LAPORAN ANALISIS NUMERIK METODE NEWTON-RAPHSON
Oleh:
Destiana Dwi Anggreini (A1C020006) Dosen Pengampu:
Elwan Stiadi, M.Pd.
Ringki Agustinsa, S.Pd., M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS BENGKULU
2023
A. Laporan Praktikum “Metode Newton-Raphson”
1. Tujuan Praktikum
Tujuan dari praktikum ini adalah praktikan dapat menyelesaikan permasalahan- permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan atau algoritma, serta dapat menerapkan metode newton-raphson untuk mencari akar- akar suatu persamaan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), sehingga mendapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diizinkan.
2. Metode Newton-Raphson
Metode Newton Rapshon merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut.
Metode ini dimulai v dengan mencari garis singgung kurva pada titik xi ,f (xi ). Perpotongan garis singgung dengan sumbu x yaitu Xi+1, akan menjadi nilai x yang baru, dengan cara dilakukan berulang-ulang (iterasi).
Gambar 1. Grafik Metode Newton Raphson
Telah diketahui bahwa gradien garis singgung kurva adalah turunan pertama dari kurva tersebut, yaitu f'(x) Sehingga persamaan garis singgungnya :
f(x i)−y=f '(x i)(x i−x)
Garis ini melalui titik (xi+1,0) , maka didapat:
f(x i)−0=f '(x i)(x i−xi+1)
⇔ f(x i)
f '(x i)=(x i−xi+1)
⇔xi+1=x i− f(x i) f '(x i)
xi+1 digunakan untuk menaksir nilai akar dari f(x) dan pendekatan yang lebih baik untuk akar dari f(x). Metode ini banyak digunakan untuk akar dari suatu persamaan.
3. Perhitungan Metode Newton Raphson
Langkah Perhitungan Metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:
Definisikan fungsi x
f¿ ) yang akan dicari akarnya.
Tentukan harga awal / titik awal (x0).
Tentukan toleransi kesalahan (ɛ).
Cari turunan fungsi f(x).
o Jika f ’(x)=0, maka metode newton raphson tidak dapat dilanjutkan.
Hitung nilai fungsi f(x) dan f ’(x) dengan menggunakan titik awal.
Hitung nilai xi+1 menggunakan rumus : o xi+1=x i− f(x i)
f '(x i)
Hitung kesalahan
|
xi+1x−x ii+1|
dan bandingkan dengan toleransi kesalahan (ɛ). Jika
|
xi+1x−i+1x i|
≤ɛ maka dipilih akar persamaan xi+1 o Jika|
xi+1x−i+1x i|
>ɛ maka iterasi dilanjutkan Akar persamaannya adalah xi+1 yang terakhir diperoleh.
4. Kegiatan Praktikum
Tentukan akar-akar penyelesaian f(x)=2x2−10x−9 untuk galat (ε)=0,001 atau 0,1 % dengan x0=6 Menggunakan perhitungan manual, excel, dan bantuan sofware Matlab.
5. Langkah Pengerjaan Menggunakan Matlab
1. Input New Script nya dengan script untuk fungsinya dahulu function y=f(x)
y=2*x^2-10*x-9;
end
2. Save file script fungsi dengan nama file f
3. Input New Script nya dengan script untuk fungsinya dahulu function y=f_diff(x)
y=4*x-10;
end
4. Save file script fungsi dengan nama file f_diff
5. Input Input New Script lalu input script untuk mencari akar-akar penyelesaian fungsi sebelumnya dengan
clc;
clear;
disp('Metode Newton-Raphson');
disp('Tekan Enter untuk Lanjut');
disp('========================');
f=input('fungsi f:');
f_diff=input('turunan fungsi f:');
x1=input('masukkan nilai awal');
imax=input('masukkan toleransi maksimal');
galat1=input('masukkan galat toleransi');
iter=0;
fprintf('\n Iterasi Akar f(Akar) Galat\n');
for k=1:imax iter=iter+1;
x2=x1-(feval(f,x1)/feval(f_diff,x1));
galat=abs((x2-x1)/x2);
x1=x2;
y=feval(f,x1);
fprintf('%10.0f %6.10f %6.10f
%6.10f\n',[iter;x1;y;galat])
if (galat<galat1||(iter>imax)),break,end endfprintf('Akar penyelesaiannya adalah %6.10f',x1)
6. Klik enter untuk menjalankan program dan masukkan input yang sesuai 7. Outputnya akan muncul pada command window
6. Langkah Pengerjaan Menggunakan Perhitungan Manual SOAL
Tentukan penyelesaian dari f(x)=2x²−10x−9 f'(x)=4x−10 dengan
xₒ=6
ɛ =0.001=0,1%ₜ Jawaban :
Iterasi 1:
xₒ=6 f(xₒ)=2(6)2−10(6)−9=¿ 3 f'(xₒ)=4(6)−10=14
x₁= xₒ−f (xₒ)
f (xₒ) = 6− 3
14=6−0,214286=5,785714
ɛₐ=
|
xᵢ₊xᵢ₁−₊₁xᵢ|
x100 %=|
x₁−x₁xₒ|
x100=
|
5,785714−65,785714|
x100 % =|
−0,214295,87367|
x100 % = 3,7037 %Iterasi 2
x₁= 5,785714 f(xₒ)=2(5,785714)2−10(5,785714)−9=0,09184 f'(xₒ)=4(5,785714)−10=13,1429
x₂= x₁− f(x₁)
f (x₁) = 5,785714−0,09184
13,1429=−5,785714=5,778727
ɛₐ=
|
xᵢ₊xᵢ₁−₊₁xᵢ|
x100 %=|
x₂−x₂x₁|
x100=
|
5,778727−5,7857145,778727
|
x100 % =|
5,7787270,00699|
x100 % =0,12092 %
Karena 0,12092 %<1 %
Sehingga didapat akar persamaanya adalah 5,778727
7. Langkah Pengerjaan Menggunakan Excel
xi xi+1 εp
1 6 5,785714 3,703704
2 5,785714 5,778727 0,120919 STOP 3 5,778727 5,778719 0,000129 <0,1%
8. Hasil Pengolahan Data Menggunakan Matlab
Diperoleh nilai akar persamaan nya adalah 5.7787267081 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001
9. Hasil Pengolahan Data Menggunakan Perhitungan Manual dan Excel Iteras
i xi xi+1 εp
1 6 5,785714 3,703704 2 5,785714 5,778727 0,120919 3 5,778727 5,778719 0,000129
Diperoleh nilai akar persamaan nya adalah 5,778727 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001
10. Kesimpulan
Berdasarkan hasil pengerjaan praktikum diatas dari kedua pengerjaan diperoleh hasil yang sama. Dengan peroleh nilai akar persamaan nya adalah ≈5,778727 pada iterasi ke 2 dengan perkiraan eror relatif ¿0,001 . Oleh karena itu, untuk mencari akar penyelesaian persamaan ini bisa dilakukan dengan menggunakan Matlab, excel ataupun perhitungan manual.
