commit to user
MODEL EPIDEMI
DISCRETE TIME
MARKOV
CHAINS
(
DTMC
)
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE
(
SIS
)
DUA PENYAKIT PADA DUA DAERAH
Eka Lismawati, Respatiwulan, dan Purnami Widyaningsih Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Model epidemisusceptible infected susceptible(SIS) merupakan model
epi-demi yang menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik individu yang telah sembuh dapat terinfeksi penyakit kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Model epidemi SIS yang ditinjau dalam selang waktu diskrit dan mengikuti proses Markov digambarkan dengan model epidemidiscrete time Markovchains (DTMC). Individususceptible dapat terinfeksi lebih dari satu penya-kit. Selain itu, dimungkinkan terjadinya perpindahan individu dari daerah satu ke daerah lain. Dengan demikian, model epidemiDTMC SISdapat dikembangkan untuk dua penyakit dan dua daerah. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model epidemiDTMC SIS dua penyakit pada dua daerah. Model epide-miDTMC SIS dua penyakit pada dua daerah membahas proses infeksi dan dispersal. Pada proses infeksi disajikan probabilitas transisi individu susceptible dan infected pada masing-masing daerah, sedangkan pada proses dispersal disajikan probabilitas transisi individususceptibledaninfecteddari daerah satu ke daerah dua. Dari penera-pan model diperoleh banyaknya individususceptiblesemakin lama semakin menurun, sedangkan banyaknya individuinfected semakin lama semakin meningkat.
Kata kunci : epidemi, DTMC, SIS, dua penyakit, dua daerah
1.
PENDAHULUAN
Kesehatan merupakan hal penting dalam kehidupan manusia. Kesehatan
dapat terganggu karena adanya penyakit. Penyakit digolongkan menjadi dua
yaitu penyakit menular dan tidak menular. Penyebaran penyakit menular yang
cepat dan terjadi dalam kurun waktu yang lama dapat menyebabkan terjadinya
epidemi. Epidemi dapat dinyatakan dalam model matematika (Hethcote [5]).
Penyakit menular yang memiliki pola penyebaran dengan karakteristik
in-dividu yang telah sembuh dapat terinfeksi kembali, karena tidak memiliki sistem
kekebalan tubuh permanen. Pola penyebaran tersebut dapat dinyatakan dengan
model epidemi
susceptible infected susceptible
(
SIS
) (Allen [2]). Kondisi
indi-vidu model epidemi
SIS
dikelompokkan menjadi dua yaitu kelompok
susceptible
(
S
) dan
infected
(
I
). Kelompok individu yang sehat tetapi rentan penyakit
dise-but kelompok
susceptible
dan kelompok individu terinfeksi penyakit yang dapat
menularkan penyakit disebut kelompok
infected
. Banyaknya individu
susceptible
commit to user
individu
susceptible
dan
infected
pada waktu
t
+ 1 diasumsikan hanya
bergan-tung pada banyaknya individu
susceptible
dan
infected
pada waktu
t
, sehingga
kejadian ini dapat dipandang sebagai proses Markov. Menurut Allen [1], pola
penyebaran penyakit dengan karakteristik
SIS
yang ditinjau dalam selang waktu
diskrit dan mengikuti proses Markov digambarkan sebagai model epidemi
discrete
time
Markov
chains
(
DTMC
)
SIS
.
Menurut Allen dan Kirupaharan [3], individu
susceptible
dapat
terinfek-si satu atau lebih penyakit melalui kontak langsung dengan individu
infected
.
Penyebaran penyakit juga dapat terjadi pada satu atau lebih daerah, dikarenakan
terjadi perpindahan individu dari satu daerah ke daerah yang lain. Selanjutnya
Allen
et al.
[4] mengembangkan model epidemi
DTMC SIS
untuk beberapa
penyakit pada dua daerah. Pada penelitian ini dilakukan penurunan ulang dan
penerapan model epidemi
DTMC SIS
dua penyakit pada dua daerah.
2.
MODEL EPIDEMI
DTMC SIS
SATU PENYAKIT
Pada tahun 2003, Allen [1] memperkenalkan model epidemi
DTMC SIS
.
Model epidemi
DTMC SIS
menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan
karakteristik individu yang sembuh dapat terinfeksi kembali karena tidak
memi-liki sistem kekebalan tubuh permanen. Terdapat empat asumsi pada model
epide-mi
DTMC SIS
satu penyakit yaitu ukuran populasi
N
konstan, populasi
bercam-pur secara homogen, laju kelahiran dan kematian sama, serta individu yang lahir
merupakan individu yang sehat tetapi rentan penyakit. Variabel random
S
(
t
)
dan
I
(
t
) menyatakan banyaknya individu pada kelompok
susceptible
dan
infect-ed
pada waktu
t
. Berdasarkan asumsi, jika populasi konstan sejumlah
N
maka
S
(
t
) +
I
(
t
) =
N
. Jika
S
(
t
) =
s
dan
I
(
t
) =
i
, dengan
s
dan
i
menyatakan
state
,
maka fungsi probabilitas bersama untuk
S
(
t
) dan
I
(
t
) adalah
p
(s,i)(
t
) =
P
{
S
(
t
) =
s, I
(
t
)) =
i
}
,
dengan
s, i
= 0
,
1
,
2
, . . . , N
dan
t
= 0
,
∆
t,
2∆
t, . . .
.
Perubahan banyaknya individu
susceptible
dan
infected
pada selang waktu
∆
t
disebut transisi. Selang waktu ∆
t
diambil cukup kecil, sehingga paling banyak
ada satu individu yang bertransisi yaitu bernilai
−
1 jika berkurang, 0 jika tetap,
atau 1 jika bertambah. Pada selang waktu ∆
t
, jika perubahan banyaknya
in-dividu
susceptible
dan
infected
berturut-turut adalah
h
dan
j
, dengan
h
dan
commit to user
probabilitas transisi sebagai
p
(s+h,i+j),(s,i)(∆
t
) =
βisN
∆
t,
(
h, j
) = (
−
1
,
1);
γi
∆
t,
(
h, j
) = (1
,
−
1);
δi
∆
t,
(
h, j
) = (0
,
−
1);
1
−
(
βis
N
+
γi
+
δi
)
∆
t,
(
h, j
) = (0
,
0);
0
,
(
h, j
) yang lain,
dengan
δ
laju kelahiran yang sama nilainya dengan laju kematian,
β
laju kontak,
dan
γ
laju kesembuhan.
3.
MODEL EPIDEMI
DTMC SIS
DUA PENYAKIT
Menurut Allen
et al.
[4], model epidemi
DTMC SIS
dapat dikembangkan
pada dua penyakit, dengan asumsi pada selang waktu ∆
t
hanya ada satu penyakit
yang menginfeksi, setelah sembuh dari penyakit tersebut, individu
susceptible
dapat terinfeksi penyakit kedua. Variabel random
S
(
t
) dan
I
k(
t
) menunjukkan
banyaknya individu
susceptible
dan
infected
oleh penyakit
k
pada waktu
t
, dengan
k
= 1 dan 2. Asumsi yang digunakan pada model epidemi
DTMC SIS
dua
penyakit sama dengan model epidemi
DTMC SIS
. Jika
S
(
t
) =
s
,
I
k(
t
) =
i
k, dan
perubahan banyaknya individu
infected
oleh penyakit
k
dalam selang waktu ∆
t
adalah
j
k, dengan
j
k=
−
1
,
0
,
1, maka model epidemi
DTMC SIS
dua penyakit
adalah
p
(s+h,ik+jk),(s,ik)(∆
t
) =
β
kiNks
∆
t,
(
h, j
k) = (
−
1
,
1);
γ
ki
k∆
t,
(
h, j
k) = (1
,
−
1);
δ
ki
k∆
t,
(
h, j
k) = (0
,
−
1);
1
−
a
(
h, j
k) = (0
,
0);
0
,
(
h, j
k) yang lain,
dengan
a
= (
β1sN
i
1+
γ
1i
1+
δ
1i
1+
β2sN
i
2+
γ
2i
2+
δ
2i
2)∆
t
, dimana
δ
k, β
k, γ
kmerupakan
laju kelahiran yang sama nilainya dengan laju kematian, laju kontak, serta laju
kesembuhan penyakit
k
.
4.
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1.
Model Epidemi
DTMC SIS
Dua Penyakit pada Dua Daerah.
Menu-rut Allen
et al.
[4], selain dapat dikembangkan pada dua penyakit, model epidemi
commit to user
terdapat dua proses yaitu proses infeksi dan dispersal. Proses infeksi membahas
kontak antar individu
susceptible
dan individu
infected
yang hanya terjadi pada
daerah yang sama. Proses dispersal membahas perpindahan individu dari daerah
satu ke daerah dua.
Variabel random pada model epidemi
DTMC SIS
dua penyakit dua daerah
yaitu
S
d(
t
) dan
I
dk(
t
), dengan
S
d(
t
)
, I
dk(
t
)
∈ {
0
,
1
,
2
, . . . , N
}
. Notasi
S
d(
t
)
me-nunjukkan banyaknya individu
susceptible
pada daerah
d
saat
t
, dengan
d
= 1
dan 2. Notasi
I
dk(
t
) menunjukkan banyaknya individu
infected
oleh penyakit
k
pada daerah
d
saat
t
. Notasi
N
1dan
N
2menunjukkan banyaknya individu
pada masing-masing daerah, dimana
N
1dan
N
2konstan. Jika
S
d(
t
) =
s
ddan
I
dk(
t
) =
i
dk, maka fungsi probabilitas bersama dari variabel random
S
d(
t
) dan
I
dk(
t
) adalah
p
(sd,idk)(
t
) =
P
{
S
d(
t
) =
s
d, I
dk(
t
) =
i
dk}
,
dengan
s
d, i
dk= 0
,
1
,
2
, . . . , N
dan
t
= 0
,
∆
t,
2∆
t, . . .
.
Jika perubahan banyaknya individu
susceptible
dan
infected
pada selang
waktu ∆
t
berturut-turut adalah
h
ddan
j
dk, maka perpindahan
state
s
dke
state
s
d+
h
ddan dari
state
i
dkke
state
i
dk+
j
dkdisebut transisi. Probabilitas transisi
s
dmenuju
s
d+
h
ddan
i
dkmenuju
i
dk+
j
dkadalah
p
(sd+hd,idk+jdk),(sd,idk)(∆
t
) =
P
{
(
S
d(
t
+ ∆
t
)
, I
dk(
t
+ ∆
t
)) = (
s
d+
h
d, i
dk+
j
dk)
|
(
S
d(
t
)
, I
dk(
t
)) = (
s
d, i
dk)
}
.
Bertambahnya individu
infected
menunjukkan terjadinya transisi
state
(
s
d, i
dk)
ke
state
(
s
d−
1
, i
dk+1). Transisi ini terjadi dikarenakan adanya penularan
penya-kit oleh individu
infected
kepada individu
susceptible
. Jika terdapat sebanyak
i
dkindividu
infected
dalam populasi
N
d, maka probabilitas individu
infected
yang
melakukan kontak dengan individu
susceptible
sebesar
idkNd
. Jika besarnya laju
kontak penyakit
k
pada daerah
d
dimisalkan
β
dk, maka probabilitas transisi dari
state
(
s
d, i
dk) ke
state
(
s
d−
1
, i
dk+ 1) adalah
p
(sd−1,idk+1),(sd,idk)(∆
t
) =
β
dki
dkN
ds
d∆
t.
Jika satu individu
infected
oleh penyakit
k
sembuh maka terjadi transisi
dari
state
(
s
d, i
dk) ke
state
(
s
d+ 1
, i
dk−
1). Transisi ini mengakibatkan
penamba-han individu pada kelompok
susceptible
. Jika laju kesembuhan penyakit
k
pada
daerah
d
dimisalkan
γ
dk, maka besarnya probabilitas transisi dari
state
(
s
d, i
dk)
ke
state
(
s
d+ 1
, i
dk−
1) adalah
commit to user
Jika terjadi pengurangan individu pada kelompok
infected
oleh penyakit
k
, tetapi tidak terjadi penambahan individu pada kelompok
susceptible
, maka
individu
infected
oleh penyakit
k
meninggal. Hal ini berarti terjadi transisi dari
state
(
s
d, i
dk) ke
state
(
s
d, i
dk−
1). Jika laju kematian penyakit
k
pada daerah
d
dimisalkan
δ
dk, maka probabilitas transisi dari
state
(
s
gd, i
dk) ke
state
(
s
d, i
dk−
1)
adalah
p
(sd,idk−1),(sd,idk)(∆
t
) =
δ
dki
dk∆
t.
Tidak adanya penambahan maupun pengurangan banyaknya individu
pa-da masing-masing kelompok berarti tipa-dak terjadi perubahan
state
. Besarnya
probabilitas tidak terjadi perubahan dalam selang waktu ∆
t
dapat dituliskan
sebagai
p
(sd,idk),(sd,idk)(∆
t
) = 1
−
(
β
d1s
dN
di
d1+
γ
d1i
d1+
δ
d1i
d1+
β
d2s
dN
di
d2+
γ
d2i
d2+
δ
d2i
d2)
∆
t,
dengan
s
d+
i
d1+
i
d2∈ {
0
,
1
,
2
, . . . , N
d}
.
Misal diambil
b
= (
βd1sdNd
i
d1+
γ
d1i
d1+
δ
d1i
d1+
βd2sd
Nd
i
d2+
γ
d2i
d2+
δ
d2i
d2)∆
t
,
maka model epidemi
DTMC SIS
dua penyakit dua daerah pada proses infeksi
adalah
p(sd+hd,idk+jdk),(sd,idk)(∆t) =
βdkiNdkdsd∆t, (hd, jdk) = (−1,1);
γdkidk∆t, (hd, jdk) = (1,−1);
δdkidk∆t, (hd, jdk) = (0,−1);
1−b, (hd, jdk) = (0,0);
0, (hd, jdk) yang lain,
(4.1)
dengan
β
dk,
γ
dk, dan
δ
dkbernilai positif.
Setelah proses infeksi, pada model epidemi
DTMC SIS
dua penyakit dua
daerah dibahas mengenai proses dispersal. Proses dispersal yaitu proses
ter-jadinya perpindahan individu dari daerah satu ke daerah dua atau sebaliknya.
Pada proses ini, populasi
N
1dan
N
2konstan. Dengan demikian, jika terjadi
perpindahan individu dari daerah satu ke daerah dua maka juga terjadi
perpin-dahan individu dari daerah dua menuju daerah satu, sebanyak individu yang
pindah. Jika probabilitas perpindahan individu
susceptible
dari daerah satu ke
daerah dua sebesar
p
d, maka probabilitas tidak terjadi perpindahan di daerah
satu sebesar 1
−
p
d. Jika probabilitas perpindahan individu
infected
dari daerah
satu ke daerah dua sebesar
q
dk, maka probabilitas tidak terjadi perpindahan di
commit to user
daerah pada proses dispersal untuk individu
susceptible
dan
infected
berturut-turut adalah
p
=
{
p
d,
1
−
p
d,
(4.2)
dan
q
=
{
q
dk,
1
−
q
dk.
(4.3)
4.2.
Penerapan.
Pada penerapan ini nilai parameter yang diberikan mengacu
pada Allen
et al.
[4]. Pada proses infeksi, diketahui laju kontak
β
11= 0
.
1,
β
12=
0
.
05,
β
21= 0
.
05,
β
22= 0
.
075, laju kesembuhan
γ
11= 0
.
05,
γ
12= 0
.
025,
γ
21=
0
.
033,
γ
22= 0
.
05, laju kematian
δ
dk= 0. Diberikan nilai awal
I
11(0) =
I
12(0) =
I
21(0) =
I
22(0) = 1 dan
S
1(0) =
S
2(0) = 98. Diketahui ukuran populasi
N
= 200,
N
1= 100 dan
N
2= 100. Penyebaran penyakit dapat dilihat dari banyaknya
individu
susceptible
dan
infected
setiap waktu. Berdasarkan persamaan (4.1),
penyebaran penyakit selama 600 satuan waktu disajikan pada Gambar 1.
S1I11I12
0 84 600
7 44 49 98
(a)
t
S t1( )
I11( )t
I12( )t
0 346 600
42 36 98
22
(b) S2I21I22
t
S t2( )
I21( )t
[image:6.595.100.510.224.488.2]I22( )t
Gambar 1. Banyaknya individu (a)S1I11I12dan (b) S2I21I22dari proses infeksi model
epidemi DTMC SIS dua penyakit dua daerah dalam 600 satuan waktu
Dari Gambar 1 (a) terlihat bahwa banyaknya individu
susceptible
pada
wak-tu ke-84 wak-turun menjadi 7, karena individu
susceptible
terinfeksi penyakit. Waktu
ke-84 sampai dengan waktu ke-600, banyaknya individu
susceptible
mengalami
fluktuasi pada angka 5 sampai 9, sehingga diambil angka rata-ratanya yaitu 7.
Dengan demikian, dianggap bahwa banyaknya individu
susceptible
tetap mulai
waktu ke-84 yaitu sebanyak 7. Bersamaan dengan penurunan banyaknya individu
susceptible
, terjadi kenaikan banyaknya individu
infected
. Banyaknya individu
commit to user
satu dan dua dianggap tetap mulai waktu ke-84 yaitu berturut-turut sebanyak
44 dan 49.
Gambar 1 (b) menunjukkan bahwa banyaknya individu
susceptible
semula
98 turun menjadi 22 pada waktu ke-346, kemudian mengalami fluktuasi
sam-pai waktu ke-600 pada angka 18 samsam-pai 26, sehingga diambil rata-ratanya yaitu
22. Dengan demikian, banyaknya individu
susceptible
dianggap tetap mulai
wak-tu ke-346. Pada wakwak-tu ke-346, banyaknya individu
infected
oleh penyakit satu
meningkat dari nilai awal sampai 42, kemudian mengalami fluktuasi sampai
wak-tu ke-600 pada angka 39 sampai 45, sehingga diambil angka rata-ratanya yaiwak-tu
42. Banyaknya individu
infected
oleh penyakit dua meningkat dari nilai awal
sampai 36, kemudian mengalami fluktuasi pada angka 31 sampai 40, sehingga
diambil angka rata-ratanya yaitu 36. Dengan demikian, banyaknya individu
in-fected
dianggap tetap mulai waktu ke-346 sebesar 42 untuk penyakit satu dan 36
untuk penyakit dua.
Untuk mengamati perubahan banyaknya individu
infected
I
11,
I
12,
I
21, dan
I
22setiap waktu, maka disajikan penyebaran penyakit dalam 10 satuan waktu
pada Gambar 2.
0 1 3 5 7 9
1 3 5 7 9
0 1 3 5 7 9
1 3 5 7 9
(a) (b)
I12
I11 I21I22
t t
I11( )t
I12( )t
I21( )t
I22( )t
Gambar 2. Banyaknya individu (a)I11I12 dan (b)I21I22 dari proses infeksi model
epidemi DTMC SIS dua penyakit dua daerah dalam 10 satuan waktu
Dari Gambar 2 dapat dihitung probabilitas transisi penyebaran penyakit
dengan menggunakan persamaan (4.1). Dari Gambar 2 (a) terdapat perubahan
banyaknya individu
infected
, dari
I
11(1) = 1 ke
I
11(2) = 2, berarti dalam selang
waktu satu waktu terjadi transisi yaitu individu
susceptible
terinfeksi oleh
penya-kit satu. Transisi dari
I
11(1) = 1 ke
I
11(2) = 2 dihitung dengan menggunakan
persamaan (4.1), diperoleh probabilitas transisi sebesar 0
.
098. Dari Gambar 2 (b)
terdapat perubahan banyaknya individu
infected
, dari
I
21(2) = 1 ke
I
21(3) = 2.
Probabilitas transisi dari
I
21(2) = 1 ke
I
21(3) = 2 adalah sebesar 0
.
049. Dengan
[image:7.595.98.511.145.535.2]commit to user
Berikut diberikan probabilitas perpindahan individu pada proses dispersal
yang mengacu pada Allen
et al.
[4]. Diberikan probabilitas perpindahan
indi-vidu
susceptible
yaitu
p
d= 0
.
01. Allen
et al.
mengasumsikan bahwa individu
infected
tidak melakukan perpindahan dari daerah satu menuju daerah dua atau
sebaliknya, sehingga probabilitas perpindahan individu
infected
yaitu
q
dk= 0.
Dengan
p
dyang diberikan, diperoleh probabilitas tidak terjadi perpindahan
indi-vidu
susceptible
sebesar 1
−
p
d= 0
.
99
.
5.
KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil dua kesimpulan.
(1) Model epidemi
DTMC SIS
dua penyakit pada dua daerah dituliskan pada
persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3).
(2) Penerapan yang mengacu pada Allen menunjukkan pola penyebaran
mo-del epidemi
DTMC SIS
dua penyakit dua daerah. Daerah satu, pada
wak-tu ke-84, banyaknya individu
susceptible
menurun menjadi 7, banyaknya
individu
infected
oleh penyakit satu meningkat dari nilai awal menjadi 44,
dan banyaknya individu
infected
oleh penyakit dua mengalami kenaikan
dari nilai awal sampai 49. Daerah dua, pada waktu ke-346, banyaknya
individu
susceptible
semula 98 turun menjadi 22, banyaknya individu
in-fected
oleh penyakit satu meningkat dari nilai awal menjadi 42, sedangkan
banyaknya individu
infected
oleh penyakit dua meningkat dari nilai awal
sampai 36.
Daftar Pustaka
[1] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Epidemic Models, Texas Tech University,
Texas, 2008.
[2] Allen, L. J. S.,An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology,
Pren-tice Hall, Upper Saddla River, New Jersey, 2003.
[3] Allen, L. J. S. and N. Kirupaharan,Asymptotic Dynamics of Deterministic and Stochastic
Epidemic Models with Multiple Pathogens, International Journal of Numerical Analysis
and Modeling 2 (2005), no. 3, 329-344.
[4] Allen, L. J. S., N. Kirupaharan, and S. M. Wilson, SIS Epidemic Models with Multiple
Pathogen Strains, Journal of Difference Equations and Applications 10 (2004), no. 1,
53-75.
[5] Hethcote, H. W.,The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review 42 (2000), no. 4,
