BAB 2 DISTRIBUSI INDUK DAN DISTRIBUSI SAMPEL - 2distribusi induk dan distribusi sampel

BAB 2

DI STRI BUSI I NDUK DAN DI STRI BUSI SAMPEL

2.1. PENDAHULUAN

Jika suatu besar an memiliki nilai sesungguhnya x sedangkan hasil ukur nya adalah x1

maka kita menghar apkan hasil pengamatan x1 mendekati x, namun kenyataannya tidak

selalu demikian. Jika dilakukan pengukur an ber ulang mungkin hasilnya x2 ber beda dar i

hasil ukur per tama x1. Jika pengukur an diulangi sampai banyak kali maka akan diper oleh

sebar an data. Ada data yang telalu keci l, ada yang ter lalu besar . Walaupun demikian kita

ber har ap semua data hasil ukur masih ber ada di sekitar nilai sebenar nya x asalkan kita

dapat memper baiki r alat sistematis. Jika dilakukan pengukur an sampai tak hingga kali

maka kita dapat melukiskan distr ibusi data yang sesungguhnya. Namun sayangnya hal ini

tidak mungkin dilakukan dan bisanya hanya dalam hipotesis. Distr ibusi ini disebut

distr ibusi induk. Untuk data yang diper oleh dar i pengukur an dalam jumlah ter batas, maka distr ibusinya mer upakan distr ibusi sampel. Jika jumlah pengukur an N mendekati tak hingga maka distribusi sampel mendekati distribusi induk.

10 kali 0

100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10 12

30 kali

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Gambar 2.1. Distribusi data dengan 10 kali pengukur an (a), 30 kali pengukur an (b) (a)

Gambar 2.2. Histogr am pengukur an panjang balok. Kur va gaussian yaitu gar is penuh diper oleh dar i per hitungan dengan r ata-r ata (

x

=19,9 cm) dan deviasi standar (s = 0,52 cm). Kur va gar is putus-putus menyatakan distr ibusi induk dengan r ata-r ata



= 20,0 cm dan deviasi standar



= 0,50 cm.

Contoh:

Mahasisw a mengukur panjang balok sebanyak 100 kali. Hasil pengamatannya setelah dikor eksi dengan r alat sistematis ber ada diantar a 18 – 22 cm dan beber apa pengamatan hasilnya sama. Gambar 2 menyatakan histogram fr ekuensi pengukur an. Sumbu y menyatakan jumlah pengukur an. Jika hasil pengukur an ber upa distr ibusi dengan kesalahan acak maka bentuknya mengikuti Gaussian atau distr ibusi kesalahan nor mal. Sumbu x digambar mulai dar i (x-dx/ 2)  x  (x+dx/ 2). Jika kur va dinor malisasi sehingga luas daer ah di baw ah kur va samadengan 1 maka disebut fungsi distribusi probabilitas.

Untuk menyatakan par ameter dar i distr ibusi induk digunakan hur uf Yunani

sedangkan untuk menyatakan par ameter distr ibusi sampel digunakan hur uf latin.

Par ameter distr ibusi eksper imen (sampel) akan sama dengan par ameter distr ibusi induk

jika jumlah pengukur an mencapai batas tak hingga. Jika eksper imen dilakukan sebanyak N

kali maka

(par ameter induk) =

 

N

lim

par ameter eksper imen

Jika dilakukan pengukur an sebanyak N dan masing-masing pengukur an diber i label

N

x

x

x

x

₁

,

₂

,

₃

,...,

maka jumlah dar i selur uh pengukur an adalah:

N N

i

i

x

x

x

x

x















...

Untuk penyeder hanaan biasa ditulis dengan:



x

_i

2.2. MEAN, MEDIAN DAN MODUS

 Rata-r ata untuk populasi sampel:

x

_i

N

x



1



(2.1)

 Mean untuk populasi induk:











 





 i

N

x

N

1

lim



(2.2)

 Mean sama dengan nilai r ata-r ata dar i x.

Gambar 2.3 Distr ibusi asimetr ik yang menggambar akan posisi mean, median dan modus dar i var iabel.

Median dar i populasi induk (



_1/2) mer upakan nilai tengah dar i populasi induk. Adanya

2 / 1



membuat separ oh dar i data lebih kecil dar i



_1/2 dan separ oh data lebih besar dar i

2 / 1



. Jadi

2

/

1

)

(

)

(

x

_i





_1/2



P

x

_i





_1/2



P

(2.3)

Modus adalah nilai yang paling ser ing muncul (most pr obable value,



_max).

)

(

)

(



_max



P

x





_max

P

(2.4)

2.3. DEVIASI





_i



x

_i



(2.5)

Dalam per hitungan, deviasi biasanya dihitung ter hadap mean dan bukan ter hadap median

atau modus.

Rata-r ata deviasi



_i har us sama dengan nol.





lim

1

0

1

lim

lim















 

















  

 





N i



N i



N

N

x

N

x

(2.6)

Rata-r ata mutlak deviasi



didefinisikan sebagai r ata-r ata dar i har ga mutlak deviasi:























_i

N

N

x

1

lim

(2.7)

Deviasi r ata-r ata mer upakan ukur an penyebar an pengamatan yang dihar apkan di sekitar

mean.

Par ameter lain yang lebih mudah digunakan secar a analitik dan lebih

mencer minkan penyebar an pengamatan adalah deviasi st andar



. Var ian



2 _{didefinisikan}

sebagai limit r ata-r ata dar i kuadr at deviasi ter hadap nilai



:

2 2

2

2

lim

1

(



)

lim

1





































  

 i N i

N

N

x

N

x

(2.8)

Deviasi standar



adalah akar var ian. Ruas kanan per s. (2.8) ser ing diungkapkan dengan

“r ata-r ata dar i kuadr at, minus kuadr at r ata-r ata”. Dalam mekanika kuantum dituliskan

 



x

2



x

2







x



2_{. Deviasi standar mer upakan r ms (akar kuadr at r ata-r ata dar i}

deviasi). Untuk populasi sampel, deviasi standar kuadr at dinyatakan dengan:









2

2

(

)

1

1

x

x

N

s

_i (2.9)

atau deviasi standar

1

)

(

2









N

x

x

s

i

dimana faktor N-1 pada penyebut untuk menyatakan bahw a par ameter

x

ditentukan dar i data dan bukan par ameter bebas (di luar data).

2.4 MEAN DAN DEVIASI STANDAR DARI DISTRIBUSI PROBABILITAS

Definisi



dan standar deviasi



ter kait dengan distr ibusi induk P(x) dar i populasi

pengamatan yang sangat besar , pr opor si dN pengamatan ter hadap var iabel x yang

menghasilkan nilai antar a x dan x+dx diber ikan oleh dN = P(x) dx.

Nilai mean



mer upakan nilai har ap dar i x atau ditulis

x

, dan var ian mer upakan

nilai har ap dar i kuadr at deviasi dar i x ter hadap



, atau ditulis

(

x





)

2 . Nilai har ap

sembar ang fungsi x,

f

(

x

)

didefinisikan sebagai r ata-r ata ber bobot dar i f(x) meliputi

selur uh nilai yang mungkin dar i var iabel x, dimana setiap nilai f(x) diber i bobot dengan

distr ibusi r apat pr obabilitas P(x).

Distr ibusi diskr it

Jika fungsi pr obabilitas P(x) mer upakan fungsi diskr it dar i nilai obser vabel x, maka

jumlah selur uh pengamatan individual



x

_i pada per s. (2.2) diganti dengan jumlah selur uh nilai PROBABILITAS pengamatan, dikalikan dengan banyaknya pengamatan ter sebut yang

dihar apkan ter jadi. Jika ter dapat n kemungkinan nilai obser vabel x yang ber beda dan ditulis

sebagai xj (dengan indek j ber jalan dar i 1 sampai n tanpa nilai xj yang sama), maka dar i

pengamatan total N dapat diper oleh jumlah pengamatan bagi setiap obser vabel xj sebanyak

NP(xj). Selanjutnya mean dapat dinyatakan:







    







n j j j N i

N

N

x

N

x

NP

x

1

)

(

lim

1

1

lim









  



n j j j

N

lim

₁

x

P

(

x

)

(2.10)

Bandingkan dengan distribusi fr ekuensi:

i i i i i i i i

i

x

P

x

N

f

N

x

f

f

x

f





















Dengan car a yang sama, var ian pada per s. (2.8) dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi

pr obabilitas P(x) menjadi:





2

1 2 1 2 2

)

(

)

(

)

(

lim

lim































      n j j j N n j j j N

x

P

x

x

P

x

(2.11)

Umumnya nilai har ap dar i sembar ang fungsi f(x) dinyatakan dengan:







n j

j

j

P

x

Contoh: Di dalam kelas ter dir i dar i 14 or ang dengan sebar an umur sebagai ber ikut:

No, (j ) Umur , xj Jumlah, N(xj)

1 14 1

2 15 1

3 16 3

4 22 2

5 24 2

6 25 5

Jumlah 116 14

Ungkapan tesebut dapat dinyatakan dengan

N(x1) = N(14) = 1

N(x2) = N(15) = 1

N(x3) = N(16) = 3

N(x4) = N(22) = 2

N(x5) = N(24) = 2

N(x6) = N(25) = 5

14

)

(







N

x

_j

N

Per tanyaan: Ber apakah peluang seseor ang ber umur 15 tahun?

Jawab: Ini mer upakan peluang individu.

N

j

N

x

P

(

_j

)



(

)

14

1

)

15

(



P

Per tanyaan: Ber apakah peluang seseor ang ber umur 14 tahun?

14

1

)

14

(



P

Jika ditabelkan maka peluang masing-masing umur adalah:

P(14) = 1/ 14

P(15) = 1/ 14

P(16) = 3/ 14

P(22) = 2/ 14

P(25) = 5/ 14 +

P = 14/ 14 = 1

Per tanyaan: Ber apakah peluang memper oleh seor ang ber umur 14 atau 15

Jawab: adalah jumlah dar i kedua peluang individu.

7

1

14

1

14

1

)

15

(

atau

)

14

(

P







P

Jumlah semua peluang individu adalah 1.

1

)

(







_j

total

P

x

P

Per tanyaan: Ber apakah umur yang memiliki peluang ter besar ?

Jawab: Adalah 25. Tampak bahw a P(25) paling besar dibandingkan yang lain.

Per tanyaan: Ber apakah mediannya?

Jawab: 23 kar ena

P

(

x



x

_1/2

)



P

(

x



x

_1/2

)

= 7 yaitu 7 or ang lebih muda dan 7 or ang lebih tua.

Umumnya median adalah suatu nilai xj sedemikian r upa sehingga peluang untuk

memper oleh nilai xj lebih besar sama dengan peluang untuk memper oleh nilai xj lebih kecil.

Per tanyaan: Ber apakah umur r ata-r ata?

Jawab:

21

14

294

14

5

25

14

2

24

14

2

22

14

3

16

14

1

15

14

1

14















 





























 













 













 













 





x

_j

Umumnya har ga r ata-r ata dar i xj (ada yang menuliskan dengan notasi <xj>) diber ikan oleh:

)

(

)

(

)

(

j j j j j j

j

x

P

x

N

x

N

x

N

x

N

x

x















Per tanyaan: ber apakah umur kuadr at r ata-r ata?

Jawab:

)

(

)

(

)

(

)

(

1

₂ 2 _{2 2}

2 j j j j j j j j

j

x

P

x

N

x

N

x

N

x

N

x

x

N

x

N

x



















= 459,57.

Gambar 2. Dua histogr am dengan median, r ata-r ata, peluang paling besar sama namun simpangan baku ber beda.

Untuk mengetahui ukur an penyimpangan suatu data (individu) ter hadap nilai r ata-r atanya

digunakan xj.











x

_j

x

_j

x

_j

Nilai



x

_j bisa negatif bisa positif. Jika diambil r ata-r atanya maka sama dengan nol.





0

1

1

1

1













































j j j j j j j j j

x

x

x

N

N

x

x

N

x

N

x

x

N

x

Untuk memunculkan adanya

penyimpangan data ter hadap r ata-r atanya digunakan kuadr at har ga mutlak dar i 

x

_j yang dikenal dengan var ians (



2_).

 

2

 

2

(

)





2

(

)

2

j j

j j

j

x

P

x

x

x

P

x

x

























x

_j2



2

x

_j



x







x



2



P

(

x

_j

)







x

_j2

P

(

x

_j

)



2

x

_j



x



P

(

x

_j

)





x



2

P

(

x

_j

)







)

(

)

(

2

)

(

2 2 j j j j

j

P

x

x

x

P

x

x

P

x

x





















1

2

2

2



















x

x

x

x

2 2











x

x

=

x

2



x

2 (2.12a)

i X x = x-xr at (x)2 x2

1 14 -5.33 28.44 196

2 15 -4.33 18.78 225

3 16 -3.33 11.11 256

5 24 4.67 21.78 576

6 25 5.67 32.11 625

xrat= 19.33 0.00  =119.33 X2rat=393.67

Var ians :

19

,

89

6

33

,

119

)

(

2

2











n

x



Standar deviasi :

n

x

)

2

(









=

4

,

46

6

33

,

119



Jika dar i per samaan (7)

Var ians:



2



x

2







x



2



393

,

67



19

,

33

2



19

,

89

Standar deviasi:





4

,

46

Hasilnya sama

Untuk var ians sample maka bilangan pembaginya (n-1)

Distr ibusi kontinyu

Jika fungsi pr obabilitas mer upakan fungsi yang bervar iasi secar a kontinyu dar i nilai

x yaitu P(x), maka tanda sumasi untuk selur uh pengamatan individu pada per s. (2.10) dapat diganti dengan integr al untuk selur uh nilai x dikali kan dengan pr obabilitas P(x). Rumusan dar i mean menjadi:







xP

(

x

)

dx



(2.13)

dan var ian



2 _menjadi:







 











2 2 2

2

(



)

(

)

(

)





x

P

x

dx

x

P

x

dx

(2.14)

Nilai har ap (nilai r ata-r ata) sembar ang fungsi x menjadi:







f

x

P

x

dx

x

Beber apa pr obabilitas (peluang) yang biasa digunakan untuk menganalisis data

adalah distr ibusi binomial, distr ibusi Poisson dan distr ibusi Gaussian. Diantar a ketiga jenis ter sebut yang paling ser ing digunakan dalam penelitian fisika adalah distr ibusi

Gaussian yaitu untuk melukiskan distribusi pengamatan acak dar i suatu eksper imen.

Distr ibusi Poisson digunakan untuk menganalisis data acak jika item atau per istiw a diamati

dalam satuan inter val ter tentu, seper ti analisis pelur uhan r adioaktif, atau sebar an data yang

telah disor tir dan dikelompokkan pada setiap inter val (jangkau) ter tentu sehingga dapat

dibuat tabel fr ekuensi atau histogr am. Distr ibusi binomial biasanya untuk menggambar kan

per istiw a 1 dar i sejumlah kemungkinan per istiw a yang mungkin, seper ti jumlah gambar

atau angka yang muncul pada pelempar an mata uang, jumlah par tikel yang ter hambur

menuju atau kembali ke ar ah ber kas sinar datang.

Distr ibusi Poisson

Dalam teor i pr obabilitas dan statistik, distr ibusi Poisson mer upakan distr ibusi pr obabilitas

diskr it yang menyatakan pr obabilitas suatu per istiw a yang ter jadi pada jangkau w aktu

ter tentu dan memiliki r ata-r ata (har ga har ap) tidak ada kaitannya dengan per istiw a

sebelumnya. Distr ibusi Poisson juga dapat digunakan untuk jenis inter val yang lain (tidak

har us w aktu) seper ti jar ak dan volume, jumlah dan lain-lain. Jika r ata-r ata kejadian pada

jangkau w aktu ter sebut adalah



maka pr obabilitas ter jadinya per istiw a x adalah :

!

)

,

;

(

)

;

(

lim

0

x

e

p

n

x

P

x

P

x B

p P















(2.16)

O = 1

dengan

P

_P

(

x

;



)

pr obabilitas Poisson untuk nilai x yang memiliki r ata-r ata



dan

)

,

;

(

lim

0

p

n

x

P

_B p

adalah limit pr obabilitas binomial jika p0.

Ingat bahw a

P

_P

(

x

;



)

tidak per nah 0 untuk x = 0 kar ena 0! = 1. Demikian pula tidak didefinisikan untuk x negatif.

Per s. (2.16) menyatakan fungsi pr obabilitas ter nor malisasi, sehingga jumlah fungsi yang dihitung pada semua nilai var iabel x samadengan 1.







        









0 0 0

1

!

!

)

;

(

x x x x x

P

e

e

x

e

x

e

x

P

  









(2.17)

ingat der et taylor untuk



 















0 4 3 2

!

...

!

4

!

3

!

2

!

1

1

n n x

n

x

x

x

x

x

e

Mean dan Standar deviasi

Distr ibusi Poisson (sebagaimana distribusi binomial) mer upakan distr ibusi diskrit. Distr ibusi Poisson hanya didefinisikan pada nilai x bulat,



positif dan bilangan r iil. Mean distr ibusi Poisson mer upakan par ameter



pada per s. fungsi pr obabilitas

P

_P

(

x

;



)

(2.16).

!

!

)

;

(

1 0 0

x

e

x

x

e

x

x

P

x

x

x x x x P x  







       

























 



 











       





e

e

x

e

x

e

x x x x 1 1

1

(

1

)!

(

1

)!

(2.18)

Standar deviasi (



) dicar i dar i var ians.

 

2 1 1 2 0 0 2 2 2 2

)!

1

(

!

!













  





































         







e

x

x

x

e

x

x

e

x

x

x

x x x x x x

 

2 1

1

(

1

)!

)

1

)

1

((



















   



x

x

e

x x

 

2 1

1

(

1

)!

)

1

)

1

((



















   



x

x

e

x x

 

2 1

1 1

1 ( 1)! ( 1)!

) 1 (











       





        x x x x x e x x e

 

2 1 1 2 2 2

)!

1

(

)!

2

(











 















        x x x x

x

e

x

e

 















 



 













2

e



e

e



e

2 2 2 _.

maka



Maka distribusi poisson hanya memiliki par ameter tunggal yaitu .

Contoh 1:

Dua r atus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah pener bangan luar neger i. Jika

pr obabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka

ber apakah peluang ada 3 or ang yang tidak datang.

Jawab :

Ungkapan 200 or ang telah memesan tiket dan pr obabilitas tidak ber angkat 0,01, ar tinya

r ata-r ata pemesan tiket yang tidak ber angkat adalah 200  0,01 = 2. jadi



= 2. Selanjutnya untuk x = 3 maka

1804

.

0

!

3

2

!

)

,

(

2 3









e



x

e

x

P

x 





atau 18.04 %

Contoh 2:

Rata–r ata seor ang sekr etar is bar u melakukan li ma kesalahan mengetik per halaman.

Ber apakah peluang bahw a pada halaman ber ikut ia :

1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )

2. Tidak lebih dar i tiga kesalahan ( x≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )

3. Lebih dar i tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)

Diketahui: r ata-r ata µ = 5

a. untuk x = 0 maka

0

.

0067

!

0

5

)

5

,

0

(

5 0





e



P

b. untuk x≤ 3 ;

P

(

x



3

;





5

)



P

(

0

;

5

)



P

(

1

;

5

)



P

(

2

;

5

)



P

(

3

;

5

)

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. untuk x > 3 maka

P

(

x



3

;

5

)



1



P

(

x



3

;

5

)



1



0

.

2650



0

,

735

atau 73,5%

Contoh 3:

Dua sisw a mengukur cacah latar dar i r adiasi sinar kosmis di lab. Fisika sebagai tugas untuk menentukan umur 2 isotop r adioaktif per ak. Data dir ekam oleh detektor pada setiap 2 detik sebanyak 100 data dan diper oleh jumlah cacahnya 1,69 cacah / 2 dt. Dar i

per hitungan diper oleh s = 1,29 (dg r umus

s





  



n

2

/

n



1



) . Selanjutnya kedua sisw a mengulangi eksper imen, sekar ang detektor mer ekam data setiap 15 dt sebanyak 60 data.

Diper oleh mean 11,48 cacah/ 15detik dan standar deviasi





11

,

48



3

,

17

. Standar deviasi yang dihitung dar i data dengan per s. (2.9) adalah s = 3,39.

Per incian kedua per cobaan adalah sebagai ber ikut:

Per cobaan 1 Per cobaan 2

Inter val w aktu 2 detik 15 detik

Jumlah data 100 60

Mean 1,69 cacah/ 2 dt 11,48 cacah/ 15 dt

Standar deviasi



= 1,3



= 3,17

S = 1,29 s = 3,39

Gb. 2.3 Gb. 2.4.

Histogr am kedua set data ditunjukkan pada Gambar 2.3 dan 2.4 (bukan gambar distr ibusi pr obabilitas, namun langsung dikelompokkan inter val cacah ter hadap fr ekuensi atau jumlah kejadian). Dar i Gambar 2.3 tampak bahw a kur va tidak simetr i, sehingga posisi



tidak ber sama-sama dengan modus x (puncak kur va). Gambar 2.4 hampir simetr is pada nilai r er ata. Jika



naik maka tingkat simetri distr ibusi Poisson juga ber tambah sampai tidak bisa dibedakan dengan distr ibusi Gaussian.

Per ubahan inter val

 

!

)

;

(

)

;

(

x

e

t

t

x

P

x

P

t x 











 

Dengan



= jumah per istiw a per satuan w aktu

t = jumlah satuan w aktu

Contoh soal :

Jika r ata–r ata kedatangan bis di suatu ter minal λ = 72 setiap jam, ber apakah peluang dar i x = 4 kedatangan dalam t = 3 menit?

Jawab:

Dalam kasus ini λ = 72 kedatangan setiap jam namun yang ditanyakan adalah 4 kedatangan per 3 menit. Oleh kar ena itu  = 72/ jam diubah menjadi 72/ 60 menit = 72/ (203) menit = (72/ 20)/ 3 menit = 3,6 kendar aan / 3menit.

191

,

0

!

4

6

,

3

)

6

,

3

;

4

(

6 , 3 4





e



P

atau 19,1 %

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

0 2 4 6 8 10 12

Jum lah kendaraan

P ro b a b il it a s

Jumlah Pr obailitas

Jika diinginkan menentukan jumlah pr obabilitas sampel mulai dar i x1 sampai dengan x2

pada kur va distr ibusi Poisson dengan mean



, maka

)

;

(

)

;

,

(

2 1 2

1

x



P

x



x

S

_P

x

x

P





(2.21)

Jika diinginkan menentukan jumlah pr obabilitas sampel dengan kejadian sebanyak n atau lebih dan mean



maka :





   











1 1 1 0

!

1

)

;

(

1

)

;

,

(

n x x P n P

x

e

x

P

n

Dar i contoh di atas cacah ter ekam r ata-r ata untuk inter val 15 detik adalah



= 11,48. Dalam inter val per tama maka diper oleh nilai 23. Pr obabilitas untuk memper oleh nilai 23 atau lebih adalah ~ 0,0018.

Pada kasus jumlah kendar aan di atas

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 2 4 6 8 10 12

Jum lah kendaraan

J

u

m

la

h

p

ro

b

a

b

il

it

a

s

x Jumlah P(x; 3,6)

0 0,027324

1 0,125689

2 0,302747

3 0,515216

4 0,706438

5 0,844119

6 0,926727

7 0,969211

8 0,988329

9 0,995976

10 0,998729

11 0,99963

12 0,9999

13 0,999975

14 0,999994

15 0,999999

16 1

Ver ifikasi nilai r ata-r ata distr ibusi Poisson

x P(x;3,6) xP(x;3,6)

0 0,027324 0

2 0,177058 0,354115

3 0,212469 0,637408

4 0,191222 0,764889

5 0,13768 0,6884

6 0,082608 0,495648

7 0,042484 0,297389

8 0,019118 0,152943

9 0,007647 0,068824

10 0,002753 0,02753

11 0,000901 0,009911

12 0,00027 0,003244

13 7,49E-05 0,000973

14 1,92E-05 0,000269

15 4,62E-06 6,93E-05

16 1,04E-06 1,66E-05

Jumlah 3,6

Dar i kolom ketiga baw ah, maka sesuai dengan per samaan (2.18) diper oleh

6

,

3

)

;

(

0















x

P

_P

x

x

2



BELUM

2.3 DISTRIBUSI NORMAL ATAU GAUSSIAN

Distr ibusi Gaussian mer upakan keadaan khusus dar i pendekatan distr ibusi binomial jika jumlah pengamatan ber beda yang mungkin n menjadi tak ber hingga besar dan pr obabilitas ber hasil untuk setiap pengamatan cukup besar sehingga np >> 1. Keadaan ini menjadi distr ibusi Poisson jika



menjadi besar .

Kar akter istik

Fungsi pr obabilitas Gaussian didefinisikan:



























 





2

2 1

exp

2

1

)

,

;

(













x

x

P

_G (2.23)

Bentuk ter sebut mer upakan fungsi kontinyu yang melukiskan pr obabilitas untuk memper oleh nilai x, hasil pengamatan secar a acak dar i distr ibusi induk dengan par ameter



dan



yaitu mean dan deviasi standar . Kar ena distr ibusinya kontinyu maka per lu mendifinisikan inter val dimana nilai hasil pengamatan dar i x akan ber ada. Fungsi pr obabilitas didefinisikan sedemikian r upa sehingga pr obabilitas

dQ

_G

(

x

;



,



)

nilai suatu pengamatan secar a acak akan ber ada dalam i nter val dx di sekitar x diber ikan oleh:

dx

x

P

x

dQ

_G

(

;



,



)



_G

(

;



,



)

(2.24)









   





dQ

G

(

x

;



,



)



dQ

G



P

G

(

x

;



,



)

dx



1

(2.25)

Bukti:

Lebar kur va ditentukan dengan nilai



sedemikian r upa sehingga untuk

x









maka tinggi kur va ber kur ang menjadi e-1/ 2 _{dar i nilai puncaknya.}

)

,

;

(

)

,

;

(









1/2 _G







G

e

P

P





 (2.26)

Bentuk distr ibusi Gaussian ditunjukkan pada Gambar 2.25. Kur va ber bentuk seper ti lonceng dan simetr i di mean



.

Gambar 2.5 Pr obabiltas Gaussian yang menggambar kan hubungan



,



,



dan P.E. ter hadap kur va. Kur va memi liki luas 1

Kar akter isasi yang lain adalah pada lebar setengah puncak maksimum



, yang ser ing dinyatakan dengan lebar setengah (half-widt h), didefinisikan dengan jangkau x yang menghasilkan pr obabilitas setengah dar i nilai maksimumnya.

)

,

;

(

)

,

;

(

2 1 2

1













_G

G

P

P







(2.27)

kar ena

1

max



G

P

.

Dengan definisi ini maka dar i per s. (2.23) dapat diper oleh:



= 2.354 (2.28)

Pada gambar tampak bahw a bagian kur va yang paling ter jal ber ada pada ketinggian e-1/ 2

ber sesuaian dengan absis x =







. Kur va ini jika dilanjutkan akan ber potongan dengan sumbu x =





2



.

3828 3856 3904 3923 4001 3889 3977 3964 3983 3963 3921 3985 3833 3972 3936 3780 3934 4028 3830 3929 3856 3950 3953 3951 3927 3943 3980 3962 3988 3921 3865 3968 3946 3951 3880 4074 3961 3989 3889 3918 3870 3789 3814 3877 3826 3916 3960 3833 3870 3887 3907 3994 3883 3873 3879 3827 3914 3991 3999 3994 3906 3889 3883 3953 3947 3854 3861 3980 4014 3909 3885 3972 3993 3939 3838 3871 4040 3861 3999 3962 3938 4012 3926 3955 3935 4027 3830 3879 3871 3918 3831 3869 3938 3810 4001 3849 3865 4008 3875 3865 4025 3940 3960 3907 3919 3947 3936 3971 3925 3952 3915 3890 4025 3911 3891 3925 3935 3857 3987 3876 3856 4007 3875 3895 3999 3876 3942 3926 3891 3893 3816 3871 3878 3839 3936 3955 3879 3928 3988 3880 3847 3910 3917 3909 3969 3962 3992 3887 3904 3917 3941 3830 3950 3971 3873 3918 3889 3952 3926 3856 3898 3956 3875 3944 3865 3939 4028 3862 3920 3950 3931 3985 3890 3971 3984 3931 3865 3895 3969 3943 3962 3872 3859 3896 4014 4008 3817 3876 3870 3939 3941 3998 3816 3964 3944 4064 4045 4026 3933 3955 3927 4036 3960 3882 3896 3950 3948 3813 3952 3958 3941 3943 3893 4106 3865 3904 3890 3910 3865 3883 3911 3964 3879 3871 3915 4048 3895 3940 3859 3867 3870 3931 3895 3801 3991 3959 3851 3823 3947 3938 3999 3883 3897 3808 3883 3791 3877 3876 4027 3854 3860 3844 3839 3984 3948 3833 3894 3902 3903 3979 3859 3943 3874 3825 3951 3858 3992 3953 3961 3999 3895 3949 3931 3876 3897 3857 3923 3833 3927 3864 3887 3952 3895 3810 3897 3932 3892 3856 3933 3879 4028 3890 3867 3838 3910 4022 4009 4006 3859 3902 3872 3780 3865 3893 4017 3826 3890 3856 3931 3994 3907 3819 3895 4060 3940 3890 3826 3838 3901 3846 3851 3904 3791 3964 3868 3940 3998 4009 3807 3945 3956 3880 3925 3901 3890 3915 3979 3994 3959 3949 3918 3833 3861 3907 3963 3875 3945 3870 3877 3870

3950 3901 3977 3835 3929 4010 3919 3985 3848 3961 3976 3999 3808 3932 3998 3927 3938 3846 3951 3987 3980 4029 3970 3977 3913 3968 3901 3898 3823 3935 3950 3959 3934 3996 3941 3953 3946 3932 3982 3872 3853 3871

3799 3831 3932 3932 3849 3890 3939 3857 3985 3895 3940 4025 3989 3919 3938 3938 3869 3876 3957 3871 4008 4009 3861 3944 4011 3987 3938 3938 3926 3880 3961 3962 3955 3907 3908 3959 3971 3878 3826 3826 3906 3971 3938 3856 4106 3868 3999 3848 3940 3992 3887 3887 3963 3862 3872 3971 3896 3869 3981 3905 3861 3898 3992 3992 3932 3872 4014 3876 4026 3947 3957 4035 3853 3984 3799 3799 3898 4064 3987 4036 3943 3876 3843 3991 3892 3870 3823 3823 3871 3958 3956 3904 4048 3839 3866 3951 3921 3960 3897 3897 3890 3871 3944 3867 3938 3887 3844 3808 3889 3890 3932 3953 3876 3823 4031 3808 3984 3956 3905 3808 3844 3870 3938 3901 3880 3844 3956 3902 3953 3931 3903 3858 3918 3883 3938 3936 3971 3858 3929 3949 3952 3939 3873 3780 3888 3903 3826 3956 3862 3864 3929 3932 4022 3882 3951 3921 3891 3931 3887 3949 3872 3838 3951 3902 3994 3910 3959 3905 3833 3892 3992 3865 4064 3856 3934 4060 3964 3931 3869 3923 3850 3848 3799 3901 3958 3904 3880 3968 3994 3791 3981 3879 3933 3970 3823 3905 3871 3915 3870 3916 3889 3979 3956 3887 3916 3946 3897 3900 3823 3870 3883 3994 3931 3876 4008 3938 4013 3889 3953 4033 3844 3943 4040 3939 4014 3856 3988 3981 4066 3943 3901 3946 3858 3957 3831 3879 3933 3887 4037 3952 4038 3933 3936 3965 3864 3857 3919 3940 3893 3992 3844 3900 3924 4043 3956 3928 3838 3991 3987 3925 3895 3799 3905 3936 3939 3900 3949 3919 3856 3915 3878 3893 3999 3989 3903 3901 3925 3985 3865 3972 3904 3941 3992 3909 3948 4011 3873 3927 3902 4029 3901 3963 3915 3926 3898 3952 3961 3971 3951 4025

Langkah-langkah

 per tama adalah mengur utkan data

 mensor tir data dengan menolak data menggunakan dengan kr iter ia 2



. Ada sebanyak 22 data yang ter tolak.

 Menentukan panjang inter val dengan r umus:

k

x

x

_{max min}

interval

panjang





dengan k adalah jumlah pembagi pada sumbu x:

k



1



3

,

3

log(

N

)

= 10,86 dibulatkan menjadi 11, dengan N jumlah data diter ima (dalam hal ini N = 978)

inter val fr ekuensi m P( m)

3794 - 3817 24 0 0.0067311

3817 - 3840 46 1 0.0336622

3840 – 3863 76 2 0.0841727

3863 – 3886 131 3 0.1403165

3886 – 3909 145 4 0.1754315

3933 – 3956 178 6 0.1462527

3956 – 3979 101 7 0.1044876

3979 – 4002 88 8 0.0653181

4002 – 4025 39 9 0.0362952

4025 - 4048 28 10 0.0181513

 = 978

0.15

0.10

0.05

P

(m

)

10 8

6 4

2 0

m

30 detik 60 detik

10 detik

Tamilan r unning pr ogr am Igor

Display w ave1 vs w ave0

• ModifyGr aph mode=3

• Cur veFit gauss w ave1 / X=w ave0 / D

Fit conver ged pr oper ly

fit_w ave1= W_coef[ 0] +W_coef[ 1] *exp(-((x-W_coef[ 2] )/ W_coef[ 3] )^ 2)

W_coef={0.00033021,0.17995,4.7415,3.12}

V_chisq= 0.000519094; V_npnts= 11; V_numNaNs= 0; V_numINFs= 0;

W_sigma={0.0106,0.01,0.0758,0.245}

Coefficient values ± one standar d deviation

y0 = 0.00033021 ± 0.0106

A = 0.17995 ± 0.01

x0 = 4.7415 ± 0.0758

w idth = 3.12 ± 0.245

2

3.12 4.7415 x

0.17995

0.00033021

   

   





e

y

Distr ibusi Gaussian standar

Bentuk standar dar i per samaan Gaussian dibentuk dengan mendefinisikan var iabel tak ber dimensi z = (x-



)/



, sehingga:

dz

z

dz

z

P

_G

2

2 1

2

exp

)

(











 



_ (2.29)

Jadi dar i tabel nilai

P

_G

(

z

)

maka dapat diper oleh fungsi distr ibusi Gaussian

P

_G

(

x

;



,



)

untuk semua nilai par ameter



dan



dengan mengubah var iabel dan membuat skala fungsi dengan 1/



.

Mean dan Deviasi Standar

Par ameter  dan  pada per s. (2.23) untuk distr ibusi r apat pr obabilitas Gaussian ber hubungan dengan mean dan deviasi standar fungsi. Ekuivalensi ini dapat dibuktikan dengan menghitung  dan  dar i per s. (2.13) dan (2.14) sebagai nilai har ap untuk fungsi Gaussian x dan (x-)2_.

Untuk sampel data ter batas, yang dihar apkan mengikuti distr ibusi r apat pr obabilitas Gaussian, mean dan deviasi standar dapat dihitung secar a langsung dengan per s. (2.1) dan (2.9). hasilnya

x

dan s mer upakan estimasi dar i mean



dan deviasi standar



.

Pr obabilitas Integr al

Pr obabilitas integr al mer upakan pr obabilitas pengukur an menyimpang dar i har ga mean sebesar x. Besar nya dapat ditur unkan dengan menghitung integr al secar a numer ik:

dx

x

x

A

x

x

G



 

 



























 







_













exp

1₂ 2

2

1

)

,

;

(

(2.30)

yang ar tinya pr obabilitas bahw a sembar ang nilai x menyimpang dar i mean kur ang dar i x. Kar ena fungsi pr obabilitas

P

_G

(

x

;



,



)

ter nor malisasi menjadi 1, maka pr obabilitas bahw a suatu pengukur an akan menyimpang dar i mean lebih dar i x hanya

)

,

;

(

1



A

_G



x





. Yang menar ik adalah pr obabilitas yang ber hubungan dengan deviasi , 2,.. ter hadap mean ter kait dengan 1, 2, .. pada deviasi standar . Er or ter boleh jadi (pr obable er r or, P.E.) mer upakan har ga absolut deviasi

x





sedemikian r upa sehingga pr obabilitas deviasi dar i sembar ang pengamatan yang dilakukan secar a acak

x

_i





kur ang dar i ½ (atau 50%). Jadi separ oh dar i obser vasi dalam ekesper imen dihar apkan tur un pada batas P.E.



 



z

z z

G

z

dz

e

dz

A

( /2)2

2 1

)

(

_ (2.31)

dimana z = x/ mengukur deviasi dar i mean dalam satuan deviasi standar .

Integr al pada per s. (2.31) tidak dapat dihitung secar a analitik sehingga untuk menentukan

A

_G

(



x

;



,



)

maka fungsi Gaussian ar us diekspansikan menur ut der et Taylor dan mengintegr asikan suku demi suku atau mengintegr asikan secar a numer ik.

Tabel dan Gr afik

Fungsi pr obabilitas Gaussian

P

_G

(

z

)

dan pr obabilitas integr al

A

_G

(

z

)

telah ditabelkan. Dar i tabel pr obabilitas integr al diper oleh bahw a pr obabi litas pengukur an menghasilkan deviasi dar i mean 1 dan 2 sekitar 68% dan 95%. Dengan car a yang sama, dengan memisalkan batas pr obabilitas 50% maka dapat dilihat nilai er or ter bolehjadi P.E = 0.6745.

Kemencengan kur va ( Skewness)

Kemencengan kebalikan dar i simetr i. Pada der et simetr is modus, mdian, r ata-r ata identik.

Koefisien kemencengan =

deviasi

standar

modus

mean



Kur tosis ( kemenonjolan)

Mer upakan ukur an tingkat kemenonjolan distribusi. Ukur an kur tosis dinyataka dengan 2, 2 dan 4.

2 2 4 2









dengan

N

x

x

2

2

)

(









,

N

x

x

4

4

)

(







