PENERAPAN PERSAMAAN VERHULST
UNTUK MENGHITUNG MAHASISWA AKTIF UNIVERSITAS
Rojali
1ABSTRACT
To know population of active students in a university is very important because this matter assists the management in preparing facilities, resources and others. This study focuses on calculating the population of active students majoring in Information System in a university by using Verhulst equation. Result of calculation indicates that the number of active students taking Information System as major will reach around 3661 or more in the year 2007.
Keywords: Verhulst equation, population dynamics, active students
ABSTRAK
Mengetahui populasi jumlah mahasiswa aktif suatu Universitas menjadi penting karena dengan diketahuinya hal tersebut dapat membantu manajemen dalam hal penyediaan fasilitas, sumber daya, dan lainnya. Artikel membahas perhitungan populasi jumlah mahasiswa aktif jurusan sistem informasi suatu universitas menggunakan persamaan Verhulst. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa jumlah mahasiswa aktif jurusan tersebut akan menuju kestabilan sekitar 3661 mahasiswa pada tahun 2007 atau lebih.
Kata kunci: persamaan Verhulst, dinamika populasi, mahasiswa aktif
1
PENDAHULUAN
Pemakaian persamaan diferensial sudah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang aplikasi. Misalnya dalam bidang fisika untuk meneliti kecepatan gerak benda, kimia dalam proses peluruhan radiaktif, biologi dalam proses populasi bakteri, hewan dan lain sebagainya. Dalam makalah ini diuraikan penggunaan persamaan diferensial dalam dunia pendidikan untuk mengetahui populasi jumlah mahasiswa aktif.
Untuk penyederhanaan model maka digunakan pemodelan dinamika populasi untuk mengetahui populasi mahasiswa aktif jurusan sistem informasi di suatu Universitas. Dengan diketahuinya populasi mahasiswa aktif jurusan ini maka setidaknya pengelola jurusan bisa mengambil langkah langkah kedepan untuk kemajuan jurusan, misalnya penyediaan fasilitas, sumberdaya dan lain sebagainya.
DINAMIKA POPULASI
Pemodelan dinamika populasi memperlihatkan hubungan populasi dengan laju perubahan populasi dan parameter lainnya. Pada permasalah ini, perubahan populasi terjadi karena adanya individu yang lahir maupun yang mati. Misalnya populasi terjadi saat t = 0 ditulis sebagai P(t). Asumsi dasarnya adalah P(t) merupakan fungsi kontinu dari populasi sebenarnya. L(t) dan M(t) masing-masing menyatakan banyaknya individu yang lahir dan mati pada saat t. Tingkat kelahiran λ(t) dan tingkat kematian μ(t) adalah jumlah kelahiran dan kematian dalam satuan waktu dan satuan populasi. Secara matematis dinyatakan sebagai berikut
dt
dL
P
h
t
L
h
t
L
t
P
t
h1
)
(
)
(
)
(
1
lim
)
(
0=
−
+
=
→λ
dt
dM
P
h
t
M
h
t
M
t
P
t
h1
)
(
)
(
)
(
1
lim
)
(
0=
−
+
=
→μ
Makah
t
P
h
t
P
t
h)
(
)
(
lim
)
(
0 1=
+
−
Ρ
→dt
dM
dt
dL
h
t
M
h
t
M
t
L
h
t
L
t
P
h⎟
⎠
=
−
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
−
=
→)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
lim
)
(
0 1 Dengan demikian).
(
)]
(
)
(
[
)
(
1t
=
λ
t
−
μ
t
P
t
Ρ
.. ………...…. (1) Suku(
)
(
)
)
(
)
(
1t
t
t
P
t
P
=
λ
−
μ
menyatakan laju perubahan populasi per individu populasi yang lazim
disebut tingkat pertumbuhan populasi, ditulis r(t) = λ(t) - μ(t).
Model populasi yang paling sederhana terjadi bila tingkat kelahiran dan kematian keduanya tetap atau konstan sehingga
.
]
[
P
rP
dt
dP
=
λ
−
μ
=
SehinggaP
(
t
)
=
P
0e
rt ..…………...………...……...….. (2) untuk model ini populasi tumbuh secara eksponensial. Maka model (2) ini disebut model pertumbuhan eksponensial. Sedangkan (1) disebut model atau persamaan populasi umum.Pada kenyataannya, tingkat kelahiran dan tingkat kematian, λ(t) dan μ(t), tidak diketahui, bahkan seringkali bergantung kepada P(t), fungsi yang justru sedang ditentukan. Maka, kemungkinan model populasi lainnya adalah model persamaan (1) dengan λ(t) dan μ(t) adalah fungsi dari P
Jika λ(t) fungsi linear terhadap P(t), yaitu
λ
=
λ
0+
λ
1P
,
dimanaλ
0,
λ
1>
0
.
dan Bilaμ
=
μ
0+
μ
1P
maka diperoleh model) ( )] ( ) [( 0 1P 0 1P P kP D P dt dP = λ +λ − μ +μ = − ...……...………... (3) dimana k =
μ
1−λ
1 dan 1 1 0 0λ
μ
μ
λ
− = −D Misalnya
λ
0>
μ
0 danλ
1 <μ
1 sehingga D> 0.Persamaan ini dinamakan persamaan Verhulst atau persamaan logistik. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel
∫
∫
= −P kdt D P dP ) ( Jawabnya adalah kDt e P D P DP t P − − + = ) ( ) ( 0 0 0 …….………... 4) dengan P t D t→∞ ( )= lim dan P(0)= P0,Populasi hasil dari persamaan ini tidak lagi tumbuh eksponensial seperti pada model (2). Bilangan D dapat diartikan sebagai daya dukung lingkungannya. Jika
P
0>
D
,
maka dari (3) didapat akibatnya P’< 0. Maka P(t) turun menuju D. Sedangkan bila
P
0<
D
, maka P(t) naik menuju D. Turunan keduaadalah
))
(
)(
2
(
'
'
)
(
"
P
kD
kP
kP
D
P
dp
dP
t
P
⎟⎟
=
−
−
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
………..………...…. (5)Sehingga grafik P(t) mempunyai titik belok pada
.
2
D
P
=
Karena,
2
D
D <
titik belok ini hanya terjadi bila grafik P naik menuju D, yaitu pada kasusP
0<
D
.
Sesudah P(t) =2
D
tecapai, yaitu pada
saat t = to maka p(t) akan menaik dengan laju menurun. Perhatikan gambar 1
kD P D P t ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 0 ln
Gambar 1 Kestabilan populasi mahasiswa aktif dengan populasi berbeda
Terdapat fenomena yang berkaitan dengan kestabilan. Setiap solusi dengan
P
0≠ 0, secaraasimptotik menuju nilai D, seakan-akan menjauhi nilai 0. Tapi bila
Ρ
0=
0
, maka solusinya adalahP(t) = 0. Solusi P(t) = D disebut solusi stabil (secara asimptotik), titik D juga disebut titik stabil asimptotik sedangkan P(t) = 0 disebut solusi tidak stabil dan juga
P
0=
0
disebut titik tidak stabil.Dari Gambar dapat pula terlihat bahwa untuk interval range (0,D/2) maka grafik akan naik dan cekung ke atas, sedangkan pada range interval (D/2,D) grafik akan naik dan cekung ke bawah, serta garfik akan turun cekung ke atas pada interval range [D,∝).
DATA DAN ANALISIS PENGUKURAN
Berikut ini akan ditampilkan jumlah mahasiswa baru , lulus dan populasi mahasiswa aktif jurusan sistem informasi dari periode tahun ajaran 1995 hingga 2006 pada tabel 1 dan juga ditampilkan grafik ketiga data, dalam gambar L1 ,L2 dan L3.
Tabel 1 Data historis mahasiswa masuk, lulus dan populasi aktif 1995-2006 Tahun Mahasiswa Baru Mahasiswa Lulus Mahasiswa Aktif 1995 463 124 4257 1996 756 241 4442 1997 717 400 4698 1998 917 271 5864 1999 1230 222 7546 2000 1413 238 9135 2001 1051 608 9771 2002 937 518 9785 2003 774 1445 9048 2004 649 1528 6258 2005 709 3625 6206 2006 789 2184 4985
Mahasiswa Masuk Jurusan Sistem Informasi 1995-2006 0 500 1000 1500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tahun J u m lah M a h asi sw a
Gambar L1 : Grafik mahasiswa baru
Lulusan Mahasiswa Jurusan Sistem Informasi 1995 - 2006 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 1 3 5 7 9 11 Tahun Ju m la h M a h asi s w a
Gambar L2 : Grafik kelulusan mahasiswa
Populasi Mahasiswa aktif Jurusan Sistem Informasi 1995-2006 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 1 3 5 7 9 11 Tahun Ju m la h M a h a si sw a
Gambar L3 : Grafik Populasi mahasiswa aktif
Pendekatan fungsi parabolis jumlah mahasiswa baru terhadap waktu dipergunakan teorema regresi kuadratis yang berformula
2
cx
bx
a
Dimana nilai a,b dan c dinyatakan dalam persamaan berikut :
∑
= +∑
+∑
2 x c x b na y∑
=∑
+∑
2+∑
3 x c x b x a xy∑
x
2y
=
a
∑
x
2+
b
∑
x
3+
c
∑
x
4 Sehingga dihasilkan 10405 = 12 A + 78 B + 650 C 67998 = 78 A + 650 B + 6084 C 544696 = 650 A + 6084 B + 60710 CSetelah diselesaikan diperoleh jawab A = 312.75 B =233 C=-17.73
Sehingga persamaan regresinya menjadi
y
=
312
.
75
+
233
x
−
17
.
73
x
2Untuk menguji persamaan regresi tersebut bisa digunakan
(
)
(
)
(
)
∑
∑
−
∑
=
2 2 2 2 x ... y.x.xY
-Y
Y
ˆ
-Y
Y
-Y
R
2 kHarga-harga untuk menghitung
R
y.x.x2...xk Berdasarkan Yˆ =312.75+233 t -17.73 t2Tabel 3: Pengujian korelasi mahasiswa masuk terhadap tahun Y 463 528.02 -65.02 4227.6004 -404.08333 163283.34 756 707.83 48.17 2320.3489 -111.08333 12339.507 717 852.18 -135.18 18273.6324 -150.08333 22525.007 917 961.07 -44.07 1942.1649 49.916667 2491.6736 1230 1034.5 195.5 38220.25 362.91667 131708.51 1413 1072.47 340.53 115960.681 545.91667 298025.01 1051 1074.98 -23.98 575.0404 183.91667 33825.34 937 1042.03 -105.03 11031.3009 69.916667 4888.3403 774 973.62 -199.62 39848.1444 -93.083333 8664.5069 649 869.75 -220.75 48730.5625 -218.08333 47560.34 709 730.42 -21.42 458.8164 -158.08333 24990.34 789 555.63 233.37 54461.5569 -78.083333 6097.0069 Total 336050.1 756398.9 2 y.x.x2
R
= 0.555724 sehinggaR
y.x.x2 = 0.745 Yˆ Y-Yˆ( )
Y-Yˆ 2Y
−
Y
(
Y
−
Y
)
2Berdasarkan dari ketiga grafik diatas maka apabila dilakukan pendekatan fungsi parabolis untuk ketiga fungsi diatas didapat fungsi sebagai berikut :
2
t
17.73
t
223
312.75
M(t)
=
+
denganR
y.x.x2 = 0.745 dan Se = 516.93 2t
36.28
t
233.42
-502.27
L(t)
=
+
denganR
y.x.x2 = 0.887 dan Se = 183.31 2t
157.92
t
2256.14
722.47
P(t)
=
+
denganR
y.x.x2 = 0.884 dan dan Se = 1024.27Di mana M(t) adalah fungsi populasi mahasiswa masuk , L(t) fungsi populasi mahasiswa lulus dan P(t) fungsi populasi mahasiswa aktif.Untuk menghasilkan fungsi tingkat penambahan mahasiswa baru λ(t) dan tingkat kelulusan mahasiswa μ(t) dalam satuan waktu dan satuan populasi dinyatakan sbb:
Tabel 4: Fungsi tingkat penambahan mahasiswa baru λ(t) dalam satuan waktu
Tahun Masuk Populasi
M P 1 463 4257 - - 2 756 4442 293 0.0659613 3 717 4698 -39 -0.0083014 4 917 5864 200 0.0341064 5 1230 7546 313 0.0414789 6 1413 9135 183 0.0200328 7 1051 9771 -362 -0.0370484 8 937 9785 -114 -0.0116505 9 774 9048 -163 -0.018015 10 649 6258 -125 -0.0199744 11 709 6206 60 0.0096681 12 789 4985 80 0.0160481
( )
t M P 1 Δ Δ = t λ Sehingga dihasilkan 0.092305 = 11 a + 77738 b + 592191600 c 326 = 77738 a + 592191600 b + 4,80341 x 1012 c 186181 = 592191600 a + 4,80341 x 1012 b + 4,08839x1016 c diperoleh a = 0.0154 b = 0.000006 c = -9x10-10 sehingga 2 9 0000000000 . 0 000006 . 0 0154 . 0 ) (t = + P− Pλ
Karena koefisen
P
2 terlalu kecil maka didekatiP
t
)
0
.
0154
0
.
000006
(
=
+
λ
dt dMλ
( )
t
dengan cara yang sama diperoleh
)
t
(
μ
= -0.768 + 0.00022 P – 0.15 x 10-7 P2 Karena koefisien P2 terlalu kecil maka didekatiP
t
)
0
.
768
0
.
00022
(
=
−
+
μ
, sehingga[
λ - μ
]
P
dt
dP =
[
0
.
0154
0
.
6
x
10
5P
0
.
768
-
0
.
00022
P
]
P
dt
dP
=
+
-+
[
.
-
.
P
]
P
dt
dP
000214
0
7843
0
=
(
.
- P
)
P
.
dt
dP
748
3660
000214
0
=
dengan k = 0.000214 dan D =3660.748 setelah diselesaikan. Sehingga penyelesaian persamaan 4 menjadi t
e
P
P
P
t
P
0.000214*3661* 0 0 0)
3661
(
3661
)
(
−−
+
=
Dimana D = 3660,75 atau didekati menjadi 3661 mahasiswa dengan P0 = 4985 dan k =
0.000214. Penggambaran grafik populasi ini digambarkan dalam gambar 2 sebagai berikut.
Gambar 2 Grafik Populasi mahasiswa
PENUTUP
Populasi jumlah mahasiswa aktif Universitas Bina Nusantara Jurusan Sistem Informasi akan menuju kestabilan sekitar 3661 mahasiswa pada tahun 2015 atau lebih. Kemudian penulis menemukan beberapa saran yang kiranya dapat berguna yaitu data yang dikumpulkan lebih banyak, agar diperoleh grafik dan persamaan yang lebih baik dan kiranya perlu dilakukan pengujian pada model-model lain untuk membuktikan kebenaran hasilnya lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
Chapra , S. C. dan Canale, R.,P. (1991) Metode Numerik Untuk Teknik. UIP.Jakarta.
Kartono. (1994). Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset. Yogyakarta.
Lindfield, G. & Penny, J. (1995). Numerical Methods Using MATLAB. Ellis Horwood. USA.
Lukas, S. (1999). Penggunaan Persamaan Differensial Orde–1 Masalah Dinamika Populasi, Seminar penerapan matematika di FMIPA Universitas Bina Nusantara, Jakarta.
Manurung, A. D. (1990). Teknik Peramalan Bisnis Dan Ekonomi. Rineka. Jakarta.
Sudjana. (1992). Teknik Analisis Regresi Dan Korelasi. Tarsito. Bandung.
