KETOTALSISIAJAIBAN GRAF DAN
DEFISIENSINYA
DISERTASI
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Doktor dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
Anak Agung Gede Ngurah
NIM: 30104006
KETOTALSISIAJAIBAN GRAF DAN DEFISIENSINYA
Oleh
Anak Agung Gede Ngurah NIM: 30104006
(Program Studi Matematika)
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui Tim Pembimbing
Tanggal: 26 November 2007
Ketua
(Prof. Dr. Edy Tri Baskoro)
Anggota Anggota
ABSTRAK
KETOTALSISIAJAIBAN GRAF DAN DEFISIENSINYA
Oleh
Anak Agung Gede Ngurah NIM : 30104006
Pelabelan total sisi-ajaib pada suatu graf dengan p titik dan q sisi adalah suatu pemetaan satu-satu yang memetakan semua titik dan sisi ke {1, 2, 3, · · · , p + q} de-ngan sifat bahwa untuk setiap sisi pada graf tersebut jumlah label sisi dan label kedua titik ujungnya sama. Sejak diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa pada tahun 1970, pelabelan ini telah dikaji oleh banyak peneliti. Misalnya, Enomoto, Llado, Nakamigawa dan Ringel mengkaji pelabelan ini dengan memperkenalkan istilah pelabelan total sisi-ajaib super, yaitu pelabelan total sisi-ajaib yang mempunyai sifat bahwa semua titik mendapat p label terkecil. Di samping itu perluasan dan variasi dari pelabelan ini telah diperkenalkan. Aplikasinya pun mulai dikaji, seperti aplikasi dalam kriptografi yang menggunakan pelabelan total sisi-ajaib dalam kon-struksi skema pembagian rahasia.
Studi mengenai pelabelan total sisi-ajaib (super) yang banyak mendapat perha-tian adalah klasifikasi graf yang memiliki pelabelan tersebut. Beberapa kelas graf telah diketahui mempunyai pelabelan tersebut. Namun banyak permasalahan yang sampai kini belum terpecahkan. Di antaranya adalah konjektur yang menyatakan bahwa semua graf pohon memiliki pelabelan total sisi-ajaib (super). Termotivasi oleh konjektur tersebut beberapa peneliti mengkaji pelabelan ini secara khusus pada graf pohon. Selain itu, beberapa kelas graf juga sudah dibuktikan tidak mempunyai kedua pelabelan tersebut. Berkaitan dengan hal tersebut diperkenalkan konsep de-fisiensi sisi-ajaib (super) dari suatu graf. Konsep ini menyatakan seberapa “dekat” suatu graf dengan suatu graf yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib (super). Disertasi ini mengkaji dua permasalahan yaitu studi klasifikasi graf yang mem-punyai pelabelan total ajaib (super) dan studi penentuan defisiensi total sisi-ajaib (super) dari beberapa kelas graf. Untuk masalah pertama, kami mengkaji ketotalsisiajaiban beberapa graf, yakni pohon-seperti-lintasan (path-like-tree), graf kembang api (fire cracker ), graf lobster, dan graf rantai (chain graph). Di samping itu kami juga menyajikan metode konstruksi graf total sisi-ajaib (super) baru dari graf yang sudah diketahui total sisi-ajaib (super). Berdasarkan metode ini dihasilkan beberapa kelas graf total sisi-ajaib (super) baru. Beberapa di antaranya memberi dukungan atas kebenaran konjektur bahwa setiap graf pohon mempunyai pelabelan total sisi-ajaib (super). Sedangkan untuk masalah kedua, kami melakukan studi nilai defisiensi graf khususnya pada graf rantai, kipas, kipas ganda, roda, bipartit tak terhubung dan multipartit.
Kata kunci : pelabelan graf, pelabelan total sisi-ajaib, pelabelan total sisi-ajaib su-per, defisiensi sisi-ajaib super.
ABSTRACT
The Edge-Magicness of Graphs and Its Deficiencies
By
Anak Agung Gede Ngurah NIM : 30104006
An edge-magic total labeling on a graph with p vertices and q edges is a one-to-one map taking the vertices and edges onto the integers 1, 2, 3, · · · , p + q with the property that for each edge the sum of the label on the edge and the labels of its endpoints is constant. Since its introduction by Kotzig and Rosa in 1970, this la-beling becomes one of the most famous graph lala-belings that have been studied by many researchers. Enomoto, Llado, Nakamigawa and Ringel studied this labeling by introducing the terminology of the super edge-magic total labeling, namely an edge-magic total labeling with an additional property that all vertices receive the p smallest labels. On the other hand, the extension and variation of these label-ings have been introduced. Their applications have also been studied, such as in cryptography where edge-magic total labelings are used in a construction of a secret sharing scheme.
The classification of graphs that admit a (super) edge-magic total labeling is an interesting topic for researchers. Some classes of graphs had been proved admitting these labeling. However, there still remain many open problems such as the con-jectures which state that every tree admits an edge-magic total labeling and every tree admits a super edge-magic total labeling. Motivated by these conjectures, some researchers studied these labelings for particular types of trees. Additionally, some classes of graphs had been proved not admitting these labelings. Concerning to this fact, the concepts (super) edge-magic deficiencies of a graph were introduced. These concepts measure how “close” a graph with a (super) edge-magic graph is.
In this dissertation, we study and give partial solutions to these two problems, namely classification of graphs that admit a (super) edge-magic total labeling and determination of (super) edge-magic deficiency of some classes of graphs. For the first problem, we consider (super) edge-magic total labeling for some classes of graphs such as path-like-trees, fire crackers, lobsters, and chain graphs. Also, we propose methods to construct new (super) edge-magic graphs from old ones. From these methods we can obtain new classes of (super) edge-magic graphs; some of the re-sulting graphs support the correctness of the conjectures that every tree has a (super) edge-magic total labeling. For the second problem, we study the deficiencies of par-ticular type of graphs such as chain graphs, fans, double fans, wheels, disconnected bipartite graphs, and multipartite graphs.
Keywords: graph labeling, edge-magic total labeling, super edge-magic total label-ing, super edge-magic deficiency.
PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI
Disertasi Doktor yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi penguti-pan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
UCAPAN TERIMA KASIH
Puji syukur kehadirat Tuhan penulis panjatkan atas semua karunia-Nya.
Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada mereka yang sudah membantu se-lama menempuh pendidikan S3 di Program Studi Matematika ITB.
Kepada Tim Pembimbing; Prof. Dr. Edy Tri Baskoro, Dr. Rinovia Simanjun-tak, dan Dr. Saladin Uttunggadewa atas kepercayaan, motivasi dan kesabarannya.
Kepada Tim Pembaca; Prof. Ketut Budayasa, Dr. Hilda Assiyatun, dan Dr. Achmad Muchlis atas koreksi dan masukan yang sangat bermanfaat.
Kepada Departemen Pendidikan Nasional Republik Indonesia atas bantuan Bea-siswa Program Pascasarjana (BPPS).
Kepada Universitas Merdeka Malang atas ijin dan bantuannya.
Kepada semua keluarga, khususnya Bapak dan Ibu, atas doanya.
Kepada teman-teman di SSG Bandung dan Malang atas doanya, dan teman-teman S3 atas kerjasamanya.
Kepada F. A. Muntaner-Batle (Tony) atas paper, disertasi dan diskusinya.
Bandung, November 2007 Penulis
DAFTAR ISI
ABSTRAK iii
ABSTRACT iv
PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI v
UCAPAN TERIMA KASIH vi
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMBANG xi
I Pendahuluan 1
I.1 Latar belakang masalah . . . 1
I.2 Tujuan penelitian dan rumusan masalah . . . 3
I.3 Hasil-hasil penelitian . . . 3
I.4 Sistematika penulisan disertasi . . . 4
II Graf dan Operasi graf 6 II.1 Graf dan subgraf . . . 6
II.2 Klasifikasi graf . . . 9
II.3 Operasi pada graf . . . 11
III Pelabelan Total Sisi-Ajaib (Super) 14 III.1 Sejarah pelabelan graf . . . 14
III.2 Pelabelan total sisi-ajaib . . . 16
III.3 Pelabelan total sisi-ajaib super . . . 19
III.4 Pelabelan ajaib (super) dari beberapa kelas graf . . . 25
III.4.1 Pelabelan ajaib super pada graf pohon-seperti-lintasan . . . . 26
III.4.2 Pelabelan ajaib super pada graf subdivisi dari graf bintang K1,3 30 III.4.3 Pelabelan ajaib super pada graf lobster . . . 37
IV Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan 54 IV.1 Graf ajaib dengan sisi pendan . . . 55 IV.2 Graf ajaib super dengan sisi pendan . . . 63
V Defisiensi Sisi-Ajaib Super 73
V.1 Defisiensi ajaib super dari graf rantai . . . 77 V.2 Defisiensi ajaib super dari graf kipas, kipas ganda dan roda . . . 80 V.3 Defisiensi ajaib super dari graf bipartit dan multipartit lengkap . . . 87
VI Kesimpulan dan Masalah Terbuka 95
DAFTAR PUSTAKA 97
DAFTAR GAMBAR
II.1 Ketetanggaan pada graf dan graf 3-reguler . . . 7
II.2 Graf yang isomorfik dan tidak isomorfik . . . 7
II.3 Graf dan subgrafnya . . . 7
II.4 Graf G dan G + uv . . . 8
II.5 Graf dengan 4 komponen . . . 8
II.6 Graf dengan 5 blok . . . 9
II.7 Graf lengkap K6 dan graf bipartit lengkap K3,4 . . . 9
II.8 Graf Petersen diperumum . . . 10
II.9 Graf pohon, graf hutan, dan graf siklus-tunggal . . . 10
II.10 Beberapa graf tanpa siklus . . . 11
II.11 Graf yang dihasilkan dari operasi join . . . 12
II.12 Graf yang dihasilkan dari operasi perkalian . . . 12
II.13 Graf yang dihasilkan dari operasi corona . . . 13
III.1 Pelabelan ajaib pada graf C4 dan pelabelan dualnya . . . 17
III.2 Pelabelan ajaib super pada suatu graf dan pelabelan dualnya . . 22
III.3 Graf P22 dipandang sebagai subgraf dari graf grid . . . 26
III.4 Pohon-seperti-lintasan . . . 27
III.5 Pelabelan titik pada P22 dan pohon-seperti-lintasan yang menun-jukkan bahwa f (u0) + f (v0) = f (u) + f (v) . . . 29
III.6 Graf pohon T (4, 5, 7) . . . 30
III.7 Pelabelan titik dari T (4, 6, 9). . . 34
III.8 Pelabelan titik dari T (3, 6, 10) . . . 36
III.9 Pelabelan titik dari graf kembang api . . . 40
III.10 Graf lobster dengan struktur tertentu . . . 41
III.11 Pelabelan titik dari graf lobster yang mempunyai struktur seperti graf lobster pada Gambar III.10. . . 44
III.12 Pembentukkan 3C4-lintasan dari 2C4-lintasan . . . 45
IV.1 (a) pelabelan titik dari P1
5,2 dan graf yang dihasilkan dengan
me-nerapkan Teorema IV.1, (b) pelabelan titik dari P4
6,1 dan graf
yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.1. . . 58
IV.2 Graf H dan pelabelan titiknya. . . 59
IV.3 Pelabelan titik dari H. . . 60
IV.4 Pelabelan titik dari P6 5,1, dan graf yang dihasilkan dengan mene-rapkan Teorema IV.3 . . . 63
IV.5 Graf G dan pelabelan titiknya. . . 63
IV.6 Pelabelan titik dari graf L5,1 dan P6∪ K1,2 yang memenuhi Teo-rema IV.4 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan TeoTeo-rema IV.4. . . 66
IV.7 Graf ajaib super P8∪ K1,3 dan graf yang dihasilkan dengan me-nerapkan Teorema IV.5. . . 68
IV.8 Graf ajaib super K1,8 ∪ K1,3 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.6. . . 69
IV.9 Pelabelan titik pada graf P (9, 3). . . 70
IV.10 Graf ajaib super K1,8 dan graf yang dihasilkan dengan menerap-kan Teorema IV.8. . . 72
V.1 Pelabelan titik dari 5K4− lintasan ∪ K1 . . . 80
V.2 Pelabelan titik dari F10,2∪ 4K1. . . 84
V.3 Pelabelan titik dari 3K2,2 dan 4K2,2 . . . 89
DAFTAR LAMBANG
LAMBANG Nama Pemakaian
pertama kali pada hal.
V (G) Himpunan titik dari graf G 6
E(G) Himpunan sisi dari graf G 6
N (u) Himpunan semua tetangga titik u 6
dG(v) Derajat dari titik v pada graf G 6
δ(G) Derajat minimum dari graf G 6
∆(G) Derajat maksimum dari graf G 6
G ∼= H Graf G isomorfik dengan graf H 6
H ⊆ G H adalah subgraf dari graf G 7
G − u Subgraf dari graf G dengan
V (G − u) = V (G) \ {u} dan
E(G − u) = E(G) \ {uv|uv ∈ E(G)} 7
G − e Subgraf dari graf G dengan
V (G − e) = V (G) dan
E(G − e) = E(G) \ {e} 7
G + uv Suatu graf dengan himpunan titik V (G)
dan V (G + uv) = E(G) + {uv} dan 7
W Jalan 8
Pn Graf lintasan dengan n titik 8
d(u, v) Jarak antara titik u dan v 8
k(G) Banyaknya komponen pada graf G 8
Kn Graf lengkap dengan n titik 9
Kn,m Graf bipartit lengkap yang setiap
himpunan partitnya berturut-turut
terdiri dari n dan m titik 9
P (n, m) Graf Petersen diperumum dengan 2n titik 9
LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali
pada hal.
G1∪ G2 Graf gabungan dari G1 dan G2 11
nH Gabungan saling asing n buah graf H 11
G1+ G2 Graf join dari G1 dan G2 11
Wn Graf roda dengan n + 1 titik 11
Ct
3 Graf pertemanan 11
Fn Graf kipas dengan n + 1 titik 12
Fn,2 Graf kipas ganda dengan n + 2 titik 12
G1× G2 Graf hasil kali dari G1 dan G2 12
Bn Graf buku dengan n halaman 12
Cn× Pm Graf prisma diperumum 12
Ln Graf tangga dengan 2n titik 12
G H Graf corona dari G dan H 12
Gk Pangkat k dari graf lintasan G 22
T (m, n, k) Subdivisi dari graf K1,3 30
F C(m1, m2, · · · , mn) Graf kembang api yang dibentuk dari
graf bintang K1,m1+1, K1,m2+1, · · · , K1,mn+1 37 L(lm1,m2 1 , l m2,m3 2 , · · · , l mn,mn+1
1 ) Lobster yang mempunyai
struktur seperti pada Gambar III.10 41
kF − lintasan Graf rantai dengan k blok
dimana setiap bloknya adalah graf F 45
P1
2k+1,m Caterpillar yang dibentuk dengan
menambahkan m sisi pendan,
dengan m genap, ke setiap titik dari
LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali
pada hal.
P2
2k,m Caterpillar yang dibentuk dengan
menambahkan m − 1 sisi pendan ke satu titik dari graf lintasan P2 dan m sisi
pendan ke titik yang lain dari P2k, k ≥ 1 57
P3
2k+1,m Caterpillar yang dibentuk dengan
menambahkan m sisi pendan ke setiap titik dari P2k+1, k ≥ 1, kecuali satu
titik yang berderajat satu 57
P4
n,1 Caterpillar yang dibentuk dengan
menambahkan satu sisi pendan
ke n − 1 titik dari Pn, n ≥ 2 57
P2k+1T Pohon-seperti-lintasan dengan
jumlah titik ganjil 57
P2k,m5 Caterpillar yang dibentuk dengan
menambahkan m ≥ 1 sisi pendan ke setiap
titik dari P2k, k ≥ 1 62
P6
2k+1,1 Caterpillar yang dibentuk dengan
menambahkan satu sisi pendan ke setiap
titik P2k+1, k ≥ 1 62
P2k+1,m7 Caterpillar yang dibentuk dengan
menambahkan satu sisi pendan ke satu titik berderajat satu dan m ≥ 1 sisi pendan
ke titik yang lain dari P2k+1, k ≥ 1 62
P2kT Pohon-seperti-lintasan dengan
jumlah titik genap 62
L∗2k Graf pohon yang dihasilkan dengan
LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali
pada hal.
L5∗
2k,m Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2k,m5 62 L6∗
2k+1,1 Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2k+1,16 62 L7∗
2k+1,m Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2k+1,m7 62 PT ∗
2k Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2kT 62 L2n+1,1 Lobster yang diperoleh dengan
menambahkan sebuah titik pendan
ke setiap titik berderajat 1 dari P2n+1 K1 65
L2n,1 Lobster yang diperoleh dengan
menambahkan sebuah titik pendan ke setiap titik berderajat 1 dari P2n K1
kecuali titik pendan paling kiri atau kanan 65 Sn,n+1 Graf bintang ganda yang diperoleh
dengan menghubungkan center dari
dua buah graf bintang K1,n dan K1,n+1 65
L1
2k+1,m Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k+1,m1 65 L2
2k,m Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k,m2 65 L3
2k+1,m Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k+1,m3 65 L4
n,m Graf pohon yang dihasilkan dengan
LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali
pada hal.
TT
2k+1 Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k+1T 65 T2n+1,1 Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.4 pada graf L2n+1,1 65
T2n,1 Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.4 pada graf L2n,1 65
Ln,n+1 Graf pohon yang dihasilkan dengan
menerapkan Teorema IV.4 pada graf Sn,n+1 65
µ(G) Defisiensi sisi-ajaib dari graf G 73
Fp Bilangan Fibonacci ke-p 73
