MAKALAH MAKALAH
INTEGRAL GARIS INTEGRAL GARIS
Disusun untuk Memenuhi Tugas Kalkulus Lanjut 2 Disusun untuk Memenuhi Tugas Kalkulus Lanjut 2
Dosen Pengampu : Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd Dosen Pengampu : Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd
oleh oleh Kelompok IV : Kelompok IV : 1.
1. Achmad Fauzan Achmad Fauzan (4101409004(4101409004)) 2.
2. Arina Dwi Arina Dwi Nur Nur Afriyani Afriyani (4101409016(4101409016)) 3.
3. Jefri Jefri Mahendra Mahendra Kisworo Kisworo (4101409018(4101409018)) 4.
4. Hanifah Mawaddah Hanifah Mawaddah (4101409046(4101409046)) 5.
5. Taulia Damayanti Taulia Damayanti (4101409050(4101409050))
Rombel 04 Rombel 04
Hari Kamis pukul 07.00 Hari Kamis pukul 07.00
JURUSAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
1.1.
1.1. DeskripsiDeskripsi
Makalah ini akan membahas tentang konsep dan cara menghitung massa, Makalah ini akan membahas tentang konsep dan cara menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat
pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua.dua.
1.2.
1.2. PrasyaratPrasyarat
Materi prasyarat yang diperlukan adalah
Materi prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut:sebagai berikut:
1.
1. Geometri DasarGeometri Dasar 2.
2. Kalkulus 1, Kalkulus 2, dan Kalkulus Lanjut 1Kalkulus 1, Kalkulus 2, dan Kalkulus Lanjut 1 3.
3. Materi sebelumnya tentang integral lipat dua dalam koordinat kartesiusMateri sebelumnya tentang integral lipat dua dalam koordinat kartesius dan koordinat kutub
dan koordinat kutub 1.3.
1.3. Rumusan MasalahRumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut:
Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut:
1.
1. Bagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada kepingBagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar?
datar?
2.
2. Bagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia padaBagaimana konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada koordinat kartesius, koordinat silinder, dan koordinat bola?
koordinat kartesius, koordinat silinder, dan koordinat bola?
1.4.
1.4. Kompetensi Dasar dan IndikatorKompetensi Dasar dan Indikator
Kompetensi Dasar : Memahami dan menghitung massa, pusat massa, dan Kompetensi Dasar : Memahami dan menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua.
momen inersia dengan integral lipat dua.
Indikator : Indikator :
1.
1. Mengetahui dan memahami konsep massa, pusat massa, dan momenMengetahui dan memahami konsep massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar, koordinat kartesius, koordinat silinder, dan inersia pada keping datar, koordinat kartesius, koordinat silinder, dan koordinat bola.
koordinat bola.
2.
2. Dapat menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia pada kepingDapat menghitung massa, pusat massa, dan momen inersia pada keping datar dengan menggunakan integral lipat dua.
datar dengan menggunakan integral lipat dua.
1.5.
1.5. Tujuan Tujuan PembelajaraPembelajarann
Mahasiswa mampu memahami dan dapat mencari massa, pusat massa, dan Mahasiswa mampu memahami dan dapat mencari massa, pusat massa, dan momen inersia dengan integral lipat dua.
momen inersia dengan integral lipat dua.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 MASSA DAN PUSAT MASSA SUATU KEPING DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Selain untuk menghitung isi benda padat, salah satu penggunaan lain dari integral lipat dua adalah untuk menentukan massa, pusat massa, dan momen inersia suatu keping datar dengan rapat masa yang tak homogen.
Rapat massa keping di setiap titiknya bergantung pada letak titik tersebut, yaitu merupakan fungsi dua peubah. Kerapatan massa keping datar yaitu besar massa per satuan luas, dapat dinyatakan sebagai fungsi dalam
dan
biasanya disimbolkan dengan
(
,
).Dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa tak homogen yang berbentuk daerah
=
,≤≤
. ,≤≤
, dimana
dan
kontinupada
,
……(gambar.1)atau
=
,≤≤
,≤≤
, dimana
dan
kontinupada [
,
] ……(gambar.2)Rapat massa di setiap titik pada keping (
,
) pada keping
adalah
(
,
)di mana
merupakan fungsi kontinu pada D.Kedua keping datar tersebut diperlihatkan pada gambar berikut:
gambar 1 gambar 2
X d
c
=
(
)
=∅
(
)o X o
b a
=
(
)
=∅
(
)
2.1.1 Kontruksi Rumus Massa, Momen Terhadap Sumbu Koordinat dan Pusat Massa Keping
.Buatlah jaring
∆
untuk keping
yang terdiri dari
buah persegi panjang yang semuanya beririsan dengan daerah
sepertidiperlihatkan pada gambar dibawah ini
Komponen jaring yang ke-i adalah
∆ = ∆ ∆
Ukuran jaring ke-i didefinisikan sebagai persegi panjang diagonal terbesar dari persegi panjang
∆ ditulis dengan lambang
| |.
D
∆
∆
∆
0
=
(
)
=
(
)D
=
(
)∆
∆
0
=
(
)∆
Gambar 1
Gambar 2
Pilihlah titik (
, ) pada komponen jaring ke-i.
Keping
dapat dipandang sebagai sistem
partikel yang terletak di titik ,
,
= 1, 2 ,…
,
. Jika massa partikel ke-i adalah ∆ ,
maka
∆ = , ∆
∆
Massa sistem n partikel tersebut adalah
∆ =1
=
=1
, ∆
Bentuk ini merupakan jumlah Riemann yang mempunyai limit karena
kontinu pada
.2.1.2 Definisi Massa dan Pusat Massa Suatu Keping Datar dalam Koordinat Kartesius
Massa keping
didefinisikan sebagai limit dari jumlah Riemann ini, yaitu
= lim|∆
|→
0 =1
, ∆
=
(
,
)
Momen Massa Keping DTerhadap Sumbu X
Momen massa keping terhadap sumbu
didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann dari momen massa sistem n partikel terhadapsumbu
, yaitu = lim|∆
|→
0 =1
, ∆
, ∆
=
(
,
)
= (
,
)
= (
,
)
,
)
Momen Massa Keping DTerhadap Sumbu Y
Momen massa keping terhadap sumbu
didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann dari momen massa sistem
partikel terhadapsumbu
, yaitu = lim|∆
|→
0 =1
, ∆
, ∆
=
(
,
)
Pusat Massa Keping D
Pusat massa keping
adalah titik (
,
), dimana
= dan
=
CATATAN
Perhatikan bahwa untuk menghitung integral lipat duanya kita mengambil proyeksi daerah
terhadap sumbu
atau terhadap sumbu
. Perhatikan kembali kedua gambar pada masalah di atas, yang pertama bila proyeksinya pada sumbu
adalah selang [
,
] sedangkan yang kedua, bila proyeksinya terhadap sumbu
adalah selang [
,
]. Untukmemudahkanperhitungannya, seringkali kita harus membuat transformasi ke koordinat kutub.
2.2 MOMEN INERSIA PADA SUATU KEPING DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Momen suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap disebut momen pertama, yang didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel dengan jaraknya terhadap titik atau garis tersebut. Sekarang kita akan
mendefinisikan momen kedua dengan cara serupa tetapi jaraknya diganti oleh kuadrat jaraknya.
= (
,
)
,
)
, =
,
Momen kedua suatu partikel terhadap titik atau garis yang tetap, dikenal sebagai momen inersia, didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kuadrat jarak partikel terhadap titik atau garis itu. Berikut ini definisinya secara matematis.
Definisi Momen Inersia, Momen inersia dari partikel dengam massa
dan jaraknya
satuan dari garis
, ditulis , didefinisikan sebagai
=
2
Seperti halnya dengan momen pertama untuk keping datar
, momeninersia dari keping
terhadap kedua sumbu koordinat didefinisikan sebagai limit jumlah dari momen inersia sistem
-partikel terhadap kedua sumbu koordinat itu. Sistem
-partikel tersebut masing-masing terletak di titik ( , ) dengan rapat massa
( , ) .
( , ) .
Dipunyai sebuah keping datar dengan rapat massa terdistribusi secara kontinu berbentuk daerah tertutup
yang dapat ditulis sebagai
= {(
,
)|≤≤
,≤≤
(
}, di mana∅
dan
kontinu pada [
,
]atau
= {(
,
)|≤≤
,≤≤
(
}, di mana∅
dan
kontinu pada [
,
]Rapat massa di setiap titik (
,
) pada keping
adalah
(
,
), dimana
merupakan fungsi kontinu pada
, maka momen inersia keping
terhadap sumbu koordinat dan titik asal
didefinisikan sebagai berikut Momen Inersia Terhadap Sumbu
= lim∆→
0 =1
2 , ∆
2 , ∆
=
2
,
= 2
,
,
Momen Inersia Terhadap Sumbu
= lim|∆
|→
0 =1
2 , ∆
2 , ∆
=
2
,
Momen Inersia Terhadap Titik
Jari-jari kitaran
Jari-jari kitaran (radius of gyration) suatu keping
terhadap suatu sumbu didefinisikan sebagai bilangan positif
yang memenuhidi mana
adalah adalah momen inersianya terhadap sumbu itu dan
adalah massa kepingnya.
2.3 MASSA, PUSAT MASSA, DAN MOMEN INERSIA SUATU BENDA DALAM KOORDINAT KARTESIUS
Salah satu aplikasi dari integral lipat tiga adalah untuk menentukan massa dan pusat massa dari benda pejal berdimensi tiga. Konsep massa dan pusat massa dikembangkan dari konsep yang sama pada pelat datar yang sangat tipis yang disebut lamina. Tiga macam sistem koordinat dapat digunakan dalam menghitung integral, namun pemilihan sistem koordinat yang akan dipakai harus tepat agar dalam melakukan integral menjadi lebih mudah.
= 2
,
,
=
+
2 =
Konsep massa dan pusat massa digeneralisasi secara mudah ke daerah-daerah benda pejal. Besar kerapatan massa dari benda pejal berdimensi tiga adalah menyatakan besarnya massa tiap satuan volum.
Khusus benda pejal yang homogen kerapatan massa pada titik (
,
,
) biasadinotasikan dengan
(
,
,
) berupa konstanta. Saat ini, proses yang mengarah pada rumus integral yang benar telah dikenal dengan baaik dan dapat diringkas dalam sebuah motto, yaitu iris, hampiri, integralkan.Sebagaimana dalam pembahasan pusat massa lamina, dalam benda pejal juga dikenal istilah total massa, total momen inersia, dan pusat massa.
Dengan langkah penurunan yang serupa seperti pada lamina, kita peroleh beberapa rumus untuk benda pejal berikut
Total Massa
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
Momen Inersia Terhadap Bidang
.
= ,
,
= ,
,
,
=
= 2 +
2
,
,
2
,
,
Total Momen Massa Terhadap Sumbu
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
Momen Inersia Terhadap Bidang
.Total Momen Massa Terhadap Sumbu
Pusat Benda Relatif Terhadap Sumbu
Momen Inersia Terhadap Bidang
.Pusat Massa Benda Pejal
