BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Analisis Regresi
Kata regresi (regression) diperkenalkan pertama kali oleh Francis Dalton pada tahun 1886. Menurut Dalton, analisis regresi berkenaan dengan studi ketergantungan antara dua atau lebih variabel. Regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan tingkat pengaruh suatu variabel terhadap variabel yang lain. Variabel yang pertama disebut dengan bermacam-macam istilah: variabel penjelas, variabel eksplanatorik, variabel independen, atau secara bebas, variabel X (karena seringkali digambarkan dalam grafik sebagai absis, atau sumbu X). Variabel yang kedua adalah variabel yang dipengaruhi, variabel dependen, variabel terikat atau variabel Y. Kedua variabel ini dapat merupakan variabel acak (random), namun variabel yang dipengaruhi harus selalu variabel acak.
sering digolongkan ke dalam variabel bebas sedangkan variabel yang terjadi setelah variabel bebas itu merupakan variabel tak bebas. Untuk keperluan analisis, variabel bebas akan dinyatakan dengan x1, x2, …, xn, sedangkan variabel tak
bebas dinyatakan dengan Y.
Analisis regresi (regression analysis) merupakan suatu teknik untuk membangun persamaan dan menggunakan persamaan tersebut untuk membuat perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai analisis prediksi. Karena merupakan prediksi, maka nilai prediksi tidak selalu tetap dengan nilai riilnya, semakin kecil tingkat penyimpangan antara nilai prediksi dengan nilai riilnya, maka semakin tepat persamaan regresinya, sehingga dapat didefinisikan bahwa analisis regresi adalah metode statistik yang digunakan untuk menentukan kemungkinan hubungan antara variabel-variabel.
2.2 Persamaan Regresi
Persamaan regresi yang digunakan untuk membuat taksiran mengenai variabel dependen disebut persamaan regresi estimasi, yaitu suatu formula matematis yang menunjukkan hubungan keterkaitan antara satu atau beberapa variabel yang nilainya sudah diketahui dengan satu variabel lain yang nilainya belum diketahui.
bebas (independent variabel), sedangkan variabel yang nilainya dipengaruhi oleh nilai variabel lain disebut variabel tidak bebas (dependent variabel).
Ada dua jenis Persamaan Regresi Linier, yaitu sebagai berikut: 1. Analisis Regresi Sederhana
2. Analisis Regresi Berganda
2.2.1 Persamaan Regresi Sederhana
Dalam regresi linier sederhana hanya terdapat satu peubah bebas x dan satu peubah acak Y. Regresi linier sederhana digunakan untuk memperkirakan hubungan antara dua variabel, yaitu satu variabel / peubah bebas X dan satu peubah tak bebas Y.
Bentuk umum dari persamaan regresi sederhana adalah:
Y = a + bx
(2.1)
Dengan: Y = variabel terikat / tak bebas (dependent) X = variabel bebas (independent)
a = penduga bagi intercept (α)
b = penduga bagi koefisien regresi (β)
Persamaan umum regresi sederhana untuk populasi adalah:
�
=
�
+
�
(2.2)
Jika �1 dan �2 ditaksir oleh �0 dan �1, maka regresi sederhana untuk sampel adalah sebagai berikut:
Ŷ
=
�
+
�
(2.3)
Penggunaan regresi linier sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sebagai berikut:
1. Model regresi harus linier dalam parameter
2. Variabel bebas tidak berkorelasi dengan disturbance term (eror)
3. Nilai disturbance term sebesar 90 atau dengan symbol sebagai berikut: (E (U / X)) = 0
4. Varian untuk masing-masing error term (kesalahan) konstan 5. tidak terjadi autokorelasi
6. Model regresi dispesifikasikan secara benar. Tidak terdapat bias spesifikasi dalam model yang digunakan dalam analisis empiris
7. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka antarvariabel bebas (explonatory) tidak ada hubungan linier yang nyata
2.2.2 Analisis Regresi Linier Berganda
Sebagai contoh, sering diasumsikan bahwa tinggi rendahnya konsumsi keluarga (Y) terhadap suatu produk adalah dipengaruhi tinggi rendahnya pendapatan keluarga (X). Tetapi dalam kenyataannya tidaklah sesederhana itu, karena di samping pendapatan diketahui pula bahwa terdapat sejumlah variabel lain yang ikut mempengaruhi konsumsi, seperti misalnya variabel jumlah keluarga, tingkat pendidikan keluarga dan variabel lainnya.
Berdasarkan kenyataan ini, maka perlu dikembangkan model regresi sederhana yang hanya melibatkan satu variabel penjelas atau variabel bebas menjadi model regresi berganda yang melibatkan lebih dari satu variabel penejelas atau variabel bebas.
Secara umum persamaan regresi berganda dapat ditulis sebagai berikut:
�
=
�
+
�
�+
�
�+
…
+
�
� �+
ԑ
�(2.4)
(Untuk populasi)
�
=
�
+
�
+
�
+
…
+
�
� �+
ԑ
�(2.5)
(Untuk sampel) Dengan : i = 1, 2, . . . , n
�0, �1, �2, . . ., � dan ԑ adalah pendugaan atas �0, �1, �2,. . .,
� , dan ԑ
ԑ = eror
Dalam penelitian ini digunakan empat variabel yang terdiri dari satu variabel bebas Y dan tiga variabel terikat X yaitu X1, X2 dan X3. Maka
=�0 +�1 1+ �2 2+ �3 3
1 = �0 1 + �1 12 + �2 1 2+ �3 1 3
2 = �0 2 + �1 1 2+ �2 22 + �3 2 3
3 = �0 3+ �1 1 3+ �2 2 3+ �3 32
Sistem persamaan tersebut dapat disederhanakan sedikit apabila diambil x1 = X1
– 1, x2 = X1 - 2, x3 = X3 - 3 dan y = Y - . Maka persamaannya menjadi :
y = b
1x
1+ b
2x
2+ b
3x
3(2.6)
Koefisen
–
koefisien b
1, b
2dan b
3untuk persamaan tersebut dapat
dihitung dari
= � + � +�
= � + � + �
= � + � + �
Dengan penggunaan x
1, x
2, x
3dan y yang baru ini, maka diperoleh
kemudian disubsitusikan ke persamaan (2.6) sehingga diperoleh
model regresi linier berganda Y atas X
1, X
2, dan X
3.
2.3 Koefisien Korelasi
Analisis korelasi adalah alat yang membahas tentang derajat hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya. Nilai koeisien (r) digunakan untuk mengukur kuat tidaknya hubungan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas. Semakin besar nilai r maka makin kuat hubungan antara variabel bebas dengan variabel tidak bebas. Demikian juga apabila semakin kecil nilai r, berarti hubungannya semakin lemah pula.
Koefisien korelasi dapat dirumuskan sebagai berikut:
r
y.1,2,…,k=
� −� − � −
(2.7)
Untuk menghitung koefisien korelasi antara variabel tak bebas Y dengan tiga variabel bebas X1, X2, X3 yaitu :
1. Koefisien korelasi anatar Y dengan X1
� = � −
� − � −
(2.8)
2. Koefisien korelasi anatar Y dengan X2
� = � −
� − � −
(2.9)
3. Koefisien korelasi antara Y dan X3
� = � −
Sedangkan untuk mengetahui korelasi antar variabel bebas dengan tiga buah variabel bebas adalah :
a. Koefisien korelasi antara X1dan X2
� = � −
� − � − (2.11)
b. Koefisien Korelasi antara X1dan X3
� = � −
� − � − (2.12)
c. Koefisien Korelasi antara X2dan X3
� = � −
� − � − (2.13)
Dua variabel dikatakan berkolerasi apabila perubahan dalam satu variabel diikuti oleh perubahan variabel lain, baik yang searah maupun tidak. Hubungan antara variabel dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis :
1) Korelasi Positif
2) Korelasi Negatif
Terjadinya korelasi negatif apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik). Artinya apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti penurunan variabel lainnya.
3) Korelasi Nihil
Terjadinya korelasi nihil apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang tidak teratur (acak). Artinya apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti penurunan variabel. Artinya apabila variabel yang satu meningkat, kadang diikuti dengan peningkatan pada variabel lain dan kadang diikuti dengan penurunan pada variabel lain.
Berdasarkan hubungan antar variabel yang satu dengan variabel lainnya dinyatakan dengan koefisien korelasi yang disimbolkan dengan “ r “ . Besarnya koefisien korelasi berkisar antara -1 ≤ r ≤ +1. Sifat korelasi akan menentukan arah dari korelasi. Keeratan korelasi dapat dikelompokkan sebagai berikut :
Nilai R Interpretasi
0,00 sampai dengan 0,20 keeratan sangat lemah 0,21 sampai dengan 0,40 keeratan lemah 0,41 sampai dengan 0,70 keeratan kuat 0,71 sampai dengan 0,90 keeratan sangat kuat 0,91 sampai dengan 0,99 keeratan sangat kuat sekali
2.4 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi disimbolkan dengan R2 untuk pengujian regresi linier berganda yang mencakup lebih dari dua variabel. Koefisien determinasi adalah untuk
mengetahui proporsi keberagaman total dalam variabel tak bebas Y yang dapat
dijelaskan atau diterangkan oleh variabel - variabel bebas X yang ada di model
persamaan regresi berganda secara bersama-sama. Nilai R2 dikatakan baik jika berada
di atas 0,5 karena nilai R2 berkisar antara 0 sampai 1.
Koefisien determinasi dapat dihitung dari:
2
=
�1 1 +�2 2 +⋯+�− 2 (2.14)
Sehingga rumus umum koefisien determinasi adalah sebagai berikut:
2
=
��Pengujian regresi linier perlu dilakukan untuk mengetahui apakah variabel – variabel bebas secara bersamaan memiliki pengaruh terhadap variabel tak bebas. Pengujian hipotesis dapat didasarkan dengan menggunakan suatu hal, yaitu tingkat signifikansi atau probabilitas (α) dan tingkat kepercayaan atau confidence.
umumnya ialah sebesar 95%. Yang dimaksud dengan tingkat kepercayaan adalah tingkat di mana sebesar 95% nilai sampel akan mewakili nilai populasi di mana sampel berasal.
Dalam melakukan uji hipotesis terdapat dua hipotesis, yaitu : H0
(Hipotesis Nihil) dan H1 (Hipotesis Alternatif). H0 bertujuan untuk memberikan
dugaan sementara kemungkinan ada tidaknya perbedaan antara perkiraan penelitian dengan keadaan yang sesungguhnya yang diteliti. H1 bertujuan
memberikan usulan dugaan adanya perbedaan perkiraan dengan keadaan sesungguhnya yang diteliti.
Langkah – langkah pengujian regresi linier berganda adalah :
1. Menentukan formulasi hipotesis
H0: b1 = b2 = b3 = . . .= bk = 0 (X1, X2,. . ., Xktidak mempengaruhi Y)
H1 : Minimal ada satu parameter koefisien regresi yang tidak sama dengan
nol atau mempengaruhi Y.
2. Menentukan taraf nyata α dan nilai Ftabel dengan derajat kebebasan V1 = k
dan V2 = n-k-1 dengan taraf signifikansi α yaitu Ftabel = F(1 –α)(k), (n – k – 1)
3. Menghitung Menentukan kriteria pengujian H0 diterima bila Fhitung≤ Ftabel
H0 ditolak bila Fhitung > Ftabel
4. Menentukan nilai F dengan rumus :
�ℎ = ��
/
Dengan :
JKreg = jumlah kuadrat regresi
JKres = jumlah kuadrat residu (sisa)
(n-k-1) = derajat kebebasan Untuk :
JKreg= b1 ΣYi X1i + b2ΣYiX2i + . . . + bkΣ Xki JKres= Σ (Yi –Ŷi)2
5. Membuat kesimpulan apakah H0 diterima atau ditolak.
2.6 Uji Koefisien Regresi Ganda
Adanya variabel – variabel bebas dalam regresi linier ganda perlu diuji untuk melihat seberapa besar pengaruhnya terhadap variabel tidak bebas. Uji statistik yang paling tepat adalah menggunakan uji t (t – student ).
Misalkan populasi mempunyai model regresi berganda yaitu :
� = �0+ �1 1+ �2 2+ …+ �
Adanya asumsi bahwa variabel – variabel bebas memberikan pengaruh yang berarti atau tidak terhadap variabel tidak bebas akan diuji hipotesis H0
melawan hipotesis H1 dalam bentuk :
H0 = βi = 0, i = 1,2,…,k
H1≠βi≠ 0, i = 1,2,…,k
Sbi=
� , ,…,
−� (2.16)
Dengan:
,1,2,…,
2 = −Ŷ
�− −1
2 = − 2
Selanjutnya hitung statistik: t = ti = �
�
Dengan distribusi t–student serta dk = (n – k – 1), ttabel = t(n-ki-1,α/2) dengan kriteria
