Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.
Teknik Informatika Fakultas Teknik
Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya
1 Konsep Dasar Integrasi & Turunan
Contoh Sederhana
2 Metode Penyelesaian Integrasi & Turunan Numerik
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias
Metode Newton-Cotes Metode Kuadratur Gauss
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor Turunan dengan Polinom Interpolasi
3 Aturan UAS
4 Catatan
Integrasi Numerik → integral tertentu (ada batasnya).
Turunan Numerik → nilai hampiran.
Permasalahan Integral & Turunan →sulitnya penyelesaian secara
Integrasi Numerik → integral tertentu (ada batasnya).
Turunan Numerik → nilai hampiran.
Permasalahan Integral & Turunan →sulitnya penyelesaian secara
analitik pada kasus yang lebih rumit.
Pendekatan numerik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini
Contoh Kasus Integral & Turunan
1 R2
0
2+ cos (1+x3/2
)
√
1+0.5sinx exp
0.5xdx
2 f(x) =
p
cos (2x2) +x tan (3x)
sin (x) + expx
Contoh Kasus Integral & Turunan
1 R2
0
2+ cos (1+x3/2
)
√
1+0.5sinx exp
0.5xdx
2 f(x) =
p
cos (2x2) +x tan (3x)
sin (x) + expx
−2x/cos (x)
Apakah Saudara bersedia untuk menghitung hasil dari integral dan turunan fungsi contoh diatas ?
Integrasi Numerik → Integral Tertentu
Bentuk Umum Integral Tertentu
Z b
a
f(x)d(x) =F(x)
b
a
=F(b)−F(a)
Metode Pias → segmen/strip
1 Kaidah Segiempat (rectangle rule)
Bentuk Umum :
Z b
a
f(x)d(x) = h
2(f0+ 2
n−1
X
i=1
fi +fn), dimanah = b−a n
Gambar Plot Kaidah Segiempat
Metode Pias (Lanjutan)
2 Kaidah Trapesium (trapezodial rule)
Bentuk Umum :
Z b
a
f(x)d(x) = h
2(f0+ 2
n−1
X
i=1
fi +fn), dimanah = b−a n
Metode Pias (Lanjutan)
3 Kaidah Titik Tengah (midpoint rule)
Bentuk Umum :
Z b
a
f(x)d(x) =h n−1
X
i=0
fi+1/2, dimanah= b−a n
Gambar Plot Kaidah Titik Tengah
Metode Pias (Lanjutan)
Contoh soal : Hitung Integral R1
0 2x3dx dengan kaidah trapesium dimanah= 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Metode Pias (Lanjutan)
Contoh soal : Hitung Integral R1
0 2x3dx dengan kaidah trapesium dimanah= 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Ingat kaidah trapesium !!
Tabel :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.002 0.016 0.054 0.128 0.25 0.432 0.686 1.024 1.458 2
Zb
Metode Newton-Cotes → polinom interpolasi
1 Kaidah Trapesium (trapezodial rule)
Bentuk Umum :
Z b
2 Kaidah Simpson 1/3 (simpson’s 1/3 rule)
Bentuk Umum :
Metode Newton-Cotes (Lanjutan)
3 Kaidah Simpson 3/8 (simpson’s 3/8 rule)
Bentuk Umum :
Z b
a
f(x)d(x) = 3h
8 (f0+ 3
n−1
X
i=1 i6=3,6,9
fi + 2 n−3
X
i=3,6,9
fi+fn)
Metode Newton-Cotes (Lanjutan)
3 Kaidah Simpson 3/8 (simpson’s 3/8 rule)
Bentuk Umum :
Z b
Selesaikan soal berikut : Hitung Integral R1
0 2x3dx dengan kaidah simpson dimanah= 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Metode Kuadratur Gauss → tanpa analisa titik diskrit
Bentuk umum :
I =
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
1 Kaidah Gaus-Legendre 2-Titik
Bentuk Umum :
Z 1
−1
f(x)d(x)≈f(1/√3) +f(−1/√3)
2 Kaidah Gaus-Legendre 3-Titik
Bentuk Umum :
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
Contoh Soal : Hitung integral dariR2
1(x2+ 1)dx menggunakan kaidah
Gaus-Legendre 2-Titik beserta nilai galatnya!
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
Contoh Soal : Hitung integral dariR2
1(x2+ 1)dx menggunakan kaidah
Gaus-Legendre 2-Titik beserta nilai galatnya! Penyelesaian :
x = (1 + 2) + (2−1)t
2 = 1.5 + 0.5t
dx = 2−1
2 dt = 0.5t
Sehingga,
Z 2
1
(x2+ 1)dx = 0.5
Z 1
−1
[(1.5 + 0.5t)2+ 1]dt
Bentuk Umum & Pendekatan Turunan Numerik
f′(x) = lim h→0
f(x+h)−f(x)
h (Ingat Kalkulus !!)
Ada tiga pendekatan secara umum :
Hampiran selisih-maju
Turunan dengan Deret Taylor
Bentuk umum :
Turunan dengan Deret Taylor (Lanjutan)
Contoh soal :
Hitung nilai hampiran dari f′(1.7) menggunakan selisih-pusat berdasarkan
tabel berikut :
x 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5
f(x) 0.002 0.016 0.054 0.128 0.25 0.432 0.686
Turunan dengan Deret Taylor (Lanjutan)
Contoh soal :
Hitung nilai hampiran dari f′(1.7) menggunakan selisih-pusat berdasarkan
tabel berikut :
x 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5
f(x) 0.002 0.016 0.054 0.128 0.25 0.432 0.686
Turunan dengan Polinom Interpolasi
Bentuk umum : ⇒ Newton-Gregory
f(x)≈pn(x) =f0+
Turunan dengan Polinom Interpolasi (Lanjutan)
Hampiran selisih-mundur ⇒Newton-Gregory Maju
Untuk titikx0 danx
−1
f′(x0) = 1/h(▽f0) = f0−f−1
h
Hampiran selisih-pusat
Untuk titikx0,x1, danx2
f′(x0) = 1/h(△f
0+ (s−1/2)△2f0) =
f2−f0
2h
Untuk titikx
−1,x0, danx1
f′(x0) = f1−f−1
Jadwal UAS hari Rabu, 15 Juni 2016 (waktu 75 menit →5 soal).
Kelas T dimulai pukul 18.00−19.15 (tidak ada waktu tambahan bagi
yang terlambat).
Kelas U dimulai pukul 19.30−20.45 (tidak ada waktu tambahan bagi
yang terlambat).
Ujian bersifat terbuka dan hanya diperbolehkan membawa alat tulis,
catatan, printout slide presentasi (bukan HP dan laptop).
Hanya diperbolehkan menggunakan kalkulator manual (bukan hp dan
laptop).
Diharapkan mahasiswa datang ±15 menit sebelum UAS dimulai.
Dilarang mencotek antar teman, bila ketahuan langsung tidak diperbolehkan mengikuti UAS dan masuk berita acara.
Presentasi dapat didownload pada link berikut :
https://sites.google.com/site/elsenronandosite/files Klik .
Apabila ada pertanyaan mengenai metode numerik dapat kirim email
