Makalah Metode Numerik

Makalah Metode Numerik

Makalah Metode Numerik

AKAR PERSAMAAN

AKAR PERSAMAAN LINEAR DAN

LINEAR DAN

NON-LINEAR

NON-LINEAR

DISUSUN OLEH:

DISUSUN OLEH:

KELOMPOK 2

KELOMPOK 2

A

AL

LIIF

FK

KA

A !

!E

EN

ND

DA

AN

NI

I P

PU

U"

"R

RII

##H

H2

22

2$

$$

$%

%&

&&

&%

%''

P

PU

U"

"R

RI

I (

(U

UL

LA

AN

ND

DA

AR

RII

##H

H2

22

2$

$$

$%

%&

&$

$%

%''

M

MU

UH

HA

AM

MM

MA

AD

D S

SIID

DII)

) "

"O

OL

LL

LE

EN

N*

*

##H

H2

22

2$

$$

$%

%&

&$

$+

+''

,

,E

EL

LL

LA

A P

PR

RA

A"

"II(

(II

##H

H2

22

2$

$$

$%

%&

&2

2%

%''

N

NU

UR

R A

AN

NN

NIIS

SA

A M

MU

UL

L

A

A(

(A

A"

"II

##H

H2

22

2$

$$

$%

%.

.&

&/

/''

N

NU

UR

R 

A

A)

)IIE

EN

N 00A

A

A

A

##H

H2

22

2$

$$

$%

%/

/&

&1

1''

 JURUSAN FISIKA PRO

 JURUSAN FISIKA PROGRAM STUDI GEOFIS

GRAM STUDI GEOFISIKA

IKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

UNIVERSITAS HASANUDDIN

2016

2016

Kata Pengantar

Kata Pengantar

Pu

Puji ji sysyukukur ur pepenunulilis s ucucapapkakan n kekehahadidirat rat AlAllalah h SuSubhbhananahahu u wawatata’al’ala, a, yayang ng tetelahlah melimpahkan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini melimpahkan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini dia

diajukjukan an gunguna a memmemenuenuhi hi tugtugas as prepresentsentase ase matmata a kulkuliah iah AnAnalisalisis is SinSinyalyal, , menmengengenai ai TTeeriri Sis

Sistem tem !in!inearear. . TTererima ima kaskasih ih penpenuliulis s samsampaipaikan kan kepkepada ada dsdsen en matmata a kulkuliah iah yayang ng telatelahh  berdedikasi dalam

 berdedikasi dalam penyelesaian makalah penyelesaian makalah ini serta ini serta kepada semua kepada semua pihak yang pihak yang telah membantutelah membantu secara langsung maupun tak langsung sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan secara langsung maupun tak langsung sehingga makalah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya.

waktunya.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. "leh karena itu, kritik dan saran yang bersi#at membangun sangat diharapkan, sekecil apapun "leh karena itu, kritik dan saran yang bersi#at membangun sangat diharapkan, sekecil apapun akan penulis perhatikan dan pertimbangkan guna penyempurnaan dalam pembuatan makalah akan penulis perhatikan dan pertimbangkan guna penyempurnaan dalam pembuatan makalah yang akan datang.

yang akan datang.

Semga makalah ini mampu memberikan nilai

Semga makalah ini mampu memberikan nilai tambah bagi pembacanya dan juga berman#aattambah bagi pembacanya dan juga berman#aat untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

untuk pengembangan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Makassar, $ebruari %&'( Makassar, $ebruari %&'(

Penulis Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang

Secara garis besar, ilmu #isika dapat dipelajari lewat ) jalan, yaitu pertama, dengan menggunakan knsep atau teri #isika yang akhirnya melahirkan #isika teri. *edua, dengan cara eksperimen yang menghasilkan aliran #isika eksperimental, dan ketiga, #isika bisa dipelajari lewat simulasi #enmena alam yang sangat mengandalkan kmputer serta algritma numerik+.

alam bidang rekayasa, kebutuhan untuk menemukan slusi persalan secara praktis adalah jelas. ari kacamata rekayasawan, masih tampak banyak cara penyelesaian persalan matematik yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk yang kurang knkrit. Penyelesaian analitik yang sering diberikan leh kaum matematika kurang berguna bagi rekayasawan, karena ia harus dapat mentrans#rmasikan slusi matematika yang sejati ke dalam bentuk  yang biasanya meninggalkan kaidah kesejatiannya +/0S12. Slusi hampiran biasanya sudah memenuhi persyaratan rekayasa dan dapat diterima sebagai slusi. !agipula, banyak   persalan matematika dalam bidang rekayasa yang hanya dapat dipecahkan secara hampiran.

*adang-kadang dapat pula terjadi bahwa metde analitik hanya menjamin keberadaan 3atau hanya mengkarakteristikkan beberapa prperti umum4 slusi, tetapi tidak memberikan cara menemukan slusi tersebut+*5066.

Metde numerik digunakan untuk menyelesaikan persalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Metde numerik ini berangkat dari pemikiran bahwa  permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metde numerik disajikan dalam bentuk algritma algritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.Pendekatan yang digunakan dalam metde numerik merupakan pendekatan analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar pemikiran analitis, hanya saja pemakaian gra#is dan teknik   perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metde numerik.

Mengingat bahwa algritma yang dikembangkan dalam metde numerik adalah algritma  pendekatan maka dalam algritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan  prses perhitungan.engan kata lain perhitungan dalam metde numerik adalah perhitungan

yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperleh hasil yang bisa mendekati nilai penyelesaian e7act.

I.2. Rumusan Masalah

'4 /entuk persamaan linear dan Nn-linear 

%4 Penyelesaian akar persamaan linear dan nn-linear  )4 Metde bisectin.

4 Metde Newtn-5aphsn. 84 Metde 5egula $alsi. (4 Metde Secant.

24 Peman#aatn aplikasi Micrs#t 07cel maupun MAT!A/.

I.3. Tujuan

'4 Mengetahui bentuk persamaan linear dan Nn-linear  %4 Menemukan akar persamaan linear dan nn-linear 

)4 Menyelesaikan persamaan linear dan nn-linear melalui metde bisectin.

4 Menyelesaikan persamaan linear dan nn-linear melalui metde Newtn-5aphsn. 84 Menyelesaikan persaaan linear dan nn-linear melalu imetde 5egula $alsi.

(4 Menyelesaikan persamaan linear dan nn-linear melalui metde Secant.

24 Meman#aatkan s#tware aplikasi numerik berupa Micrs#t 07cel maupun MAT!A/.

BAB II PEMBAHAAN

II.1. Persamaan L!near "an N#n$L!near

alam matematika bentuk persamaan secara umum dibagi menjadi dua bagian, yaitu9  persamaan linear dan persamaan nn linear. Perbedaan mendasar dari kedua persamaan tersebut adalah dari bentuk persamaannya. Persamaan linear mengandung :ariabel bebas yang berpangkat ' 3satu4 atau & 3nl4. Sedangkan persamaan nn linear mengandung :ariabel  bebas yang berpangkatkan bilangan real +(.

Salah satu masalah yang paling umum ditemui dalam matematika adalah mencari akar suatu  persamaan. ;ika diketahui #ungsi #374, akan dicari nilai-nilai 7 yang memenuhi #374 < &. Termasuk dalam masalah menentukan titik ptng dua buah kur:a. Apabila kur:a-kur:a tersebut dinyatakan leh #ungsi #374 dan g374, maka absis titik ptng kedua kur:a tersebut merupakan akar-akar persamaan #374 = g374 < & +(

 Definisi 2.1 %akar suatu &ersamaan' &em(uat n#l )ungs!*

 Misalkan f(x) adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan r pada domain f yang memenuhi  f(r) = 0 disebut akar persamaan f(x) = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi f(x). Secara  singkat, r disebut akar fungsi f(x).

Ada beberapa metde standar untuk menyelesaikan persamaan #374<&, sebagai cnth bentuk   plynmial derajat dua berikut a7%>b7>c<&, dapat dicari akar-akar persamaannya dengan

rumus persamaan kuadrat berikut9

emikian pula seperti pada bagian terdahulu beberapa persamaan dapat ditulis dalam bentuk  7<#374 dengan beberapa cara dan kemudian dikerjakan dengan cara pem#aktran.

Suatu persamaan seperti persaamaan #374<& mungkin tidak memiliki akar-akar nyata. Pada  berbagai pengerjaan kmputerisasi, terlebih dahulu dapat dibuat sketsa suatu gra#ik #374 dan melihat dimana letak gra#ik memtng sumbu 7. hal itu dapat memperlihatkan bagaimana  banyaknya akar-akar nyata sebagai penyelesaian persamaan tersebut +(.

II.2. Met#"e B!se+t!#n

tersebut membagi dua bagian, lalu dari dua bagian ini dipilih mana yang mengandung akar  dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperleh akar persamaan yang mendekati akar persamaan. Metde ini akan berlaku ketika ingin memecahkan persamaan #374 < & dengan # merupakan #ungsi

kntinue+.

Metde bisectin ini adalah metde untuk kmencari akar-akar dari sebuah #ungsi dengan cara menghitung nilai #ungsi #374 dari % nilai ?9 3?', ?%4 yang diberikan. Tahap pertama prses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai #ungsi yang dicari. /atasan a dan b memberikan harga bagi #ungsi #374 untuk 7<a dan 7<b. langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah #3a47#3b4 @ 

engan rumusan m<3a>b4B%, diperiksa apakah nilai mmutlak #3m4 @ -( 3batas simpangan kesalahan4. ;ika benar, nilai 7<m adalah slusi yang dicari. ;ika tidak terpenuhi, ditetapkan  batasan baru dengan mengganti nilai b<m apabila #3a4C#3m4 @ a < m&D prses menemukan m  baru dilakukan seperti prsedur yang telah dijelaskan +(.

Metde /isectin memiliki si#at-si#at numeris sebagai berikut+(9

a4 Selalu melakukan pembagian dua 3pemaruhan4 inter:al +a,b yang mengapit akar E, sehingga setelah n kali iterasi akan didapatkan akar persamaan yang berdekatan dengan harga yang sebenarnya 3slusi analitis4, dengan memperhitungkan Fkriteria’ 3akurasi4 yang diinginkan.

 b4 *ecepatan atau laju kn:ergensi dari metde bisectin dapat diperkirakan menggunakan persamaan pendekatan.

c4 Panjang 3b-a4 menggambarkan Fpanjang inter:al’ yang digunakan sebagai Fharga awal’ untuk memulai prses iterasi dalam Fmetode bisecetion.  Gang berarti bahwa metde ini memiliki Fk#n,ergens! l!n!er- dengan laju H.

5epresentasi gra#ik dari metde bisectin adalah sebagai berikut+(9

ari representasi gra#is diatas dapat diambil kesimpulan dengan jelas, bahwa9  x₂

=

 x1

−

 x0

2

Sehingga setelah n kali literasi akan diperleh9 atau  x_n−1

=

 x1

−

 x0

2n

Pada saat panjang inter:al +a,b tidak melampaui suatu harga t 3yang di dalamnya terdapat akar E4, sedemikian rupa sehingga jarak akar E tersebut dengan ekstremitas inter:al tidak  melebihi t, maka pada saat itu tleransi perhitungan sudah dapat dilakukan.

Alg#r!tma Met#"e B!seks! +'

3'4 e#inisikan #ungsi f(x) yang akan dicari akarnya 3%4 Tentukan nilai a dan b

3)4 Tentukan tleransi errr dan iterasi maksimum !  34 Iitung f(a) dan f(b)

384 ;ika f(a).f(b)"0 maka prses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan 3(4 Iitung 7 <

a

+

b

324 Iitung f(x)

364 /ila f(x).f(a)#0 maka b=x dan f(b)=f(x), bila tidak a=x dan f(a)=f(x)

314 ;ika Jb-aJ@e atau iterasiiterasi maksimum maka prses dihentikan dan didapatkan akar < 7, dan bila tidak, ulangi langkah (.

/ele(!han Met#"e B!se+t!#n +'9

• Metde bisectin sangat sederhana

• Selalu kn:ergen

/ekurangan Met#"e B!se+t!#n

• Iarus menebak dua titik 

• *ekn:ergenan relati# lambat

Kiri-ciri penyelesaian Numerik bila dibanding dengan penyelesaian Analitik yaitu +%9 '. Adanya prses perhitungan yang berulang-ulang 3iterati#4

%. Memerlukan alat bantu cmputer 

). Memerlukan pemdelan matematis dari situasi yang nyata . Penyediaan input dan data yang cukup bagi pemdelan 8. Pembuatan algritma dan penulisan prgram

(. ;awaban-jawaban yang diperleh berupa jawaban 3nilai4 pendekatan sehingga memiliki tingkat kesalahan 3errr4.

Soal yang dapat diselesaikan

'. Karilah nilai akar dari persamaan L3 x

¿

 <  x3  -  x  = ' < &

Penyelesaian 9

Pilih a < ' dan b < %.

*arena L3 1

¿

 negati# dan L3 2

¿

 psiti#, maka salah satu akar terletak diantara ' dan %

3Terema '.'.4. "leh karena itu 7 <

1

+

2 2  < ',8. *emudian, karena 7 <

(

3 2

)

 < 

(

3 2

)

7

(

3 2

)

7

(

3 2

)

 -

(

3 2

)

 = ' <

(

7 8

)

 3psiti#4

*ndisi ini memberikan  x1 _<

1

+

1,25

2  < ',%8. *arena L3 x1

¿

< L3   1,25

¿

<

-19

64  3negati#4, nilai akar yang dicari terletak diantara ',%8 dan ',8. Sehingga diperleh

 x₁  <

1,25

+

1,5

2  < ',)28

/ila prsedur di atas diulang kembali hingga  x5 _{diperleh nilai-nilai aprksimasi}

 berikut9

 x₃

< ',)'%8,  x4  _{< ',))28,}  x5  _{< ',)%6'%8}

%. Iitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut #374 <  x3

+

 x2

−

3 x

−

3

=

0

Penyelesaian 9

Menerka dua nilai bilangan yang memberikan nilai #374 berbeda tanda, misal a<' dan b<% untuk a<', #3'4 < 13

+

12

−

3

(

1

)

−

3

=−

4 untuk b<%, #3%4 < 2 3

+

22

−

3

(

2

)

−

3

=

3 dihitung nilai  x

=

(

a

+

b 2

)

=

(

1

+

2 2

)

=

1,5 $  x

=

_¿

1,5 4 < 1,5 3

+

1,52

−

3

(

1,5

)

−

3

=−

1,875

"leh karena nilai #ungsi berubah tanda antara a<',8 dan b<% , maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. !angkah selanjutnya membuat setengah inter:al berikutnya untuk  membuat inter:al yang lebih kecil. Adapun hasil perhitungan ada pada tabel ' 3lampiran4

II.3. Met#"e Ne0t#n$Ra&hs#n

Metde Newtn-5hapsn adalah metde pencarian akar suatu #ungsi #374 dengan pendekatan satu titik, dimana #ungsi # 374 mempunyai turunan. metde ini dianggap lebih mudah dari

metde bisectin karena metde ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat kn:ergen ke nilai akarnya+6. Metde Newtn-5hapsn merupakan salah satu metde terbuka untuk menentukan sluai akar dari persamaan nn linear, dengan prinsip utama sebagai berikut+9

'. Metde ini melakukan pendekatan terhadap kur:a #374 dengan garis singgung 3gradien4 pada suatu titik nilai awal.

%. Nilai taksiran selanjutnya adalah titik ptng antara garis singgung 3gradien4 kur:a dengan sumbu 7.

Metde Newtn-5aphsn merupakan metde yang paling banyak dipakai, karena kn:ergensinya paling cepat diantara metde lainnya. Penurunan rumus Metde Newtn-5aphsn dilakukan dengan dua cara, yaitu secara gemetri dan dengan bantuan deret Taylr. $. %enurunan rumus Metode !e&ton'aphson secara geometri *+

Pada gambar %.) diatas, gradien garis singgung di 7r adalah m

=

f ' 

(

 x_r

)

=

 Δ y  Δ x

 =

f 

 (

 x_r

)

−

0  x_r

−

 x_r+1 f  ' 

(

 x_r

)

=

f 

 (

 xr

)

 x_r

−

 x_r+1

Sehingga rumus metde Newtn-5aphsn adalah  x_r+1

=

 x_r

−

f 

 (

 xr

)

f ' 

(

 x_r

)

 , dengan f ' 

(

 xr

)

≠0

f 

 (

 x_r+1

)

≈ f 

 (

 x_r

)

+

(

 x_r+1

−

 x_r

)

f ' 

(

 x_r

)

+

(

 xr+1

−

 xr

)

2

2 f (t), {x} rsub {r} <t< {x} rsub {r+1}

/ila diptng sampai suku rde satu menjadi9 f 

 (

 xr+1

)

≈ f 

 (

 xr

)

+

(

 xr+1

−

 xr

)

f  ' 

₍

 x_r

)

 _{*arena untuk} 

mencari akar maka f 

 (

 xr+1

)

=

0 _{, sehingga}  xr+1

=

 xr

−

f 

 (

 x_r

)

f 

 (

 x_r

)

, f 

 (

 xr

)

≠ 0 . 5umus tersebut

merupakan rumus metde Newtn-5aphsn. Oterasi berhenti jika kndisinya

|

 xr+1

−

 xr

|

<

ε

Metde Newtn-5aphsn merupakan salah satu metde terbuka untuk menentukan slusi akar dari persamaan nn linier, dengan prinsip utama sebagai berikut + 9

'4 Metde ini melakukan pendekatan terhadap kur:a #374 dengan garis singgung

3gradien4 pada suatu titik nilai awal.

%4 Nilai taksiran selanjutnya adalah titik ptng antara garis singgung 3gradien4 kur:a dengan sumbu 7

 /lgoritma Metode !e&ton'aphson +1



e#inisikan #ungsi f  3 x4 dan f 3 x4



Tentukan tleransi errr 3e4 dan iterasi maksimum 3n4



Tentukan nilai pendekatan awal x0



Iitung f(x0 ) dan f(x0 )



ntuk iterasi i < ' sBd n atau

 x_i+1

=

 x₁

−

f 

(

 xi

)

f 

(

 x_i

)

Iitung f(x ) dan f (xi  )i



Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperleh

 %ermasalahan pada pemakaian metode !e&ton aphson adalah *+1

'4 Metde ini tidak dapat digunakan jika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai  f ’3 x4 < & sehingga nilai penyebut dari sama dengan &.

/ila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak terhingga

%4 Metde ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik   pendekatannya berada diantara dua titik stasiner .

Soal'soal yang diselesaikan

'4 Tentukanlah salah satu akar persamaan nnlinier f 

 (

 x

)

=

 x

2

−

5 x

+

6  _{dengan metde}

 Newtn-5aphsn. ;ika diketahui nilai awal 7<&, tleransi galat relati:e 7 adalah &,&% serta ketelitian hingga ) desimal.

Penyelesaian9 Persamaan Nnlinier  f 

 (

 x

)

=

 x2

−

5 x

+

6 Turunan $ungsi  f  ' 

₍

 x

)

=

2 x

−

5

iketahui nilai awal  x0

=

0

Kek kn:ergensi f 

 (

 x0

)

0

¿

¿

f 

 (

 x₀

)

=

f 

 (

0

)

=¿

N!la! a0al   4

Iteras! 1

Iteras! 2

Iitung nilai #374 dan # F 374

#37"4 < #3"4 < 3"4% = 83"4 > ( < ( # ’37"4 < # ’3"4 < %3"4 = 8 < - 8 Qalat 5elati# 7k 30r 74 <

- Nilai 7' < 7" = 3#37"4 B # ’37"44 < " = 3(B3-844 < ',%

Iitung nilai #374 dan # F 374

#37'4 < #3',%4 < 3',%4% = 83',%4 > ( < ', # ’37'4 < # ’3',%4 < %3',%4 = 8 < - %,( Qalat 5elati# 7k 30r 74 < J7' = 7"J B J7'J < J',% = "J B J',%J < '  ?T"! < ","%  Nilai 7% < 7'  = 3#37'4 B # ’37'44 < ',% = 3',B3-%,(44 < ',28 Iitung nilai #374 dan # F 374

' #37 4 < #3',284 < 3',284%  = 83',284 > ( < &,)&2 ' Qalat 5elati# 7k 30r 74 < J7% = 7'J B J7%J < J',28 = ',%J B J',28J < &,)'(  ?T"! < ","% # ’37 4 < # ’3',284 < %3',284 = 8 < - ',1%

Iteras! 3

Iteras! 5

Iteras! "a&at "!hent!kan

&a"a!teras! ke$5

/arena

 E_rx≤ XTOL

=

0.02

"engan salah satu akarn6a 2

%4 Tentukan salah satu akar dari persamaan x%_{R xR(<& dengan metde Newtn 5aphsn.}

Penyelesaian9

Persamaannya 9 x%_{R xR(<&, artinya f 3 x4< x}%_R xR(

sehingga turunannya 9 f 3 x4<% xR'

 Nilai 7)

<

7%  = 3#37%4 B # ’37%44 < ',28 = 3",)"2B3-',1%44 < ',1(

Iitung nilai #374 dan # F 374

#37)4 < #3',1(4 <

3',1(4

%

 = 83',1(4 > ( < &,&%

# ’37)4 < # ’3',1(4 <

%3',1(4 = 8 < - ',&6&

Qalat 5elati# 7

_k

30r 

₇

4 < J7

)

 = 7

%

J B J7

)

J

< J',1( = ',28J B J',1(J

Sebenarnya persamaan x%R xR(<& mempunyai dua akar yaitu -% dan ) seperti gra#ik di atas. Nilai x& yang kita pilih akan menentukan akar yang akan kita perleh tergantung dari x& tersebut lebih dekat ke akar yang mana. /erikut berbagai :ariasi pemilihan nilai x& yang langsung disajikan dalam tabel berikut.

Pilih nilai x&< yang lebih dekat dengan ) daripada -%, maka ketika kita iterasi untuk   x&< maka hasil akarnya adalah ) seperti pada tabel iterasi berikut,

Pilih nilai x&<' yang lebih dekat dengan ) daripada -%, maka ketika kita iterasi untuk   x&<' maka hasil akarnya adalah ) seperti pada tabel iterasi berikut

Pilih nilai x&<& yang lebih dekat dengan -% daripada ), maka ketika kita iterasi untuk   x&<& maka hasil akarnya adalah -% seperti pada tabel iterasi berikut,

Pilih nilai x&<R) yang lebih dekat dengan -% daripada ), maka ketika kita iterasi untuk   x&<R) maka hasil akarnya adalah -% seperti pada tabel iterasi berikut,

ari sal k-% ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan  f 3 x4<& yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih 3 x&4 mempengaruhi akar akhir  yang diperleh. ;ika nilai awalnya 3 x&4 berbeda , maka kemungkinan akar akhir 3akar   pendekatan4 yang diperleh juga berbeda tergantung nilai  x& nya lebih dekat ke akar 

yang manan 3akar sebenarnya4. II.5. Met#"e Regula 7als!

Metde regula #alsi atau metde psisi palsu merupakan salah satu slusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan nn linier melalui prses iterasi 3pengulangan4. Persamaan nn linier ini biasanya berupa persamaan plynminal tingkat tinggi, ekspnensial, lgaritmik, dan kmbinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Seperti metde bisectin, Metde regulasi #alsi juga termaksut dalam metde tertutup. Pada umumnya pencarian akar dengaan metde bisectin selalu dapat menemukan akar, namun kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat, leh karena itu untuk mempercepat  pencarian akar tersebut di butuhkan metde lain yaitu metde regula #alsi. *ehadiran metde regula #alsi adalah sebagai medi#ikasi dari metde bisectin, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapai akar hampir.

Met#"e Regula 7als! adalah panduan knsep Met#"e Bag!$Dua dan Met#"e

e+ant. Menggunakan knsep Metde /agi-ua karena dimulai dengan pemilihan dua titik  awal 7& dan 7' sedemikian sehingga #37&4 dan #37'4 berlawanan tanda atau #37&4 dan #37'4 @ &.

dan #37'4 sedemikian sehingga garis l  berptngan pada sumbu = 7 dan memtng kur:a B

gra#ik #ungsi pada titik #37&4 dan #37'4. Sehingga Metde 5egula $alsi ini akan menghasilkan

titik ptng pada sumbu-7 yaitu 7%  yamng merupakan caln akar dan tetap berada dalam

inter:al +7&, 7'. Metde ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut inter#al

+7n-', 7n yang semuanya berisi akar #.

Qambar '.' Prses Oterasi

Alg#r!tma Met#"e Regula 7als!

Asumsi awal yang harus diambil adalah

sama seperti pada metde bisectin yaitu menebak inter:al awal +a,b dimana #374 adalah kntinu, demikian pula inter:al tersebut harus mengapit nilai akar, sehingga

Algaritma 9

'. Tentukan nilai awal a dan (

%. Kek kn:ergensi nilai #3a4 dan #3b4

a. ;ika tan"a )%a* 8 tan"a )%(*, nilai awal dapat di gunakan untuk iterasi selanjutnya.

 b. ;ika tanda #3a4 < #3b4, tentukan nilai awal yang baru. ). !akukan iterasi.

. Iitung nilai + 3hitung akar4, dimana +  a 9 0 %($a* dengan 0 

f 

(

a

)

f 

 (

a

)

−

f 

(

b

)

. 8. Kek kn:ergensi nilai + yaitu jika nilai )%+*  4 maka hentikan prses iterasi. (. :!ka (elum k#n,ergens!. Tentukan nilai inter:al baru dengan caraD

a. ;ika tan"a )%+*  tan"a )%a* maka + akan menggantikan a  b. ;ika tan"a )%+*  tan"a )%(* maka + akan menggantikan (

Metde 5egula #alsi merupakan salah satu metde tertutup untuk menentukan slusi akar   persamaan nn linier, dengan prinsip utama sebagai berikut,

'. Menggunakan garis scan 3garis lurus yang menghubungkan dua krdinat nilai awal terhadap kur:a4 untuk mendekati akar persamaan nnlinier 3titik ptng kur#a #374 dengan sumbu 74

%. Taksiran nilai akar selanjutnyan merupakan titik ptng garis scan dengan sumbu 7.

;#nt#h s#al  Persamaan 9 7% _{= 87 > } imana a < %, b < 8 Penyelesaian 9 $3a4 < 3%4% _{= 83%4 > } <  = '& >  < -%  Nilai iterasi  < f 

(

a

)

f 

 (

a

)

−

f 

(

b

)

.  < 2 2

−

5 . < &,)))

Penyelesaian menggunakan 07cel

$3b4 < 384%  = 8384 >  < %8  = %8 >  <  K < a w 3

II.<. Met#"e e+ant

Metda secant merupakan salah satu metda yang digunakan untuk mencari nilai akar dari  persamaan y<#374. Metda ini dapat dipahami dengan menggunakan bantuan mdel segitiga

dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan ?r-'  dan ?r  merupakan batas yang dijadikan

acuan awal untuk mencari nilai ? yang sebenarnya 35ahayu,%&'%4.

engan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat mengambil persamaan dari si#at segitiga sebangun sebagai berikut 35ahayu,%&'%4 9

BD  DA

=

CD CE Sehingga 9 f 

 (

 x₁

)

−

f 

(

 x₀

)

 x₁

−

 x₀

=

f 

 (

 x₁

)

−

0  x₁

−

 x₂  jadi x2

=

 x1

=

f 

 (

 x1

)

x1

−

 x0 f 

 (

 x1

)

−

f 

 (

 x0

)

 x_n+1

=

 xn

−

f 

(

 xn  x_n

−

 x_n−1 f 

 (

 x_n

)

−

f 

 (

 x_n−1

)

)

, n ≥1

ari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah ?n>', 3 ?n>'4 ini merupakan nilai ?

yang dicari sebagai pendekatan terhadap nilai ? yang sebenarnya seperti untuk nilai ?%

dimana 9  23 = f(x$ )

 2/ = x$'x0

43 = f(x$ )

kemudian ?) pada gambar dibawah, semakin lama nilai ?n>' akan mendekati titik ? yang

sebenarnya. Secara umum rumus Metde Secant ini ditulis 35ahayu,%&'%49

4

3

4

3

4

43

3

' ' ' − − + − − − = n n n n n n n

 x

 f  

 x

 f  

 x

 x

 x

 f  

 x

 x

Soal yang diselesaikan 1

Tentukan salah satu akar persamaan nn linier #374 < 7)_{-% dengan metde Secant jika}

diketahui nilai awal 7& < -% dan 7' < % D serta ketelitian hingga % desimal.

 %enyelesaian1 Oterasi '

engan 7& < -% dan 7' < %

#3-%4 < 3-%4) _{= % < -'&} 8 . & 4 '& 3 ( 44 % 3 % 3 ( % 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x #3%4 < 3%4) _{= % < (} Oterasi %

engan 7& < % dan 7' < &.8

#3%4 < 3%4) _{= % < (} 6( . & ( 66 . ' 4 % 8 . & 43 66 . ' 3 8 . & 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x #3&.84 < 3&.84) _{= % < -'.66} Oterasi )

engan 7& < &.8 dan 7' < &.6(

6) . ' 4 66 . ' 3 )2 . ' 4 8 . & 6( . & 43 )2 . ' 3 6( . & 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x #3&.6(4 < 3&.6(4) _{= % < -'.)2} Oterasi 

engan 7& < &.6( dan 7' < '.6)

#3&.6(4 < 3&.6(4) _{= % < -'.)2} '& . ' 4 )2 . ' 3 '& . , 4 6( . & 6) . ' 3 '& . , 6) . ' 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x #3'.6)4 < 3'.6)4) _{= % <.'&}  6terasi 7

engan 7& < '.6) dan 7' < '.'&

#3'.6)4 < 3'.6)4) _{= % <.'&} %& . ' '& . , (2 . & 4 6) . ' '& . ' 43 (2 . & 3 '& . ' 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x

#3'.'&4 < 3'.'&4) _{= % < -&.(2}

 6terasi  

engan 7& < '.'& dan 7' < '.%&

#3'.'&4 < 3'.'&4) _{= % < -&.(2}

%2 . ' 4 (2 . & 3 %( . & 4 '& . ' %& . ' 43 %( . & 3 %& . ' 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x

#3'.%&4 < 3'.%&4) _{= % < -&.%(}

 6terasi * 

engan 7& < '.%& dan 7' < '.%2

%( . ' 4 %( . & 3 &, . & 4 %& . ' %2 . ' 3 &, . & %2 . ' 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x #3'.%24 < 3'.%24) _{= % < &.&}  6terasi 8

engan 7& < '.%2 dan 7' < '.%(

#3'.%24 < 3'.%24) _{= % < &.&} && . & &, . & && . & 4 %2 . ' %( . ' 3 && . & %( . ' 4 3 4 3 4 43 3 & ' & ' ' ' % = − − − = − − − =  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x #3'.%(4 < 3'.%(4) _{= % < &.&&}

Tabel. Iasil hitungan dengan metde Secant

Iteras !0 !1 "#$0% "#$1% !2

$

-2

2

-$&

+

&/

2

2

&/

+

-$11

&1+

.

&/

&1+

-$11

-$.3

$1.

%

&1+

$1.

-$.3

%$&

$$&

/

$1.

$$&

%$&

-&+3

$2&

+

$$&

$2&

-&+3

-&2+

$23

3

$2&

$23

-&2+

&&%

$2+

1

$23

$2+

&&%

&&&

$2+

BAB III PENUTUP

III.1. /es!m&ulan

Sistem persamaan secara garis besar terbagi menjadi % yaitu, sistem persamaan linear dan sistem persamaan Nn-linear. mumnya, bentuk persamaan linear berpangkat ' atau & dan dapat diselesaikan dengan menggunakan metde gra#ik, subtitusi, eliminasi, atau determinan. Sedangkan bentuk persamaan Nn-linear berpangkat bilangan real dan dapat diselesaiakan dengan menggunakan metde /isectin, Newtn-5aphsn, 5egula $alsi, atau metde Secant. Masing-masing metde memiliki kelebihan dan kekurangan. ntuk itu perlu mengkaji ulang  persalan agar dapat denga tepat menggunakan ke dua metde tersebut.

III.2. aran

Sebaiknya bila sistem pembelajaran mengenai Metde Numerik lebih interakti# dan  berlangsung dua arah, antara dsen dan #asilitatr. Sehingga, tujuan pembelajaran dapat

Lam&!ran

Tabel '. Iasil perhitungan metde inter:al bagi-dua

DA7TAR PUTA/A

4$5 http199&idhiarniisn.blogspot.co.id90$:90$9metode'numerik'menghitung'akar'

 fungsi;8.html diakses pada tanggal 1 $ebruari %&'( pukul '(.%% OTA. +% ;ack.%&&(. Metode !umerik .!ampung9ni:ersitas Negeri !ampung.

+) !uknant, jk.Or.%&''. Metode !umerik .Ggyakarta9 ni:ersitas Qadjah Mada. + Maulida, !ida. %&'. <aporan %raktikum isika >omputasi $. /andung9 ni:ersitas  Negeri Sunan Qunung jati

+8 5ahayu, $itri. %&'%. Metode Secant . Kirebn9 OAON

+( Syahruddin, r. Muhammad IamUah. %&'8.  Metode !umerik ntuk ?eofisika. Makassar9 ni:ersitas Iasanuddin