LIMIT
Laporan Praktikum Kalkulus Dasar
Oleh : Siti Fatimah 221810201075
LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER
2022
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali ditemukan kata-kata hampi, mendekati, harga batas dan sebagainya. Pengertian tersebut dianalogikkan dalam pengertian limit.
Salah satu kompetisi yang perlu dikembangkan adalah menguasai bahan yang telah di dapatkan, bahan tersebut merupakan ruang lingkup yang berkaitan dengan limit fungsi, perhitungan diferensial, dan integral. Bahan imi menyajikan tentang konsep-konsep dasar materi khususnya tentang limit, diferensial, dan integral guna mengembangkan keterampilan siswa dalam menentukan dan menggunakan limit, diferensial, dan integral.
Berdasarkan kepentingan tersebut, praktikan akan diberi pengetahuan atau materi tentang limit serta cara menyelesaikan operasi hitungnya dengan menggunakan program matlab ini (Ivan.2013).
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apa yang dimaksud denganli limit?
1.2.2 Apa saja sifat-sifat limit?
1.2.3 Bagaimana cara menyelesaikan limit meggunakan program MATLAB?
1.3 Tujuan
1.3.1 Agar mahasiswa mampu menuliskan syntax limit dalam MATLAB
1.3.2 Agar mahasiswa mampu mengopersikan limit menggunakan operasi-operasi matematika dalam MATLAB
1.4 Manfaat
Manfaat dari praktikum kali ini adalah agar mahasiswa dapat mempelajari lebih dalam tentang bagaimana cara menuslikan syntax limit pada MATLAB, serta cara mengoperasikan limit pada MATLAB.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukkan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukkan p bila f(x) “dekat” padaL ketika x dekat dengan p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukkan yang cukup dekat dengan p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukkan yang dekat dengan p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit. Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19 (Tutor.2012).
Suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati suatu titik a. Hal tersebut dituliskan suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekaiti satu nilai tertentu c, ditulis dengan notasi = L memiliki arti “untuk setiap x yang cukup dengan a tetapi x tidak sama dengan a, nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L”. Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variable fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses pendekatan ini bisa dari kiri (disebut limit kiri) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan). Suatu fungsi akan dikatakan memiliki limit apabila limit kiri dan kanan nya sama (Heri.2005).
Limit memiliki teorema tersendiri, teorema limit yakni : 1. Limit suatu fungsi konstanta nilainya sama dengan konstanta itu, 2. Limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan perubahnya, 3.Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi. Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi, 4.
Limit hasil konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu, 5. Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limmit fungsi, 6.
Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan cattan limit penyebut tak boleh sama dengan nol, 7. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu, 8. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu (Widyanto.2009).
Limit memiliki sifat-sifat yang kekontinuan fungsi di suatu interval yaitu : 1. Jika fungsi F kontinu pada [a,b], maka f’ terbatas pada [a,b], 2. Teroma nilai antara (TNA). Jika fungsi f’
kontinu pada [a,b] dan k terletak antara f(a) dan f(b), maka terdapat ce[a,b] sedemikian hingga f(c)=k., 3. Akibat TNA, jika f’ kontinu pada [a,b] dan f’(a).f(b)<0, maka terdapat c €[a,b]
sedemikian f(c)=0 (Heri.2005).
Fungsi dapat dikatakan kontinu disetiap titik jika grafik fungsi berkesinambungan / tidak terputus. Jika grafik fungsi terputus di x=a maka fungsi tersebut dikatakan diskontinu di x=a. Untuk menunjukkan suatu funsi f(x) kontinu di x=a kita cukup menunjukkan bahwa : 1.
f(a) ada, 2. Nilai limitnya ada, 3. Nilai f(a) sama dengan nilai limitnya, 4. Jika salah satu saja syarat diatas tidak dipenuhi maka f(x) dikatakan diskontinu di x=a. Untuk mengecek apakah suatu fungsi kontinu disetiap titik atau tidak perlu mengecek semua titik yang ada, cukup dilakukan pengecekan pada saat perpindahan titik saja (Purcell.1987).
Turunan (diferensial) merupakan pengembangan konsep dari limit yang sudah dibahas sebelumnya. Misalkan f terdefinisi pada interval terbuka yang memuat c, maka turunan fungsi f di titik c ditulis dengan f’ (Heri.2005).
BAB III METODOLOGI 3.1 Alat dan Bahan
3.1.1 Alat 1. Laptop 3.1.2 Bahan
1. Software matlab 3.2 Cara Kerja
1. Dihidupkan laptop yang akan digunakan praktikum 2. Klik tombol Start All Program matlab pada laptop 3. Ditunggu sampai tampilan awal matlab muncul 4. Melakukan operasi limit fungsi
5. Jika sudah selesai, beri nama file tersebut kemudian simpan dengan mengeklik Save As
BAB IV PEMBAHASAN
Pada praktikum kali ini kita mempelajari tentang cara penulisan serta cara penyelesaian pada operasi limit. Limit adalah suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu titik a.
Hal tersebut dituliskan suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu nilai tertentu c, ditulis dengan notasi = L memiliki arti “untuk setiap x yang cukup dekat dengan a tetapi x tidak sama dengan a, nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L”. Jika penulisan limit dalam maple maka menggunakan rumus ‘Limit’ dengan awalan huruf besar L karena untuk penulisan seperti :
> Limit(f(x),x=a);
> Limit (5*x^2-3*x,x=2);
Jika ingin menampilkan hasil limit maka menggunakan rumus ;limit’ dengan ‘l’ awalan kecil di depan, seperti :
> limit(5*x^2-3*x,x=2);
Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variab;e fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses pendekatan ini bisa dari kiri dan bisa juga dari kanan. Dalam penulisan limit kiri serta limit kanan pada maple, hanya menambahi bagian belakang dengan left jika kiri maupun right jika kanan, seperti ;
> Limit(5*x^2-3*x,x=2,left);
> Limit(5*x^2-3*x,x=2,right);
Tanda positif menunjukkan pendekatan limit dari kanan dan tanda negatif menunjukkan pendekatan limit dari kiri. Untuk mengetahui hasil seperti diatas maka menggunakan rumus
‘limit’ dengan huruf kecil semua, suatu fungsi akan dikatakan memiliki limit apabila limit kiri dan limit kanannya sama, seperti ;
>limit(5*x^2*3*x,x=2,left)
> limit(5*x^2*3*x,x=2,right)
Seperti pada limit lainnya, dalam menyelesaikan matlab harus mendefinisikan variable x terlebih dahulu menggunakan sintak x= sym(‘x’). Kemudian dilanjutkan dengan menukiskan limitnya, comtoh dari limit dapat dilihat pada gambarr 4.1 dibawah ini.
Gambar 4.1 Contoh Limit
Berdasarkan gambar 4.1, setelah menuliskan sintax pendefinisian x dan fungsinya, langkah selanjutnya adalah mencari nilai limitnya. Mencari nilai turunan dengan sintax limit (nama fungsi). Pada gambar 4.1 menggunakan fungsi f(x), sehingga menuliskan sintax fungsi turunannya yaitulimit (f(x)) dan hasil turunannya punakanter definisi oleh matlab. Perlu diingat untuk berhati-hati dalam penulisan operasi pada fungsinya, karena jika ada kekeliruan akan membuat matlab tidak bisa membacanya dan menghasilkan error.
Berdasarkan praktikum yang telah dilakukan, berikut adalah jenis-jenis command khusus, penulis syntax dan berbagai fungsi limit trigonometri.
Gambar 4.2 Penyelesaian Command Solve
Gambar 4.3 Penyelesaian Command Expand
Gambar 4.4 Penyelesaian Command simplify
Gambar 4.5 Penyelesaian Command Factor
Gambar 4.6 Penyelesaian Trigonometri Sinus
Gambar 4.7 Penyelesaian Limit Fungsi Arcus Trigonometri
Berbagai limit dalam matematika yang umum kita pergunakan telah terdefinisi pada MATLAB, meliputi limit kiri, limit kanan, trigonometri, pembulatan, dan limit yang berkaitan dengan bilangan kompleks.
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari praktikum kali ini adalah :
1. Untuk menggunakan command khusus atau perintah khusus dapat menggunakan perintah solve, expand, simplify, dan factor.
2. Dalam pembuatan fungsi limit perlu memasukkan syntax limit yaitu limit (fungsi, variable, nilai hamparan) dan diakhir namun sebelum kurung ditutup ditambahkan ‘left’
atau ‘right’ untuk menguji kontinu tidaknya fungsi tersebut.
5.2 Saran
Adapun saran untuk praktikum selanjutnya adalah mahasiswa harus lebih siap dengan mempelajari modul terlebih dahulu di hari sebelumnya. Hal ini bertujuan supaya mahasiswa tidak terlalu bingung saat melakukan praktikum. Selain itu, mahasiswa harus bisa lebih memahami apa yang telah disampaikan oleh asisten supaya tidak menghambat jalannya praktikum.
DAFTAR PUSTAKA
Heri, Robertus.2005.Buku Ajar Kalkulus 1.Semarang : Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro Semarang.
Ivan, j.2013.Limit Fungsi.
Purcell, Edwin J.1987.Kalkulus dengan Geometrik Analitik.New York : Prentice-Hall.Inc.
Tutor, M.2012.Limit Fungsi.
Widyanto, Ardy.2009.Limit matematika.
TUGAS 1. Carilah nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini a. 𝑓(𝑥) = lim𝑥→0 −2𝑥 / |𝑥|
b. 𝑓(𝑥) = lim𝑥→4 3 √𝑥 2 + 5
2. lim𝑥→9 𝑥−9 / 𝑥 2
3. lim 𝑡→2 𝑡 ^2−5𝑡+6 / 𝑡^ 2−𝑡−2
4. lim𝑥→0 sin 4𝑥+sin2𝑥 / 3𝑥 cos x
ERROR DAN SOLUSI
ERROR 1
Terjadi kesalahan pada penulisan diatas hingga terjadi error, penulisan yang benar terdapat pada gambar dibawah.
SOLUSI 1
ERROR 2
Terjadi error karena ketidakjelasan tanda yang dimasukkan pada bagian pendeskripsian syntax variable.
SOLUSI 2
Dibenahi dalam penulisan tanda pada pendeskripsian syntax
