BAB. 7 (Relativitas Gerak Klasik)

BAB. 7

Untuk menetukan posisi dan gerak suatu benda perlu sistem koordinat.

Partikel dengan acuan A disebut diam tetapi dengan acuan B partikel bergerak, itulah sebabnya kecepatan memiliki arti relatif.

Suatu partikel dapat dikatakan diam atau bergerak tergantung pada acuan (sistem koordinat) yang di- gunakannya.

0

inersial,

Non

2.

0]

nol),

(boleh

tetap

[

Inersial,

1.

koordinat

Sistem







a

a

v

Dalam analisis penyelidikan (pengamatan), posisi acuan dapat diganti sebagai pengamat (artinya pengamatan adalah diri sendiri yang bergerak atau diam).

Keretapi yang bergerak dengan lintasan lurus de-ngan v = 40 m s-1. Seorang kondektur berjalan

dengan v = 5 m s-1, dari arah lokomotif menuju

gerbong terakhir. Berapakah kecepatan kondektur tersebut ?

Contoh.

Pertanyaan tersebut dapat dijawab, 5 m s-1.

v tersebut diacukan terhadap penumpang diam (penumpang duduk pada tempat duduknya).

Pertanyaan tersebut dapat dijawab, 35 m s-1.

Kerangka Acuan Inersial

1. Pengamatan Terhadap Dua Gerakan Translasi.

0 A

B

r_A r_B rAB

v_A v_B

Misal benda A dan B menggunakan kerangka acu-an (xyz) dan diacukan pada pengamat 0,

r_AB = r_B - r_A

r_BA = r_A - r_B

dt

d

B

A

AB AB

r

V



,

terhadap

relatif

partikel

Kecepatan

BA AB

V

V





dt

d

A

A A

r

V



0,

terhadap

relatif

Kecepatan

dt

d

B

A B

r

V



0,

terhadap

relatif

Kecepatan

dt

d

A

B

BA BA

r

V



,

terhadap

relatif

partikel

Kecepatan

AB A B A B AB

dt

d

dt

d

dt

d

V

V

V

r

r

r











dt

d

A

A A

V

A



,

0

terhadap

relatif

Percepatan

dt

d

B

B B

V

A



0,

terhadap

relatif

Percepatan

 AAB = AB - AA

Contoh.

Pesawat A, terbang ke utara dengan v = 300 m s-1

relatif terhadap tanah. Pada saat yang bersamaan pesawat lain (B) terbang dengan sudut 60o arah ke

timur laut, dengan kelajuan 200 m s-1 terhadap

tanah. Carilah v relatif pesawat A terhadap B dan

B relatif terhadap A ! Penyelesaian.

Kecepatan A relatif terhadap B (V_AB), V_BA = V_A - V_B

60o v_A

v_B

- v_B

- v_A

- v_BA

v_AB

B

T

Besar, V_BA dihitung dengan menggunakan cara,

VBA = [VA2 + V

B2 - 2 (VA)(VB) cos 60o]1/2

= [3002 + 2002 - 2 (300)(200) cos 60o]1/2

= 264,6 m s-1

)

(

2

2 2 2 1

v

V

V

v

V

v

V

t

t

t























Contoh.

Pesawat terbang dengan kecepatan tetap V dari

A → B dan kembali ke A lagi. Jarak A - B adalah ℓ

dan dalam perjalanan tersebut terjadi gerakan angin dengan arah tetap berkecepatan v (tetap). a. Hitung total waktu perjalanan pesawat

ter-sebut (arah angin sejajar arah terbang).

b. Hitung total waktu perjalanan jika arah angin tegak lurus arah terbang.

√(V2 – v2) sehingga waktu total t = t

1 + t2

A B

v v

V

Arah V diusahakan sehingga perjalan-an pesawat menuju

Contoh.

Seorang menyeberang sungai dengan perahu. Perahu ber-v 4 m s-1 dan arus air 3 m s-1. Perahu

diarahkan _ tepian sungai dan lebar sungai 20 m. Dalam berapa detik orang tersebut sampai ke seberang dan berapa jarak tempuh orang ?

Lintasan penyeberangan orang dipengaruhi oleh dua kecepatan, (kecepatan perahu dan arus air). Penyelesaian.

Nilai kecepatan penyeberangan orang menjadi,

V2 = V

p2 + Va2 + 2 (Vp)(Va) cos 90o

Waktu mencapai seberang, lebar sungai dibagi v

penyeberangan (dalam hal ini kecepatan perahu).

Waktu untuk menyeberang t = x/V atau

t = 20 m/4 m s-1 = 5 detik.

Jarak ditempuh orang x = V! t, (V! = 5 m s-1)

x = (5 m s-1)(5 s) = 25 m.

Contoh.

Perjalanan perahu (v tetap) di sungai, melewati sebuah botol di titik A. Satu jam kemudian pe-rahu berbalik arah (abaikan perubahan pepe-rahu saat berbalik) dan bertemu dengan botol kem-bali di titik B, (jarak A – B = 6 km). Berapakan kecepatan arus air sungai ?

Penyelesaian.

A va _B

C

10/28/18 16

v perahu relatif terhadap arus sungai, v_p.

v arus sungai relatif terhadap tanah, v_a.

v perahu relatih terhadap tanah, v_p + v_a, perjalanan A _ C, sedangkan perjalanan C _ B adalah v_p - v_a .

Perahu, AC = AB + BC _(v_AC)(t_AC) = AB + (v_BC)(t_BC)

(v_AC)(t_AC) = AB + (v_BC)(t_{AB botol} – t_{AC perahu})

(v_p + v_a)(1) = 6 + (v_p - v_a)

1

)

jam

(

km

3

6

2









p _a

p

v

v

v

v



















1

6

a

v

(v_p + v_a) = 6 + (v_p - v_a)

Cara lain.

Waktu yang diperlukan perahu dari A _ C = 1 jam. Waktu dari C _ B = 1 jam

Jadi waktu dari A _ C _ B = 2 jam.

Waktu 2 jam = waktu yang diperlukan botol dari A _ B.

2. Dua Pengamat Yang Melakukan Gerak

Trans-lasi.

Dua pengamat 0 (pada sistem xyz) dan 0!

(pa-da sistem x!y!z!) yang

bergerak relatif satu de-ngan lainnya dede-ngan ge rak translasi (v) tetap.

0 0! x!

y!

z!

r! r

y

z

v A

x

Pada t = 0 antara 0 dan 0! berimpit.

Sumbu x dan x! berimpit sedang sumbu y, z dan y!, z! bergerak sejajar.

Pengamat 0 melihat 0! bergerak dengan

kece-patan (v) sebaliknya 0! melihat 0 bergerak

de-ngan kecepatan (- v).

Partikel A bergerak diamati oleh 0 dan 0!. serta

saat t = 0 kedua titik 00! berimpit.

Gerak 0! dinyatakan dengan 00! = v t dan v = v i.

Posisi partikel A dinyatakan sebagai,

0A = 00! + 0!A atau r! = r – v t.

x! = x – v t, y! = y dan z! = z, t! = t.

Persm di atas disebut persamaan relativitas klasik (Galileo).

Relativitas Galileo (relativitas klasik) didasarkan pada postulat berikut:

1. waktu merupakan besaran mutlak 2. hukum gerak Newton invariant

v relatif A terhadap 0, V = dr/dt

dt

dz

dt

dy

dt

dx

k

j

i

V







v relatif A terhadap 0!, V! = dr!/dt

dt

dz

dt

dy

dt

dx

! _! ! _! !

!

!

i

j

k

z z

y y

x

x



V



v

V



V

V



V

! ! ! ! ! !

,

,

V

! ! ! ! ! !

,

,

balik,

si

Transforma

V

_x



V

_x



v

V

_y



V

_y

V

_z



V

_z

V! = V - v

Tetapi, bila partikel A bergerak sejajar dengan sumbu y maka persm di atas berlaku V_x = V_z = 0,

V_y = V kemudian,

,

0

dan

,

! ! ! ! !

!





_y



_z



x

v

V

V

V

V

Sehingga, V! = √V2 + v2

Percepatan partikel A relatif terhadap 0, (A) dan 0!, (A!) maka

Posisi partikel A diamati oleh seorang pengamat 0, memberikan informasi r = (6 t2 - 4 t) i – 3 t3 j + 3 k. Hasil pengamatan partikel A dari 0!

Meng-hasilkan r! = (6 t2 + 3 t) i – 3 t3 j + 3 k, (posisi

dinyatakan dalam satuan meter). Hitunglah v

relatif sistem 0! terhadap 0. Tunjukkan a partikel

dalam kedua sistem sama !

Contoh.

Penyelesaian.

v t = r – r!

= [(6 t2 - 4 t) i – 3 t3 j + 3 k]

j

i

r

A

12

18

,

0

terhadap

Percepatan

t

dt

d

A







Kecepatan sistem 0! terhadap 0, v = - 7 i.

j

i

r

A

12

18

,

0

terhadap

Percepatan

! !

!

t

dt

d

Contoh.

Pesawat terbang pada ketinggian 1500 m di atas tanah dengan v tetap 100 m s-1 mendatar dan

menjatuhkan benda. Carilah bentuk-bentuk persm dari benda mengenai (1) gerak benda (2) v benda dan (3) a menurut pengamat di bumi dan pilot-nya.

Penyelesaian.

Pengamat bumi 0 [kerangka acuan (xyz)] dan pilot [pengamat 0! kerangka acuan (x!y!z!)] dalam soal

1. Persm gerak benda

Pengamat bumi 0 kerangka acuan (xyz) benda jatuh nampak terbawa mendatar dengan v 100 m s-1 sehingga persm gerak benda menjadi,

x = v t = (100 t) m dan

y = h - ½ g t2 = 1500 - ½ g t2

Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)],

Gerak benda jatuh dalam sb. y!, x! = 0 dan

2. Persm kecepatan gerak benda

Pengamat di bumi 0 [kerangka acuan (xyz)], persm kecepatan diperoleh dengan cara men-diferensialkan persm gerak (atau koordinat) ter-hadap t ,

Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)]

persm v gerak benda jatuh dalam sumbu y!, 1

s

m

100









V

v

dt

dx

x dan

t

g

V

dt

dy

y





3. Persm percepatan

t

g

V

dt

dy

y

! !

!







0

!

!

!





V

_x

dt

dx

dan

Pengamat di bumi 0 [kerangka acuan (xyz)], Persm a diperoleh dengan mendiferensialkan persm v (atau koordinat) terhadap t,

2

s

m

0







_x

x

A

dt

dV

Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)]

0

! ! ! !





_x x

A

dt

dV

g

A

dt

dV

y y







Persm a gerak benda jatuh dalam sumbu y!