



_



















h h h  J adi : , op xop x p i



 





h

Dengan menerapkan persamaan

_{  }

1 2 A B C



 

, maka diperoleh:

_{  }

2 x x p

 



h.

Contoh 6.7.

 J ika diketahui

_{   }



  dan



L_z Tunjukkan bahwa dengan menerapkan persamaan

_{  }

1 2 A B C



 

, maka diperoleh:

  

2 z L  







h Penyelesaian: zop L i  



 



h dimana :  _op



 . Sehingga : , op L zop i       











  

_



_





h

_

_

_

_

= i    1 i   











_

  

_









h h

Dengan demikian akan diperoleh:

_{  }

2 z

L

 







h.

6.5. Komutator u ntuk Momentum An guler 

Seperti telah diketahui bahwa Hop; L dan2_op; L_zopuntuk

sistem atom hidrogen memiliki fungsi eigen yang sama. Oleh karena itu operator-operator termaksud saling berkomutasi:

2 2 op op , 0; L , 0; H , 0 op op zop zop H L L L















_



_











Dalam hal ini berlaku hubungan-hubungan antara Lxop; Lyop; dan

Lzop sebagai berikut.

,

xop yop zop

L L i L



 

,

yop zop xop

L L i L



 





h (6.19)

,

zop xop yop

L L i L



 





h

Sedangkan hubungan antara Lzop dan L2_op adalah sebagai

berikut.

2 2 2

, , , 0

op zop op yop op xop

L L L L L L



 



 









 

 



(6.19)

Karena H setangkup terhadap x,y, dan z dalam kasus atom hidrogen:

2 2 2

, , , 0

op zop op yop op xop

H L H L H L



 



 









 

 



(6.20)

6.6. Turunan untuk Harga Ekspektasi

Andaikan bahwa Qop merupakan suatu operator yang

bertautan dengan variabel dinamik Q suatu sistem mekanika kuantum. Bagaimanakah perubahan harga ekspektasi dengan waktu? Perhatikan : d Q d Q_op dt



dt    = op op d d Q Q dt dt   



  Diketahui bahwa: * * d dan -i dt op op d i H H dt      





h h dengan Hop

adalah operator Hamilton. Sehingga diperoleh:





1 op op op op d Q H Q Q H dt



ih



 



    Karena Hopmerupakan operator Hermit, maka berlaku:

op op op op

H Q  



 H Q   





1 op op op op d Q Q H Q H dt



ih  



    = 1



Q H_op , _op



ih 









 

 J adi perubahan ekspektasi terhadap waktu adalah :

d Q dt







1 , op op Q H ih 









  (6.21) Apabila Qop berkomutasi dengan Hop maka jelaslah bahwa

0, Q

d Q

dt



tidak berubah dengan waktu.

 Teorema IX

Harga ekspektasi suatu operator yang berkomutasi dengan operator Hamilton suatu sistem mekanika kuantum, tidak berubah dengan waktu.

6.7. Hukum Kekekalan

Andaikanlah bahwa Hop dari persamaan Schr

Ö

dinger

bebas waktu suatu sistem mekanika kuantum dapat dipisahkan perubahannya menjadi:

1 2

op op op

H



H



H

Andaikan bahwa   fungsi eigen Hop:

op

H 



E 

Sedangkan  dan  merupakan fungsi eigen, masing-masing

dari H_1op dan H_2op:

1op 1

H 



E  (6.22)

2op 2

H 



E  

  



dan E = E1 + E2

Karena   merupakan fungsi eigen baik untuk

1op 2op

; H , H op

H dan maka berlaku:

1 op 2 1op 2 , 0; H , 0; dan H , 0 op op op op H H H H































Maka berkomutasi H_1op, H_2op dengan Hop, memberikan bahwa

1 dan H2

H tidak berubah dengan waktu.

Apabila Hop merupakan operator Hamilton untuk suatu

sistem mekanika kuantum dengan V r( ) tak bergantung dari waktu, maka apabila dapat dilakukan pemisahan variabel sehingga:H _op



H _1op



H_2op, maka H₁ dan H₂ tidak berubah dengan waktu.

6.8. Paritas

Perhatikan persamaan Schrodinger bebas waktu untuk partikel tunggal dalam potensial V r( ):

2 2

( ) ( ) ( ) 2m_o  V r r E r  

  

h r r



r

Dengan melakukan inversi (refleksi terhadap titik asal koordinat (0,0,0)), maka persamaan di atas menjadi:

2 2

( ) ( ) ( )

2m_o  V r  r E r 

      

h r r r (6.23) Apabila V r( )= ( )V r



, maka kedua persamaan Schr

Ö

dinger tersebut di atas setara, artinya bahwa fungsi eigen  (



r) hanya berbeda suatu tetapan dibandingkan dengan  ( )r .

( )r ( )r



 

 

Apabila  (



r) diinversikan kembali, maka diperoleh 2

( )r ( r)

Darimana diperoleh bahwa: 2

1 atu =+1 atau =-1





   (6.24)

Dari sini diperoleh bahwa apabila potensial V r( ) setangkup terhadap (0,0,0) maka fungsi eigen  ( )r memiliki paritas

tertentu, dapat berparitas ganjil, artinya : ( )r ( )r



  

  (6.25)

Atau dapar berparitas genap, paritas genap, yakni ( r ) ( )r



 

  (6.26)

Disini dianggap bahwa keadaan tidak degerate. Untuk membedakan antara dua paritas tersebut, maka fungsi diberi indeks, untuk :

Fungsi berparitas genap :  _( )r

Fungsi berparitas ganjil :  _( )r (6.27)

Andaikanlah Pop menggambarkan operator melakukan inversi

maka: ( ) ( ) op P  _ r

 

 _ r ( ) ( ) op P  _ r

 

 _ r (6.28)

Disini terlihat bahwa Popmempunyai nilai eigen +1 atau -1

Contoh 6.8.

 Tunjukkan bahwa paritas tidak berubah dengan waktu, yakni 0

d P

dt



.

Penyelesaian:

Untuk itu harus dikaji apabila



_

P H_op , _op

 

_

0.

( ) ( ) ( ) ( )

op op op op

P H  r P E r EP r E r















 

Diketahui bahwa potensial ( )V r V r

 

( ), maka

( ) ( ) op H 

 

r E r 



, sehingga diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) op op op op op P H r E r H 

  

 

 

r H P r  

Darimana diperoleh bahwa:



_

P H_op , _op

 

_

0 sehingga d P 0

dt



 J adi paritas kekal, apabila V r V r( )

 

( )

 A. Pemahaman K onsep

1. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan komut dua buah operator?

2. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan paritas?

3. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan hukum ketidak pastian?

4. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan nilai-nilai eigen yang berdegenerasi 2.

5. Tuliskan hubungan antara kumutator dan prinsip ketidakpastian.

6. Apakah yang dimaksud dengan harga ekspektasi?

B. Penerapan Kon sep

1. J ika ˆA,B,danC adalah tiga operator riel. Tunjukkan bahwa:ˆ ˆ a. ˆ



_

A+B,Cˆ ˆ

    

_{    }



A,Cˆ ˆ



B,Cˆ ˆ

b. ˆ



_

AB,Cˆ ˆ

    

_{    }



A B,Cˆ ˆ ˆ



A,C Bˆ ˆ ˆ

2. J ika A dan Bkeduanya Hermitian, tunjukkan bahwaˆ ˆ ˆ ˆ

AB adalah Hermitian jika ˆ ˆ



_

A,B

 

_

0

3. Diberikan operator xˆ dan pˆyang fungsi-fungsinya di dalam ruang Hilber dan sesuai dengan

_

x p ˆ ˆ,

_



ih, tunjukkan bahwa jika xˆ=x (yakni perkalian dengan x), maka

ˆ

ˆ ( ) p i f x x



 





h

4. Sebuah partikel di dalam potensial satu dimensi V(x), tunjukkan bahwa

2 x

E x p

m

  

h

5. Andaikan tiga operator yang terukur, ˆA,B dan C , jikaˆ ˆ diketahui bahwa: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B,C A dan A,C B

 

_

 

_

 

 

 Tunjukkan bahwa: 2 2 1 ( ) 2 AB C A B

  



6. Apabila g(x) adalah fungsi terhadap x, tunjukkan bahwa :



p g ˆ ,_x



i dg dx

 

h

7. J ika g(x) dan f(x) adalah fungsi-fungsi analitik, tunjukkan bahwa:

ˆ

( ) ( ) ( ) ( )

g A f 



g a f    dimana ˆA 



a 

8. Buktikan bahwa jika Aˆ dan Bˆ adalah Hermitian, maka ˆ ˆ_,

A B









adalah Hermitian jika dan hanya jika





A Bˆ ˆ,

 



0 9. Tunjukkan bahwa operator momentum liner adalah Hermit. 10. Tunjukkan satu contoh operator anti-Hermit.

11. Tunjukkan bahwa apabila L _zop i d d 

 

h dan  _op



 , maka berlaku

_{   }

2 z L  







h.

12. Buktikan bahwa harga ekspektasi bukan merupakan funsgi terhadap waktu, yakni d X 0

dt



, dimana X adalah