INTISARI
PENENTUAN MASSA DIAM ELEKTRON
DENGAN MENGUKUR ENERGI PADA PUNCAK HAMBURAN BALIK MENGGUNAKAN SPEKTROMETER GAMMA
Elektron adalah partikel elementer bermuatan negatif. Elektron-elektron mengedari inti atom seperti halnya planet-planet mengedari matahari. Interaksi foton-γ dengan elektron melalui tiga proses penting. Proses tersebut yaitu efek fotolistrik, hamburan Compton dan produksi pasangan. Hamburan Compton merupakan interaksi yang penting dalam menentukan massa diam elektron.
ABSTRACT
DETERMINATION OF REST MASS OF THE ELECTRON BY MEASURING BACK-SCATTERING ENERGY PEAK USING GAMMA
SPECTROMETER
Electron is the negative elementery particle charge. The electrons circulating about the nucleus like planets circulating about the sun. γ-photon interact with electron through three important processes. Those processes are photoelectric effect, Compton scattering and pair production. Compton scattering is an important interaction to determine the rest mass of the electron.
A research has been done to obtain γ-rays spectrum from radioactive source. Radioactive source which are used are Cs137, Tl204, Co60 dan Sr90. From the spectrum we can see the Compton distribution. Upon the Compton distribution exist the back-scattering peak, it occurs because of the interaction between γ-rays with the matter around the detector. The energy value at this back-scattering peak is use to determine the rest mass of the electron. The rest mass result of the electron from the research is (7 ± 2) x 10-31 kg.
PENENTUAN MASSA DIAM ELEKTRON
DENGAN MENGUKUR ENERGI PADA PUNCAK HAMBURAN BALIK
DENGAN SPEKTROMETER GAMMA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana S-1
Program Studi Fisika
Jurusan Studi Fisika
Oleh :
VALERIA YUSTA JEMAHAN
NIM : 023214015
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
DETERMINATION OF REST MASS OF THE
ELECTRON BY MEASURING BACK-SCATTERING ENERGY
PEAK USING
GAMMA SPECTROMETER
SCRIPTION
Presented as Partial FulFillment of the Requirements to obtain
the Sarjana Sains Degree In Physics
By:
VALERIA YUSTA JEMAHAN
NIM : 023214015
PHYSICS STUDY PROGRAM
PHYSICS DEPARTEMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FAKULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
SKRIPSI
PENENTUAN MASSA DIAM EI+EKTRON
DENGANMENGUKURENERGIPADAPUNCAKHAMBURAN
BALIKMENGGI.INAKANSPEKTROMETERGAMMA
O l e h :
Vaieria Yusta Jemahan NIM: A232l4Al5
Telah disetujui oleh :
tanggar
..q1...
Rn 1..(.:Y.1.
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan kepada
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang telah mencurahkan segala
rahmat-Nya dan mengabulkan segala permohonanku
Bapak tercinta Wilhelmus Jemahan
Ibunda tercinta Theresia Hoar Jemahan
Kedua adikku Leonardus Evaristus dan Redemptus Korsini
”Terima Kasih atas cinta, kasih sayang dan doa yang selalu menemani nona
selama ini khususnya selama kuliah”
Nenek, om, tante dan semua saudaraku dan keluarga besarku di Kupang
”Terima kasih atas semua suport dan doa yang kalian berikan selama nona
kuliah”
Teman-teman seperjuangan
Jeng Ki,Imut,Nyi,Gimtong,Hanik,Tiwan,Iman,Adit,Basil,Keke,papi,mb
Debo,mb Asri,Mas Cristo
”Terima kasih buat tahun-tahun yang kita lewati bersama dengan semangat
kekeluargaan, semua kenangan itu terlalu indah dan slalu kukenang”
Teman-teman Komunitas Sant’ Egidio
Sisca,Irna,Echa,Nita,Ochi,K’Iwan,K’Marten,K’Tedy,K’Jhon,K’Anan,K’Stelo,
mz Heri,Mayoes,Corry,Maya,Charles,Era,K’Hence,Ryan,Sari,dan semua yang
”terima kasih semangat kekeluargaan dan kasih yang telah kalian berikan
kepada saya selama ini”
Motto
“Jangan bimbang menghadapi segala macam cobaan, karena makin dekat kita
dengan kesuksesan maka makin berat cobaan yang kita alami”
“Jadikan Tuhan sebagai pelita di sepanjang perjalanan hidupmu”
INTISARI
PENENTUAN MASSA DIAM ELEKTRON
DENGAN MENGUKUR ENERGI PADA PUNCAK HAMBURAN BALIK MENGGUNAKAN SPEKTROMETER GAMMA
Elektron adalah partikel elementer bermuatan negatif. Elektron-elektron mengedari inti atom seperti halnya planet-planet mengedari matahari. Interaksi foton-γ dengan elektron melalui tiga proses penting. Proses tersebut yaitu efek fotolistrik, hamburan Compton dan produksi pasangan. Hamburan Compton merupakan interaksi yang penting dalam menentukan massa diam elektron.
Telah dilakukan penelitian untuk mendapatkan spektrum sinar- γ dari sumber radioaktif. Sumber radioaktif yang di gunakan adalah Cs137, Tl204, Co60 dan Sr90. Dari spektrum ini bisa dilihat adanya distribusi Compton. Pada distribusi Campton terdapat puncak hamburan balik, terjadi karena interaksi foton- γ dengan materi di sekitar detektor. Nilai energi pada puncak hamburan balik ini di gunakan untuk menentukan massa diam elektron. Hasil massa diam elektron dari penelitian ini sebesar (7 ± 2) x 10-31 kg.
ABSTRACT
DETERMINATION OF REST MASS OF THE ELECTRON BY MEASURING BACK-SCATTERING ENERGY PEAK USING GAMMA
SPECTROMETER
Electron is the negative elementery particle charge. The electrons circulating about the nucleus like planets circulating about the sun. γ-photon interact with electron through three important processes. Those processes are photoelectric effect, Compton scattering and pair production. Compton scattering is an important interaction to determine the rest mass of the electron.
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus atas kasih karunia dan penyertaan-Nya yang diberikan kepada penulis selama penyusunan skripsi yang berjudul ”Penentuan massa diam elektron menggunakan energi pada puncak hambur balik dengan spektrometer gamma"
Penyusunan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan studi program sarjana Stratum-1 di Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Bapak Dr. Ign. Edi Santosa selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran membimbing dan meluangkan waktunya untuk membimbing penulis dari awal hingga akhir karya tulis ini.
2. Ibu Ir. Sri Agustini selaku dosen dan kaprodi Fisika.
3. Seluruh staf dosen dan asisten yang telah memberi bekal ilmu pengetahuan selama penulis menuntut ilmu di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
5. Kedua adikku tersayang yang selalu mendoakan dan mendukung saya. 6. My friends angkatan 2002 Jeng Kia, Ima, Erni, Hanik, Adet, yuda, Adit,
Iman, Ridwan,papi Tri, Basil, Ook, Danang, Dian, Ratna, Inke, Frida, Gita, Christoper ‘00, mb Asri, Mamat ,Hari, mb Debo, Sisca dan teman-teman fisika yang lain.
7. Semua pihak yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu trimakasih telah membantu kelancaran dalam penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu penulis dengan hati terbuka menerima kritik dan saran dari semua pihak untuk bahan perbaikan di masa mendatang. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi para pembaca.
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL INDONESIA... i
HALAMAN JUDUL INGGRIS... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii
HALAMAN PENGESAHAN... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vii
INTISARI... viii
ABSTRACT... ix
KATA PENGANTAR... x
DAFTAR ISI... xii
DAFTAR TABEL... xiv
DAFTAR GAMBAR... xv
BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang... 1
Rumusan Masalah... 2
Batasan Masalah... 3
Tujuan Penelitian... 3
Manfaat Penelitian... 3
B. Interaksi radiasi -γ dengan materi……… 6
B.1 Efek Fotolistrik………... 6
B.2 Hamburan Compton……… 7
B.3 Produksi Pasangan……….. 10
C. Spektrometri-γ ………. 10
BAB III METODE PENELITIAN 1. Tempat Eksperimen... 11
2. Alat dan Bahan... 11
2.1 Alat... 11
2.2 Bahan... 13
3. Metode Pengambilan Data... 13
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN A. Hasil... 15
a. Kalibrasi... 15
b. Perhitungan... 16
B. Pembahasan... 25
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan... 29
B. Saran... 29
DAFTAR PUSTAKA ... 30
LAMPIRAN I……… 31
LAMPIRAN I I... 42
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Tabel hubungan intensitas terhadap energi
pada sumber Cs137... 17 Tabel 4.2 Tabel energi puncak hambur balik ... 24 Tabel 4.3 Tabel energi gamma sumber dan energi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Gambar rangkaian spektrometer gamma... 13 Gambar 4.1 Grafik hubungan intensitas terhadap energi
Pada sumber cs137... 22 Gambar 4.2 Grafik hubungan 2E0 X Ehb terhadap E0-Ehb... 25
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Secara alamiah sturuktur materi tersusun atas atom-atom. Sebuah atom terdiri dari inti atom dan elektron yang mengelilinginya. Penelitian awal mengenai elektron dilakukan oleh Thomson, seorang ilmuwan Inggris pada tahun 1897. Thomson membuktikan bahwa di dalam atom terdapat partikel kecil bermuatan negatif, partikel ini oleh Thomson dinamakan elektron. Thomson berhasil menemukan perbandingan antara muatan dan massa
elektron
(
e/m)
yaitu sebesar 1.7588 x 1011 C/kg. [Klinken, 1989].Penelitian untuk mencari besarnya nilai muatan dari elektron dilakukan oleh Milikan pada tahun 1909. Dari hasil penelitian tersebut diperoleh besarnya muatan elektron sebesar 1.6 x 10-19 C. Dengan mengetahui besarnya nilai muatan elektron, maka besarnya massa diam elektron dapat diperoleh [Klinken, 1989].
2
digunakan adalah interaksi antara radiasi foton-γ dengan materi [Jolivette.
and Rouze, 1994]. Salah satu interaksi tersebut adalah hamburan Compton. Dari spektrum-γ yang dihasilkan bisa dilihat adanya distribusi Compton yang
terbentang dari energi nol sampai ke energi maksimum yang disebut tepi Compton. Dari nilai energi pada tepi Compton ini, bisa ditentukkan nilai massa diam elektron. Walaupun penelitian tersebut berhasil tetapi ditemui kendala, yaitu bentuk tepi yang tidak tajam sehingga susah dalam penentuan energinya.
Mengingat bentuk yang tidak tajam dari tepi Compton maka di lakukan penelitian menggunakan alternatif lain yaitu energi pada puncak hamburan balik untuk mencari massa diam elektron. Penelitian menggunakan peralatan spektrometer gamma yang memakai detektor sintilator NaI(Tl) yang merupakan salah satu jenis detektor yang mendeteksi radiasi sinar-γ .
Rumusan Masalah
1) Bagaimana mendapatkan bentuk distribusi hamburan Compton yang baik untuk menentukan nilai energi pada puncak hambur balik dan energi pada tepi compton.
Batasan Masalah
1) Penelitian menggunakan detektor NaI(Tl).
2) Sumber yang digunakan adalah Cs137, Sr90, Co60 dan Tl204.
3) Menentukan massa diam elektron menggunakan energi pada puncak hamburan balik.
Tujuan Penelitian
1) Menentukan nilai energi pada puncak hamburan balik. 2) Mendapatkan massa diam elektron
Manfaat Penelitian
1) Memberi informasi bagaimana menentukan massa diam elektron dari nilai energi pada puncak hamburan balik.
BAB II
DASAR TEORI
A. Teori Atom
Pada tahun 1897 Thompson melakukan penelitian dan berpendapat bahwa di dalam atom terdapat partikel kecil bermuatan negatif yang disebut elektron. Elektron-elektron dari sebuah atom tersebar di seluruh bagian atom seperti kismis dalam roti. Thompson juga menemukan nilai perbandingan antara muatan dan massa e melektron, yaitu sebesar 1.7588 x 1011 c/kg. [Klinken ,1989].
Penelitian untuk menentukan besarnya muatan dan massa dilakukan oleh Milikan pada tahun 1909. Dari hasil penelitian didapatkan besarnya muatan elektron yaitu 1.6 x 10-19 C. Jika muatan elektron diketahui maka massa elektron dapat ditentukan.
Pada tahun 1911, Rutherford melakukan penelitian menggunakan bahan radioaktif yang memancarkan partikel alfa yang ditembakkan pada selaput emas tipis. Partikel alfa tersebut dapat dibelokkan hingga mencapai sudut yang besar karena bertumbukan dengan suatu obyek yang padat. Dari hasil penelitian yang dilakukan, Rutherford mengusulkan bahwa muatan positif dan massa atom terpusat pada pusatnya dalam suatu daerah yang disebut inti [Krane, 1992].
Muatan elektron dan inti berlawanan, sehingga ada gaya tarik coulomb
antara keduanya. Akibat adanya gaya tarik coulomb, elektron dan inti saling
mendekat. Elektron akan kehilangan energi terus-menerus. Elektron harus
mengurangi jari-jari orbitnya hingga pada akhirnya elektron akan menempel
pada inti seperti pada model atom Thompson [Klinken, 1989].
Neils Bohr pada tahun 1913 mengemukakan bahwa atom mirip dengan
sistem planet. Suatu elektron tunggal dengan massa m bergerak dalam lintasan
orbit berbentuk lingkaran dengan jari-jari r, dan kecepatan v mengelilingi inti atom bermuatan positif. Menurut Rutherford elektron akan kehilangan energi.
Sehingga Bohr mengusulkan adanya keadaan mantap stasioner, yaitu keadaan
gerak tertentu dimana elektron tidak meradiasikan energi elektromagnet
[Krane, 1992]. Pada keadaan ini momentum sudut orbital elektron bernilai
kelipatan bulat dari h:
m v r = n ... h (2.1) dimana n adalah bilangan bulat (1,2,3....).
=
hπ
2
h
,dengan h adalah ketetapan planck (6.626 x 10-34 Js).
Selain itu Bohr berpendapat bahwa elektron yang mengelilingi inti berada
6
B. Interaksi Radiasi Gamma Dengan Materi
Berdasarkan Postulat Planck, tenaga sinar-γ dipancarkan sebagai
kuanta atau foton. Setiap satu foton akan mengandung energi E yang bergantung pada frekuensi v radiasi [Krane, 1992]:
E = h v ...(2.2) dengan :
υ = frekuensi foton
Sinar-γ mempunyai daya tembus yang besar terhadap materi. Interaksi
sinar-γ dengan materi mengakibatkan hilangnya sebagian atau seluruh tenaga
radiasi tersebut. Mekanisme hilangnya tenaga sinar-γ yang melewati materi
melalui tiga peristiwa tergantung besarnya tenaga dan jenis materi yang
dilewatinya [Santoso, 1994]. Ketiga peristiwa tersebut adalah Efek Fotolistrik,
Hamburan Campton dan Produksi Pasangan.
B.1 Efek Fotolistrik
Efek fotolistrik terjadi apabila ada radiasi sinar-γ yang bertumbukkan
dengan elektron yang terikat kuat. Karena terikat kuat, elektron itu akan
menyerap seluruh tenaga dari sinar-γ tersebut dan akan terpancar keluar dari
atom dengan energi gerak sebesar selisih energi sinar-γ dan energi ikat
B.2 Hamburan Compton
Percobaan untuk hamburan Compton pertama kali dilakukan oleh
Authur Holly Compton pada tahun 1923. Hamburan Compton terjadi apabila
adanya interaksi antara radiasi sinar-γ dengan elektron yang terikat lemah
Karena elektron itu terikat lemah maka setelah terjadi tumbukan antara sinar-γ
dan elektron, elektron itu hanya akan menyerap sebagian energi dari sinar-
tersebut. Kemudian sinar-γ akan dihamburkan keluar dan memiliki E’ (energi
setelah tumbukan) dan p’ (momentum setelah tumbukan). Peristiwa hamburan Compton bisa dilihat pada Gambar 2.1. Ketika terjadi interaksi antara sinar-γ
dan elektron, berlaku dua hukum kekekalan. Kedua hukum itu adalah hukum
kekekalan energi dan hukum kekekalan momentum.
Gambar 2.1. Gambar peristiwa hamburan compton.
Dalam hamburan Compton terjadi pergeseran panjang gelombang,
dimana panjang gelombang foton terhambur (λ’) lebih besar dari panjang gelombang foton mula-mula (λ). Pergeseran panjang gelombang ini tidak
bergantung pada panjang gelombang datang (λ), tetapi hanya bergantung
8
∆λ = λ’ – λ =
c m
h
0
(1 – cos θ)...(2.3)
dengan :
λ = panjang gelombang foton-γ mula-mula
λ’
= panjang gelombang foton-γ setelah terjadi hamburan
θ = sudut hambur
m0 = massa diam elektron
c = kecepatan cahaya (3 x 108 m/s)
Pada persamaan (2.3) dapat dilihat nilai perubahan panjang gelombang
akan mencapai nilai maksimum apabila sudut hambur θ sebesar 1800. Di mana nilai perubahan panjang gelombangnya yakni dua kali panjang gelombang
Compton.
Selain pergeseran panjang gelombang yang bergantung dari besarnya
sudut hamburan, tenaga sinar-γ terhambur juga bergantung pada besarnya
sudut hamburan [Susetyo, 1988] :
(
γ)
(
θ)
γ γ
cos 1 /
1 2
'
− +
=
c m E
E E
o
...(2.4)
Dimana :
γ
'
E = tenaga foton- γ hambur
γ
E = tenaga foton- γ mula-mula
Variasi nilai energi sinar-γ terhambur dapat dilihat dari spektrum
sinar-γ, di mana distribusi Compton bergerak dari tenaga nol sampai ke suatu tenaga
nilai energi pada tepi Compton ini, bisa ditentukan besarnya massa diam
elektron.
Pada distribusi Compton yang terbentang dari energi nol sampai
kesuatu energi maksimum, terdapat puncak yang berada pada distribusi
tersebut. Puncak tersebut dinamakan puncak hamburan balik. Puncak
hamburan balik ini muncul sebagai akibat dari interaksi antara sinar-γ yang
dideteksi dengan materi disekitar detektor. Sinar-γ terhambur yang dihasilkan
tersebut dapat masuk kedalam detektor dan dideteksi. Tenaga puncak
hamburan balik ini bisa dihitung dengan memasukkan harga θ = 180o pada persamaan (2.4) sehingga diperoleh persamaan [Susetyo, 1988] :
Ehambur balik =
) / ( 2
1 0 2
0 c m E E o + ...(2.5)
Dari persamaan (2.5) massa diam elektron dapat dituliskan sebagai :
Ehb ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 02
2 1 c m E o
= E0
1+2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 0 c m E o = hb E E0
moc2 = ⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡
− hb b h E E xE E 0 0
2 ...(2.6)
dengan :
Ehb = Energi pada puncak hamburan balik.
E0 = Energi sinar-γ mula-mula.
Dari persamaan (2.6) dapat dijabarkan menjadi :
(
hb)
hb m c E E
xE
E = 0 −
2 0 0
10
Berdasarkan persamaan (2.7) dibuat grafik hubungan 2E0 x Ehb
terhadap E0 - Ehb. Dari grafik tersebut didapatkan nilai gradien, dimana nilai
gradien tersebut digunakan untuk menentukan massa diam elektron.
B.3 Produksi Pasangan
Jika sinar-γ yang memiliki energi tinggi (>1,022 MeV) bergerak
melewati medan listrik yang sangat kuat disekitar inti atom, maka sinar-γ
tersebut akan lenyap dan sebagai gantinya akan muncul pasangan elektron dan
positron (e- dan e+).
C. Spektrometer – γ
Spektrometer adalah peralatan yang digunakan untuk menghasilkan
spektrum untuk mengukur panjang gelombang dan energi. Interaksi sinar-γ
dengan detektor akan menghasilkan signal pulsa. Tinggi pulsa yang dihasilkan
detektor bersesuaian dengan tenaga sinar-γ yang mengenai detektor.
Pulsa-pulsa tersebut akan diproses secara elektronik dalam serangkaian peralatan
yang membentuk perangkat spektrometer-γ. Komponen utama dari perangkat
spektrometer-γ terdiri dari Detektor NaI(Tl), SCA, counter. Setelah
pulsa-pulsa tersebut diproses secara elektronik, sebagai hasil akhir akan didapatkan
BAB III
METODE PENELITIAN
1. TEMPAT EKSPERIMEN
Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Fisika Moderen FMIPA,
Universitas Sanata Dharma
2. ALAT DAN BAHAN
2.1 Susunan dan Prinsip Kerja Alat
Alat yang digunakan disini adalah seperangkat spektormeter-γ yang terdiri
dari :
a. Detektor NaI(Tl)
b.PMT
c. SCA
SCA berfungsi sebagai alat untuk menganalisis pulsa-pulsa yang akan
dicacah oleh counter.
d. Counter
Counter disini berfungsi sebagai pencacah pulsa yang dihasilkan dari
12
Sinar-γ foton
Counter SCA
PMT Kristal
NaI(Tl)
Gambar.3.1. Rangkaian spektrometer-γ
Susunan perangkat spektrometer-γ seperti pada Gambar.3.1. Prinsip
kerjanya adalah sinar gamma masuk kedalam detektor dan mengenai kristal
NaI(Tl), kemudian sinar gamma akan berinterskai dengan elektron dari
atom-atom kristal tersebut. Akibat interaksi ini, kristal NaI(Tl) akan memancarkan
sejumlah foton yang memiliki intensitas yang sebanding dengan energi
gamma yang mengenainya. Kemudian foton tersebut akan masuk ke PMT
(Photo Multiplier Tube) untuk digandakan cacahnya. Setelah cacahnya
digandakan, pulsa-pulsa tersebut akan dianalisis oleh SCA. SCA mempunyai
satu salur pencacahan yang dibatasi oleh suatu ambang (treshold) dan celah (window) yang lebarnya bisa diatur. Hanya pulsa-pulsa yang mempunyai nilai yang lebih besar dari harga ambang dan lebih kecil dari batas atas jendela
yang dapat diteruskan ke counter. SCA sering juga disebut dengan
diskriminator. Setelah di analisis oleh SCA, pulsa-pulsa tersebut akan
diteruskan ke counter untuk di cacah dan di tampilkan. Kemudian cacahan
dari sumber radioaktif yang digunakan tersebut, akan dicatat. Cacahan dan
besarnya energinya ditampilkan dalam bentuk grafik hubungan cacah terhadap
2.2 Bahan
Bahan atau sumber yang digunakan dalam penelitian adalah bahan
radioaktif yang mempunyai energi-γ dan intensitas yang berbeda-beda.
Bahan-bahan tersebut terdiri dari Cs137, Tl204, Co60 dan Sr90 yang memiliki energi-γ
berturut-turut sebesar 662 keV, 764 keV, 1173.2 keV dan 540 keV.
3. Metode Pengambilan Data.
Kalibrasi Tenaga
Dalam eksperimen ini mula-mula dilakukan kalibrasi tenaga. Kalibrasi
tenaga ini menggunakan sumber Cs137 yang memiliki energi sebesar 662 keV. Energi sebesar 662 keV ini bersesuaian dengan posisi baseline pada 330. Kemudian kedudukan analyser diatur pada posisi window 2%. Selanjutnya kedudukan amplifier diatur supaya didapatkan cacah yang maksimal dengan cara pengaturan kedudukan fine gain dan coarse gain
yang terkecil, hasil cacahan tiap waktunya dicatat. Bila cacah tiap satuan
waktu sudah ditemukan maka tombol fine gain dan coarse gain ini dan jangan merubah posisinya. Dengan mengetahui besarnya energi Cs137 yaitu 662 keV dan posisi baseline, maka bisa dicari besarnya nilai faktor K. Nilai faktor K di peroleh dari pembagian besarnya energi Cs137 dan nilai baseline 330 :
K =
330 662
= 2,006
14
Pengukuran untuk mendapatkan spektrum sinar- γ.
Kedudukan baseline E diatur pada posisi 400 , dan kedudukan window
pada 2%. Posisi fine gain dan coarse gain tidak boleh dirubah atau tetap sesuai dengan yang telah didapat saat kalibrasi. Waktu yang digunakan
yaitu satu menit sesuai dengan saat kalibrasi awal dan mulai mencacah.
Kemudian baseline energinya diturunkan pada tiap interval yang tersedia sampai mencapai nilai nol, nilai cacahan untuk tiap penurunan interval
dicatat.
Pencacahan dilakukan untuk mendapatkan cacah dan energi baseline.
Kemudian untuk mendapatkan energi, semua nilai baseline dikalikan dengan faktor K. Data akhir yang didapatkan berupa Energi (keV) dan cacahan yang
dimasukan dalam tabel seperti pada Tabel 4.1 dan disajikan dalam bentuk
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. HASIL
a. Kalibrasi
Pada sumber digunakan waktu pencacahan yaitu 1 menit. Bahan
radioaktif yang digunakan pada saat kalibrasi yaitu Cs137 yang memiliki nergi sebesar 662 keV. Energi sebesar 662 keV ini bersesuaian dengan posisi
baseline pada 330. Kemudian kedudukan analyser diatur pada posisi window
2%. Selanjutnya kedudukan amplifier diatur supaya didapatkan cacah yang maksimal dengan cara pengaturan kedudukan fine gain dan coarse gain yang terkecil, hasil cacahan tiap waktunya dicatat. Bila cacah tiap satuan waktu
sudah ditemukan maka tombol fine gain dan coarse gain ini tidak boleh dirubah. Dengan mengetahui besarnya energi Cs137 yaitu 662 keV dan posisi
baseline, maka bisa dicari besarnya nilai faktor K.
Hasil dari kalibrasi ini selanjutnya digunakan dalam penelitian untuk
mendapatkan spektrum sinar-γ. Dari spektrum sinar- γ ini bisa dilihat adanya
distribusi Compton., dimana dari distribusi Compton tersebut bisa ditentukan
16
puncak hamburan balik dan energi gamma dari sumber yang digunakan, maka
bisa didapatkan massa diam elektron menggunakan persamaan (2.6).
b. Perhitungan
Dalam penelitian digunakan sumber radioaktif yaitu Cs137. Pada Tabel 4.1 diperlihatkan besarnya Energi (keV) dan cacahan menggunakan sumber
Cs137. Dimana energi diperoleh dari perkalian nilai faktor K dengan semua nilai baseline. Dari data pada Tabel 4.1 disajikan dalam Gambar 4.1.
Data dan grafik untuk sumber Cs137 sebagai berikut :
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu pencacahan : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Energi- γ : 662 keV
Tabel 4.1. Tabel hubungan cacah terhadap energi
pada sumber Cs137
E (keV) Cacah 744 1181 740 1552 736 2072 732 2573 728 3445 724 4446 720 5511 716 6827 712 7978 708 10142 704 11874 700 13580 696 15145 692 17119 688 19230 684 21280 680 22745 676 24632 672 25835 668 27266 664 28020 660 28053 656 27804 652 27404 648 26890 644 25659 640 24041 636 22337 632 20511 628 18768 624 17369 620 15123 616 13568 612 11997 608 10376 604 8710 600 7527 596 6486 592 5725 588 4842
18
E (keV) Cacah 584 3962 580 3421 576 3028 572 2650 568 2355 564 2109 560 1961 556 1877 552 1786 548 1766 544 1778 540 1701 536 1814 532 1834 528 1918 524 1991 520 2240 516 2358 512 2405 508 2596 504 2814 500 3086 496 3247 492 3606 488 3971 484 4371 480 4435 476 5104 472 5566 468 6144 464 6267 460 6968 456 7433 452 7831 448 8316 444 8560 440 8859 436 9384 432 9700 428 9966
E (keV) Cacah
424 10223
420 10708
416 10456
412 10606
408 10716
404 10860
400 10760
396 10950
392 10842
388 10748
384 10840
380 10791
376 10779
372 10826
368 10774
364 10775
360 10763
356 10952
352 10901
348 10858
344 11071
340 11151
336 10913
332 11383
328 11145
324 11391
320 11539
316 11347
312 11654
308 12029
304 12081
300 12051
296 12143
292 12436
288 12448
284 12767
280 12930
276 13200
272 13205
268 13333
20
E (keV) Cacah 264 13919 260 13634 256 13956 252 14168 248 14489 244 14498 240 14948 236 15078 232 15397 228 15445 224 15416 220 16069 216 16009 212 16076 208 16147 204 16285 200 16705 196 16738 192 16716 188 16961 184 17163 180 17532 176 17858 172 17982 168 18077 164 18627 160 18799 156 18736 152 18654 148 18527 144 18439 140 18112 136 17985 132 17858 128 17424 124 17168 120 16774 116 16462 112 16328 108 16084
22
Grafik Hubungan Cacah terhadap Energi
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000 30000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
C
acah
Puncak hambur balik
tepi Compton
Photo peak
Gambar 4.1.Grafik hubungan Cacah terhadap Energi pada sumber Cs137
Dari Gambar 4.1, didapatkan besarnya energi pada puncak hamburan
balik sebesar Ehb = 158 keV. Besarnya energi hamburan balik ini kamudian
dimasukkan ke persamaan (2.6) untuk mencari massa diam elektronnya :
2 0c
m = ⎥
⎦ ⎤ ⎢
⎣ ⎡
− hb b h E E xE E 0 0 2
= 415.06 keV
2 0c
m
= 415.06 x 10
2 0c
m 3 x (1.602 x 10-19 J)
= 6.65 x 10-14 J = 6.65 x 10-14 kg m2/s2
=
0
m 16 2 2
= 7.39 x 10
0
m -31 kg.
Besarnya nilai massa diam elektron yang diperoleh sebesar 7.39 x 10-31 kg. Penelitian dilakukan sebanyak 10 kali pengukuran. Hasil yang di
peroleh adalah 10 spektrum sinar-γ. Dari 10 spektrum sinar-γ tersebut, di
dapatkan 10 nilai energi pada puncak hamburan balik. Energi pada puncak
hamburan balik untuk 10 kali pengukuran disajikan pada Tabel 4.2.
Tabel.4.2 Tabel energi puncak hamburan balik
No Ehb (keV)
1 (150 ± 17) 2 (130 ± 12) 3 (126 ± 13) 4 (150 ± 12) 5 (150 ± 16) 6 (150 ± 12) 7 (146 ± 16) 8 (158 ± 14) 9 (146 ± 17) 10 (178 ± 16)
∑ 1484
_
X (148 ± 46)
Dari Tabel 4.2, bisa dilihat besarnya energi rata-rata pada puncak
hamburan balik sebesar (148 ± 46) keV. Ralat yang digunakan didapatkan dari
perhitungan FWHM. Dimana dari hasil perhitungan FWHM menyatakan
besarnya ralat. Sedangkan besarnya elektron keseluruhan dari 10 kali
percobaan yaitu sebesar (7 ± 2) x 10
0
m
-31
kg.
24
pengukuran yang dilakukan didapatkan besarnya energi pada puncak
hamburan balik untuk ketiga sumber tersebut yaitu sebesar 201 keV, 163 keV
dan 125 keV. Dari nilai puncak hamburan balik untuk sumber-sumber yang
digunakan, maka dicari massa diam elektron dari grafik hubungan
terhadap . Energi gamma dari sumber dan energi pada puncak
hamburan balik disajikan pada Tabel 4.3.
hb xE E0 2 hb E E0 −
Tabel 4.3 Tabel energi gamma sumber dan energi pada puncak hambur balik.
Sumber Eγ (keV) Ehb(keV)
Sr-90 540 125
Cs-137 662 148
Tl-204 764 201
Co-60 1173.2 163
Berdasarkan nilai energi gamma yang dimiliki sumber dan energi pada
puncak hambur balik dibuat grafik hubungan terhadap
seperti pada Gambar 4.2 :
hb
xE E0
2 E0 −Ehb
grafik hubungan 2EoxEhb te rhadap Eo-Ehb
2EoxEhb= 371.81(Eo-Ehb )+ 23654
125000 150000 175000 200000 225000 250000 275000 300000 325000 350000 375000 400000 425000
400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050
Eo-Ehb 2E ox E h b
Persamaan garis yang telah didapatkan dari Gambar 4.2 yaitu
hb
xE E0
2 = 371.81(E0 −Ehb)+23654. Dari nilai gradien ini dicari besarnya massa diam elektron menggunakan persamaan (2.7). Besarnya massa diam
elektron yang diperoleh dari eksperimen yaitu (7 ± 2) x 10-31 kg.
A. PEMBAHASAN
Penelitian ini menggunakan detektor NaI(Tl), dimana detektor ini
adalah salah satu jenis detektor sintilator. Penelitian ini menggunakan sumber
radioaktif yaitu Cs137, Sr90, Co60 dan Tl204, yang memiliki energi sinar-γ berturut-turut sebesar sebesar 662 keV, 540 keV, 1173.2 keV dan 764 keV.
Sumber radioaktif tersebut kemudian diletakan pada rak yang tersedia
pada perangkat spektrometer-γ. Sinyal pulsa yang dihasilkan akan di analisis
oleh SCA. Hasil dari analisis tersebut akan diteruskan ke counter untuk
dicacah. Hasil cacahan tersebut bisa dibuat grafik hubungan cacah terhadap
energi.
Dari spektrum yang dihasilkan, ditentukan nilai energi pada puncak
hamburan balik. Dengan mengetahui nilai energi pada puncak hambur balik
maka massa diam elektron dapat ditentukkan.
Grafik spektrum sinar-γ untuk sumber Cs137 terdapat pada Gambar 4.1. Pada spektrum tersebut ada 2 peristiwa penting yang bisa dilihat yaitu
26
adanya distribusi Compton yang terbentang dari energi nol sampai ke energi
425 keV.
Pada distribusi Compton terdapat puncak kecil yaitu puncak hamburan
balik. Puncak ini muncul karena adanya interaksi antara sinar-γ yang dideteksi
dengan materi di sekitar detektor. Akibat dari interaksi ini maka foton hambur
akan masuk kedalam detektor dan akan ikut terdeteksi. Energi pada puncak
hamburan balik bisa dilihat pada persamaan (2.5). Pada spektrum bisa dilihat
tenaga elektron Compton terbentang dari tenaga nol sampai ketenaga
maksimum. Batas tenaga maksimum ini disebut tepi Compton.
Dari persamaan (2.6), dapat ditentukan besarnya massa diam elektron
dengan memasukan nilai energi gamma yang dimiliki oleh Cs137 dan energi pada puncak hamburan balik. Pada penelitian dilakukan pengukuran pada
sumber Cs137 sebanyak 10 kali, hal ini dimaksudkan untuk mendapatkan hasil yang lebih baik. Dari hasil penelitian yang telah dilakukan, didapatkan energi
rata-rata pada puncak hamburan balik sebesar (148 ± 46) keV. Dari energi
rata-rata pada puncak hamburan balik, maka didapatkan massa diam elektron
sebesar (7 ± 2) x 10-31 kg.
Selain menggunakan persamaan, massa diam elektron bisa dicari untuk
beberapa jenis sumber berbeda menggunakan grafik hubungan
terhadap seperti pada Gambar 4.2. Dari hasil perhitungan untuk
keempat sumber radioaktif didapatkan massa diam elektron sebesar
hb
xE E0
2
hb
E E0 −
Dari Gambar 4.2, bisa dilihat bahwa titik-titik datanya tersebar, hal ini
disebabkan karena nilai energi pada puncak hamburan balik tidak tepat pada
puncak tapi tersebar kekiri maupun kekanan dari puncak sampai batas
FWHM-nya.
Pada penelitian sebelumnya dengan eksperimen yang sama, dilakukan
perhitungan massa diam elektron menggunakan energi dari tepi Compton yang
terlihat pada distribusi Compton. Penelitian dilakukan menggunakan 4 jenis
sumber radioaktif yaitu Am241, Po210, Tl204, Sr90. Semua sumber yang digunakan memiliki energi gamma yang berbeda sehingga energi pada tepi
Compton juga berbeda.
Untuk bisa menentukan energi pada tepi Compton maka haruslah
didapatkan bentuk spektrum yang baik dan jelas, sehingga bisa dengan mudah
menentukan nilai energi pada tepi Compton. Dari hasil eksperimen yang telah
dilakukan, maka didapatkan spektrum sinar-γ. Dari spektrum yang dihasilkan
dari sumber yang digunakan, bisa dilihat bahwa bentuk spektrumnya kurang
jelas, sehingga susah dalam penentuan posisi dari tepi Comptonnya. Karena
susah dalam penentuan posisi tepi Compton, maka nilai energi pada tepi
comptonnya kurang tepat. Karena alasan tersebut, sehingga tepi Compton
tidak digunakan.
Dari hasil perhitungan diatas bisa disimpulkan bahwa, massa diam
elektron bisa dicari dengan mengunakan nilai energi pada puncak hamburan
balik. Pada penelitian ini digunakan energi pada puncak hamburan balik
28
pada puncak hamburan balik. Sedangkan jika menggunakan energi pada tepi
Compton, nilainya kurang baik karena susah dalam penentuan tepi sebab
BAB V
PENUTUP
A. KESIMPULAN
a. Massa diam elektron bisa ditentukan dengan menggunakan energi pada puncak hamburan balik yang terlihat pada distribusi Compton.
b. Pada penelitian digunakan energi pada puncak hambur balik karena pada spektrum yang dihasilkan, dengan mudah dapat ditentukan besarnya energi pada puncak hambur balik.
c. Dari hasil penelitian diperoleh besarnya massa diam elektron adalah (7±2) x 10-31 kg.
B. SARAN
a. Dalam penelitian selanjutnya, digunakan berbagai jenis sumber radioaktif untuk mencari massa diam elektron.
Daftar Pustaka
Jolivette. P dan Rouze. N, 1994, Compton Scattering, the electron mass, and relativity: A laboratory experiment, Michigan.
Klinken. G, 1989, Pengantar Fisika Modern, Semarang:Satya Wacana Krane. K, 1992, Fisika Modern, Jakarta : Universitas Indonesia Press.
Susetyo. W, 1988, Spektrometri Gamma ,Yogyakarta : Gadjah Mada University Press.
LAMPIRAN I
Grafik hasil percobaan untuk hubungan cacah terhadap Energi dari sumber
radioaktiv yang digunakan yang dilakukan pengukuran sebanyak 9 kali menggunakan
Cs137 dan menggunakan sumber Tl204, Co60 dan Sr90 :
Grafik A.1 untuk percobaan 1
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Energi- γ : 662 Kev
Grafik Hubungan Cacah terhadap Energi
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000 22000 23000 24000 25000 26000 27000 28000 29000 30000 31000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
C
32
A.2 untuk percobaan
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Energi- γ : 662 Kev
Grafik hubungan Cacah terhadap energi
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000 40000 42000 44000 46000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
C
aca
h
A.3 untuk percobaan 3
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Grafik hubungan Intensitas terhadap Energi
0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 16500 18000 19500 21000 22500 24000 25500 27000 28500 30000 31500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
In
te
n
s
it
a
s
A.4 untuk percobaan 4
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
34
Grafik hubungan Intensitas terhadap Energi
0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 16500 18000 19500 21000 22500 24000 25500 27000 28500 30000 31500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
In
te
n
s
it
a
s
A.5 untuk percobaan 5
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Grafik hubungan Intensitas terhadap Energi
0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 16500 18000 19500 21000 22500 24000 25500 27000 28500 30000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
In
te
n
s
it
a
s
A.6 untuk percobaan 6
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
36
Grafik hubungan Intensitas terhadap Energi
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000 40000 42000 44000 46000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
In
te
n
s
it
as
A.7 untuk percobaan 7
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Grafik hubungan Intensitas terhadap Energi
0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 16500 18000 19500 21000 22500 24000 25500 27000 28500 30000 31500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
In
te
n
s
it
a
s
A.8 untuk percobaan 8
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
38
Grafik hubungan Intensitas tehadap Energi
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000 40000 42000 44000 46000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Energi
Int
e
n
s
it
a
s
A.9 untuk percobaan 9
Sumber :Cs 137 10,7µCi
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Grafik hubungan Inte ns itas te rhadap Ene rgi
0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 21000 24000 27000 30000 33000 36000 39000 42000 45000 48000 51000 54000 57000 60000 63000 66000 69000 72000 75000 78000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Ene rgi
In
te
n
s
it
a
s
Grafik B.1 Untuk percobaan 1
Sumber :Tl204 Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
40
Grafik hubungan Intensitas terhadap Energi
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950
Energi In te n s it a s
Grafik B.2 untuk percobaan 2
Sumber :Co60
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Energi- γ : 1173.2 Kev
Grafik Hubungan Cacah terhadap Energi
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
Energi
Ca
c
a
Grafik A.B untuk percobaan 3
Sumber :Sr90
Waktu : 60 detik
Window : 2 %
Fine gain :2,8
Coarse gain :20
Energi- γ : 540 Kev
Grafik hubungan Intensitas terhadap Energi
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
Energi
In
te
n
s
it
a
42
LAMPIRAN II
Ralat untuk data tunggal pada sumber Cs137 dan ralat untuk keseluruhan data pada keempat sumber yang digunakan.
1. Ralat untuk pengukuran yang dilakukan pada sumber Cs137 sebanyak 10 kali pengukuran. Ralat yang digunakan adalah ralat penggabungan perkalian dan
pembagian : hb hb E E xE E c m − = 0 0 2 0 2 hb hb E E xE E c m − = 0 0 2 0 2
Misal : N = E0 x Ehb
M = E0 - Ehb
Q = M N 2 2 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = hb hb E SE E SE N SN
SM = SE0 - SEhb
Q M N = 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = M SM N SN Q SQ
SQ = Q x
2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ M SM N SN
Nilainya : Q ± SQ
2. Ralat untuk mencari massa diam keseluruhan dari keempat sumber yang digunakan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil :
Menentukan nilai gradien :
( )
2 2 1 i i i i i x x N y x y x N m Σ − Σ Σ − Σ = hb E E x= 0 −hb
xE E y=2 0
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
(
)
)
20 2 0 0 0 0
0 2 2
hb hb i hb i hb i hb i hb E E E E N xE E E E xE E E E N m − Σ − − Σ − Σ − − Σ =
Menentukan nilai perpotongan :
( )
2 2 2 i i i i i i i x x N y x x y x n Σ − Σ Σ Σ − Σ Σ =(
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
(
(
)
)
20 2 0 0 0 0 0 2
0 2 2
hb i hb i hb i hb i hb i hb i hb E E E E N xE E E E E E xE E E E n − Σ − − Σ − Σ − Σ − Σ − Σ =
b. Menentukan ralat gradien dan ralat perpotongan:
(
)
21 2 2 1 n mx y
N i i
N − − Σ − = σ
(
) (
)
(
4)
1 2 0 0 2 2 2 1 n E E m xE E
N − Σ hb − − hb −
=
σ
Menentukan ralat gradien :
( )
( )
2 2 2 2 i i x x N N Sm Σ − Σ = σ( )
(
)
(
(
)
)
20 2 0 2 2 hb
hb E E
E E N N Sm − Σ − − Σ = σ
Menentukan ralat perpotongan :
( )
2 22( )
2 2i i i x x N x Sn Σ − Σ Σ = σ
( )
(
)
(
)
(
(
)
)
2
