LAPORAN ANALISIS NUMERIK METODE NEWTON-RAPHSON DAN SECANT

LAPORAN ANALISIS NUMERIK

METODE NEWTON-RAPHSON DAN SECANT

Oleh:

Destiana Dwi Anggreini (A1C020006) Dosen Pengampu:

Elwan Stiadi, M.Pd.

Ringki Agustinsa, S.Pd., M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS BENGKULU

2023

A. Laporan Praktikum “Metode Newton-Raphson”

1. Tujuan Praktikum

Tujuan dari praktikum ini adalah praktikan dapat menyelesaikan permasalahan- permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan atau algoritma, serta dapat menerapkan metode newton-raphson untuk mencari akar- akar suatu persamaan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), sehingga mendapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diizinkan.

2. Metode Newton-Raphson

Metode Newton Rapshon merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut. Metode ini dimulai v dengan mencari garis singgung kurva pada titik xi ,f (xi ). Perpotongan garis singgung dengan sumbu x yaitu Xi+1, akan menjadi nilai x yang baru, dengan cara dilakukan berulang-ulang (iterasi).

Gambar 1. Grafik Metode Newton Raphson

Telah diketahui bahwa gradien garis singgung kurva adalah turunan pertama dari kurva tersebut, yaitu f^'(x) Sehingga persamaan garis singgungnya :

f(x i)−y=f '(x i)(x i−x)

Garis ini melalui titik (x_i+1,0) , maka didapat:

f(x i)−0=f '(x i)(x i−x_i+1)

⇔ f(x i)

f '(x i)=(x i−x_i+1)

⇔x_i+1=x i− f(x i) f '(x i)

x_i+1 digunakan untuk menaksir nilai akar dari f (x) dan pendekatan yang lebih baik untuk akar dari f(x). Metode ini banyak digunakan untuk akar dari suatu persamaan.

3. Perhitungan Metode Newton Raphson

Langkah Perhitungan Metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:

 Definisikan fungsi x

f¿ ) yang akan dicari akarnya.

 Tentukan harga awal / titik awal (x0).

 Tentukan toleransi kesalahan (ɛ).

 Cari turunan fungsi f(x).

o Jika f ’(x)=0, maka metode newton raphson tidak dapat dilanjutkan.

 Hitung nilai fungsi f(x) dan f ’(x) dengan menggunakan titik awal.

 Hitung nilai ^xi+1 menggunakan rumus : o x_i+1=x i− f(x i)

f '(x i)

 Hitung kesalahan

|

^{xi+1x−x i}i+1

|

dan bandingkan dengan toleransi kesalahan (ɛ).

 Jika

|

^xi+1x−i+1^{x i}

|

^≤ɛ maka dipilih akar persamaan x_i+1 o Jika

|

^xi+1x−i+1^{x i}

|

^>ɛ maka iterasi dilanjutkan

 Akar persamaannya adalah x_i+1 yang terakhir diperoleh.

4. Kegiatan Praktikum

Tentukan akar-akar penyelesaian f(x)=2x²−10x−9 untuk galat (ε)=0,001 atau 0,1 % dengan ^x0=6 Menggunakan perhitungan manual, excel, dan bantuan sofware Matlab.

5. Langkah Pengerjaan Menggunakan Matlab

1. Input New Script nya dengan script untuk fungsinya dahulu function y=f(x)

y=2*x^2-10*x-9;

end

2. Save file script fungsi dengan nama file f

3. Input New Script nya dengan script untuk fungsinya dahulu function y=f_diff(x)

y=4*x-10;

end

4. Save file script fungsi dengan nama file f_diff

5. Input Input New Script lalu input script untuk mencari akar-akar penyelesaian fungsi sebelumnya dengan

clc;

clear;

disp('Metode Newton-Raphson');

disp('Tekan Enter untuk Lanjut');

disp('========================');

f=input('fungsi f:');

f_diff=input('turunan fungsi f:');

x1=input('masukkan nilai awal');

imax=input('masukkan toleransi maksimal');

galat1=input('masukkan galat toleransi');

iter=0;

fprintf('\n Iterasi Akar f(Akar) Galat\n');

for k=1:imax iter=iter+1;

x2=x1-(feval(f,x1)/feval(f_diff,x1));

galat=abs((x2-x1)/x2);

x1=x2;

y=feval(f,x1);

fprintf('%10.0f %6.10f %6.10f

%6.10f\n',[iter;x1;y;galat])

if (galat<galat1||(iter>imax)),break,end end

fprintf('Akar penyelesaiannya adalah %6.10f',x1)

6. Klik enter untuk menjalankan program dan masukkan input yang sesuai 7. Outputnya akan muncul pada command window

6. Langkah Pengerjaan Menggunakan Perhitungan Manual SOAL

Tentukan penyelesaian dari f(x)=2x²−10x−9 f^'(x)=4x−10 dengan

xₒ=6

ɛ =0.001=0,1%ₜ Jawaban :

Iterasi 1:

xₒ=6 f(xₒ)=2(6)²−10(6)−9=¿ 3 f^'(xₒ)=4(6)−10=14

x₁= xₒ−f (xₒ)

f (xₒ) = 6− 3

14=6−0,214286=5,785714

ɛₐ=

|

^xᵢ₊xᵢ^₁−₊₁^xᵢ

|

^{x100 %=}

|

^x₁−x₁^xₒ

|

^x100

=

|

^5,785714−65,785714

|

^{x100 % =}

|

^−0,214295,87367

|

^{x100 % = 3,7037 %}

Iterasi 2

x₁= 5,785714 f(xₒ)=2(5,785714)²−10(5,785714)−9=0,09184 f^'(xₒ)=4(5,785714)−10=13,1429

x₂= x₁− f(x₁)

f (x₁) = 5,785714−0,09184

13,1429=−5,785714=5,778727

ɛₐ=

|

^xᵢ₊xᵢ^₁−₊₁^xᵢ

|

^{x100 %=}

|

^x₂−x₂^x₁

|

^x100

=

|

5,778727−5,785714

5,778727

|

^{x100 % =}

|

5,778727^0,00699

|

^{x100 % =}

0,12092 %

Karena 0,12092 %<1 %

Sehingga didapat akar persamaanya adalah 5,778727

7. Langkah Pengerjaan Menggunakan Excel

x_i x_i+1 ε_p

1 6 5,785714 3,703704

2 5,785714 5,778727 0,120919 STOP 3 5,778727 5,778719 0,000129 <0,1%

8. Hasil Pengolahan Data Menggunakan Matlab

Diperoleh nilai akar persamaan nya adalah 5.7787267081 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001

9. Hasil Pengolahan Data Menggunakan Perhitungan Manual dan Excel Iteras

i ^{xi xi+1 εp}

1 6 5,785714 3,703704 2 5,785714 5,778727 0,120919 3 5,778727 5,778719 0,000129

Diperoleh nilai akar persamaan nya adalah 5,778727 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001

10. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pengerjaan praktikum diatas dari kedua pengerjaan diperoleh hasil yang sama. Dengan peroleh nilai akar persamaan nya adalah ≈5,778727 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001 . Oleh karena itu, untuk mencari akar penyelesaian persamaan ini bisa dilakukan dengan menggunakan Matlab, excel ataupun perhitungan manual.

B. Laporan Praktikum “Metode Secant”

1. Tujuan Praktikum

Tujuan dari praktikum ini adalah praktikan dapat menyelesaikan permasalahan- permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan atau algoritma, serta dapat menerapkan metode secant untuk mencari akar-akar suatu persamaan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), sehingga mendapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diizinkan.

2. Metode Secant

Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan keiringan/slope.

3. Perhitungan Metode Secant:

Langkah Pengerjaan Metode Secant yaitu:

 Definisikan fungsi f(x)

 Definisikan toleransi error (ε) dan iterasi maksimum (n)

 Masukkan dua nilai pendekatan awal yang diantaranya terdapat akar yaitu x_i−i

(

^x0

)

^{dan x}i

(

^xi

)

 Tentukan nilai pendekatan awal ^x0 .

 Hitung f(x₀) dan ^f

(

^xi

)

 Untuk iterasi I = 1 sampai dengan n atau

|

^f

⁽

^x1

) |

^{≥ ε}

o Dengan menghitung ^xi+1 dan f(x_i+1)

 x_i+1=x_i−

(

^xi−x_i−1

)

^f

(

^xi

)

f

(

^xi

)

^−f

(

^xi−1

)

 Iterasi berhenti jika panjang selang baru

|

^xi+1−x_i

|

^<ε

 Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

4. Kegiatan Praktikum

Tentukan akar-akar penyelesaian f(x)=2x²−10x−9 untuk galat (ε)=0,001 atau 0,1 % dengan x₀=5 dan x₁=6 Menggunakan perhitungan manual, excel, dan bantuan sofware Matlab.

5. Langkah Pengerjaan Menggunakan Matlab

1. Input New Script nya dengan script untuk fungsinya dahulu function y=f(x)

y=2*x^2-10*x-9;

end

2. Save file script fungsi dengan nama file f

3. Input Input New Script lalu input script untuk mencari akar-akar penyelesaian fungsi sebelumnya dengan

clc;

clear;

disp('Metode Secant');

disp('Tekan Enter untuk Lanjut');

disp('========================');

f=input('fungsi f:');

x0=input('masukkan nilai pertama');

x1=input('masukkan nilai kedua');

imax=input('masukkan toleransi maksimal');

galat1=input('masukkan galat toleransi');

iter=0;

fprintf('\n Iterasi Akar f(Akar) Galat\n');

for k=1:imax iter=iter+1;

x2=x1-((feval(f,x1)*(x1-x0))/(feval(f,x1)-feval(f,x0)));

galat=abs((x2-x1)/x2);

x1=x2;

y=feval(f,x1);

fprintf('%8.0f ; %6.8f %6.8f

%6.8f\n',iter,x1,y,galat)

if (galat<galat1||(iter>imax)),break,end end

fprintf('Akar penyelesaiannya adalah %6.10f',x1)

4. Klik enter untuk menjalankan program dan masukkan input yang sesuai 5. Outputnya akan muncul pada command window

6. Langkah Pengerjaan Menggunakan Perhitungan Manual Iterasi 1:

x₀=5 x₁=6

f

(

^x0

)

^{=f(5)=2x2−10x−9=2(5)2−10(5)−9=−9}

f

(

^x1

)

^{=f(6)=2x2−10x−9=2(6)2−10(6)−9=3}

x₂=x_i−

(

^xi−x_i−1

)

^f

(

^xi

)

f

(

^xi

)

^−f

(

^xi−1

)

^=x1−

(

^x1−x₀

)

^f

(

^x1

)

f

(

^x1

)

^−f

(

^x0

)

¿6−(6−5).3 3−(−9)=5,75

ε_a=

|

^xi+1xi+1^−xi

|

^{×100 %=}

|

^x1−x1^x0

|

^{×100 %=}

^|

⁶⁻⁵⁶

^|

^{×100 %=}4,347826087 % Iterasi 2: x₀=6

x₁=5,75

f

(

^x0

)

^{=f(6)=2x2−10x−9=2(6)2−10(6)−9=3}

f

(

^x1

)

^{=f(5,75)=2x2−10x−9=2(5,75)2−10(5,75)−9=−0,375}

x₂=x_i−

(

^xi−x_i−1

)

^f

(

^xi

)

f

(

^xi

)

^−f

(

^xi−1

)

^=x1−

(

^x1−x₀

)

^f

(

^x1

)

f

(

^x1

)

^−f

(

^x0

)

¿5,75−(5,75−6).(−0,375)

(−0,375)−3 =5,7777777778

ε_a=

|

^xi+1xi+1^−xi

|

^{×100 %=}

|

^x1−x1^x0

|

^{×100 %=}

^|

5,7777777778−6

6

|

^×100 %=0,480769 % Karena 0,480769 %<1 %

Sehingga didapat akar persamaanya adalah 5,7777777778 7. Langkah Pengerjaan Menggunakan Excel

x i x_i+1 f(x i) f(xi+1) Ea(%)

5 6 −9 3

6 5,75 3 −0,375 4,347826087

5,75 5,7778 −0,375 −0,01234 0,480769231 STOP 5,7778 5,7787 −0,01234 5,43232E 0,016363934 ¿0,1 %

8. SSHasil Pengolahan Data Menggunakan Matlab

Diperoleh nilai akar persamaan nya adalah 5.7787 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001

9. Hasil Pengolahan Data Menggunakan Perhitungan Manual dan Excel

x i x_i+1 f(x i) f(x_i+1) Ea(%)

1 5 6 −9 3

2 6 5,75 3 −0,375 4,347826087

3 5,75 5,7778 −0,375 −0,01234 0,480769231

4 5,7778 5,7787 −0,01234 5,43232E 0,016363934

Diperoleh nilai akar persamaan nya adalah 5,7787 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001

10. Kesimpulan

Berdasarkan hasil pengerjaan praktikum diatas dari kedua pengerjaan diperoleh hasil yang sama. Dengan peroleh nilai akar persamaan nya adalah ≈5,7787 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001 . Oleh karena itu, untuk mencari akar penyelesaian persamaan ini bisa dilakukan dengan menggunakan Matlab, excel ataupun perhitungan manual.