BAB RELATIVITAS Semua Gerak adalah Relatif

BAB RELATIVITAS

10.1 Semua Gerak adalah Relatif

Suatu benda dikatakan bergerak bila kedudukan benda itu berubah terhadap suatu titik acuan atau kerangka acuan. Seorang penumpang kereta api yang sedang duduk di dalam kereta api yang bergerak meninggalkan stasiun dikatakan diam bila titik acuannya adalah kereta api, sedangkan bila titik acuannya adalah stasiun penumpang tersebut dikatakan bergerak.

Pengertian diam dan bergerak di sini bersifat relatif tergantung titik acuannya. Stasiun kita anggap diam, padahal stsiun bersama bumi bergerak mengelilingi matahari, matahari bersama bumi bergerak terhadap galaksi, bintang, dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa tidak ada benda yang bergerak mutlak, yang ada hanyalah gerak relatif.

10.1.1 Transformasi Galileo

Dalam membahas teori relativitas diperlukan suatu kerangka acuan inersial yaitu kerangka acuan di mana hukum pertama Newton berlaku. Kerangka acuan inersial adalah suatu kerangka acuan yang berada dalam keadaan diam atau bergerak terhadap acuan lainnya dengan kecepatan konstan pada suatu garis lurus.

Misalkan kejadian fisika berlangsung di dalam sebuah kerangka acuan inersial, maka lokasi dan waktu kejadian dapat dinyatakan dengan koordinat (x, y, z, t) dengan t adalah waktu.

Kita dapat memindahkan koordinat ruang dan waktu suatu kejadian yang berlangsung di dalam sebuah kerangka acuan inersial ke dalam kerangka acuan lain yang bergerak dengan kecepatan relatif yang konstan melaui transformasi Galileo.

Pada gambar 10.1 terdapat dua kerangka acuna inersial S dan S . S diam dan S bergerak dengan kecepatan v terhadap S sepanjang sumbu x positif. Bayangkanlah S sebagai stasiun dan S sebagai kereta api yang bergerak dengan kecepatan konstan v. Mula-mula S dan S berimpit lalu setelah t sekon, S sudah menempuh jarak d = vt. Seorang penumpang P di dalam kereta api terhadap kerangka acuan S bergerak dengan kecepatan tetap ux searah dengan v. Pada saat t

sekon, P mempunyai koordinat P(x, y, z) terhadap kerangka acuan S dan mempunyai koordinat P(x , y , z ) terhadap kerangka acuan S dengan hubungan

x = x – vt ; y = y ; z = z ; t = t ..……(10.1) Persamaan (10.1) disebut sebagai transformasi Galileo.

Transformasi Galileo Kerangka acuan inersial

Untuk menentukan kecepatan, Persamaan (10.1) diturunkan terhadap waktu t. karena menurut transformasi Galileo, t = t, maka diperoleh

dt v dx dt

dx = −

Bentuk adalah ′

′ = ux

dt x

d kecepatan P terhadap S dan adalah kecepatan P u_x dt

dx = terhadap S.

Dengan demikian, Persamaan (10.1) menjadi

ux = ux – v ; uy = uy ; uz = uz ..……(10.2)

Untuk mendapatkan percepatan, Persamaan (10.2) diturunkan terhadap waktu. Karena v konstan, maka =0

dt

dv sehingga berlaku hubungan

ax = ax ; ay = ay ; az = az ..……(10.3)

Menurut Persamaan (10.3), a = a sedangkan massa P di kerangka acuan S sama dengan massa P di kerangka acuan S . Dengan demikian, hukum Newton, F = ma dengan F = ma adalah sama atau F = F .

Dari uraian di atas disimpulkan bahwa hukum-hukum Newton tentang gerak dan persamaan gerak suatu benda tetap sama dalam semua kerangka acuan (bersifat relatif).

Keadaan ini disebut sebagai relativitas Newton.

10.1.2 Percobaan Michelson-Morley

Menurut teori gelombang Huygens, cahaya memerlukan medium untuk merambat. Jadi, cahaya dapat mencapai Bumi dari Matahari karena di ruang hampa yang dilalui cahaya ada medium perambatan gelombang cahaya yang disebut eter. Namun, belum ada bukti langsung akan keberadaan eter tersebut.

Pada tahun 1887, Michelson dan Morley, ilmuwan fisika berkebangsaan Amerika melakukan percobaan untuk mengukur kelajuan eter dengan alat yang dinamakan interferometer. Percobaan itu berdasarkan prinsip penjumlahan vector kecepatan.

Pada gambar 10.2 perahu A dan B bergerak dengan kecepatan c terhadap Bumi sedangkan kecepatan aliran air terhadap Bumi adalah u. kita akan membandingkan waktu yang diperlukan perahu A bergerak bolak-balik memotong arus sungai dengan waktu yang diperlukan perahu B bolak-balik searah arus sungai untuk jarak yang sama, d, seperti pada gambar.

Agar resultan kecepatan perahu A tegak lurus pada aliran sungai, maka saat berangkat kecepatan perahu harus sesuai dengan diagram pada Gambar

Relativitas Newton

Eter

10.3a dan saat kembali harus sesuai dengan diagram pada gambar 10.3b. Besar kecepatan resultannya adalah sama, yaitu

2

2 u

c

v= − sehingga waktu bolak-balik perahu A adalah

2 2 2

2 1 /

/ 2 2

c u

c d u

c t_A d

−

=

−

=

Untuk perahu B, kelajuan saat pergi adalah v1 = c + u dan kelajuan saat kembali adalah v2 = c – u. waktu bolak-balik yang dibutuhkan oleh perahu B adalah

2

1 2

2 )

)(

(

) ( ) (

c u c d

B c u c u

u c d u c d u c

d u c t d

= −

− +

+ +

= − + −

= +

Perbandingan tA dengan tB adalah

2 2

1 c u t

t

B

A = −

Bila kecepatan perahu c diketahui dan perbandingan waktu tA/tB dapat diukur, maka kecepatan aliran sungai u dapat dihitung.

Michelson dan Morley menggunakan prinsip di atas untuk percobaan yang menggunakan interferometer seperti pada gambar 10.4. Andaikan eter itu ada, maka gerak Bumi mengelilingi Matahari mengakibatkan gerak eter relatif terhadap Bumi sama dengan kecepatan Bumi mengelilingi Matahari yaitu 3 x 10⁴ m/s. Gerak eter ini analog dengan aliran air sungai pada ilustrasi gerak perahu.

..……(10.4)

..……(10.5)

..……(10.6)

Sinar Matahari yang jatuh pada gelas setengah cermin, sebagian diteruskan ke cermin I dan sebagian dipantulkan ke cermin II hingga akhirnya sinar itu sampai di layar pengamat seperti pada gambar.

Sinar yang menuju cermin I segaris dengan aliran eter sehingga analog dengan perahu B. sedangkan sinar yang menuju cermin II tegak lurus dengan aliran eter sehingga analog dengan perahu A.

Hasil pengamatan yang telah dilakukan berkali-kali untuk posisi dan waktu yang berbeda menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan waktu antara tA dan tB. Persamaan (10.6) tidak dipenuhi. Dengan demikian dapat disimpulkan :

(1) hipotesis tentang eter tidak benar; ternyata eter tidak ada,

(2) kecepatan cahaya adalah besaran mutlak, tidak bergantung pada kerangka acuan inersial.

10.2 Teori Relativitas Einstein

Setelah terbukti bahwa eter ternyata tidak ada, Albert Einstein (1879-1955) pada tahun 1905 mengumumkan teori relativitas khusus, dan sepuluh tahun kemudian mengusulkan teori relativitas umum. Teori relativitas khusus bertolak dari kerangka acuan inersial, yaitu kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka acuan lainnya, sedangkan teori relativitas umum bertolak dari keerangka acuan yang bergerak dipercepat relatif terhadap kerangka acuan yang lain.

10.2.1 Postulat Einstein untuk Teori Relativitas Khusus

Dalam teori relativitas khusus, Einstein mengemukakan dua postulat, yaitu : (1) Postulat pertama

Hukum-hukum fisika memiliki bentuk yang sama pada semua kerangka acuan inersial.

(2) Postulat kedua

Kelajuan cahaya di ruang hampa ke segala arah adalah sama untuk semua pengamat, tidak bergantung paad gerak sumber cahaya maupun pengamat.

Postulat pertama dinyatakan karena tidak ada kerangka acuan universal sebagai acuan mutlak. Postulat pertama ini adalah perluasan dari prinsip relativitas Newton unutk memasukkan bukan hanya hukum-hukum mekanika, tetapi juga hukum-hukum fisika lainnya.

Postulat kedua mempunyai implikasi yang sangat luas. Hukum penjumlahan kecepatan tidak berlaku untuk cahaya. Menurut Einstein, waktu t tidak sama dengan t sehingga relativitas Newton dan transformasi Galileo tidak dapat digunakan. Kecepatan, waktu, panjang, dan massa benda semuanya bersifat relatif.

10.2.2 Transformasi Lorentz

Transformasi Galileo, yaitu Persamaan (10.1) dan (10.2) hanya berlaku untuk kecepatan-kecepatan yang jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya, c. Untuk peristiwa yang lebih Relativitas

khusus Einstein

luas hingga kecepatan yang menyamai kecepatan cahaya diperlukan suatu transformasi baru sehingga diperoleh bahwa kecepatan cahaya adalah vakum merupakan besaran mutlak.

Untuk memasukkan konsep relativitas Einstein, maka selang waktu menurut kerangka acuan bergerak t tidak sama dengan selang waktu menurut kerangka acuan bergerak t . Karenanya, hubungan transformasi mengandung suatu pengali , yang disebut tetapan transformasi. Dengan demikian bila transformasi ini dianggap linear, maka Persamaan (10.1) menjadi

x = (x – vt) ..……(10.7)

Jika kerangka acuan S terhadap kerangka acuan S bergerak ke kanan dengan kecepatan tetap v, maka kerangka acuan S terhadap S dapat dianggap bergerak relatif ke kiri dengan kecepatan v. Hubungan x terhadap x menjadi

` x = (x + vt ) ..……(10.8)

Substitusi nilai x dari Persamaan (10.7) ke dalam Persamaan (10.8) menghasilkan x = [ (x – vt) + vt ] = ²(x – vt) + vt

v t x

t γ

γ ⁽¹ γ ⁾

− 2

+

′=

Misalkan kecepatan P terhadap kerangka acuan S pada Subbab 10.1.1 adalah kecepatan cahaya ux = c, maka menurut Einstein kecepatan cahaya terhadap kerangka acuan S sama besarnya yaitu ux = c. Dari sini diperoleh hubungan x = ct dan x = ct sehingga Persamaan (10.7) menjadi ct = (x – vt). Kemudian dengan menggunakan nilai t dari Persamaan (10.9) diperoleh

) ) (

1

( ²

vt v x

t x

c − = −

+ γ

γ γ γ

Faktor yang mengandung x dikumpulkan di sebelah kiri sehingga

+

=

−

− c

ct v v

x c 1 1 1

1 ₂

γ ^{atau = 1−1}v

(

⁺_γ^{12 −1}

)

c c v

ct x

Karena x = ct maka haruslah ) 1

( 1

/ 1

1 1 2

− = +

γ − v c

c

v atau + = − 1 −1

1

1 ₂

γ v c c

v

2 2

2 1

1⁻γ c =

v atau

2

1 2 2 1

c

−v

γ = ,

..……(10.9)

2

1 2

1

c

− v

γ =

Akhirnya dapat kita tulis hasil transformasi Lorentz sebagai

; 1 ) ( '

2 2 c v

vt vt x

x x

−

= −

−

=γ y = y ; z = z

2 2 2

1

' ₂

c v c

t vx

c t vx t

−

= −

−

=γ

Di sini kita lihat bahwa relativitas Einstein, ruang dan waktu adalah relatif sedangkan relativitas Newton, ruang dan waktu adalah mutlak. Transformasi Lorentz akan tereduksi menjadi tambahan transformasi Galileo apabila kelajuan v jauh lebih kecil dari kelajuan cahaya (v << c).

Transformasi Lorentz untuk kecepatan

Kecepatan dapat kita peroleh dari turunan pertama fungsi kedudukan terhadap waktu.

dt u dz dt u dy dt

u_x = dx, _y = , _z= dan

t d

z u d t d

y u d t d

x

u_x d _{y z}

′

= ′

′ ′

= ′

′ ′

= ′

′ , ,

Dari Persamaan (10.11) diperoleh hasil diferensiasi,

2 2/ 1 '

c v

vdt dx dx

−

= − dan

2 2/ 1

)

' ( ²

c v

dx dt dt ^c

v

−

= −

dt dx c v

v dt dx dx

c v dt

vdt dx t

d x u_x d

/ ) / ( 1

/ )

/

( ² − ²

= −

−

= −

′

= ′

′

1 ^u_c2^v x

x _x

v u u

−

= +

′

2 2

2 2 2

1 1 1

1 )

/ (

/ 1 '

' '

2

2 2 2

c v u

c v y

st dx c

v c v dt dy

x _x

u dx

c v dt

c v dy dt u dy

−

−

− =

−

− =

= −

=

2 2 2

1 1 '

c v u

c v z

z _x

u

u −

= −

..……(10.12) ..……(10.10)

..……(10.11)

Persamaan (10.12) dapat ditulis menjadi

v c u

v

u'_x 1−u^x₂ = _x− atau u v c

v u

u_x−u^x ₂'^x = _x − '

1 2 c

v u x

x _x

v

u u _′

−

′ +

=

Dengan penalaran yang sama, nilai uy dan uz adalah

2 2 2

1 '

1 '

c v u

c v y

y _x

u

u +

= − dan

2 2 2

1 '

1 '

c v u

c v z

z _x

u

u +

= −

10.2.3 Penjumlahan Kecepatan Berdasarkan Relativitas Einstein

Kita tinjau penjumlahan kecepatan dalam satu arah, yaitu arah horizontal sepanjang sumbu x. misalkan suatu kerangka acuan S bergerak dengan kecepatan v dalam arah sumbu x terhadap kerangka acaun S yang diam. Sebuah benda terhadap S bergerak dengan kecepatan ux

dalam arah sumbu x. sesuai dengan transformasi Lorentz, kecepatan benda tersebut terhadap S, yaitu ux dirumuskan dengan

2

1 '

'

c v u x

x _x

v u u

+

= + dan 1 2

'

c v u x

x _x

v u u

−

= −

10.2.4 Kontraksi Panjang

Pengukuran panjang dipengaruhi oleh relativitas. Kita akan mengamati sebuah tongkat yang terletak pada sumbu x dalam kerangka acuan S yang bergerak dengan kecepatan v terhadap kerangka acuan S seperti pada gambar 10.5.

Kedudukan tongkat terhadap S adalah x1

dan x2. Panjang batang terhadap kerangka acuan S adalah L = x2 – x1 sedangkan panjang batang terhadap kerangka acuan S adalah L0 = x2 – x1.

Sesuai dengan Persamaan (10.11), maka x2 – x1 = (x2 – vt2) – (x1 – vt1) = [x2 – x1 –v (t2 – t1)]

Karena waktu pengukuran x1 sama dengan x2, maka t2 – t1 = 0 sehingga x2 – x1 = (x2 – x1) atau L0 = L

..……(10.13)

..……(10.14)

..……(10.15)

2 2 0

0 L 1 v /c

L = L = −

γ dengan :

L = panjang benda bergerak yang diamati oleh kerangka diam, L0 = panjang benda yang diam pada suatu kerangka acuan, v = kecepatan benda terhadap kerangka acuan yang diam.

Karena tetapan transforamsi selalu lebih besar dari satu, maka sesuai dengan Persamaan (10.16) benda yang bergerak akan tampak lebih pendek bila diukur dari kerangka acuan diam (L < L0). Peristiwa penyusutan ini disebut kontraksi panjang atau kontraksi Lorentz.

10.2.5 Dilatasi Waktu

Menurut Einstein, selang waktu yang diukur oleh pengamat yang diam tidak sama dengan selang waktu yang diukur oleh pengamat yang bergerak terhadap suatu kejadian.

Ternyata waktu yang diukur oleh sebuah jam yang bergerak terhadap kejadian lebih besar dibandingkan terhadap jam yang diam terhadap kejadian. Peristiwa ini disebut dilatasi waktu (time dilation).

2 2 0

/ 1 v c t t

−

= ∆

∆

dengan

t = selang waktu yang diukur oleh pengamat yang bergerak terhadap kejadian, t0 = selang waktu yang diukur oleh pengamat yang diam terhadap kejadian.

Waktu yang diukur oleh jam pengamat yang diam terhadap kejadian disebut waktu benar (proper time).

10.3 Massa, Momentum, dan Energi Relativistik

Massa Relativistik

Menurut fisika Newton atau fisika klasik, massa benda konstan tidak bergantung pada kecepatan. Akan tetapi, berdasarkan teori relativitas Einstein massa benda adalah besaran relatif.

Massa benda yang bergerak (m) relatif terhadap seorang pengamat akan lebih besar dari massa diam (m0) benda tersebut. Massa benda yang bergerak dengan kecepatan v adalah

2 2 0 0

1 c v m m

m

−

=

=γ

Perubahan massa karena gerak benda hanya dapat diabaikan untuk benda yang bergerak dengan kecepatan yang jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya. Dengan kata lain, fisika Newton hanya berlaku untuk benda-benda yang kecepatannya jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya (v

<< c).

..……(10.16)

..……(10.17)

..……(10.18) Dilatasi

waktu

Momentum relativistik

Momentum linear suatu benda adalah p = m v. untuk benda-benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya, momentum relativistiknya diperoleh dengan memperhatikan massa relativistik benda sesuai dengan Persamaan (10.18) sehingga diperoleh

2 2 0 0

1 c v v v m

m p

−

=

=γ

Energi relativistik

Usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan suatu benda sejauh s dapat dihitung secara integrasi,

ds F W

s

=

0

Dengan menggunakan bentuk relativistik untuk Persamaan gerak, yaitu F = d(mv)/dt, maka Einstein menyelesaikan Persamaan (10.20) dan memperoleh hasil bahwa energi kinetik relativistik suatu benda, Ek, adalah

Persamaan (10.21) manyatakan bahawa energi kinetik benda sama dengan pertambahan massa benda sebagai akibat gerak relatifnya dikalikan kuadrat kecepatan cahaya.

Einstein memberikan tafsiran bahwa mc² adalah energi total benda ketika bergerak dengan kecepatan v dan m0c² adalah energi benda ketika diam. Jadi, ada kesetaraan antara massa dan energi, yaitu

dengan E0 = energi diam benda. Persamaan (10.22) dikenal sebagai hukum kesetaraan massa- energi Einstein.

Apabila energi total kita sebut Et, dari uraian di atas dapat kita rangkum hubungan sebagai berikut.

Hubungan energi dan momentum relativistik

Dari Persamaan (10.19) dan (10.24) dapat diperoleh hubungan energi total dengan momentum secara relativistik sebagai :

E0 = m0c² Ek = mc² – m0c²

..……(10.19)

..……(10.20)

..……(10.21)

..……(10.22) Kesetaraan

massa dan energi

Energi diam : E0 = m0c² ……(10.23)

Energi total : ₀ ² ₀

2 2 2 2 0

1

E c m c v c mc m

E_t =γ =γ

−

=

= ……(10.24)

Energi kinetic : Ek = Et – E0 = ( – 1)E0 = ( – 1)m0c² ……(10.25)

1 eV = 1,602 x 10^-19 J atau 1 J = 1

1,602 x 10^-19 eV Hukum Kekekalan energi relativistik

Apabila sebuah benda yang dalam keadaan diam bermassa m0 membelah secara spontan menjadi beberapa bagian dengan massa m01, m02, m03, dan seterusnya dengan kecepatan tertentu, maka untuk peristiwa ini berlaku hukum kekekalan energi, yaitu energi awal sama dengan energi akhir. Secara relativistik dapat ditulis :

Catatan :

Satuan energi sering dinyatakan dalam joule (J) atau elektron-volt (eV).

Hubungan kedua satuan tersebut adalah : Et2

= m02

c⁴ + p²c² atau Et2

= E02

+ p²c²

m0c² = 1m01c² + 2m02c² + 3m03c² + . . . .

..……(10.26)

..……(10.27)