Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Kompetensi yang diharapkan
Kompetensi Dasar: Menggunakan logika matematika. Indikator Esensial:
1 Mengidentifikasi suatu tautologi
2 Menentukan ingkaran suatu pernyataan majemuk
3 Menentukan pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan
Logika Matematika
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Benar atau salahnya suatu pernyataan disebut nilai kebenaran.
Nilai kebenaran suatu pernyataan tergantung pada kebenaran atau ketidakbenaran realitas yang dinyatakannya (kebenaran faktual).
Pernyataan ada 2 macam, yaitu pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk.
Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Contoh
Mana diantara kalimat berikut ini yang merupakan pernyataan:
Ingkaran
Ingkaran suatu pernyataan p dilambangkan dengan p atau ¬p atau p , nilai kebenarannya selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula.
Jika suatu pernyataan bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah dan sebaliknya.
Kalimat pada ingkaran atau negasi suatu pernyataan yaitu dengan menambahkan kata ”tidak benar” atau ”bukan” di tengah kalimat pada pernyataan itu.
Jika dilambangkan dengan tabel kebenaran sebagai berikut;
p ¬q
B S
Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Contoh
Tentukan ingkaran dan nilai kebenarannya dari pernyataan berikut :
1 p : Jakarta adalah ibukota Indonesia 2 q : 7 bukan bilangan prima
3 r : 2 + 3 = 6
Jawab:
1 ¬p : Tidak benar Jakarta ibukota Indonesia atau Jakarta
bukan ibukota Indonesia. (S)
2 ¬q : 7 bilangan prima (B)
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung ”dan” , ”walaupun”, ”meskipun” atau ”tetapi”.
Konjungsi dari pernyataan p dan q dilambangkan dengan ”p ∧ q”.
Nilai kebenaran suatu konjungsi p ∧ q hanya akan benar jika nilai kebenaran p dan q keduanya benar.
Jika dinyatakan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Contoh
Jika p : 5 merupakan faktor dari 100 dan q : 5 bilangan prima. Tentukan pernyataan majemuk dari :
1 p ∧ q 2 ¬p ∧ q 3 ¬(p ∧ q)
Jawab:
1 5 merupakan faktor dari 100 dan 5 bilangan prima 2 5 bukan merupakan faktor dari 100 dan 5 bilangan prima 3 Tidak benar bahwa 5 merupakan faktor dari 100 dan 5
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung ”atau”.
Disjungsi dari pernyataan p dan q dilambangkan dengan ”p ∨ q”.
Nilai kebenaran suatu disjungsi p ∨ q hanya akan salah jika nilai kebenaran p dan q keduanya salah.
Jika dinyatakan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
p q p ∨ q
B B B
B S B
S B B
Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Contoh
Jika p : 5 merupakan faktor dari 100 dan q : 5 bilangan prima. Tentukan pernyataan majemuk dari :
1 p ∨ q 2 ¬p ∨ q 3 ¬(p ∨ ¬q)
Jawab:
1 5 merupakan faktor dari 100 atau 5 bilangan prima 2 5 bukan merupakan faktor dari 100 atau 5 bilangan prima 3 Tidak benar bahwa 5 merupakan faktor dari 100 atau 5
Implikasi
Implikasi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung ”Jika ...maka ...”.
Implikasi dari pernyataan p dan q dilambangkan dengan ”p → q ” atau ”p ⇒ q ”.
p → q dibaca ”Jika p maka q”.
Pada implikasi p → q, p disebut anteseden/hipotesa/sebab dan q disebut konsekuen/konklusi/akibat.
Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Implikasi
Jika dinyatakan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
p q p → q
B B B
B S S
S B B
Contoh
Jika p : Hari Minggu hari libur dan q : Dokter bertugas di Rumah Sakit. Nyatakan dengan kalimat majemuk dari lambang berikut ini :
1 p → q 2 ¬p → q
3 ¬q → ¬p
Jawab:
1 Jika hari Minggu hari libur maka dokter bertugas di
Rumah Sakit.
2 Jika hari Minggu bukan hari libur maka dokter bertugas di
Rumah Sakit.
3 Jika dokter tidak bertugas di Rumah Sakit maka hari
Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Implikasi
Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung ”...jika dan hanya jika ...”. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dilambangkan dengan ”p ↔ q” atau ” p ⇔ q”.
p ↔ q dibaca ”p jika dan hanya jika q”. Atau bisa juga diartikan Jika p maka q dan jika q maka p.
Nilai kebenaran suatu biimplikasi p ↔ q hanya akan salah jika nilai kebenaran p dan q berbeda atau hanya akan benar jika nilai kebenaran p dan q sama.
Implikasi
Jika dinyatakan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
Logika Matematika Kompetensi Pernyataan Ingkaran (Negasi) Konjungsi Disjungsi Implikasi (kondisional) Biimplikasi (bikondisional)
Contoh
Dari pernyataan di bawah ini, mana yang merupakan biimplikasi logis !
1 x = 2 jika dan hanya jika x2= 4.
2 x2− 5x + 4 < 0 jika dan hanya jika 1 < x < 4 untuk x
bilangan bulat. Jawab:
1 x = 2 maka P = {2} dan x2 = 4 ⇔ x = ±2 atau
Q = {−2, 2}. Karena P 6= Q maka tidak logis.
2 x2− 5x + 4 < 0 ⇔ (x − 1)(x − 4) < 0 atau 1 < x < 4.
