BAB 2 LANDASAN TEORI. Bentuk umum persamaan regresi linier berganda adalah

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Regresi Linier Berganda

Bentuk umum persamaan regresi linier berganda adalah

Y = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑋₁+ 𝑏₂𝑋₂+ 𝑏₃𝑋₃ + … + 𝑏_𝑘𝑋_𝑘+ 𝑒 (2.1) dengan: Y = variabel respon 𝑏0 = konstanta regresi 𝑏_𝑖 = koefisien regresi (𝑏_𝑖 = 1,2,3, ... , k) 𝑋_𝑖 = variabel penduga (i = 1,2,3, ... , k) 𝑒 = galat taksiran (sisa residu)

Bentuk data yang akan diolah adalah seperti tabel 2.1:

Tabel 2.1Bentuk Pengolahan Data No Observasi Respon (Y) Variabel 𝑋1 𝑋2 𝑋3 ... 𝑋𝑘 1 𝑌₁ 𝑋₁₁ 𝑋₁₂ 𝑋₁₃ ... 𝑋_1𝑘 2 𝑌₂ 𝑋₂₁ 𝑋₂₂ 𝑋₂₃ ... 𝑋_2𝑘 3 𝑌₃ 𝑋₃₁ 𝑋₃₂ 𝑋₃₃ ... 𝑋_3𝑘 . . . . . . . . . . . . n 𝑌_𝑛 𝑋_𝑛1 𝑋_𝑛2 𝑋_𝑛3 ... 𝑋_𝑛𝑘

Setelah diselesaikan dengan uji metoda kuadrat terkecil maka didapat persamaan regresi linier berganda yang merupakan penduga berbentuk:

dengan asumsi:

i. 𝑒_{𝑗≈𝑁 (0 ,𝜎}2₎ berarti residu (𝑒_𝑗) mengikuti distribusi normal dengan (e) = 0 dan varian (𝜎2)konstan.

ii. Tidak ada otokorelasi antar residu, berarti (𝑒_𝑗 , 𝑒_𝑘) = 0; j≠ 𝑘, sehingga penduga yang diperoleh adalah penduga linier tak bebas.

2.2 Metode Analisa

Metode yang digunakan adalah Metode Stepwise Forward yang mempunyai langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:

1. Membentuk Matriks Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi yang dicari adalah koefisien korelasi linier sederhana 𝑌 dengan 𝑋_𝑖, dengan rumus: 𝑟𝑦𝑥𝑖 = ∑(𝑋𝑖𝑗−𝑋�𝑖)(𝑌𝑗−𝑌�) �∑�𝑋𝑖𝑗−𝑋�𝑖�2∑�𝑌𝑗−𝑌��2 (2.3) dengan: 𝑌� =1 𝑛(∑ 𝑌𝑗) 𝑋�𝑖 = 1_𝑛(∑ 𝑌𝑖𝑗) j = 1, 2, 3, ..., n i = 1, 2, 3, ..., k

Bentuk matriks koefisien korelasi linier sederhana antara 𝑌 dan 𝑋_𝑖:

𝑟 = ⎝ ⎜ ⎛ 1 𝑟12 𝑟13 … 𝑟1𝑝 𝑟21 1 𝑟23 … 𝑟2𝑝 𝑟31 ⋮ 𝑟𝑝1 𝑟32 ⋮ 𝑟𝑝2 1 … 𝑟3𝑝 ⋮ 𝑟𝑝3 … 1 ⎠ ⎟ ⎞

2. Membentuk Regresi Pertama (Persamaan Regresi Linier)

Variabel yang pertama diregresikan adalah variabel yang mempunyai harga mutlak koefisien korelasi yang terbesar antara 𝑌 dan 𝑋_𝑖 , misalnya 𝑋₁. Dari variabel ini dibuat persamaan regresi linier:𝑌 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑋₁ , dengan cara seperti berikut:

𝑋 = ⎝ ⎜ ⎛ 1 1 _. .. 1 𝑋11 𝑋12_. .. 𝑋1𝑛⎠ ⎟ ⎞ ; (𝑋𝑇_𝑋)−1_{= �} 𝑛 ∑ 𝑋1 ∑ 𝑋1 ∑ 𝑋12� −1 𝑌 = ⎝ ⎜ ⎛ 𝑌1 𝑌_.2 .. 𝑌𝑛⎠ ⎟ ⎞ ; 𝑋𝑇_{𝑌 = � ∑ 𝑌} ∑ 𝑌𝑋1�

Keberartian regresi diuji dengan tabel analisa variansi. Perhitungan untuk membuat anava adalah sebagai berikut:

SSR = 𝛽.𝑋 𝑇_𝑌−(𝑌𝑇_.𝐽.𝑌) 𝑛 = ∑(𝛽_𝑖. ∑ 𝑋_𝑖𝑌) − (∑ 𝑌)2 (2.4) SST = 𝑌 𝑇_𝑌−(𝑌𝑇_.𝐽.𝑌) 𝑛 = ∑𝑌 2 −(∑𝑌)2 𝑛 (2.5) dengan: 𝐽 = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 1 1 .. . 1 1 1 1 .. . 1 … … … … … … … 1 1 1 .. . 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 𝑛×𝑛

MSR = SSR

𝑝−1 (2.7)

MSE = SSE

𝑛−𝑝 (2.8)

sehingga didapat harga standard error dari 𝑏, dengan rumus:

𝑆2_{(𝛽) = MSE (𝑋}𝑇_𝑋)−1 _(2.9)

𝑆(𝑏0) = �𝑆2(𝑏0) (2.10)

Tabel 2.2Analisa Variansi untuk Uji Keberartian Regresi

Sumber DF SS MS 𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔}

Regresi (𝑋_ℎ) p − 1 SSR MSR

MSR / MSE

Residu n − p SSE MSE

Total n − 1 SST

Uji hipotesa:

𝐻0 : Regresi antara 𝑌 dengan 𝑋ℎ tidak signifikan.

𝐻1 : Regresi 𝑌 dengan 𝑋ℎ signifikan.

Keputusan:

Bila𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} < 𝐹_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙}, maka terima 𝐻₀.

Bila 𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} ≥ 𝐹_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙}, maka tolak 𝐻₀. Dengan: 𝐹_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} = 𝐹_{(𝑝−1,𝑛−𝑝,0,05)}

3. Seleksi Variabel Kedua Diregresikan

Cara menyeleksi variabel yang kedua diregresikan adalah memilih parsial korelasi variabel sisa yang terbesar. Untuk menghitung harga masing-masing parsial korelasi sisa digunakan rumus:

𝑟

𝑌𝑋ℎ.𝑋𝑘

=

𝑟_𝑌𝑋ℎ− 𝑟_𝑌𝑋𝑘𝑟_{𝑋ℎ𝑋𝑘} ��1−𝑟_𝑌𝑋𝑘2 _{���1−𝑟}

𝑋ℎ𝑋𝑘2 �

(2.11)

4. Membentuk Regresi Kedua (Persamaan Regresi Berganda)

Dengan memilih parsial korelasi variabel sisa terbesar untuk variabel tersebut masuk dalam regresi, persamaan regresi kedua dibuat 𝑌 = 𝑏₀+ 𝑏_ℎ𝑋_ℎ+ 𝑏_𝑘𝑋_𝑘 dengan cara sebagai berikut: 𝑋 = ⎝ ⎛ 1 1 ⋮ 1 𝑋ℎ1 𝑋ℎ2 ⋮ 𝑋ℎ𝑛 𝑋𝑘1 𝑋𝑘2 ⋮ 𝑋𝑘𝑛⎠ ⎞ (𝑋𝑇_𝑋)−1 _{= �∑ 𝑋}𝑛_ℎ ∑ 𝑋_{∑ 𝑋}ℎ ∑ 𝑋𝑘 ℎ2 ∑ 𝑋ℎ𝑋𝑘 ∑ 𝑋𝑘 ∑ 𝑋ℎ𝑋𝑘 ∑ 𝑋ℎ2 � 𝑌 = � 𝑌1 𝑌2 ⋮ 𝑌𝑛 � 𝑋𝑇_{𝑌 = �∑ 𝑋}∑ 𝑌 ℎ𝑌 ∑ 𝑋𝑘𝑌 � 𝛽 = (𝑋𝑇_𝑋)−1 _{. 𝑋}𝑇_{𝑌 = �}𝑏_𝑏0 ℎ 𝑏𝑘 � (2.12)

Uji keberartian regresi dengan tabel anava (sama dengan langkah kedua yaitu dengan menggunakan Tabel 2.2), kemudian dicek apakah koefisien regresi 𝑏_𝑘 signifikan, dengan hipotesa: 𝐻0:𝑏ℎ = 0 𝐻1:𝑏ℎ ≠ 0

𝐹

ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔

= �

_𝑆(𝑏𝑏ℎ_ℎ)

�

2 (2.13) sedangkan,

𝐹

𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙

= 𝐹

(1,𝑛−𝑝,0,05)

Keputusan: bila 𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} < 𝐹_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} terima 𝐻₀ artinya 𝑏_𝑘 dianggap sama dengan nol, maka proses dihentikan dan persamaan terbaik 𝑌 = 𝑏₀+ 𝑏_ℎ𝑋_ℎ. Bila 𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} ≥ 𝐹_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} tolak 𝐻₀ artinya 𝑏_𝑘 tidak sama dengan nol, maka variabel 𝑋_𝑘 tetap didalam penduga.

5. Seleksi Variabel yang Ketiga Diregresikan

Dipilih kembali harga parsial korelasi variabel sisa terbesar. Menghitung harga masing-masing parsial korelasi variabel sisa dengan Langkah 3, dengan rumus:

𝑟𝑌 𝑋1 .𝑋ℎ𝑋𝑘

=

𝑟_{𝑌𝑋1.𝑋ℎ}−𝑟_{𝑌𝑋𝑘.𝑋ℎ}𝑟_{𝑋1𝑋𝑘𝑋ℎ} ��1−𝑟_{𝑌𝑋𝑘.𝑋ℎ}2 ���1−𝑟

𝑋1𝑋𝑘.𝑋ℎ

2 _� (2.14)

6. Membentuk Persamaan Regresi Ketiga (Regresi Ganda)

Dengan memilih parsial korelasi terbesar, persamaan regresi yang dibuat:

𝑌 = 𝑏0+ 𝑏ℎ𝑋ℎ+ 𝑏𝑘𝑋𝑘+ 𝑏1𝑋1 (2.15)

dengan𝑋₁ adalah variabel sisa yang mempunyai parsial korelasi terbesar, dengan cara sebagai berikut: 𝑋 = ⎝ ⎛ 1 1 ⋮ 1 𝑋ℎ1 𝑋ℎ2 ⋮ 𝑋ℎ𝑛 𝑋𝑘1 𝑋𝑘2 ⋮ 𝑋𝑘𝑛 𝑋11 𝑋12 ⋮ 𝑋1𝑛⎠ ⎞ (𝑋𝑇_𝑋)−1 ₌ ⎝ ⎛ 𝑛 ∑ 𝑋ℎ ∑ 𝑋𝑘 ∑ 𝑋1 ∑ 𝑋ℎ ∑ 𝑋ℎ2 ∑ 𝑋ℎ𝑋𝑘 ∑ 𝑋ℎ𝑋1 ∑ 𝑋𝑘 ∑ 𝑋ℎ𝑋𝑘 ∑ 𝑋𝑘2 ∑ 𝑋𝑘𝑋1 ∑ 𝑋1 ∑ 𝑋ℎ𝑋1 ∑ 𝑋𝑘𝑋1 ∑ 𝑋12 ⎠ ⎞ −1

𝑋𝑇_{𝑌 = �} ∑ 𝑌 ∑ 𝑋ℎ𝑌 ∑ 𝑋𝑘𝑌 ∑ 𝑋1𝑌 �

diperoleh = (𝑋𝑇𝑋)−1 . 𝑋𝑇𝑌 untuk membuat tabel anava uji keberartian regresi, menghitung masing-masing harga-harga yang diperlukan, dilakukan dengan cara yang sama seperti diatas. Begitu juga untuk pengujiannya. Bila hasil pengujian menyatakan koefisien regresi tidak signifikan maka proses dihentikan berarti persamaannya adalah:

𝑌 = 𝑏0+ 𝑏ℎ𝑋ℎ+ 𝑏𝑘𝑋𝑘 (2.16)

Jika signifikan maka proses dilanjutkan sama dengan cara yang diatas. Demikian seterusnya sampai tidak ada lagi variabel yang masuk dalam model. Uji keberartian keseluruhan koefisien regresi yang masuk ke dalam persamaan penduga. Dalam pengujiannya, masing-masing koefisien regresi diuji dengan uji hipotesa:

𝐻0:𝑏𝑞 = 0 𝐻1:𝑏𝑞 ≠ 0 untuk

𝐹

ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔

= �

_𝑆(𝑏𝑏𝑞 𝑞)

�

2 (2.17)

dimana q adalah masing-masing nomor urutan variabel yang diterima masuk ke dalam persamaan penduga. Sedangkan 𝐹_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} = 𝐹_{(𝑝−1,𝑛−𝑝,0,05)}. Bila diantara harga 𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} < 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙, maka teorema 𝐻0 artinya variabel tersebut keluar dari regresi. Bila semua

harga 𝐹_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} < 𝐹_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙}, maka tolak 𝐻₀ artinya semua variabel tetap dalam regresi.

7. Pembentukan Persamaan Penduga

Persamaan penduga 𝑌 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑋₁, dengan𝑋₁ adalah semua variabel 𝑋yang masuk ke dalam penduga (faktor penduga) dan 𝑏₁ adalah koefisien regresi untuk 𝑋₁.

Sebagai pembahasan suatu penduga, untuk mengomentari atau menanggapi kecocokan penduga yang diperoleh ada dua hal yang dipertimbangkan yakni:

a. Pertimbangan berdasarkan Koefisien Determinasi (𝑅2)

Suatu penduga sangat baik digunakan apabila persentase variasi yang dijelaskan sangat besar atau bila 𝑅2 mendekati 1.

b. Analisa Residu (sisa)

Suatu regresi adalah berarti dan model regresinya cocok (sesuai berdasarkan data observasi) apabila kedua asumsi pada 2.1 dipenuhi. Kedua asumsi ini dibuktikan dengan analisa residu. Untuk langkah ini awalnya dihitung residu (sisa) dari penduga yaitu selisih dari respon observasi terhadap hasil keluaran oleh penduga berdasarkan prediktor observasi. Dengan rumus: 𝑒_𝑗 = 𝑌_𝑗− 𝑌�_𝑗 , ditunjukkan pada tabel 2.3:

Tabel 2.3Residu

No Residu Respon (𝑌_𝑗) Penduga (𝑌�_𝑗) Residu (𝑒_𝑗)

1 𝑌₁ 𝑌�₁ 𝑌₁− 𝑌�₁ 2 𝑌₂ 𝑌�₂ 𝑌₂− 𝑌�₂ 3 𝑌₃ 𝑌�₃ 𝑌₃− 𝑌�₃ . . . . . . . . . . . . n 𝑌_𝑛 𝑌�_𝑛 𝑌_𝑛− 𝑌�_𝑛 Jumlah _{� 𝑒} 𝑗 Rata-rata _�𝑒𝑗 𝑛 i. Pembuktian Asumsi Asumsi :

a. Rata-rata residu sama dengan nol (𝑒̅ = 0). Kebenaran keadaan ini akan terlihat pada tabel 2.4.

Keadaan ini dibuktikan dengan uji statistik dengan menggunakan uji Korelasi Rank Spearman (Spearman’s Rank Correlation Test). Untuk uji ini, data yang diperlukan adalah Rank (𝑒_𝑗) dan Rank (𝑌_𝑗), dimana:

𝑑𝑗 = Rank (𝑌𝑗) − Rank (𝑒𝑗).

Hal ini ditunjukkan dengan tabel 2.4:

Tabel 2.4Rank Spearman No Observasi Penduga (𝑌_𝑗) Residu (e) Rank (𝑌) Rank (e) 𝑑 𝑟𝑦− 𝑟𝑒 𝑑2 1 𝑌₁ 𝑒₁ 𝑟₁ 𝑟_𝑒1 𝑑₁ 𝑑₁2 2 𝑌₂ 𝑒₂ 𝑟₂ 𝑟_𝑒2 𝑑₂ 𝑑₂2 3 𝑌₃ 𝑒₃ 𝑟₃ 𝑟_𝑒3 𝑑₃ 𝑑₃2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 𝑌_𝑛 𝑒_𝑛 𝑟_𝑦𝑛 𝑟_𝑒𝑛 𝑑_𝑛 𝑑_𝑛2 Jumlah Σ 𝑒_𝑗 � 𝑑𝑗2

Koefisien Korelasi Rank Spearman (𝑟_𝑠): 𝑟𝑠 = 1 − 6 � ∑𝑑𝑗

2

𝑛(𝑛2₋₁₎� (2.18)

Pengujian menggunakan uji t dimana:

𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 =𝑟𝑠√𝑛−2 �1−𝑟𝑠2

(2.19)

𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑡(𝑛−2,1−𝛼)

dimana 𝑛 − 2 adalah derajat kebebasan dan 𝛼 adalah taraf signifikan hipotesa. Dengan membandingkan 𝑡_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} < 𝑡_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙}, maka varian (𝑒_𝑗) = varian (𝑒_𝑘) dengan kata

lain bila 𝑡_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔} < 𝑡_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙}, maka varian seluruh residu adalah sama. Bila terbukti varian (𝑒_𝑗) = varian (𝑒_𝑘), maka model yakni model linier adalah cocok.