Chap 6b: Perumusan Ensembel Mekanika Statistik Kuantum. Part-2

Chap 6b:

Perumusan Ensembel

Mekanika Statistik Kuantum

Part-2

Menghitung Banyak Status Keadaan

• Asumsi : partikel tak punya spin (spinless!)-> apa konsekuensinya?

• Karena TAK ADA INTERAKSI maka tingkat-tingkat energy yg bisa dimiliki system adalah tingkat energy PARTIKEL

TUNGGAL. Yang membedakan adalah berapa banyak partikel bisa menempati suatu tingkat energy tsb.

• Energi level system = Energy level dari 1 partikel! (non interacting!)

• Energi system = total energy berdasarkan okupansi partikel pada level energy partikel tunggal:

𝜖_𝒑 = 𝑝

2

2𝑚 dengan 𝒑 =

2𝜋ℏ

𝐿 𝒏

Menghitung Banyak Status Keadaan

• Spesifikasi keadaan system ideal diberikan oleh set jumlah okupansi { n_p} dengan n_p: jumlah partikel dengan momentum

p. • Kendala system: 𝐸 = ෍ 𝒑 𝑛_𝒑𝜖_𝒑 𝑁 = ෍ 𝒑 𝑛_𝒑

• Untuk kasus spinless boson dan fermion set {n_p} sudah secara unik menspesifikasi keadaan system.

• Nilai yang diijinkan untuk masing-masing adalah:

𝑛_𝒑 = ቊ0,1,2,3, … 𝑏𝑜𝑠𝑜𝑛

Gas Ideal di Ensembel Mikrokanonik

Mekanika Kuantum

• Untuk Boltzmann :

𝑛_𝒑 = 0,1,2,3, … tetapi {n_p} menyatakan 𝑁!

𝑛₁!𝑛₂!…. keadaan system! Permutasi partikel dengan momentum yg

berbeda (p) berbeda tak menghasilkan distribusi baru.

• Tingkat energy system N partikel adalah tingkat energy partikel tunggal.

• Pendekatan : spektrum energi tsb akan dibagi dalam sel-sel, tiap sel mengandung sejumlah level (tingkat) energi yg

Teknik Menghitung Banyak Keadaan Sistem

• Konstrain:

σ_𝑖 𝑛_𝑖 = 𝑁 dan σ_𝑖𝑛_𝑖𝜖_𝑖 = 𝐸

• Banyak cara mendistribusi N partikel ke sel-sel tsb, tiap kali menghasilkan satu macam distribusi n : W {n_i}

• Maka banyak keadaan status microstate terkait:

Γ 𝑁, 𝑉, 𝐸 = ෍

{𝑛_𝑖}

𝑊{𝑛_𝑖} • Penjumlahan dilakukan terhadap

berbagai cara mendistribusikan {n_i} yg berbeda yg memenuhi konstrain di atas.

 Sel-3 ₃ Sel-2 ₂ Sel-1 ₁ g₃ ; n₃ g₂ ; n₂ g₁ ; n₁ Jumlah level Okupan si

Misal untuk sel ke-i :

Rata-rata level energi bernilai _i Banyak level di sel tsb: g_i >>1

Boson

• Sedangkan W{n_i}:

𝑊 𝑛_𝑖 = ෑ

𝑖

𝑤_𝑖

• Dengan w_i : banyak cara mendistribusikan partikel identik

indistinguishable sejumlah n_i di dalam sel ke-i yang memiliki jumlah level g_i.

• Nilai w_i bergantung pada jenis partikel : Fermion atau Boson.

• Kasus Boson:

– Tiap level boleh berisi partikel : 0,1,2,dst

– Persoalan : diberikan n_i boson untuk menempati level energi yg berbeda sebanyak g_i dalam sel-i.

Boson

– Pertanyaan : ada berapa banyak cara berbeda untuk

mendistribusikan boson tsb di sel-i tsb yg punya g_i subsel?

– Persoalan tsb bisa dipandang sbg:

Diberikan n_i partikel dan (g_i-1) partisi. Carilah banyaknya cara berbeda untuk mendistribusikan n_i partikel dan (g_i-1) partisi tsb.

• Jumlah partisi g_i-1, sebab jumlah level (“ruang”) : g_i

Partikel ke: 1 2 3 4 ….. n Partisi ke: 1 2 g_i-1

Boson

• Banyak cara mendistribusikan n_i partikel + (g_i-1) partisi : (n_i+g_i-1)!

• Akan tetapi : partikel identik (undistinguishable) demikian juga partisi!, maka permutasi n_i diantara partikel dalam satu sel dan permutasi diantara (g_i-1) partisi tidak menghasilkan konfigurasi distinc yg baru, jadi:

•

𝑤_𝑖 = 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 − 1 !

Fermion

Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu

distribusi {n_i} tertentu dari bosons adalah: (artinya seluruh n sudah didistribusikan dulu n₁ berapa, n₂ berapa dst)

𝑊_𝐵𝐸 𝑛_𝑖 = 𝑊_𝑖𝐵𝐸 = ෑ 𝑖 𝑤_𝑖 = ෑ 𝑖 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − 1 ! 𝑛_𝑖! 𝑔_𝑖 − 1 ! • Kasus Fermion:

– Tiap level hanya boleh diisi maksimum 1 partikel, jadi okupansi tiap level:0 atau 1.

– Karena sel ke-i memiliki g_i level yang akan ditempati n_i partikel (tentu n_i tidak bisa > g_i), berarti akan ada n_i level yg berisi 1 partikel dan sisanya (g_i-n_i) kosong.

Fermion

• Kita bisa memandang ini spt di Boson, akan tetapi:

Jumlah obyek yg akan didistribusikan, justru total jumlah levelnya : g_i

“Obyek” tsb akan dipartisi jadi 2 kelompok saja: kelompok satu masing-masing berisi 1 partikel (n_i), sisanya (g_i-n_i) tidak ada partikel.

• Jadi ada g! cara berbeda mendistribusi obyek tsb. Tetapi permutasi dalam tiap kelompok : isi (n_i) dan kosong (g_i-n_i) tidak menghasilkan keadaan baru. Sehingga banyaknya cara yang berbeda diberikan oleh:

Fermion

𝑤_𝑖 = ෑ

𝑖

𝑔_𝑖!

𝑛_𝑖! 𝑔_𝑖 − 𝑛_𝑖 !

Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu distribusi

{n_i} tertentu dari Fermion adalah: (artinya seluruh n sudah

didistribusikan dulu n₁ berapa, n₂ berapa dst)

𝑊_𝐹𝐷 𝑛_𝑖 = 𝑊_𝑖𝐹𝐷 = ෑ 𝑖 𝑤_𝑖 = ෑ 𝑖 𝑔_𝑖! 𝑛_𝑖! 𝑔_𝑖 − 𝑛_𝑖 ! Level: 1 2 3 4 ….. g_i kosong (g_i-n_i) berisi (n_i buah)

Boltzon

• Kasus : Boltzon (Partikel maxwell boltzmann: hipotetik)

• Untuk partikel Boltzmann mula-mula anggap mereka

terbedakan (distinguishable) dan mereka bisa menempati status keadaan yang sama seperti boson.

• Untuk sel ke-i, ada g_i level (subsel) dan terdapat n_i partikel terbedakan yg harus didistribusikan ke g_i tsb, jelas banyaknya cara berbeda untuk mendistibusikannya adalah:

– Partikel ke-1, bisa menempati salah satu dari g_i level,

– Partikel ke-2, juga bisa menempati salah satu dari g_i level

Boltzon

• Total cara berbeda mendistribusikan n_i partikel dalam g_i level adalah :

𝑔_𝑖 𝑛𝑖

• Banyak cara membagikan N total partikel ke dalam berbagai sel yang masing-masing berisi n₁, n₂ dst dan permutasi dalam tiap sel tidak menghasilkan keadaan baru adalah (kombinasi):

𝑁! 𝑛₁! 𝑛₂! …

• Faktor koreksi berikutnya (Gibbs) : 1/N!, karena permutasi

diantara partikel tsb sendiri (N buah) tidak akan menghasilkan status keadaan baru.

Boltzon

• Sehingga total banyak konfigurasi {n_i} yang berbeda bagi Boltzon ini adalah:

𝑊𝑀𝐵 𝑛_𝑖 = 1 𝑁! 𝑁! 𝑛₁! 𝑛₂! … 𝑔1 𝑛₁ 𝑔₂𝑛2 _{… = ෑ} 𝑖 𝑔_𝑖𝑛𝑖 𝑛_𝑖!

Problem of The most Probable Distribution

• Setelah mengetahui banyaknya cara berbeda

mendistribusikan partikel identic N buah, maka selanjutnya mesti dicari distribusi {n_i*_{} seperti apa yang akan}

menghasilkan W yg terbesar.

• Dengan kata lain berapa nilai masing-masing n_i di tiap sel agar W paling besar!

• Entropi S diberikan oleh :

𝑆 = 𝑘 ln (෍

{𝑛_𝑖}

Problem of The most Probable Distribution

• Nilai log ruas kanan, untuk N besar sekali bisa didekati

dengan 1 suku saja yaitu : the largest W{n_i}=W{n*_i}, dengan {n*_i} adalah distribusi {n_i} yang akan menghasilkan the

largest W : THE MOST PROBABLE STATE! Tetapi dengan tetap memenuhi dua kendala : total partikel dan energy

• Jadi :

𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊{𝑛_𝑖∗}

• Konstrain:

Metoda Lagrange Multiplier

• Memakai metoda Lagrange multiplier, maka kondisi untuk mendapatkan W_max tsb diungkapkan oleh:

𝛿 ln 𝑊{𝑛_𝑖} − 𝛼Σ_𝑖𝛿𝑛_𝑖 + 𝛽Σ_𝑖𝜖_𝑖𝛿𝑛_𝑖 = 0

• Dengan 𝛼 , 𝛽 adalah parameter.

– Asumsi: n_i dan g_i >>1 sehingga Aproksimasi Stirling boleh dipakai. Maka:

Kasus : Distribusi Bose Einstein:

𝑊_𝐵𝐸 𝑛_𝑖 = ෑ

𝑖

𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − 1 ! 𝑛_𝑖! 𝑔_𝑖 − 1 !

Distribusi Bose-Einstein

Maka: ln 𝑊_𝐵𝐸 = ෍ 𝑖 ln 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − 1 ! − ln 𝑛_𝑖! − ln 𝑔_𝑖 − 1 ! ln 𝑊_𝐵𝐸 ≈ ෍ 𝑖 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − 1 ln 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − 1 − ( ) 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − 1 − 𝑛_𝑖 ln 𝑛_𝑖 + 𝑛_𝑖 − 𝑔_𝑖 − 1 ln 𝑔_𝑖 − 1 + (𝑔_𝑖 − 1) Dengan n_i, g_i>>>1, maka: ln 𝑊_𝐵𝐸 ≈ ෍ 𝑖 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 ln 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − ( ) 𝑛_𝑖 + 𝑔_𝑖 − 𝑛_𝑖 ln 𝑛_𝑖 + 𝑛_𝑖 − 𝑔_𝑖 ln 𝑔_𝑖 + 𝑔_𝑖

Problem of The most Probable Distribution

l𝑛 𝑊_𝐵𝐸 ≈ ෍ 𝑖 𝑛_𝑖 ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛_𝑖 + 𝑔𝑖 ln 1 + 𝑛_𝑖 𝑔_𝑖 𝛿ln 𝑊_𝐵𝐸 ≈ ෍ 𝑖 𝛿𝑛_𝑖 ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛_𝑖 Substitusi ke : 𝛿 ln 𝑊{𝑛_𝑖} − 𝛼Σ_𝑖𝛿𝑛_𝑖 + 𝛽Σ_𝑖𝜖_𝑖𝛿𝑛_𝑖 = 0 ෍ 𝑖 ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛_𝑖 − 𝛼 − 𝛽𝜖𝑖 𝛿𝑛𝑖 = 0 Berarti ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛_𝑖 − 𝛼 − 𝛽𝜖𝑖 = 0

Distribusi BE, FD dan MB

Jadi distribusi Boson yang terkait W terbesar (most probable):

𝑛_𝑖 = 𝑔𝑖

𝑒𝛼+𝛽𝜖𝑖 − 1 ≡ 𝑛𝑖

∗_(𝐵𝐸)

Dapat dibuktikan dengan cara yg serupa untuk gas Fermion dan Boltzmann didapatkan, the most probable distribution-nya: 𝑛_𝑖 = 𝑔𝑖 𝑒𝛼+𝛽𝜖𝑖 + 1 ≡ 𝑛𝑖 ∗_(𝐹𝐷) 𝑛_𝑖 = 𝑔𝑖 𝑒𝛼+𝛽𝜖𝑖 ≡ 𝑛𝑖 ∗_(𝑀𝐵)

Distribusi BE, FD dan MB

Dapat dibuktikan bahwa hubungan parameter 𝛼, 𝛽 dengan thermodinamika adalah :

𝛼 = − 𝜇

𝑘𝑇 dan 𝛽 = 1 𝑘𝑇 Sehingga dengan definisi fugacity :𝑧 = 𝑒𝛽𝜇 :

𝑛_𝑖∗ 𝐵𝐸 = 𝑔𝑖

𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖 − 1

𝑛_𝑖∗ 𝐹𝐷 = 𝑔𝑖

𝑧−1 𝑒𝛽𝜖𝑖 + 1

Distribusi BE, FD dan MB

Pelabelan thd sel ke-i yg memiliki degenrasi g_i dapat diganti ke pelabelan momentum (yg unik), sehingga:

𝑛_𝑖∗ 𝐵𝐸 = 𝑔𝑖 𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖 − 1 → 𝑛𝒑 ∗ _{𝐵𝐸 =} 1 𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝒑 − 1 𝑛_𝑖∗ 𝐹𝐷 = 𝑔𝑖 𝑧−1 𝑒𝛽𝜖𝑖 + 1 → 𝑛𝒑 ∗ _{𝐹𝐷 =} 1 𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝒑 + 1 𝑛_𝑖∗(𝑀𝐵) = 𝑔_𝑖𝑧_𝑖 𝑒−𝛽𝜖𝑖 → 𝑛 𝒑 ∗ _{𝑀𝐵 = 𝑧𝑒}−𝛽𝜖_𝒑

Pelabelan momentum p ini identic dengan menggunakan bilangan gelombang k, sebab 𝒑 = ℏ𝒌

Okupansi dan Jumlah Partikel

Jumlah total partikel N akan diberikan oleh :

𝑁 = ෍

𝑖

𝑛_𝑖∗ = ෍

𝒑

𝑛_𝒑∗

Untuk Boson dan Fermion :

෍

𝒑

1

𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝒑 _{± 1} = 𝑁

Dalam limit thermodinamika N besar, spectrum energy nyaris kontinu:

𝜖_𝒑 = 𝑝

2

Okupansi dan Jumlah Partikel

Maka σ_𝒑 → 1 ℎ3 ׬ 𝑑 3_{𝑞 𝑑}3_{𝑝 =} 𝑉 ℎ3 ׬ 𝑑 3_{𝑝 =} 𝑉 ℎ3 ׬ 𝑑𝑝 4𝜋𝑝 2 𝑛 = 𝑁 𝑉 ≈ 1 ℎ3 න 0 ∞ 4𝜋𝑝2𝑑𝑝 𝑧−1𝑒𝛽𝑝 2 2𝑚 ± 1 = 1 ℎ3 න 0 ∞ 4𝜋𝑝2𝑑𝑝 𝑒−𝛽𝜇𝑒𝛽𝑝2/2𝑚 ± 1 Substitusi 𝑥2 = 𝛽𝑝2 2𝑚 : 𝑛 ≈ 4𝜋 ℎ3 2𝑚 𝛽 3/2 න 0 ∞ 𝑥2𝑑𝑥 𝑒−𝛽𝜇𝑒𝑥2 ± 1

Pada limit suhu tinggi 𝛽 → 0 , N yang berhingga menuntut integralnya → 0.

Tentang pendekatan

׬

untuk

Σ

Kadang kita mengintegralkan di ruang k (bilangan gelombang): 𝑝 = ℏ𝑘, memakai ini maka :

Maka σ_𝒑 → 𝑉

ℎ3 ׬ 𝑑𝑝 4𝜋𝑝

2 ₌ 𝑉

2𝜋2 ׬ 𝑑𝑘 𝑘

Okupansi dan Jumlah Partikel

Agar integralnya kecil (→0), maka penyebutnya → ∞:

Untuk 𝛽 → 0, maka 𝑒−𝛽𝜇𝑒𝑥2 ± 1 → ∞ , 𝑒−𝛽𝜇𝑒𝑥2 → ∞

atau 𝑒−𝛽𝜇 → ∞.

Hal ini berarti dalam kasus 𝛽 → 0 atau suhu tinggi maka distribusi Fermion dan Boson menjadi seperti Maxwell Boltzmann saja.

Jika suhu tinggi (𝛽 → 0) maka okupansi level tertentu sebanding dengan:

𝑒−𝛽(𝜖𝑝−𝜇)

Jika 𝛽 kecil maka okupansi keadaan dengan energy tinggi akan sedikit, artinya dalam hal ini tak berpengaruh antara boson ataupun fermion, sebab tersedia jauh lebih banyak status keadaan dibandingkan partikel yg akan menempati.

Perbandingkan Okupansi rata-rata

Distribusi Fermion, Boson dan Boltzon

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 -1 0 1 2 3 4 (-) FD BE MB

Nampak bahwa pada (-) besar distribusi FD,BE

mendekati MB.

Padahal MB (klasik) adalah model yg cukup bagus untuk T tinggi, berarti:

𝜖 − 𝜇

𝑘𝑇 ≫

Supaya bisa besar, padahal T tinggi maka  <0 dan

Pengaruh Spin partikel

• Jika partikel memiliki spin S, maka status keadaan partikel tunggal

dengan momentum tertentu p mesti dilengkapi dengan spin-nya

(p,S).

• Dalam banyak aplikasi kita hanya perlu memperhatikan jumlah total

status keadaan yang perlu dijumlahkan, misalnya untuk N:

𝑁 = σ_𝑠 σ_𝒑 𝑛_𝑠,𝒑 = (2𝑆 + 1) σ_𝒑𝑛_𝒑

• Dengan s=-S,-S+1,…,S.

• Misal untuk spin S=1/2, maka 𝑠 = −1

2 ,

1

2, jadi ada (2S+1)= (2(1/2)+1)=2 keadaan terkait spin tsb.

Entropi

– Ungkapan Entropi-nya berbentuk (BE):

𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊 𝑛∗ = 𝑘 σ_𝑖 𝑛_𝑖∗ ln 1 + 𝑔𝑖

𝑛_𝑖∗ + 𝑔𝑖 ln 1 + 𝑛_𝑖∗ 𝑔_𝑖

– Untuk Fermion, ungkapan entropinya dapat dibuktikan menjadi: 𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊 𝑛∗ = 𝑘 σ_𝑖 𝑛_𝑖∗ ln 𝑔𝑖 𝑛_𝑖∗ − 1 − 𝑔𝑖 ln 1 − 𝑛_𝑖∗ 𝑔_𝑖 – dan Maxwell-Boltzmann 𝑆 ≈ 𝑘 ln 𝑊 𝑛∗ = 𝑘 ෍ 𝑖 𝑛_𝑖∗ ln 𝑔𝑖 𝑛_𝑖∗

Entropi

– Untuk hasil terakhir ini telah dilakukan aproksimasi : g_i, n_i >>1.

Jika secara eksplisit, n_i/g_i untuk masing-masing distribusi, maka entropi:

BE: 𝑆 ≈ 𝑘 σ_𝑖 𝑛_𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖_𝑖) −𝑔_𝑖 ln 1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖

FD : 𝑆 ≈ 𝑘 σ_𝑖 𝑛_𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖_𝑖) +𝑔_𝑖 ln 1 + 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖

MB: 𝑆 ≈ 𝑘 σ_𝑖 𝑛_𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖_𝑖)

– Nilai n_i untuk masing-masing distribusi spt yg diturunkan sebelumnya!

Entropi

– Atau dengan substitusi nilai 𝑛_𝑖∗, untuk Boson:

𝑆 ≈ 𝑘 σ_𝑖 𝑔_𝑖 (−𝑙𝑛 𝑧+𝛽𝜖𝑖) 𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖−1 − ln 1 − 𝑧𝑒 −𝛽𝜖_𝑖 Untuk Fermion: 𝑆 ≈ 𝑘 σ_𝑖 𝑔_𝑖 (−𝑙𝑛 𝑧+𝛽𝜖𝑖) 𝑧−1𝑒𝛽𝜖𝑖+1 + ln 1 + 𝑧𝑒 −𝛽𝜖_𝑖 Maxwell-Boltzmann: 𝑆 ≈ 𝑘𝑧 σ_𝑖 𝑔_𝑖𝑒−𝛽𝜖𝑖(−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖 𝑖)

Fungsi thermodinamika diperoleh dengan eliminasi z dari persamaan di atas, dengan memanfaatkan kendala bagi

𝑁 = ෍

𝑖

Contoh : Gas Boltzmann

– Kita pakai untuk Boltzon, mulai dari

𝑁 = ෍ 𝑖 𝑛_𝑖∗ = 𝑧 ෍ 𝑖 𝑔_𝑖 𝑒−𝛽𝜖𝑖 = 𝑧 ෍ 𝒑 𝑒−𝛽𝜖𝒑

Untuk hasil terakhir tsb karena g_i adalah degenerasi level energy 𝜖_𝑖, ketika dinyatakan dlm momentum maka tiap p

unik, jadi tidak ada degenerasi!

– Bagaimana mengubah Σ → ׬ ?

Volume elementer di ruang fasa (q,p) = h, jadi banyak status keadaan:

෍

𝑖

→ 𝑉

Contoh : Gas Boltzmann

𝑁 ≈ 𝑧𝑉 ℎ3 න₀ ∞ 4𝜋𝑝2 𝑒−𝛽𝑝 2 2𝑚 𝑑𝑝 = 𝑧𝑉 𝜆3

Dengan  adalah thermal wavelength 𝜆 = ℎ

2𝜋𝑚𝑘𝑇, dengan ini bisa juga dituliskan (𝑣 = 𝑉/𝑁):

𝑧 = 𝜆

3

𝑣

Energi system 𝐸 = σ 𝑛_𝑖𝜖_𝑖: (dengan bantuan N di atas)

𝐸 = ෍ 𝑖 𝑧𝑔_𝑖𝜖_𝑖𝑒−𝛽𝜖𝑖 = 𝑧 ෍ 𝒑 𝜖_𝒑𝑒−𝛽𝜖𝒑 ≈ 𝑧𝑉 ℎ3 න₀ ∞ 4𝜋𝑝2 𝑝 2 2𝑚 𝑒 −𝛽𝑝_2𝑚2 𝑑𝑝 = 3 2 𝑁𝑘𝑇

Entropi

• Maxwell-Boltzmann: 𝑆/𝑘 ≈ 𝑧 ෍ 𝑖 𝑔_𝑖𝑒−𝛽𝜖𝑖(−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖 𝑖) Atau 𝑆/𝑘 ≈ 𝑧 ෍ 𝒑 𝑒−𝛽𝜖𝒑(−𝑙𝑛 𝑧 + 𝛽𝜖 𝒑) 𝑆 𝑘 ≈ 𝛽𝑧 ෍ 𝒑 𝜖_𝒑𝑒−𝛽𝜖𝒑 − (ln 𝑧)𝑧 ෍ 𝒑 𝑒−𝛽𝜖𝒑 𝑆 𝑘 ≈ 𝛽𝐸 − 𝑁 ln 𝑧

Entropi

𝑆 𝑘 ≈ 3 2 𝑁𝑘 − 𝑁 ln 𝑧 Dengan 𝑧 = 𝜆3 𝑣 : 𝑆 𝑘 ≈ 3 2 𝑁𝑘 − 𝑁 ln( 𝜆3 𝑣 ) 𝑆 𝑘 ≈ 3 2 𝑁𝑘 − 𝑁 𝑙𝑛 𝑁 𝑉 ℎ2 2𝜋𝑚 𝑘𝑇 3/2

Interpretasi

Ambil misalnya (BE):

𝑆 ≈ 𝑘 σ_𝑖 𝑛_𝑖∗(𝛼 + 𝛽𝜖_𝑖) −𝑔_𝑖 ln 1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖

Suku Σ_𝑖𝑛_𝑖∗ = 𝑁 , total partikel dan Σ_𝑖𝑛_𝑖∗𝜖_𝑖 = 𝐸 total energi. Sehingga:

𝑆

𝑘 ≈ 𝛼𝑁 + 𝛽𝐸 − ෍

𝑖

𝑔_iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

Dapat dibuktikan bahwa arti parameter  dan  adalah :

𝛼 = − 𝜇 𝑘𝑇 dan 𝛽 = 1 𝑘𝑇 sehingga: 𝑇𝑆 ≈ −𝜇𝑁 + 𝐸 − 𝑘𝑇 ෍ 𝑖 𝑔_iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

Interpretasi

Atau: E − 𝑇𝑆 + 𝜇𝑁 = 𝑘𝑇 σ_𝑖 𝑔_iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

– Dari thermodinamika diperoleh hubungan:

𝐴 + 𝜇𝑁 = 𝑃𝑉

– Sehingga (BE):

𝑃𝑉 = −𝑘𝑇 σ_𝑖 𝑔_iln(1 − 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

– Hasil serupa diperoleh juga untuk FD :

𝑃𝑉 = 𝑘𝑇 ෍

𝑖

𝑔_iln(1 + 𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖)

– Dan MB: (gas ideal klasik)

𝑃𝑉 = 𝑘𝑇 ෍

𝑖

𝑔_i𝑒−𝛼−𝛽𝜖𝑖 = 𝑘𝑇 ෍

𝑖