1 PEMANFAATAN BLOK PECAHAN DALAM PEMBELAJARAN
PENJUMLAHAN PECAHAN DI KELAS III SD
Kita sadari bersama bahwa mata pelajaran matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang kurang disukai anak. Hal ini sangat disadari pula oleh guru. Namun demikian masih banyak guru yang belum secara maksimal mencari upaya agar keadaan demikian dapat berkurang atau bahkan berubah. Untuk mengurangi keadaan tersebut, PPPPTK Matematika bersama-sama dengan Direktorat TK/SD dan dunia usaha telah berupaya mengembangkan 43 macam alat peraga yang menarik dan mudah digunakan, salah satunya adalah blok pecahan.
Penggunaan alat peraga diyakini bermanfaat berdasar pernyataan Bruner (dalam Orton,1992) yaitu anak belajar konsep matematika melalui tiga tahap: enactive, econic, dan simbolic. Sedangkan menurut Piaget (dalam Hudoyo, 1998) taraf berpikir anak seusia SD adalah masih konkret operasional, artinya untuk memahami suatu konsep anak masih harus diberikan kegiatan yang berhubungan dengan benda nyata atau kejadian nyata yang dapat diterima akal mereka. Demikian pula Z.P. Dienes (dalam Hudoyo, 1998) berpendapat bahwa setiap konsep atau prinsip matematika dapat dimengerti secara sempurna hanya jika pertama-tama disajikan kepada peserta didik dalam bentuk konkret.
Suatu fakta yang patut direnungkan dan disadari sepenuhnya untuk dilakukan tindak lanjut secara nyata bagi semuanya yang terlibat di dunia pendidikan bahwa: pengajaran matematika SD dengan menggunakan alat peraga dan media lainnya secara tepat dibandingkan dengan yang tanpa menggunakan adalah 6 berbanding 1. Jadi penggunaan alat peraga dan media lainnya dalam pembelajaran matematika (khususnya dalam memberikan penanaman konsep) akan membawa hasil 6 kali lebih baik dan lebih cepat dibandingkan dengan pengajaran drill tanpa konsep (Prof. Dr. Ruseffendi, M.Sc. pada Seminar Pengajaran Matematika SD lustrum Fak. MIPA ITB tahun 1991. Berdasar suatu hasil penelitian di Amerika Serikat).
Pembelajaran penjumlahan pecahan merupakan salah satu materi yang dianggap sulit oleh sebagian besar guru SD. Oleh karena itu, penggunaan peraga blok pecahan terasa sangat diperlukan dalam pembelajaran.
Macam-macam blok pecahan
2 1
3 1
6 1 4
1
12 1
5 1
8 1 10
2 Warna yang berbeda pada blok pecahan untuk memudahkan anak memahami perbedaan nilai dari pecahan yang diwakilinya. Alat peraga blok pecahan dapat digunakan untuk urutan pembelajaran pecahan di kelas III, IV, V, VI SD dalam
• penjumlahan dan pengurangan pecahan Memperagakan penjumlahan pecahan
1. Penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama Contoh 1.
Penjumlahan 2 pecahan berpenyebut sama dapat dilakukan dengan menjumlahkan pembilang dari kedua pecahan tersebut, sedangkan penyebutnya tetap.
2. Penjumlahan pecahan yang berpenyebut tidak sama (beda penyebut)
3
= …. Bila blok pecahan hijau langsung digabung dengan blok pecahan merah maka nilai pecahan yang diwakili belum tampak. Maka harus diubah yang sewarna.
Penjumlahan dua pecahan berpenyebut tidak sama dan salah satu penyebutnya merupakan kelipatan penyebut yang lain, dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu kemudian baru dijumlahkan
Catatan
Dengan cara yang sama dapat dilakukan penjumlahan 2 pecahan yang berpenyebut tidak sama dan penyebut satu bukan kelipatan penyebut yang lain dengan menyesuaikan tingkat kelas dan semester.
4 Daftar pustaka
Hudojo, H. 1998. Mengajar Belajar Matematika.Jakarta: Depdikbud.
!" # # $
" % & ' & ( # ( # # $ & ' #% % & & ) ( & # # $
& " * $& )++, - # % % # # $ & # '%#
% #%& $ & & & (% % & $ $% # & & $ % %
& ( & # ( & & ( . $ & % % #
( & & ( # # $ - /& & # % & . $
& % $ & ' & # # $ ' ( & . $ - /& & $ & ( & & % &# " # ( # '%# #%0 1 & ( & ) ( $
% &# & 2 # # $ & #( &# & %&#%$ $ % & # ' & %& & & # & ' $% &# % $ & ( #% # $ ( $ & %$%
&# & 3 & %& ' & & ( $ %( # & ( & 3 &
& $ ' $%# $ & # ' &#% % % # # $ & #
( & # '%#
# $ & # $ ( # # # $ ' $%# & & $ # % # &# & ' & % $ ( # & 4
1 5 2 6 ,
) 7) 8 97 5 , 6 + 7∈
" ( # & 1 ( ' & ( ( % & 5 2 6 :3 & $ & $ ( # & ) ' (% # # &#%$ & & ( $ ' & && ' (% %' # % ; ' ( 7<& &# & & ( #% & # # ' && " & & $ ( # # $ # $ & ' & # & & # & & & $ &
' $ ( # & ( $ & ( ' & # % ( & $ & $ ( #
& ) $ # $ & ' $ ( # # '%$ $ & # $ &% &
# '%# # " ( # # '%$ & ) #%0 7) 8 97 5 , 6 + ⇔ 7 − ) 7 − 6 + & & # 7∈ $ & ' & ( ' & & $ %' & &# & & 7 6 ) # % 7 6 # & & % & # ' ( & & ( & $ &# $ & # % %' # #% $ & $ $ ( # # '%$ & ) $ & & ' '$ & $ ( # # '%$ # '%# & & # & & ' & ( ' & # $ & $ & # $ ( # ' & & # # $ ( # & ) # & & & ' & $ # < $ # # # &#%
1 =&#%$ # ' ( & & ( 7 ' ( $% 7) 8 97 5 , 6 +
) ! # ' ( & & ( 7 $ & & 7) 8 97 5 , 6 + ! $ ' ( & & ( 7 $ & & 7) 8 97 5 , 6 +
& 1 ' & ( ( " ( # & ) #%0 >! # ' ( & & ( 7 $ & & 7) 8 97 5 , 6 + ? ( ' & ( ' & ( && %&#%$ 7 6 )
# % 7 6 $ ( # # # $ # '%# & ' & ( ' & ! $ $ ( #
& #%0 >! $ ' ( & & ( 7 $ & & 7) 8 97 5 , 6 + ? @ ( ' & ( ( $ & $ & # && % ' ( & & #% 7 6 ) # % 7 6
& & ' '$ & $ ( # # # $ & # '%# & ' &
! &# # &%& %$$ & ' # % #% $ ( # # '%$ #
# ' $ & $ # <$ # ' $%#0
1 >=&#%$ % 7 A ? # % >=&#%$ # 7 A ?3
) >- ' 7 A ?3 >! # 7 A ?3 # % %& > 7 A?3 & >! $ 7 A ?
* & & & ' & $ # <$ # # '%# # % #% $ ( # # '%$ & (& # $ # % ' (% ( $ & ( $ ' & & ( (% ' %' & $ ( # &
' & ( ' & # % ' & ( ( " & #%( ( 1B::0)
& # $ &0
A &
# # $ & & 0 >"% &# & # ' %& ( & %' $ ( # & # $ # & # $ & ' & ( ' & # % ( A $ & &
$ ( # # '%# # $ # $ & ' $ ( # & ' & ( ' & # %
( ? % & $% &# #% $% &# %& ; ( $% &# % % & & %& $ & $ # >%&#%$ # ? # % >%&#%$ % ?3 # $% &# $ # & ( $% &# $ % % & & %& $ & $ # >' ' ? ># #C? # % > ?
& $ & $% &# ># $ 7? # %' $ ' &#%$ > % 7 # $? # %
> # 7 # $? ( & $ $ % $% &# # '%# $ & '
' & ' $%# &
"% &# & & %& ( ' & ∀ & ' >%&#%$ # ? # % >%&#%$
% ? ($ & 7 ( % #% $ ( # # '%$ & # & ∀7 7 '
>%&#%$ # 7 ' ( $% 7 ? # % >%&#%$ % 7 ' ( $% 7 ? - $%# & ( &# & # & ' $% &# %& ; (
# ( &# $ C
& # & ' $% &# %& ; ( # & ' $ & & % %& & #% %& & # & %& & & &# $ * & #% & # & # & ( $ & # &# & % # & %& # $ & ( $ & # &# & % & &# $ * & & $ # ( & & # & #% & & ( $ & ' # & # %& & # ( % $ & & # %& & & &# $ & %& & # & #% # $ & ( $ & ' # & # %& & & &# $
! &#%& & # & > # ( &# $ ? & $ & ' & ( ' & $ # ( # &#%$ & $ # # & $ # &# $ # # #%& %$$ & ' # # & % $ & & # %& & # ( &# $ E %& & # & ' $% &# %& ; ( # $ & ' & ( ( $ # #%& %$$ & & #%
# % ' ' & & # $ # $ & ' # & %& # $ # %$
$ # &# $ F &# & &%& %$$ & ( & % #% & # & ' $% &# %& ; ( & '%# & & # % &# & $ ( &3 ' & & # $ & F( & GC & F & 1BH20 2B ' $%#0 >
?
@ $ & # & ' $% &# %& ; ( # # ( &# $? (
' & ( ' & $ & # & #% # #%& %$$ & & & I && ' $%#
' & ( $ & ' & & %& & # % # % # # %
& %& & ' & %& & &% &# $ F3 # % ⊂ F E %&
& F ' # % 6 F
- $ & * I && # $ & # & %($ &
' % #% & # & ' $% &# %& ; ( # %' & % #% ( $ &# # & # & ' $% &# %& ; (0 > % # ( &# $ ? ( $ ; ( & & & ( $ 0 >@ $ 7 ( # $ 7 ( &# $ ?
& # & ' $% &# & & $ # ( >! $ A ? # %' $ ' &#%$ & # & ' $% &# %& ; ( F &# & $ & # & ' $% &# & ( 0 >! $ % = & & & & # & ( %( & & ( $ ? $ & # & # '%# # %' & & # & ' $% &# %& ; (0 > % % = # $ & & & # & ( %( & & ( $ ?
"% &# & & %& ( ' & ∃ & ' >' ' ? ># #? # % > ? @ $ ($ & 7 ( % #% $ ( # # '%$ $ ∃7 7 ' >%&#%$ ' ' 7 ' ( $% 7 ? # % > 7 $ & & ' ( $% 7 ? - $%# &
( &# & # & ' $% &# $ # & (
> & ' $ # ?
& # & # '%# &%& %$$ & & %& & &% ' %& & # & J & %& & # & %& & &% &
' $ # - @ $ & # & ' $% &# $ # & ( > &
' $ # ? ' & ( ' & $ #( # $ % #% $ %( & $ & & & # %& & # & ( #% & # & % $ & & #
%& & & % % $ & & # &% & ' $ # # &
F
6 K % &% L 6 K # L
$ % %& & # '%# # $ ( & & ( & ( * & & $ & ∩- M
φ & # #%& %$$ & & & * I && ' $%#
- * I && # & &%& %$$ & ∩- M φ $ & # & ' $% &# $ # & ( # & # $ & ( ' &#%$ $ & %& F &# &
& # & ' $% &# $ # & (0 > & ' $ # ? (
& & $ & %& ' $%#0 > 7 $ & & 7 ( & 7 (
' $ # ?
(% & #$ & ' % #% & # & & ' & ( ' & $ & & ' '$ & & & & & & # N ' & ( ( & %& $ ' & ( ( $ & & & & & # N $ & ' & ( ' & # #%& %$$ & # ' ( $ ' & &
& # & & & & ' &
N
-* & & $ & ( ( ' & & # & ' $% &# ( & # & ( & & ' & ( ' & $ & # & (& ' & ( ( & $ & ' & (
( $ & # & (& ' & ( ' & " %( & & ( & &
& &#% & & # % & $ & % #% & # & ' $% &# - & ' $%# & $ & ' # &# & & # % & $ & & # & ' $% &# %(
& & & & # & ' $% &# %& ; ( & $%# & & & & # & ' $% &# $ # & (
# $ & & # & ' $% &# ' $%#0
0 % O% % /& & % ' # $
* ( $ % & & # < $ & & & # $ & &
- $ # % /'% O% % ' > % O% % /& & ' # $ ? & - $
# % /'% $ & ( $%$ &4 %& $ & - $ # % /'% $ & & # $ & >P & ' & $ % % % % ' # $ 4? D ( & &%& %$$ & ' #%
& % % %& & # $ # %$ $ # $ # $ & %&#%$
& & $ # % & $ & & # & ' $% &# # * & & $ & & & # & ' $% &# %& ; ( # ( & # & ' $% &# $ # & (
& # &% ( & ( #% & & # $ &% $ #
' # $ # * & & $ & & # % & $ & > % O% % /& & ' # $ # ? ( & # & ' $% &# $ # & ( & # $ &%
J
- J 6 K % &% L
6 K % L
$ # ' # $ # '%# #% >- ' # % # # O% % /& & &
# $ ' # $ ?
* & & & # % & $ & & # & ' $% &# %& ; ( > % ' ( & & $ ' 1 $ & & ($ & ' ( & & #% & ? & & & ( ' & ( & # & ' $% &# $ # & ( >- ' # % # # ' ( & & $ ' 1 $ & # $ & ($ & ' ( & & #% & ? P & ' & (
( E # % & $ & > % '%& & ? ( >! $ ' & ' % '%& & ? # % >- ' '%& # $ & ? * & & & %& $ & ' ( $ & # ' & >∀7 7)≥ + ? ( >∃7 7) Q + ? % % & & # & $% &# %& ; ( # & # $ & ( # ' ( ' $%#
& # & E
∀7 7 N ∀7 7 ≡ ∃7 N 7
- $%# & ( ' & & & & & # & ' $% &# $ # & ( F &# & # & ' $% &# $ # & ( ( 0
>- ' O% % /& & ( $ %# & ?
& # & & ( ' & ( ' & . (% ' & & & & & # & ' $% &# $ # & ( # '%#4 P & (% & # $ & & # & # '%# ' & ( ' & $ & & % ' & ( (
@ $ & & & # $ & ' & & ( 0 > % O% % /& & ( $ %# & 3? $ & # & & %& $ & %&#%$ ' & ( ' & % # & ( & # & ( ' $ ' #& & # & # '%# # $ %& $ & & & & . (% $ & & & # $ & ' & & ( 0 >- ' O% % /& & # $ ( $ %# & 3? $ & # & & #
& # & ' (% & %& $ & %&#%$ ' & ( ' & % $ ' #& & # & # '%# # $ %& $ & & & & " & $ % & # &
' $% &# # '%# '%$ &( & & $ # #% & # &
' $% &# ( && & $ & & & & #%0 > % O% % /& & # $ ( $ %# & ?
& # & ' $% &# >- ' O% % /& & ( $ %# & ? # # ' $ & & & * I && ' $%# & &%& %$$ & & ( & $ # #% & # %& & O% % /& & O & $ ( % % $ & & # %& & & < & ( $ %# & "
- * I && # #( %($ & ' & & # &
> O% % /& & ( $ %# & ? ( '%$ & > O% % /& & ( $ %# & ? & % '%$ & > O% % /& & # $ ( $ %# & ? ( && % & # & # $ & # ' & ( ' & % ( & $ &
" O
( & # & & ' & ( ( - * I && # #( %($ & ' & >- ' O% % /& & ( $ %# & ? & & & ( ' & ( R % C O% % /& & % # $ # %$ %& & " * & & $ # ( & % & # O % # $ & & # " ' &
#%& %$$ & * I && ' $%#
* & & & # % & $ & & # & ' $% &# 0 >- '
# % $ & # $%< $% $ $ ? ( > % # # $
& % $ & # $%< $% $ $ ? * & & & %& $ & ' ( $ &
# ' & >∃7 7 ? ( >∀7 N 7 ? % % &
& # & $% &# $ # & ( # & # $ & ' ' $%#0
& # & E
∃7 7 N ∃7 7 ≡ ∀7 N 7
* $ & ' & % % #$ && # <# & # $ # & & & # & ' $% &# D && & & & # % & # '%#
' ( & & # & ' $% &# $ ( # $ & $ & ( & % % & %& ' ( && $ & ( ' $ & * & &
# #% & #( $ & $ % & ' & ( $ &
& & $ # & & # ' & #%&#%# ( #% % & & ) ( & # # $ & " #% & & $ #$ & $ % & ' & (
F( & S3 GC O 3 F & ! @ 1BH2 F ( & 0 &<
( %'( & F
* $& )++, ! " # $$ % $&&' % ( "
) * + @ $ # 0 * $&
* $& )++, ! " # $$ % $&&' % ( "
) @ $ # 0 * $&
( S J 1B:: ) ) , -. , / &# 0
- $ TF ( %'( & F &
" O
1 LEBIH MEMAHAMI IMPLIKASI PADA LOGIKA MATEMATIKA
(Sumardyono, M.Pd., Ketua Unit R&D pada PPPPTK Matematika)
Pada kesempatan ini, penulis mengulas mengenai implikasi pada logika matematika yang menurut pengamatan penulis masih merupakan kendala bagi para guru untuk memahami logika matematika. Mudah-mudahan tulisan ini dapat memberi pemahaman yang lebih komprehensif.
Pernyataan majemuk yang menggunakan kata “maka” atau yang semakna, yaitu bahwa
pernyataan yang satu merupakan syarat bagi berlakunya pernyataan kedua, dinamakan implikasi
atau pernyataan bersyarat. Subpernyataan yang menjadi sebab disebut anteseden (antecedent) dan subpernyataan yang menjadi akibat disebut konsekuen (consequent). Pada beberapa literatur, lambang “ ” digunakan untuk implikasi. Literatur yang lain menggunakan “ ” untuk
implikasi yang (selalu) bernilai benar saja atau implikasi logis (suatu tautologi), misalnya
pernyataan teorema/dalil dimana anteseden disebut syarat cukup, konsekuen disebut syarat
perlu, sedang untuk implikasi biasa menggunakan notasi “→”.
Sekarang pandang pernyataan: jika p maka q , atau dalam bentuk simbolik: p →→→→q
Pada implikasi, kita hanya memandang bahwa p adalah syarat terjadinya q. Perhatikan, kita
tidak mengatakan apa-apa mengenai p maupun q selain yang telah disebutkan di atas.
Jadi, pernyataan “jika hari hujan maka jalan basah” sudah benar, tidak peduli bahwa mungkin
masih ada sebab lain selain hari hujan yang mengakibatkan jalan basah. Demikian pula, jika hari
hujan, kita tidak peduli walaupun pohon dan lainnya atau bahkan beberapa orang tidak jadi
bepergian sebagai akibat yang mungkin. Kita hanya memperhatikan kaitan antara “hari hujan”
dan “jalan basah”. Berkenaan dengan batasan tersebut, dapat kita simpulkan bahwa pernyataan
tersebut salah hanya bila hari hujan tetapi jalan tidak basah. Mengapa? Karena pernyataan ini
mendeklarasikan bahwa hari hujan mengakibatkan jalan basah.
Jadi, pernyataan bersyarat bernilai salah jika anteseden terjadi (benar) tetapi konsekuen tidak
terjadi (salah).
2
Kita telah menganalisis implikasi bila subpernyataan sebab terjadi. Sekarang bagaimana bila
anteseden tidak terjadi (salah)? Di sini mulai timbul sedikit masalah.
Perhatikan pernyataan:
“Hari tidak hujan maka jalan tidak basah” (1)
Sesungguhnya kita tidak dapat mengatakan apa-apa mengenai nilai kebenaran pernyataan (1),
yang kita tahu, jalan basah karena hari hujan. Apakah tidak ada sebab lain agar jalan basah?
Dalam konteks ini mungkin saja ada penyebab lain misalnya jalan disiram air kran. Tetapi
apakah jika tidak hujan maka jalan pasti disiram air kran? Tidak juga.
Hal yang sama dapat dianalisis untuk pernyataan:
“Hari tidak hujan maka jalan basah” (2)
Ini benar bila sebab-sebab lain tidak terjadi, tetapi menjadi salah bila sebab-sebab lain yang
mengakibatkan jalan basah terjadi.
Sekarang, kita akan menelaah pernyataan implikasi yang berkaitan dengan subjek yang sama,
sebagai contoh Amir menyatakan:
“Jika saya lulus maka saya akan bersedekah”.
Jika ternyata Amir lulus dan ia bersedekah, maka disimpulkan Amir berkata benar (jujur). Jika
ternyata Amir lulus tetapi tidak bersedekah, maka disimpulkan Amir berkata salah atau tidak
benar (tidak jujur). Jika ternyata Amir tidak lulus dan tetap bersedekah, maka kita tidak dapat
mengatakan bahwa Amir berbohong. Jika ternyata Amir tidak lulus dan tidak bersedekah, maka
kita juga tidak dapat mengatakan bahwa Amir berbohong.
Nah, pada dua kasus terakhir ini kita tidak dapat mengatakan bahwa Amir berbohong (tidak
benar atau salah). Sebab, Amir dipastikan berbohong hanya jika ia lulus tetapi kemudian tidak
bersedekah. Jadi, kedua pernyataan terakhir tidaklah mungkin bernilai salah. Nah, karena
dalam logika matematika hanya memperhatikan 2 nilai: benar dan salah, maka kedua pernyataan
terakhir dianggapbernilai benar.
Jadi, persoalan sesungguhnya adalah mendefinisikan implikasi sedemikian rupa sehingga kita
3
konjungsi maupun disjungsi juga merupakan “fungsi” dari nilai kebenaran
sub-subpernyataannya. Dari contoh kedua yang dianalisis sebelumnya, kita dapat memilih “aturan”
bahwa jika anteseden bernilai salah, maka keseluruhan implikasi kita anggaptetapbernilai benar
(tidak salah), apa pun nilai kebenaran dari konsekuen. Jadi, sekarang kita peroleh tabel
kebenaran implikasi sebagai berikut:
Jadi, walaupun menurut logika sehari-hari ada contoh yang janggal bagi kebenaran 2 baris
terakhir, tetapi ini disepakati sebagai suatu implikasi dalam matematika yang disebut implikasi
material. Secara persis kita menyebut kebenaran implikasi pada 2 baris terakhir (yaitu jika
anteseden tidak terjadi) sebagai benar karena kosong (vacuous truth). Akan tetapi logika matematika hanya dikenal benar atau salah saja, sehingga kita menganggapnya sebagai benar.
Perhatikan kembali bahwa aturan umum yang dipakai pada implikasi material ini adalah bahwa
sebuah implikasi bernilai salah jika sebab terjadi (benar) tetapi akibat tidak terjadi
(salah), selain itu (dianggap) benar.
Lebih lanjut, perlu dipahami bahwa dalam implikasi material kita tidak mempermasalahkan
ada atau tidak ada “hubungan makna” antara anteseden dengan konsekuen. Hal ini terjadi
karena kita hanya memandang implikasi material sebagai fungsi dari nilai kebenaran
sub-subpernyataannya. Karena itu, implikasi material disebut pula implikasi fungsi kebenaran.
Jadi, pernyataan-pernyataan: “Bulan lebih kecil dari bumi maka 2 bilangan genap”, “Bulan lebih
besar dari bumi maka 2 bilangan genap” maupun “Bulan lebih besar dari bumi maka 2 bilangan
ganjil” semuanya bernilai benar. Pernyataan yang bernilai salah adalah “Bulan lebih kecil dari
bumi maka 2 bilangan ganjil” (p benar, q salah).
p q p →→→→q
B B B
B S S
S B B
S S B
→ → →
→ B S
B B S
S B B
q
4
Bila anggapan-anggapan di atas dihilangkan, kita berbicara mengenai jenis implikasi yang lain
lagi, misalnya implikasi indikatif, implikasi korespondensi, dan lain-lain yang kesemuanya
bukan jenis implikasi yang dibahas dalam logika matematika sekarang ini.
Jadi, bila disebut implikasi pada logika matematika maka yang kita maksudkan adalah implikasi
material.
Implikasi Tapal Kuda
Pada beberapa bidang ilmu, tanda implikasi menggunakan tanda tapal-kuda yang mirip simbol
superset himpunan “⊃”. Perhatikan contoh berikut ini.
“Manusia memiliki perasaan maka orang Indonesia juga memiliki perasaan”
Pernyataan implikasi di atas bernilai benar. Akan tetapi ada satu hal yang menentukan mengapa
pernyataan di atas benar yaitu bahwa “orang Indonesia termasuk manusia”. Dengan kata lain,
himpunan manusia adalah superset dari himpunan orang Indonesia.
Dalam contoh di atas, bila p = “manusia memiliki perasaan”, q = “orang Indonesia juga memiliki perasaan” maka pernyataan di atas ditulis p ⊃⊃⊃⊃q.
Penggunaan tanda tapal kuda ini memiliki kelemahan karena bermasalah jika ditinjau dari sudut
diagram Venn. Pada kasus tertentu, penggunaan tanda tapal kuda ini membingungkan dengan
tanda superset (karena keterbatasan halaman, masalah ini tidak dibahas lebih lanjut).
Walaupun demikian, ada juga yang menyarankan penggunaan tanda tapal kuda ini. Hal ini
disebabkan pada logika formal, implikasi yang dibahas adalah implikasi material. Padahal
pengertian implikasi material ini lebih merupakan bentuk lain dari suatu negasi konjungsi atau
disjungsi (ingat, p →→→→ q ≡≡≡≡ ∼∼∼∼(p ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q) ≡≡≡≡∼∼∼∼p ∨∨∨∨q). Adanya implikasi lain serta penggunaan tanda
yang mirip ( ) untuk implikasi-logis, maka muncul saran penggunaan tanda tapal-kuda untuk
implikasi material ini.
Kelemahan dan Kelebihan Implikasi Material
Implikasi ini merupakan suatu fungsi kebenaran yang didefinisikan sebagai berikut:
p →→→→q bernilai salah jika p benar dan q salah, selain itu p →→→→q bernilai benar
5
Keuntungan terbesar adalah bahwa kita dapat menganalisis seluruh pernyataan dalam
matematika (dalil/teorema, lemma, atau sifat/corollary) dengan menggunakan fungsi dari data
benar (B) dan salah (S). Hal ini berakibat kita dapat menurunkan suatu penalaran (aturan
penarikan kesimpulan) yang valid juga dapat menguji apakah suatu penalaran (aturan penarikan
kesimpulan) itu valid atau tidak. Tersedianya suatu aturan penalaran (bayangkan sebagai sebuah
“mesin”) merupakan hal yang penting untuk dapat menyelesaikan masalah dalam matematika.
Suatu aturan penalaran dikatakan valid jika “mesin” itu dapat digunakan untuk menarik
kesimpulan yang seharusnya menjadi kesimpulan (ingat! validitas dalam teori statistika).
Semua ini tidak akan tercapai, bila implikasi material tidak didefinisikan.
Selain itu, karena mengabaikan adanya “relevansi” antara anteseden dan konsekuen, maka
implikasi material tentu tidak dapat diterapkan untuk semua masalah sehari-hari. Kita dapat
saja mengaitkan relevansi antar subpernyataan ini tetapi implikasi akan memiliki bentuk yang
sangat kompleks dan tidaklah praktis dalam matematika. Kekompleksan ini timbul akibat
banyaknya jenis kaitan makna antara anteseden dan konsekuen, sebanding dengan banyaknya
makna bahasa yang dipergunakan. Walaupun demikian, telah terdapat beberapa cabang logika
lain, seperti logika intuisionistik atau logika konstruktivis, logika modal, logika relevan, logika
parakonsisten, dan lain-lain. Pada logika relevan, misalnya, kita mengenal “pernyataan bersyarat
indikatif” yang menunjukkan adanya keterkaitan hubungan sebab-akibat antara anteseden
dengan konsekuen.
DAFTAR BACAAN:
Hermann, Robert A. 2006. Logic for Everyone. Annapolis: Mathematics Department of U.S. Naval Academy
Jacobs, Harold R., 1977. Mathematics A Human Endeavour. USA: Llyod O`Neil Ltd.
Lipschutz, Seymur. 1989. Teori Himpunan. terjemahan Pantur Silaban. Jakarta: Penerbit Erlangga
Magnus. 2009. An Introduction to Formal Logic. New York: Creative Commons.
Miller, Charles D., & Heeren, Vern E. 1978. Mathematical Ideas. Edisi 3. Glenview (Illinois, USA): Scott, Foresman and Company.
!!" # $
% &
'
#
(
' )*!
+
#
, (
-%
' )*!
(
.
.
.
#
( %
1
% / , )0" (
#
, $
1
,
.
)02 3
! " #−
1 − A
W
! 4
#4
$4
%4
5
5
% 6 )0
5 3
& " #−
1 − A
W
5 6 % / , )0"
5 % / ,
7 / , )08
/ 6
' ( ,
% − )
(
. 1 ( / 9 )02
#
( !!"
1
5 / 7 / , )08
3
2 1 $
$ 3
! " # *
A O
! 4
#4
4
%4 (
5
A 1
#
: - . 1 .
-- ; 1 ; #
! 4#< A O
= 4 5−
1 − A
W
1 > ! 8
> <0
44 > >− 6 34
5 > 8 !
> <6
4 4 " " >− 0 34 >
> 2 2
> < 3
4 4 > *" >− 3 3 4 2
2 ! >
$
> ; (
- $
? 5
$ 1 :
$
. $
1 ,
$
, @
, % )0) 1 A + ,
8 2 3 2 2$228
, 1 !!) , . . ' . . !
. /0%& &-1 . 2 . (
B 3 --# & ( B
C 6 )02 1 ( ' B 3 7 #
7
-7 D / , ; )08 ( 3
% ; ( ( 7
-6 ; - )0 1 (' B 3 . 6 $% :
% 7 1 , 5 D )0" 3 (
: 3 - - :
% 3EE $ E E E 1 *
1 !!)
? !!) , . ? :
B 3 -- & ( ' B
' ; 7 )*! ' B 3 . 6 $%
7
# : !!) % . 3 4 - .
/34-. . ' ( ; 3 -
-- C - & ( :
B # !!" 1
. &-%5 6 + .
7889 1 ; 3 -- & ( '
;
F 1 / # !!2 ,
% 1 - * " 3
2"*$2*
F 1 !!)
MENDISAIN TAMPILAN DALAM PEMBELAJARAN BERBASIS WEB Indarti
Keberadaan online learning ataupun distance learning saat ini tak lepas dari pemanfaatan website sebagai media pembelajaran yang efektif dan menyebar luas secara mudah. Akan tetapi, pendidik cenderung kurang menyadari bahwa pembelajaran berbasis web – seperti juga metode pembelajaran yang lain – menuntut strategi yang berbeda terutama dalam hal disain, penulisan konten, aplikasi dan hubungannya dengan target keterbacaan oleh pengguna.
Umumnya, pendidik terjebak untuk menulis isi pembelajaran dalam bentuk linear text-book style (Henderson, 2008). Hal ini mungkin sekali dikarenakan kebiasaan kita menerima teks sebagai sesuatu yang immovable dan aturan bahwa teks harus muncul dalam urutan tertentu; dimulai dengan pengantar, definisi, diikuti contoh soal dan latihan yang bisa dikerjakan oleh murid setelah membaca teks secara berurutan. Namun tanpa sadar, ini membawa kita kepada teori pembelajaran behaviourist. Tidak kita pungkiri bahwa teori ini juga berguna, namun dalam lingkungan pembelajaran berbasis web mungkin kita perlu untuk mengeksplorasi teori lain sebagai alternatif.
Lepas dari masalah teori pembelajaran, pengembangan pembelajaran berbasis web memerlukan desain khusus karena pembelajaran berbasis web tidak dapat tergantung pada kharisma dan cara seorang instruktur menyajikan materi. Materi harus ditampilkan sedemikian rupa sehingga menarik. Tampilan tidak hanya penting untuk menarik dan memotivasi pengguna, tetapi juga untuk memfasilitasi perpaduan dari materi yang dipresentasikan (Greenberry, 2005). Kemampuan untuk mendesain suatu konten dalam laman web merupakan skill dasar yang sangat dibutuhkan dalam online learning. Menulis konten dalam website yang tidak didesain dengan benar bisa menghabat proses pembelajaran. Dan yang penting untuk disadari adalah konten dalam website memiliki format yang berbeda dan harus dibedakan dengan format cetakan dalam kertas.
Nielsen juga menemukan bahwa membaca dari layar komputer 25% lebih lambat dibanding dengan membaca langsung dari kertas. Dia juga menganjurkan bahwa sebaiknya naskah online (online content) hanya memuat 50% dari jumlah kata dalam versi cetaknya.
Mengingat bahwa sebagian besar pengguna web hanya melakukan scanning, maka desain web sebaiknya juga mendukung konten untuk bisa dibaca secara sekilas (scannability). Selain beberapa teknik mendesain konten untuk pembelajaran berbasis web yang akan diuraikan nanti, menurut Henderson, M. & Henderson, L., (2006) scannability juga dapat ditempuh dengan beberapa cara, antara lain:
- penyorotan kata kunci (highlighted keywords), misalnya dengan hypertext link, huruf tebal, atau huruf berwarna,
- sub judul yang mengandung arti, - daftar list (bulleted list),
- satu ide dalam satu paragraph,
- inverted pyramid style; mulai dengan kesimpulan kemudian berkembang dengan
penjelasan yang lebih rinci,
- efisiensi jumlah kata menjadi maksimal ½ dari naskah asli. Struktur piramida terbalik
Tata tulis formal mengajarkan kita untuk menulis dengan struktur tertentu, misalnya berangkat dari kejadian atau contoh-contoh yang mendukung argumen menuju suatu kesimpulan. Penggunaan daftar list (bulleted list) di dalam paragraf juga kurang dianjurkan. Umumnya paragraf diawali dengan kalimat pengantar dan kemudian ide-ide diberikan secara terurai. Akan tetapi, jika metode ini diterapkan dalam pembelajaran online tentulah pengguna akan cenderung mengabaikan atau kemudian mencetak-nya jika terpaksa. Dengan kata lain metode ini tidak mendukung keterbacaan media online.
http://www.delawarenationalguard.com/upar/de_uparc_elo5.htm
Pemenggalan semantik
Pemenggalan semantik (semantic chunking) merupakan cara kita memisahkan phrase, kalimat, atau bahkan paragraph menjadi satuan-satuan yang berarti dengan tujuan meningkatkan keterbacaan naskah. Tekhnik ini banyak digunakan ketika kita mendesain slide dalam PowerPoint ataupun menulis untuk pembelajaran online (Henderson, 1996). Perhatikan contoh berikut (diambil dan dimodifikasi sebagai contoh dari ’Strategi Umum Problem Solving dalam Pembelajaran Matematika’ (Setiawan, 2009)):
Kita dapat memecah paragraph tersebut menjadi bentuk berikut:
Pemahaman dalam teknik semantic chunking adalah bahwa kita menggunakan teks yang sama dengan mengaturnya sedemikian rupa untuk membantu pemahaman isi. Dalam semantic chunking kita diperbolehkan menghilangkan beberapa kata sambung tetapi tetap harus mempertahankan kaidah gramatikal.
Ruang putih
Ruang putih atau white space merupakan bagian kosong yang tidak harus berwarna putih dalam halaman web. White space membingkai layar dan memisahkan tiap-tiap konten. Penyediaan white space merupakan strategi penting dalam mendesain website. Namun, umumnya ketika kita akan mencetak naskah online, kita menghilangkan bagian kosong ini dan memadatkan teks dengan tujuan penghematan cetakan. Terkadang kita memaksakan 3 halaman web dalam satu lembar folio A4. Sebenarnya cara ini merugikan karena disamping membutuhkan energi ketika kita meringkas naskah juga akan mengurangi keterbacaan dan melelahkan mata. Andrew Greenberry (2005) menganjurkan 25% halaman web sebagai white space.
White space refers to the blank space on a screen; it does not have to be white! Space should be left between blocks of text, paragraphs, headings and illustrations/graphics. A significant contribution of white space is that it offers the user respite from blocks of text. It has been suggested that 25% of a screen should be white space. The best judge for white space is your eye; if you feel a screen is somewhat overcrowded with text, then revise it.
Prinsip PARC
Prinsip PARC (proximity, alignment, repetition, contrast) merupakan strategi penting dalam desain visual untuk slide ataupun web page. Proximity artinya kedekatan, yaitu melakukan Georgi Polya di dalam karyanya yang diberinya judul How to Solve It (dalam Posamentier dan Stepelman, 1999), menyarankan Metode heuristc di dalam problem solving:
1. Memahami persoalannya. o Apa yang tidak diketahui?
o Bagaimana data yang ada dari persoalan tersebut? 2. Merumuskan rencana penyelesaian.
o menelusuri hubungan antara data dengan yang tidak diketahui
o menemukan relasi antara data yang diberikan dengan permasalahannya. 3. Maksanakan rencana.
o Mengecek langkah demi langkah
o meyakinkah bahwa masing-masing tahap sudah benar.
grouping atas beberapa elemen yang berhubungan. Dalam menempatkan suatu obyek kita perlu memperhatikan keterkaitan obyek tersebut dengan lingkungannya. Misalnya clipart; serta merta pengguna akan mencari hubungan antar clipart tersebut dengan teks yang ada. Contoh lain adalah penempatan anak judul. Anak judul yang terpisah dari teks di atasnya dan lebih mendekat pada teks di bawahnya akan lebih nyaman dari pada yang tak jelas posisinya dari teks di sekitarnya. Alignment artinya penjajaran. Dalam prinsip ini segala sesuatu kita tempatkan dengan aturan tertentu, sehingga pengguna dapat menangkap bahwa konten-konten yang berkaitan seakan terhubung oleh garis yang tak tampak. Sebagai contoh dalam membuat sub judul; antara yang satu dengan yang lain harus ada kesejajaran (William, 1993). Repetition dimaksudkan sebagai pengulangan bagian-bagian yang senada dalam keseluruhan teks. Misalnya kita menggunakan huruf tebal, warna, dan ukuran tertentu pada sub judul, kita harus melakukan hal yang sama untuk sub judul berikutnya. Prinsip Contrast digunakan untuk menarik pandangan kepada sesuatu yang penting. Kontras bisa ditimbulkan dengan pemakaian ukuran huruf atau warna yang berbeda . Tetapi tetap harus mempertimbangkan keseimbangan, terlalu banyak perbedaan dalam satu page menyebabkan pengguna sibuk menterjemahkan mana konten yang lebih penting.
Bahan bacaan:
Dillon, A. (2008). Web style guide. Diambil dari http://www.webstyleguide.com/
Greenberry, A. (2005). PACMAN: An instructional design guide for the web. Diambil dari
http://ausweb.scu.edu.au/aw05/papers/refereed/greenberry/paper.html
Henderson, M. & Henderson, L. (2006). Content design for online learning. QUICK: Journal of the Queensland. Society for Information Technology in Education, 99(Winter). Make it looks good. http://www.keyknox.com/bwit/classpages/looks.htm
Neilsen, J. (1997) How users read on the web. Diambil dari
CONTOH KOMUNIKASI TULIS PADA JAWABAN SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA
Oleh Wiworo
Olimpiade Sains Nasional (OSN) sudah berlangsung sejak 2002. Pernahkah Anda mencermati model soal-soal OSN, khususnya matematika? Apabila dicermati, ternyata soal-soal OSN bidang studi matematika hampir semuanya bertipe soal uraian (kecuali pada seleksi tingkat kabupaten/kota dan tingkat provinsi, beberapa soal masih bertipe pilihan ganda dan isian singkat). Soal uraian memerlukan langkah-langkah yang jelas, logis dan sistematis pada saat menuliskan jawabannya. Oleh karena itu peserta olimpiade perlu memiliki kemampuan berkomunikasi secara tertulis. Tulisan yang dibuat harus efektif. Artinya tulisan tersebut dapat dibaca dan dimengerti orang lain serta menyatakan dengan tepat apa yang dipikirkan oleh penulis. Karena OSN adalah tes dengan waktu terbatas, maka peserta harus dapat melakukan hal-hal di atas secara efisien.
Kenyataan yang muncul selama ini ternyata siswa sangat mengalami kesulitan ketika harus menjawab soal-soal olimpiade yang bertipe uraian. Banyak peserta olimpiade yang sebenarnya mempunyai kemampuan bernalar dan memecahkan masalah yang cukup baik, tetapi mereka tidak mampu ketika harus menuangkan gagasannya dalam bentuk kalimat-kalimat tertulis. Mereka tidak tahu harus mulai menulis dari apa dan bagaimana alur tulisannya sehingga tidak ada ide yang
“loncat”. Hery Susanto, Team Leader Tim Olimpiade Matematika Indonesia, pernah menyatakan
bahwa kelemahan utama peserta International Mathematical Olympiad (IMO) dari Indonesia adalah
kemampuan menuangkan gagasan atau ide yang muncul ke dalam bahasa tertulis.
Supaya siswa mempunyai kemampuan komunikasi tertulis yang cukup baik jelas diperlukan pembiasaan. Untuk membiasakan hal tersebut, berdasarkan pengalaman penulis membina siswa-siswa SMPN 8 Yogyakarta untuk menghadapi olimpiade matematika, langkah pertama yang dilakukan adalah meminta siswa untuk menulis sebanyak-banyaknya tentang cita-cita, target, keinginan ataupun hal-hal sejenis. Ini untuk melatih supaya siswa terbiasa mengeluarkan ide-ide atau pendapatnya. Ide apapun harus dituliskan. Kemudian terkait dengan kemampuan menjawab soal-soal matematika, siswa harus dibebaskan untuk mengeluarkan kreativitas mereka pada saat menjawab. Cara menjawab seperti apapun, sepanjang tidak melanggar konsep-konsep matematika, harus dihargai oleh guru. Ini hanya bisa berjalan dengan baik jika sejak awal kita selalu memberikan soal-soal tipe uraian. Dengan langkah-langkah seperti tersebut di atas, justru sering sekali muncul proses jawaban dari siswa yang unik, kreatif dan di luar dugaan kita. Arsip-arsip jawaban siswa yang seperti ini perlu dikoleksi oleh para guru untuk menambah wawasan dan referensi. Proses pembiasaan ini memang memerlukan waktu. Penulis mencermati, dengan latihan yang intensif, para siswa tersebut perlu sekitar satu sampai dua tahun untuk dapat mempunyai kemampuan menulis yang cukup baik.
1. Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari I, nomor 1
Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar-akar bilangan asli a dan b. Persamaan kuadrat lainnya
memiliki akar-akar b dan c dengan . Jika a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan prima
yang kurang dari 15, ada berapa macam pasangan yang mungkin memenuhi syarat tersebut (dengan syarat koefisien dari suku kuadratnya sama dengan 1)?
Jawaban siswa:
2. Soal OSN VIII 2009 Matematika SMP, Hari I, nomor 4
Diketahui segitiga ABC dengan A sebagai puncak dan BC sebagai alas. Titik P terletak pada sisi CA. Dari titik A ditarik garis sejajar PB dan memotong perpanjangan alas di titik D. Titik E terletak
Jawaban siswa:
Pada suatu segitiga titik terletak pada sisi dan titik terletak pada sisi Tunjukkan
bahwa
.
Tugas dan Peran PPPPTK Matematika dalam Implementasi Program BERMUTU
Oleh: Sri Wardhani
Pengantar
Sejak digulirkannya program BERMUTU oleh pemerintah pada tahun 2008, PPPPTK Matematika langsung terlibat dalam kegiatan-kegiatannya. Agar hasil kegiatan dari keterlibatan itu terus meningkat dari waktu ke waktu, optimal dan sesuai dengan ketentuan yang telah ditetapkan maka perlu didukung adanya pemahaman yang memadai dari semua pihak terkait dan khususnya seluruh warga PPPPTK Matematika tentang program BERMUTU dan tugas PPPPTK Matematika dalam implementasi program BERMUTU. Tulisan ini bertujuan mensosialisasikan tentang program BERMUTU dan tugas PPPPTK Matematika dalam implementasi program BERMUTU kepada warga PPPPTK Matematika pada khususnya, dan para pendidik, tenaga kependidikan, serta para pemangku kepentingan pendidikan yang berkaitan dengan pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah pada umumnya.
Latar Belakang Program BERMUTU
Kata BERMUTU merupakan akronim dari Better Education Through Reformed Management and Universal Teacher Upgrading. Program BERMUTU merupakan salah satu program pemerintah dalam upaya meningkatkan kompetensi dan kinerja guru. Program ini akan berkontribusi terhadap pengembangan kualitas sumber daya manusia ke arah pertumbuhan produktivitas dan peningkatan daya saing Indonesia dalam ekonomi global (Project Operational Manual atau POM BERMUTU, hal II-4).
Mengapa program BERMUTU digulirkan? Kita ingat kembali bahwa pemerintah telah melakukan reformasi guru yang diawali dengan disahkannya Undang-Undang Guru dan Dosen (UUGD) pada tahun 2005. Dengan disahkannya UUGD itu maka pekerjaan sebagai guru diiakui sebagai suatu profesi. Akibatnya, setiap orang yang berperan sebagai guru di tanah air ini harus bersertifikasi. Oleh karena itu mulai tahun 2007 pemerintah melakukan kegiatan sertifikasi guru kepada sekitar 2,7 juta guru yang telah menjalankan tugas sebagai guru namun belum bersertifikasi atau belum memiliki sertifikat guru (pendidik). Kegiatan tersebut diharapkan selesai dalam waktu 10 tahun sejak UUGD disahkan (tahun 2015). Selain itu pemerintah juga mengelola kegiatan pendidikan profesi guru yang ditujukan kepada para calon guru.
membantu upaya pemerintah yang mengarah kepada guru yang bersertifikat yang selanjutnya diharapkan dapat menghasilkan praktek pembelajaran yang baik (POM BERMUTU hal II-1,2)
Tujuan Program BERMUTU dan Indikator Kunci
Guru bersertifikat akan menerima tunjangan profesional (sepadan dengan satu bulan gaji pokok), tunjangan jabatan, dan tunjangan khusus bagi yang mengajar di daerah khusus (juga sepadan dengan satu bulan gaji pokok). Secara keseluruhan berarti bahwa di bawah UUGD tersebut, seluruh guru akan mendapatkan gaji dua kali lipat setelah mendapatkan sertifikat pendidik. Para guru di daerah terpencil atau daerah sulit akan menerima gaji tiga kali lipat setelah bersertifikat, dan menerima tunjangan khusus, sebagai tambahan selain tunjangan profesional dan tunjangan fungsional (POM BERMUTU, hal II-2).
Strategi pemerintah menegaskan kepada seluruh pemangku kepentingan pendidikan bahwa tunjangan dan insentif finansial yang dinaikkan pemerintah harus sejalan dengan peningkatan kinerja guru secara berkelanjutan sehingga berdampak positif pada peningkatan kualitas pendidikan di Indonesia. (POM BERMUTU, hal II-2). Penjaminan terkait hal itu antara lain dilaksanakan melalui program BERMUTU.
Adapun tujuan Program BERMUTU adalah untuk mendukung upaya peningkatan kualitas dan kinerja guru melalui peningkatan penguasaan materi pembelajaran dan keterampilan mengajar di kelas. Indikator kunci untuk mengukur peningkatan kualitas dan kinerja guru sebagai berikut. (POM BERMUTU, hal II-4,5)
1. Peningkatan jumlah guru yang memenuhi kualifikasi akademik sebagaimana ditetapkan dalam UUGD.
2. Peningkatan jumlah guru SD dan SLTP di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU yang mengajar sesuai dengan latar belakang pendidikannya, dan menggunakan strategi mendidik yang sesuai dengan usia siswa; dan
3. Penurunan angka kemangkiran guru di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU.
Sasaran tersebut akan dicapai melalui: inisiasi reformasi kebijakan dasar dalam pendidikan prajabatan (pre-service) dan pendidikan dalam jabatan (in-service) guna menyediakan akses yang merata bagi guru untuk meningkatkan kualifikasi pendidikan, kompetensi dan kinerja mengajarnya; pengembangan sistem insentif dan promosi atau peningkatan karir guru yang mencerminkan peningkatan kompetensi dan kinerja guru; dan peningkatan pengembangan profesional berkelanjutan/CPD (Continuous Professional Development) bagi para guru bersertifikat; serta monitoring dan evaluasi terhadap seluruh kegiatan tersebut.
Komponen Program BERMUTU
Program BERMUTU berfokus pada nilai tambah reformasi guru yang digagas pemerintah dengan cara memperkuat hubungan antara proses sertifikasi dan pemberian tunjangan profesi untuk percepatan pembelajaran siswa. Program ini bukan untuk membiayai tunjangan baru untuk guru; tapi sebagai gantinya, berdasarkan pengalaman internasional akan memberikan nilai tambah dengan cara sebagai berikut (POM BERMUTU, hal II-2).
2. Mendukung rancangan dan penyediaan program-program bagi guru yang belum memenuhi syarat untuk disertifikasi karena kurang kualifikasi dan atau kompetensi;
3. Menemukan dampak perubahan kebijakan untuk membantu peningkatan kompetensi dan kinerja guru secara berkelanjutan; dan
4. Melaksanakan monitoring selama pelaksanaan program dan evaluasi untuk mengukur dampak, dan memandu mplementasi undang-undang tersebut.
Mutu guru bergantung kepada sejumlah faktor, antara lain sebagai berikut (POM BERMUTU, hal II-5).
1. kemampuan akademis yang kuat tentang materi yang diajarkan;
2. penguasaan keterampilan mengajar, terutama komunikasi dengan peserta didik; 3. keterampilan menggunakan media pembelajaran;
4. penguasaan manajemen kelas;
5. pengetahuan dan penggunaan berbagai macam teknik penilaian;
6. keterampilan sosial yang diperlukan untuk bekerja dengan sejawat, orangtua dan masyarakat; 7. pengembangan profesi berkelanjutan selama bertugas untuk mendukung pengembangan
karir; dan
8. sistem pemantauan dan evaluasi yang baik untuk menyediakan umpan balik yang memadai dan tepat waktu bagi pengembangan mutu guru secara berkelanjutan.
Seluruh faktor tersebut, dalam Program BERMUTU dicakup melalui penyelenggaraan empat komponen program yang saling terkait, sinergis dan dirancang secara komprehensif. Empat komponen program tersebut sebagai berikut. (POM BERMUTU, 2008: hal. II-5 s.d. II-14). 1. Reformasi Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan atau LPTK.
2. Pengembangan Struktur Pengembangan Guru di Tingkat Daerah.
3. Reformasi Akuntabilitas Guru dan Sistem Insentif untuk Peningkatan Kinerja dan Karir Guru.
4. Peningkatan Program Koordinasi, Pemantauan dan Evaluasi.
Terkait dengan empat komponen program BERMUTU tersebut maka unit-unit utama Depdiknas yang terkait dengan program BERMUTU sebagai berikut (POM BERMUTU, hal. III-2).
1. Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan (Ditjen
PMPTK), dengan melibatkan 3 (tiga) direktorat yaitu Direktorat Profesi Pendidik (Dit. Prodik),Direktorat Tenaga Kependidikan (Dit. Tendik), dan Direktorat Pembinaan Pendidikan dan Pelatihan (Dit. Bindiklat);
2. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (Ditjen Dikti), dengan satuan kerja Direktorat Ketenagaan dan perguruan tinggi pelaksana kegiatan;
3. Badan Penelitian dan Pengembangan (Balitbang) Depdiknas (Kemdiknas) dengan
melibatkan Pusat Statistik Pendidikan (PSP), Pusat Penelitian Kebijakan dan Inovasi Pendidikan (Puslitjaknov), Pusat Penilaian Pendidikan (Puspendik), dan Badan Akreditasi Nasional Perguruan Tinggi (BAN-PT).
bertindak sebagai PIU, sehingga secara keseluruhan program BERMUTU akan terdapat 3 (tiga) PIU.
Tanggungjawab utama Ditjen PMPTK dalam implementasi program BERMUTU adalah mengkoordinasikan pengembangan berbagai kebijakan peningkatan kualitas guru, dan memfasilitasi implementasi kebijakan pemberian Dana Bantuan Langsung kepada kelompok kerja guru (KKG/MGMP), kepala sekolah(KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS), dan LPMP serta PPPPTK dalam lingkup komponen 2, dan kegiatan-kegiatan peningkatan kompetensi pasca sertifikasi pada komponen 3 (melalui gugus kerja yang mewakili berbagai pemangku kepentingan yang relevan). Disamping itu, unit ini berperan sebagai Program Coordinating Unit (PCU) yang bertanggungjawab mengkoordinasikan seluruh kegiatan program pada sub komponen 4.3 (kegiatan-kegiatan untuk mendukung koordinasi dan monitoring program BERMUTU), menyusun laporan terkonsolidasi, dan dalam hubungan dengan misi supervisi Bank Dunia, memonitor kemajuan implementasi program.selanjutnya dalam kaitan dengan substansi kualitas guru. PCU berkolaborasi dengan 2 Program Implementation Unit
(PIU) lain (Dikti dan Balitbang); dan juga bertindak sebagai sekretariat Steering Committee
(SC).
Tugas PPPPTK Matematika dan Instansi Lingkup Ditjen PMPTK
PPPPTK Matematika merupakan salah satu instansi unit pelaksana teknis dari Ditjen PMPTK sehingga tanggungjawab PPPPTK Matematika dalam program BERMUTU merupakan bagian dari tanggungjawab Ditjen PMPTK dalam program BERMUTU. Dalam lingkup Ditjen PMPTK, ada beberapa instansi lain yang terlibat dalam program BERMUTU. Dalam implementasi program BERMUTU, PPPPTK Matematika harus menjalin kerjasama yang sinergis dengan instansi-instansi tersebut. Berikut ini uraian tanggungjawab masing-masing instansi terkait yang diambildiambil dari POM BERMUTU halaman III-7 dan III-8.
Ditjen PMPTK sebagai PIU program BERMUTU bertanggungjawab mengembangkan
kebijakan dan berbagai panduan untuk meningkatkan kualitas guru, pemberian Dana Bantuan Langsung kepada kelompok kerja guru (KKG/MGMP), kepala sekolah (KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS), forum KKG/MGMP dan forum KKKS/MKKS dan bantuan program bagi LPMP dan P4TK. Dengan lingkup tanggung jawab tersebut, PIU Ditjen PMPTK mencakup tiga direktorat yang tugas pokok dan fungsinya relevan dengan program yang dikembangkan melalui Program BERMUTU, yakni Direktorat Pembinaan Pendidikan dan Pelatihan (Dit Bindiklat), Direktorat Profesi Pendidik (Dit Prodik), dan Direktorat Tenaga Kependidikan (Dit Tendik). PIU Ditjen PMPTK juga bertanggungjawab untuk mengkompilasi Interim Financial Report/IFR dari setiap penanggungjawab kegiatan dan bertanggungjawab menyampaikan Surat Permintaan Pembayaran/SPP kepada Biro Keuangan yang akan menerbitkan Surat Perintah Membayar/SPM.
Dit Bindiklat bertanggung jawab dalam mengembangkan modul pelatihan untuk meningkatkan
kapasitas KKG/MGMP, LPMP dan P4TK sebagai sistem pendukung peningkatan kualitas guru, dalam upaya peningkatan kualifikasi dan kompetensi guru.
kemampuan manajerial pada tingkat sekolah dan kemampuan supervisi para pengawas, termasuk menyelenggarakan pelatihan bagi kepala sekolah dan pengawas agar mampu menggunakan prosedur penilaian guru berbasis kinerja dan berbasis kompetensi, serta melakukan pembinaan guru berdasarkan hasil penilaian dalam program magang (Induksi Guru Baru).
Dit Prodik bertanggung jawab mengembangkan berbagai kebijakan dan prosedur: (i)
mengembangkan sistem Recognition Prior Learning (RPL) dalam upaya proses percepatan peningkatan kualifikasi guru ke jenjang yang lebih tinggi; termasuk model peningkatan kualifikasi guru; (ii) peningkatan kemampuan profesional guru secara berkelanjutan pasca-sertifikasi. Disamping itu juga bertanggung jawab untuk menyusun mekanisme, prosedur dan instrumen yang terkait dengan kemajuan karir dan promosi yang sejalan dengan prestasi dan kinerja guru. Pengembangan mekanisme dan prosedur tersebut dilakukan melalui uji coba terbatas di kabupaten/kota mitra Program BERMUTU.
PPPPTK bertanggungjawab dalam mengembangkan modul-modul diklat terakreditasi yang
akan digunakan dalam kegiatan di KKG dan MGMP serta menyelenggarakan pelatihan untuk PCT (Provincial Core Team) dan DCT (District Core Team). Di samping itu P4TK juga bertanggungjawab dalam mengkoordinasikan pelaksanaan Monitoring dan Evaluasi (M&E kegiatan KKG dan MGMP secara regional.
LPMP bertanggungjawab dalam menentukan alokasi Bantuan Dana Langsung per kabupaten, mengembangkan pedoman penyelenggaraan program Bantuan Dana Langsung serta memonitor dan mengevaluasi pelaksanaan BG (block grant). Di samping itu LPMP bertanggungjawab dalam pengembangan sistem pendukung bagi guru, kepala sekolah, dan pengawas, penyediaan bantuan teknis oleh LPMP untuk mengembangkan kapasitas kepala sekolah dan pengawas, pengembangan kapasitas KKG/MGMP sebagai cara menyediakan pelatihan yang efektif pada tingkat sekolah,
Pustekkom, bertanggung jawab pengembangkan modul-modul pelatihan berbasis ICT yang akan digunakan oleh kelompok kerja guru (KKG/MGMP), kepala sekolah (KKKS/MKKS), pengawas (KKPS/MKPS) dalam pelatihan yang efektif, serta mendukung penyebarluasan modul tersebut melalui TVE dan Jardiknas (POM BERMUTU, 2008: hal. III-8).
Program BERMUTU PPPPTK Matematika
Telah diuraikan bahwa tugas utama dari PPPPTK Matematika dalam implementasi program BERMUTU adalah mengembangkan modul-modul diklat terakreditasi yang akan digunakan dalam kegiatan di KKG dan MGMP serta menyelenggarakan pelatihan untuk PCT dan DCT. Di samping itu P4TK juga bertanggungjawab dalam mengkoordinasikan pelaksanaan monitoring dan evaluasi kegiatan KKG dan MGMP secara regional. Tanggungjawab tersebut telah dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika mulai tahun 2008. Adapun kegiatan terkait program BERMUTU yang telah (tahun 2008, 2009) dan akan (tahun 2010) dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika sebagai berikut.
Tahun 2008:
1. Para pejabat struktural, Widyaiswara, dan para pembantu pimpinan mengikuti sosialisasi program BERMUTU yang diselenggarakan oleh Ditjen PMPTK dalam periode waktu sepanjang tahun 2008.
2. Megirimkan Widyaiswara untuk menjadi penulis dalam penyusunan Bahan Belajar Mandiri (BBM) Penelitian Tindakan Kelas (PTK) lingkup mata pelajaran Matematika SD dan SMP dalam periode waktu bulan Juli s.d. Desember 2008.
3. Mengirimkan Widyaiswara untuk mengikuti TOT NCT (National Core Team)yang diselenggarakan oleh Direktorat Bindiklat pada bulan Desember 2008. Ada 8 orang Widyaiswara sebagai peserta..
4. Menyelenggarakan TOT PCT (Provincial Core Team) dan DCT (District Core Team) pada bulan Desember 2008.
Tahun 2009
Pada tahun 2009, di bawah koordinasi Direktorat Pembinaan Diklat, PPPPTK Matematika telah mengelola kegiatan BERMUTU sebagai berikut.
1. Rapat Kerja Teknis Penyusunan dan Finalisasi Modul-modul dan Sistem Pelatihan, 26 September s.d. 8 Oktober 2009. Kegiatan mencakup penilaian, editing dan lay outing modul. Sejatinya sebelum rapat, kegiatan telah diawali dengan penulisan modul pada bulan Agustus 2009. Dari rapat telah dihasilkan 20 judul modul (9 judul-SD, 11 judul-SMP). Modul dapat diakses di http://www.p4tkmatematika.com.
2. Pelatihan Penggunaan Modul , tanggal 9 s.d 14 Oktober 2009 dengan sasaran 16 propinsi. 3. National Training bagi Tim Pengembang KKG dan MGMP pada tanggal 15 – 20 Oktober
2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel)
4. ToT PCT KKG dan ToT PCT MGMP, tanggal 21 – 26 Oktober 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel).
5. ToT DCT KKG dan ToT DCT MGMP pada tanggal 27 Oktober s.d 1 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel).
6. ToT KKKS/MKKS dan ToT KKPS/MKPS, tanggal 1 s.d. 6 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel).
7. Monitoring pelatihan KKG dan MGMP di kabupaten/kota oleh Tim Pengembang pada tanggal 12 – 30 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel).
8. Monitoring di KKG dan MGMP oleh Tim Pengembang pada tanggal 12 – 30 November 2009 dengan sasaran region (Jateng dan Sulsel).
Tahun 2010
Sesuai dengan tanggungjawab implementasi program BERMUTU yang telah ditentukan dalam POM, PPPPTK Matematika bertugas mengelola beberapa kegiatan program BERMUTU pada tahun 2010. Kegiatan yang direncanakan sebagai berikut.
No Nama dan
Rencana Waktu Rencana Tujuan Rencana Peserta/ Sasaran
1. Workshop
Pengembangan Modul dan Sistem Pelatihan,
• Mengidentifikasi topik dan judul, modul
• Mengidentifikasi garis besar isi tiap modul dan naskah sistem pelatihan
• Widyaiswara, calon Widyaiswara/staf PPPPTK Matematika
tanggal 15-20 Februari 2010
• Menyusun sistematika isi modul dan naskah rancangan pelatihan
Dari workshop diharapkan dapat diidentifikasi dan diurai garis besar isi minimal 20 judul modul dan 1 naskah rancangan pelatihan.
program BERMUTU dari beberapa propinsi mewakili wilayah barat, tengah dan timur Indonesia
• Dosen Matematika dari LPTK •Banyak peserta: 40 orang 2. Rapat Kerja
• Menyusun modul sehingga siap digunakan dalam kegiatan pelatihan di KKG/MGMP melalui program
BERMUTU
• Menyusun naskah rancangan pelatihan yang akan dikelola oleh PPPPTK Matematika
• Idem nomor 1.
• Banyak peserta: penulisan (42 orang), penilaian (32 orang), editing (21 orang) dan lay outing (21 orang) • Dosen Matematika dari LPTK • Guru (instruktur) wakil PCT dan DCT
KKG/MGMP berlatar belakang matematika dari 16 propinsi mitra program BERMUTU
• Widyaiswara/Calon Widyaiswara/staf PPPPTK Matematika.
• Banyak peserta: 70 orang 4. National Training menyamakan persepsi peserta tentang program kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU • Membangun kemitraan antar lembaga
yang terlibat dalam implementasi program BERMUTU di region Jateng dan Sulsel
• Dinas Pendidikan dan wakil pengelola KKG/MGMP dari 16 kabupaten/kota mitra BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel,
• LPTK, LPMP di Jateng dan Sulsel, • PPPPTK Matematika.
• Banyak peserta: 90 orang dalam 2 angkatan untuk NT Tim Pengembang KKG dan 90 orang dalam 2 angkatan untuk NT Tim Pengembang MGMP 5. ToT PCT bagi
• Meningkatkan kompetensi para PCT dalam memahami modul-modul yang disusun oleh PPPPTK
Matematika dan Dit Bindiklat serta cara penggunaannya kepada tim DCT
• Meningkatkan pemahaman para PCT tentang program kegiatan dan
• PCT (calon PCT) yang terdiri dari unsur LPMP, LPTK, dan guru (instruktur) berlatar belakang Matematika wakil dari 16 propinsi mitra program BERMUTU • Banyak peserta: 100 orang dalam 2
kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program modul yang disusun oleh PPPPTK Matematika dan Dit Bindiklat untuk kegiatan BERMUTU serta cara pembimbingan penggunaannya kepada para guru pemandu di KKG/MGMP
• Meningkatkan pemahaman para DCT tentang program kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU
• DCT (calon DCT) yang terdiri dari unsur LPMP, LPTK, dan guru (instruktur) berlatar belakang Matematika wakil dari 16 propinsi mitra program BERMUTU. • Banyak peserta: 100 orang dalam 2
angkatan untuk ToT DCT bagi KKG dan 100 orang dalam 2 angkatan untuk ToT DCT bagi MGMP
tentang program kegiatan dan kebijakan Ditjen PMPTK (Dit Bindiklat, Dit Prodik, Dit Tendik) dalam rangka implementasi program BERMUTU
• Meningkatkan pemahaman peserta tentang kegiatan BERMUTU yang dikelola oleh PPPPTK Matematika
• Kepala Sekolah wakil KKKS/MKKS dan Pengawas wakil KKPS/MKPS yang wilayah KKG/MGMPnya mengikuti program BERMUTU dari 16
kabupaten/kota mitra program
BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel, • Widyaiswara LPMP dan Dosen LPTK
Jateng dan Sulsel
• Widyaiswara PPPPTK Matematika • Banyak peserta: 70 orang untuk ToT
KKKS/MKKS dan 70 orang untuk ToT KKPS/MKPS
• Mengetahui kinerja dan hambatan yang dihadapi oleh para DCT dalam mendiseminasikan hasil ToT DCT yang telah diikutinya.
• Mendapat masukan terkait ToT DCT yang telah dan akan dilaksanakan oleh PPPPTK Matematika
Responden (2×10 orang × 16 kabupaten/ kota wakil 16 propinsi untuk pelatihan KKG dan MGMP: Wakil alumni ToT DCT oleh PPPPTK Matematika dan peserta
pengimbasan (guru pemandu) di 16 kab/kota mewakili 16 propinsi mitra program
BERMUTU. Petugas persiapan (2×10 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika. Petugas pelaksanaan (2×32 orang petugas pusat dan 2×16 orang petugas daerah untuk KKG dan
(pengolahan data dan pelaporan hasil)
dan pendampingnya) atau PCT/DCT sebagai petugas pusat dan alumni NT sebagai petugas daerah
Petugas pengolahan data (2×5 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika
• Mengetahui kondisi atau proses kegiatan di KKG/ MGMP dan mengidentifikasi hambatan yang dihadapi oleh para pengurus KKG/MGMP terkait pengelolaan kegiatan KKG/MGMP dalam kerangka program BERMUTU
• Membimbing para guru pemandu dan pengurus KKG/MGMP dalam memecahkan permasalahan yang muncul terkait proses kegiatan belajar dan pengelolaan KKG/MGMP dalam kerangka program BERMUTU
Responden (320 orang di 32 KKG dan 320 orang di 32 MGMP): Guru peserta, guru pemandu dan pengurus KKG/ MGMP di 16 kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel. Petugas
persiapan (0 orang): ikut persiapan pada kegiatan monitoring di nomor 8. Petugas pelaksanaan (2×54 orang petugas pusat dan 2×32 orang petugas daerah untuk KKG dan MGMP):unsur PPPPTK Matematika (NCT dan pendampingnya), atau PCT/DCT sebagi petugas pusat dan alumni NT sebagai petugas daerah. Petugas pengolahan data (2×5 orang untuk KKG dan MGMP): unsur PPPPTK Matematika
• Memfasilitasi alumni PCT dalam membantu Tim DCT mengevaluasi KKG/MGMP/KKKS/ MKKS/ KKPS/MKPS
• Mengetahui kondisi dan proses kegiatan di KKG/ MGMP dan mengidentifikasi hambatan yang dihadapi oleh para pengurus KKG/MGMP terkait pengelolaan kegiatan KKG/MGMP dalam kerangka program BERMUTU • Membimbing para guru pemandu
KKG/MGMP dalam memecahkan permasalahan yang muncul terkait proses kegiatan belajar dan pengelolaan KKG/MGMP dalam implementasi program BERMUTU
Responden (50 orang): Guru pemandu dari KKG/MGMP wilayah terpencil dan Guru pemandu, pengurus KKG/MGMP, kepala sekolah/pengawas pendamping di KKG/MGMP yang bukan sasaran pada kegiatan monitoring di no. 9 dari
kabupaten/kota mitra program BERMUTU wilayah Jateng dan Sulsel.
Petugas persiapan (0 orang): ikut persiapan pada kegiatan monitoring di nomor 8 .Petugas pelaksanaan: (54 orang petugas pusat dan 54 orang petugas daerah):unsur PPPPTK Matematika (NCT dan
pendampingnya) sebagi petugas pusat, PCT/DCT sebagai petugas pusat/daerah dan alumni NT sebagai petugas daerah. Petugas pengolahan data (5 orang): unsur PPPPTK Matematika
Penutup
pertama (2008-2012) diharapkan akan mampu membentuk sistem dan pola kegiatan pembinaan dan peningkatan kompetensi dan kinerja guru secara berkelanjutan melalui forum organisasi profesi KKG/MGMP dan KKPS/MKPS serta KKKS/MKKS. Pada suatu saat nanti diharapkan semua propinsi dan kabupaten/kota di Indonesia ini dapat mengadopsi sistem dan pola kegiatan dalam program BERMUTU untuk membina dan meningkatkan kompetensi dan kinerja para guru di wilayah masing-masing. Tulisan ini diharapkan dapat menggugah semangat dan tekad para pembaca untuk ikut menyukseskan program BERMUTU. Untuk warga PPPPTK Matematika, tulisan ini diharapkan dapat memperjelas peran dan tugas masing-masing dalam kegiatan program BERMUTU yang dikelola oleh PPPPTK Matematika sehingga akhirnya dapat berhasil optimal sesuai ketentuan yang telah ditetapkan.
Daftar Pustaka
Depdiknas. 2008. Project Operation Manual (POM) Program BRMUTU. Jakarta: Depdiknas Ditjen PMPTK.2009. Panduan Operasional Tim Inti Peningkatan Profesionalisme Pendidik dan
Tenaga Kependidikan Program BERMUTU. Jakarta: Ditjen PMPTK.
PPPPTK Matematika.2008. Laporan Pengelolaan Kegiatan BERMUTU PPPPTK Matematika Tahun 2008 Yogyakarta: PPPPTK Matematika.
PPPPTK Matematika.2009. Laporan Pengelolaan Kegiatan BERMUTU PPPPTK Matematika Tahun 2009 Yogyakarta: PPPPTK Matematika.
1
Peranan Beda (Selisih) untuk Menentukan Rumus Jumlah
Suatu Deret
Oleh: Markaban
Di Sekolah Menengah Atas maupun Sekolah Menengah Kejuruan terkadang masih dijumpai permasalahan dalam materi pembelajaran barisan dan deret. Permasalahan yang dihadapi guru dalam materi tersebut kadangkala hanya dikarenakan kurang cermat dalam memahami soal, atau pemahaman yang hanya bersifat hafalan sebagaimana yang biasa diterangkan kepada siswa, yaitu menyampaikan materi hanya mengenai deret aritmetika dan geometri saja tanpa pengembangan. Berdasarkan hasil pretes pada kegiatan Diklat Guru Pengembang Matematika Jenjang Dasar yang terkait dengan materi barisan dan deret, sebagian jawaban peserta diklat masih kosong, dan masih perlu kecermatan dalam memahami soal. Di samping itu setelah mendiskusikan materi mengenai ciri-ciri, sifat-sifat, dan cara menentukan suku ke-n barisan aritmetika maupun barisan geometri serta jumlah n suku pertama dari deret aritmetika maupun deret geometri, masih banyak juga peserta diklat yang belum dapat menyelesaikan soal yang bukan merupakan deret aritmetika maupun deret geometri seperti misal menentukan jumlah 25 suku pertama (S25) dari deret: 1 + 3 + 6 + 10 + ... Hal inilah yang kemudian menimbulkan pertanyaan/permasalahan guru: “Bagaimana cara mencari jumlah suatu deret yang bukan deret aritmetika maupun deret geometri?”.
Salah satu cara dalam menentukan rumus umum jumlah n suku pertama dari deret ini adalah dengan memperhatikan beda (selisih) antara dua suku yang berurutan. Bagaimanakah peranan beda tersebut untuk menentukan rumus jumlah suatu deret?
Perhatikan proses pencarian beda (selisih) tetap dari suatu barisan yang dimaksud. Apabila pada satu tingkat penyelidikan belum diperoleh selisih tetap, maka penyelidikan dilakukan pada tingkat berikutnya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisan disebut berderajat satu (linear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat penyelidikan, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat penyelidikan dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
