Penentuan Dimensi Metrik Graf Helm

(1)

PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM

SKRIPSI

Oleh :

DIAN FIRMAYASARI S

NIM : H 111 08 011

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR 2012

(2)

PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Program Studi Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

Makassar

Oleh :

DIAN FIRMAYASARI S

NIM : H 111 08 011

MAKASSAR 2012

(3)

P E R N Y A T A A N

Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sesungguh-sungguhnya bahwa skripsi yang saya buat dengan judul :

PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM

adalah benar-benar kerja saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 21 Mei 2012

DIAN FIRMAYASARI S H111 08 011

(4)

PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM

SKRIPSI

Oleh :

DIAN FIRMAYASARI S

NIM : H 111 08 011

Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji : Tanggal : 21 Mei 2012

Pembimbing Utama

Dr. Nurdin, M.Si NIP. 19700807 200003 1 002

Pembimbing Pertama

Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc NIP. 19680803 199202 1 001

(5)

Pada hari ini, Senin, tanggal 21 Mei 2012, panitia ujian sidang sarjana menerima dengan baik skripsi yang berjudul :

PENENTUAN DIMENSI METRIK GRAF HELM

yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat guna memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin.

Makassar, 21 Mei 2012

Susunan Panitia Ujian Sidang Sarjana Tanda Tangan 1. Ketua : Prof. Dr. Syamsuddin Toaha, M.Sc (………)

NIP. 19680114 199412 1 001

2. Sekretaris : Hendra, S.Si, M.Si (………) NIP. 19760102 200312 1 001

3. Anggota : Drs. Muhammad Zakir, M.Si (………) NIP. 19640217 199103 1 004

4. Anggota : Dr. Nurdin, M.Si (………)

(Ex. Officio) NIP. 19700807 200003 1 002

5. Anggota : Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc (………)

(6)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil’alamiin, puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulisan skripsi dengan judul “Penentuan Dimensi Metrik Graf Helm” dapat terselesaikan dengan baik . Salawat dan salam semoga tetap tercurah kepada Rasulullah SAW yang menjadi suri teladan bagi umat islam dalam menjalani hidup yang sesungguhnya.

Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan berkat bantuan dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis sampaikan terima kasih kepada:

1. Ayahanda Siala Rahman dan Ibunda St. Puji tercinta yang senantiasa memberikan kasih sayang, doa dan materi kepada penulis dalam menuntut ilmu.

2. Bapak Dr. Nurdin, M.Si dan Bapak Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc yang dengan sabar meluangkan waktunya demi memberikan bimbingan, pengarahan, dan saran sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. 3. Bapak Prof. Dr. Syamsuddin Toaha, M.Sc, Bapak Hendra, S.Si, M.Kom

dan Bapak Drs. Muhammad Zakir, M.Si selaku penguji sekaligus penasehat akademik, terima kasih atas saran dan kritiknya demi perbaikan skripsi penulis.

4. Seluruh dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, yang telah mendidik, mengajarkan, membimbing, dan mencurahkan ilmu-ilmunya kepada penulis.

(7)

5. Kedua adikku Ardy dan Ria serta seluruh keluarga besarku yang selalu memberikan doa, semangat, dan kasih sayang tanpa batas.

6. Kedua sahabatku Uchi dan Anti yang selalu menemaniku baik suka maupun duka, memberikan doa dan semangat.

7. Teman-teman seperjuangan di jurusan matematika khususnya angkatan 2008, terima kasih atas rasa persaudaraan dan kebersamaan yang telah diberikan kepada penulis.

8. Warga Himatika FMIPA Unhas, terima kasih atas ilmu dan pengalaman yang telah diberikan kepada penulis baik melalui pengkaderan maupun kegiatan kampus lainnya.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini.

Dengan segala kerendahan hati, penulis menerima kritik dan saran demi tercapainya kesempurnaan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi penulis. Amin Ya Rabbal Alamin.

Makassar, 21 Mei 2012

(8)

ABSTRAK

Misalkan adalah graf terhubung dan adalah suatu sub himpunan titik pada graf terhubung . Himpunan disebut himpunan penentu pada jika untuk setiap titik pada graf memiliki representasi jarak yang berbeda terhadap .

Himpunan penentu dengan banyak anggota minimum disebut himpunan penentu minimum atau basis dari dan kardinalitas himpunan tersebut menyatakan dimensi metrik pada graf , dinotasikan dengan

Pada skripsi ini dibahas mengenai dimensi metrik graf helm yang dikontruksi dari graf roda . Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh bahwa

⌊ ⌋ untuk dan

(9)

ABSTRACT

If is a connected graph and be a vertices subset on a connected graph . The set S is called resolving set for if every vertex on graph has distinct representation of . A resolving set containing a minimum number of vertices is called resolving set minimum or basis for and the cardinality of resolving set is the metric dimension on graph , denoted by

In the thesis discussed about metric dimension of helm graph constructed from graph wheel . Based on the discussion of the results obtained that ⌊ ⌋ for and

(10)

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . ... i

HALAMAN PENGAJUAN . ... ii

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN ... iii

HALAMAN PERSETUJUAN ... iv HALAMAN PENGESAHAN ... v KATA PENGANTAR ... vi ABSTRAK . ... viii ABSTACT ... ix DAFTAR ISI ... x

DAFTAR GAMBAR ... xii

DAFTAR LAMBANG . ... xiii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 3 1.3 Batasan Masalah ... 3 1.4 Tujuan Penulisan ... 3 1.5 Manfaat Penulisan ... ……. 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Terminologi Graf ... 4

2.2 Graf Roda dan Graf Helm ... . 8

(11)

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Graf Helm ... 13 3.2 Dimensi Metrik Graf Helm ... 14 BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan ... 43 4.2 Saran ... 43 DAFTAR PUSTAKA ... 44

(12)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf dengan 6 titik ... 5

Gambar 2.6 Graf ... 9

Gambar 2.7 Graf Roda ... 9

Gambar 2.8 Graf Helm ... 10

Gambar 2.9 Graf ... 11

(13)

DAFTAR LAMBANG

Lambang Keterangan

Pemakaian pertama kali pada halaman

Dimensi metrik graf 2

Jarak antara titik dan pada graf 2

Graf roda dengan titik 2 Graf helm dengan titik 2

⌊ ⌋ Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 2

Himpunan sisi graf 4

Graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi 4

Himpunan titik graf 4

Banyaknya anggota himpunan titik pada graf 4

Banyaknya anggota himpunan sisi pada graf 4

Derajat titik pada 6

Derajat titik yang minimum pada graf 6

Derajat titik yang maksimum pada graf 6 Graf lingkaran dengan titik 9

Representasi dari terhadap 10

sub himpunan titik pada graf 10

Kardinalitas 12

(14)

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan dari skripsi ini.

1.1 Latar Belakang

Ilmu matematika merupakan alat bantu untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah. Dalam bahasa matematika, suatu masalah dapat menjadi sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisis, dan dipecahkan. Untuk keperluan tersebut, maka pertama dicari pokok masalahnya kemudian dibuat rumusan atau model matematikanya sehingga masalah lebih mudah dipecahkan.

Salah satu konsep dari disiplin ilmu matematika adalah teori graf. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan Swiss bernama Leonhard Euler pada tahun 1736 ketika mendiskusikan mengenai persoalan jembatan Konigsberg Rusia. Cikal bakal dari teori graf dinyatakan dalam bentuk permainan atau teka-teki. Tetapi sekarang teori graf telah dapat memberikan kerangka dasar bagi banyak persoalan yang berhubungan dengan struktur dan hubungan antara suatu obyek diskrit dalam bentuk apapun. Graf menggambarkan struktur tersebut dalam beberapa objek yang dinyatakan dengan noktah, bulatan atau titik sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.

(15)

Seiring dengan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, akhir-akhir ini banyak sekali penelitian-penelitian terbaru tentang graf. Salah satu topik yang banyak dibicarakan adalah dimensi metrik. Dimensi metrik pada suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh F. Harary dan R. A Melter (1976) pada jurnal berjudul on the metric dimension of a graph.

Untuk menentukan dimensi metrik graf ada beberapa konsep yang digunakan. Pertama adalah konsep jarak antara dua titik pada suatu graf. Misalkan

dan adalah titik-titik pada graf terhubung , maka jarak antara titik dan

pada graf adalah panjang lintasan terpendek antara dan pada , dinotasikan dengan . Konsep lainnya adalah himpunan penentu (resolving set). Suatu himpunan bagian dari himpunan titik disebut himpunan penentu pada jika setiap titik di mempunyai representasi yang berbeda terhadap . Himpunan penentu yang memiliki anggota (kardinalitas) yang minimum disebut himpunan

penentu minimum (minimum resolving set) dan anggota pada himpunan penentu

minimum disebut basis, sedangkan jumlah anggota dari basis tersebut disebut

dimensi metrik dari dan dinotasikan dengan .

Berdasarkan hasil penelitian beberapa peneliti terdahulu, dimensi metrik dari beberapa jenis graf sudah diketahui, diantaranya adalah graf roda dan graf lingkaran. Misalnya, Buczkowski dkk (2003) menemukan dimensi metrik graf roda dengan . Lebih jelasnya, jika dan dimensi metrik adalah ⌊ ⌋, sedangkan untuk dan dimensi metrik adalah .

Namun demikian, beberapa graf yang dikonstruksi dari graf roda belum ditemukan dimensi metriknya, misalnya graf helm (helm graph). Graf helm

(16)

adalah graf yang dikonstruksi dari graf roda dengan menambahkan sisi pendant pada setiap titik dari lingkaran luar graf roda.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana menentukan dimensi metrik graf helm.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penulisan skripsi ini dibatasi pada penentuan dimensi metrik graf helm hingga titik.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah menentukan dimensi metrik graf helm. 1.5 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat yang diharapkan dalam penulisan skripsi ini adalah untuk menambah pemahaman tentang konsep teori graf khususnya dimensi metrik suatu graf.

(17)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini dibahas beberapa materi yang dijadikan landasan teori untuk memahami penentuan dimensi metrik suatu graf, khususnya graf helm. Materinya meliputi beberapa definisi, istilah-istilah dalam teori graf termasuk dimensi metrik. Adapun definisi, istilah-istilah, dan contoh yang dibahas pada bab ini umumnya dikutip dari referensi [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], dan [8].

2.1 Terminologi Graf

Pada sub bab ini dibahas beberapa definisi dan istilah-istilah dalam teori graf beserta contoh yang digunakan dalam penulisan skripsi ini.

Definisi 2.1 Graf adalah pasangan himpunan dengan adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tidak terurut dari titik-titik berbeda di yang disebut sebagai sisi.

Himpunan titik di dinotasikan dengan dan himpunan sisi dinotasikan dengan Sedangkan banyaknya unsur di disebut order dari dan dilambangkan dengan dan banyaknya unsur di disebut ukuran dari dan dilambangkan dengan

Berdasarkan Definisi 2.1, didefinisikan graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai sisi ganda (multiple edges) dan loop. Dua buah sisi disebut

(18)

ganda pada suatu graf jika kedua sisi tersebut mempunyai titik ujung yang sama. Sedangkan yang disebut dengan loop adalah suatu sisi yang mempunyai titik ujung sama. Pada pembahasan skripsi ini, graf yang dibahas adalah graf sederhana.

Titik pada suatu graf dapat disimbolkan dengan huruf, seperti

atau bilangan asli, seperti atau gabungan keduanya, sedangkan sisi dapat disimbolkan dengan .

Contoh 2.1

Gambar 2.1. Graf G dengan 6 titik

Graf pada Gambar 2.1, memiliki himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut : { } { } sehingga dan .

v

1

v

3

v

2

v

4

v

5

v

6

e

1

e

2

e

3

e

4

e

6

e

5

(19)

Definisi 2.2 Misal adalah graf dengan Jika adalah sisi pada maka dan disebut bertetangga (adjacent), sedangkan disebut terkait

(incident) dengan dan disebut terkait dengan

Contoh 2.2

Gambar 2.2. Graf dengan empat titik

Pada Gambar 2.2 diketahui bahwa pasangan titik yang terhubung langsung

(adjacent) yaitu dan . Titik terkait langsung

(incident) dengan sisi dan sisi terkait langsung (incident) dengan titik

tetapi titik tidak terkait langsung (incident) dengan sisi , demikian juga sebaliknya, yaitu sisi tidak terkait langsung (incident) dengan titik

Definisi 2.3Derajat (degree) dari suatu titik pada graf adalah banyaknya sisi

yang terkait dengan titik dan dinotasikan dengan deg ).

Suatu titik yang berderajat 0 disebut titik terisolasi dan titik yang berderajat 1 disebut titik ujung. Derajat minimum titik di dinotasikan dengan dan derajat maksimum titik di dinotasikan dengan

2

v

1

v

3

v

4

v

1 e 2 e 4 e 3 e

(20)

Contoh 2.3

Gambar 2.3. Graf dengan 5 titik Derajat titik-titik graf pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut :

. Dengan demikian, dipeoleh dan .

Definisi 2.4 Misal adalah graf dengan Lintasan dari titik ke

titik pada graf dinotasikan dengan adalah barisan selang-seling

antar titik dan sisi, , dimulai dengan titik

dan diakhiri dengan titik di mana untuk dan tidak

terdapat pengulangan titik dan sisi.

Contoh 2.4

Gambar 2.4. Graf dengan 4 titik

Graf pada Gambar 2.4, memiliki lintasan dengan barisan sisi yaitu

dan .

v

1

v

2

v

3

v

5 1

e

2

e

3

e

4

e

5

e

_v

4 6 e

v

1

v

2

v

4

v

3

(21)

Definisi 2.5 Misal adalah graf dengan . Graf disebut graf

terhubung (connected), jika setiap dua titik yang berbeda di terdapat suatu

lintasan dari ke

Definisi 2.6 Jarak (distance) antara titik dan pada graf , dinotasikan

dengan , adalah panjang lintasan terpendek antara dan pada .

Contoh 2.5

Gambar 2.5. Graf dengan 5 titik Pada Gambar 2.5 diperoleh

2.2 Graf Roda dan Graf Helm

Pada sub bab ini dibahas tentang definisi graf roda dan graf helm serta beberapa definisi yang berkaitan dengan kedua graf tersebut.

Definisi 2.7 Graf lingkaran (cycle) adalah graf terhubung yang semua titiknya berderajat dua.

v

1

v

2

v

3

(22)

Contoh 2.6

Gambar 2.6. Graf

Definisi 2.8 Graf roda (wheel) adalah graf terhubung yang dikonstruksi dari graf

lingkaran dinotasikan dengan dengan menambahkan satu titik sebagai

titik pusat dan n sisi sedemikian sehingga bertetangga dengan semua titik pada

lingkaran .

Contoh 2.7

Gambar 2.7. Graf Roda

Berdasarkan hasil penelitian Buczkowski dkk. pada tahun 2003, diperoleh dimensi metrik dari graf roda Wn. Dimensi metrik dari graf roda jika

dan adalah ⌊ ⌋. Untuk dan diperoleh dimensi metriknya .

1 v 5 v 4 v 3 v 6 v 2 v c 4 v 5 v 1 v v₂ 3 v 6 v

(23)

Definisi 2.9 Sisi pendant adalah sebuah sisi yang terkait (incident) dengan titik ujung (pendant) pada graf .

Definisi 2.10 Graf Helm adalah graf terhubung berorder dan

berukuran yang dikonstruksi dari graf roda dengan menambahkan sisi

pendant pada setiap titik pada lingkaran .

Contoh 2.8

Gambar 2.8. Graf Helm 2.3 Dimensi Metrik

Pada sub bab ini dibahas tentang istilah-istilah yang berkaitan dengan dimensi metrik dari suatu graf.

Misalkan adalah suatu graf terhubung sederhana, dan

.

Definisi 2.11 Representasi dari terhadap adalah pasangan -tuple yaitu ( ) 1 a a₂ 4 a 3 a 5 a 6 a 1 b b2 3 b 4 b 5 b 6 b c

(24)

Definisi 2.12 Himpunan merupakan himpunan penentu pada graf jika titik-titik pada graf mempunyai representasi yang berbeda terhadap .

Definisi 2.13 Himpunan penentu yang memiliki anggota (kardinalitas) yang minimum disebut himpunan penentu (resolving set) minimum pada graf

Definisi 2.14 Anggota-anggota pada himpunan penentu minimum disebut basis. Definisi 2.15 Dimensi metrik dari dinotasikan dengan yang menyatakan jumlah anggota dari basis.

Contoh 2.9

Gambar 2.9. Graf

Misal dipilih { } , maka representasi titik-titik di adalah sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 v v2 3 v 4 v c

(25)

Karena representasi setiap titik di berbeda, maka merupakan himpunan penentu bagi Selain graf juga mempunyai himpunan penentu yang lain, yaitu { } merupakan himpunan penentu karena representasi

setiap titik di berbeda, yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Akan tetapi jika dengan maka bukan himpunan penentu bagi . Karena setiap titik di mempunyai derajat lebih besar 3, maka setidaknya untuk setiap titik memiliki 3 titik tetangga.

Dengan demikian, merupakan himpunan penentu minimum bagi Jadi,

(26)

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas tentang hasil penelitian penulis dan buktinya serta beberapa hasil peneliti lain yang terkait dengan kajian penulis.

Beberapa peneliti terdahulu menemukan dimensi metrik dari beberapa jenis graf, antara lain graf roda dan graf lingkaran. Berdasarkan hasil penelitian Buczkowski dkk, pada tahun 2003, dimensi metrik dari graf roda untuk

dan adalah ⌊ ⌋, sedangkan untuk dan adalah .

3.1 Graf Helm

Pada sub bab ini dibahas definisi himpunan titik dan himpunan sisi serta jarak setiap titik pada graf helm .

Contoh 3.1

Gambar 3.1 Graf Helm .

1 a a₂ 4 a 3 a 5 a 6 a 1 b b2 3 b 4 b 5 b 6 b c

(27)

Berdasarkan Gambar 3.1, diketahui himpunan titik dan himpunan sisi pada graf helm yaitu :

{ }

{ } { }

Berdasarkan definisi himpunan titik dan himpunan sisi graf helm

tersebut, diperoleh beberapa sifat yang terkait dengan jarak titik - titik pada graf helm sebagai berikut :

1. 2. 3. ( ) { 4. ( ) { 5. ( ) {

3.2 Dimensi Metrik Graf Helm

Pada sub bab ini dibahas tentang penentuan dimensi metrik graf helm beserta pembuktian dimensi metrik graf helm.

(28)

Lemma 1

Misalkan merupakan graf helm dengann 3, makadim( ) > 1.

Bukti:

Diketahui bahwa banyaknya titik pada adalah , di mana terdapat 1 titik berderajat , titik berderajat 1 dan titik berderajat 4.

Misal, dipilih { } dengan maka terdapat 3 kemungkinan, yaitu

dan

i. jika , maka bertetangga dengan titik lainnya,

sehingga Akibatnya,

(terdapat nilai representasi yang sama). ii. jika , maka untuk suatu ,

sehingga

Akibatnya, (terdapat nilai representasi

yang sama).

iii. jika , maka untuk suatu , ,

sehingga Akibatnya, (terdapat nilai representasi yang sama).

Dengan demikian, jika { } dengan maka bukan himpunan penentu. Akibatnya,

(29)

Teorema 1 Dimensi metrik graf helm adalah 3.

Bukti:

Graf helm digambarkan sebagai berikut :

Gambar 3.2. Graf helm

Berdasarkan Lemma 1 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

dengan jalan akan dibuktikan bahwa jika maka bukan himpunan penentu. Untuk itu, dibuktikan 6 kasus berikut .

Kasus 1. Untuk { } diperoleh representasi titik dan terhadap adalah

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } dan

{ }, maka { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi

Kasus 2. Untuk { } diperoleh representasi titik dan terhadap adalah ( )

a

1

b

1

a

3

a

2

b

3

b

2

c

(30)

( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } dan { } maka

{ } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } dan { } maka

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } dan { }, maka

( ) ( )

(31)

{ }, maka { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { }, { },

{ } { } dan { } maka { }, { }, { } { } dan

{ } juga bukan himpunan penentu bagi

Dengan demikian, untuk setiap dengan maka bukan himpunan penentu bagi . Akibatnya, .

Misal { } representasi semua titik pada graf adalah sebagai berikut ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(32)

Karena semua titik memiliki representasi yang berbeda maka

{ } merupakan himpunan penentu bagi

Dengan demikian,

Karena dan maka

Teorema 2. Dimensi metrik graf helm adalah 2.

Bukti :

Graf helm digambarkan sebagai berikut:

Berdasarkan Lemma 1 atau Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

Misal dipilih { } representasi semua titik pada graf adalah sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a

1

b

1

c

b

2

a

2

b

4

a

4

a

3

b

3

(33)

( ) ( ) ( ) ( )

Karena semua titik pada graf mempunyai representasi yang berbeda relatif terhadap { }, maka { } merupakan himpunan penentu bagi Dengan demikian, Jadi,

Teorema 3. Dimensi metrik graf helm adalah 2.

Bukti :

Graf helm digambarkan sebagai berikut :

Berdasarkan Lemma 1 atau . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

Misal dipilih { } representasi semua titik pada graf adalah sebagai berikut : ( ) ( )

a

1

b

1

c

b

2

a

2

a

3

b

3

b

4

a

4

b

5

a

5

(34)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Karena semua titik pada graf mempunyai representasi yang berbeda relatif terhadap { }, maka { } merupakan himpunan penentu bagi Dengan demikian, Jadi,

Teorema 4. Dimensi metrik graf helm adalah 3.

Bukti:

Gambar 3.5.Graf helm

1 a a2 4 a 3 a 5 a 6 a 1 b b2 3 b 4 b 5 b 6 b c

(35)

Berdasarkan Lemma 1 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

dengan jalan akan dibuktikan bahwa jika maka bukan himpunan penentu. Untuk itu, dibuktikan 12 kasus berikut.

( ) ( )

Karena maka { }

bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan

{ } { } { } { } dan { } maka { } { } { } { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi

( ) ( )

(36)

{ } maka { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi Kasus 4. Untuk { } diperoleh representasi titik dan terhadap adalah

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } dan { } maka { } { } { } { } { } juga bukan himpunan penentu bagi

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } dan

{ } maka { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi Kasus 6. Untuk { } diperoleh representasi titik dan terhadap adalah

(37)

( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } dan

{ } maka { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi Kasus 7. Untuk { } diperoleh representasi titik dan terhadap adalah

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } dan { } maka { } { } { } { } dan

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } dan { } maka { } { } { } { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi

(38)

( ) ( )

Karena maka { } bukan himpunan penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } dan { } maka { } { } { } { } dan

Kasus 10. Untuk { } diperoleh representasi titik dan terhadap

adalah

( )

Karena maka { } bukan himpunan

penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } { } { } { } dan { } maka { } { } { } { } dan

( ) ( )

(39)

{ } { } dan { } maka { } { } { } { } dan

Kasus 12. Untuk { } diperoleh representasi titik dan terhadap

adalah

( )

penentu bagi Karena posisi { } serupa dengan posisi { } dan

{ } maka { } dan { } juga bukan himpunan penentu bagi

Dengan demikian, untuk setiap dengan maka bukan himpunan penentu bagi Akibatnya,

Misal { } representasi semua titik pada graf adalah sebagai

berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(40)

( )

( ) ( )

( )

Karena semua titik memiliki representasi yang berbeda terhadap { },

maka { } merupakan himpunan penentu bagi dengan demikian,

Karena dan maka

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ⌊ ⌋ untuk

Untuk tujuan tersebut, pertama akan ditunjukkan bahwa dengan

⌊ ⌋ maka bukan himpunan penentu bagi

Untuk tujuan tersebut, beberapa lemma digunakan sebagai berikut : Lemma 2.

Misalkan dengan ⌊

⌋ dan { } maka bukan

himpunan penentu bagi

Bukti :

Ada dua kemungkinan :

I. Ada dua titik dan

II. Ada titik dan dan { }

Jika kemungkinan I yang benar, maka dan Dengan demikian,

(41)

Jika kemungkinan II yang benar, maka

{ } dan { }

Dengan demikian,

Hal ini menunjukkan bahwa bukan himpunan penentu bagi

Lemma 3.

Misalkan dengan ⌊ ⌋ dan { } maka bukan

himpunan penentu bagi

Bukti:

Ada dua kemungkinan :

I. Ada dua titik dan II. Ada titik dan

dan { }

Jika kemungkinan I yang benar, maka dan Dengan demikian,

Jika kemungkinan II yang benar, maka dan { }

Dengan demikian,

Lemma 4.

Misalkan dengan dengan dan

(42)

Bukti:

Ada empat kemungkinan:

I. Ada dua titik yang mempunyai jarak lebih besar atau sama dengan dua ke titik-titik yang ada pada .

II. Ada dua titik yang memenuhi dua syarat berikut. a. Titik dan mempunyai jarak 1 ke salah satu titik yang ada

pada .

b. Titik dan mempunyai jarak lebih besar atau sama dengan dua ke semua titik yang ada pada kecuali titik yang disebut pada bagian a. III. Ada dua titik yang mempunyai jarak lebih besar

atau sama dengan tiga ke titik-titik yang ada pada .

IV. Ada dua titik yang memenuhi dua syarat berikut. a. Titik dan mempunyai jarak 2 ke salah satu titik yang ada pada .

b. Titik dan mempunyai jarak lebih besar atau sama dengan tiga ke semua titik yang ada pada kecuali titik yang disebut pada bagian a. Jika kemungkinan I yang benar, maka diperoleh dan Dengan argumentasi yang sama dengan sebelumnya, diperoleh juga dan

(43)

Jika kemungkinan II yang benar, tanpa mengurangi pembuktian pada bagian ini, dapat dimisalkan bahwa salah satu titik pada yang mempunyai jarak 1 ke dan

adalah atau .

- .Jika titik yang dimaksud adalah maka diperoleh , , { } dan , { }

Lebih lanjut, diperoleh juga ,

, { } dan , { }. Dengan demikian,

- Jika titik yang dimaksud adalah maka diperoleh ,

, { } dan , { }

Lebih lanjut, diperoleh juga , , { } dan , { } Dengan demikian,

Dengan demikian,

Jika kemungkinan III yang benar, maka diperoleh dan Dengan argumentasi yang sama dengan sebelumnya, diperoleh juga dan

Dengan demikian,

Jika kemungkinan IV yang benar, tanpa mengurangi pembuktian pada bagian ini, dapat dimisalkan bahwa salah satu titik pada yang mempunyai jarak 2 ke dan adalah atau .

(44)

, { } dan , { }

Lebih lanjut, diperoleh juga ,

, { } dan

, { }. Dengan demikian,

- Jika titik yang dimaksud adalah maka diperoleh ,

, { } dan , { }

Lebih lanjut, diperoleh juga , , { } dan , { }

Dengan demikian,

Berdasarkan lemma 2, 3, dan 4, diperoleh teorema berikut.

Teorema 5. Misal dengan ⌊ ⌋ maka bukan himpunan

penentu bagi untuk

Teorema 6. Dim =⌊ ⌋ untuk

Bukti:

Berdasarkan teorema 5 diperoleh ⌊ ⌋ untuk

(45)

Untuk tujuan tersebut, pemilihan titik-titik di yang merupakan himpunan penentu bagi dengan ⌊ ⌋ akan dibagi menjadi dua bagian sebagai berikut:

1. Misal pilih { } ⌊ ⌋ berlaku untuk 4 kasus yakni , , , dan

maka diperoleh representasi titik-titik di terhadap sebagai berikut : dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke.

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke.

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke- ,

(46)

di mana angka masing-masing berada pada posisi ke- dan ke- . dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke.

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke.

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke- ,

dan , di mana angka 2 masing-masing berada pada posisi ke- dan ke-

.

Untuk lebih jelasnya, representasi titik-titik di terhadap akan dibagi menjadi 4 kasus berikut :

Kasus 1. Untuk

(47)

⌊ ⌋ representasi titik-titik di sebagai berikut:

Karena setiap titik pada graf dengan memiliki representasi yang berbeda terhadap { } dengan dan

⌊ ⌋, maka merupakan himpunan penentu bagi Jadi, ⌊ ⌋

Kasus 2. Untuk

Misal pilih { } dengan dan

Karena setiap titik pada graf dengan memiliki representasi yang berbeda terhadap { } dengan

(48)

Jadi, ⌊ ⌋

Kasus 3. Untuk

Kasus 4. Untuk

(49)

2. Misal pilih { } dan ⌊ ⌋ berlaku untuk 1 kasus yakni , maka diperoleh representasi titik-titik di terhadap sebagai berikut :

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke- .

(50)

di mana angka masing-masing berada pada posisi ke- .

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke- dan ke-

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke-

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi -

dan , di mana angka masing-masing berada pada posisi ke- dan

(51)

ke-

Selanjutnya, untuk maka representasinya adalah

Karena setiap titik pada graf dengan memiliki representasi yang berbeda terhadap { } dan ⌊ ⌋

maka merupakan himpunan penentu bagi Jadi, ⌊ ⌋

Selain dengan cara mendaftarkan representasi semua titik seperti bukti diatas, representasi titik dapat juga ditinjau dari pembagian kasus-kasus sebagai berikut : Kasus 1. Untuk

Misal dipilih { } maka ⌊ ⌋

Akan ditunjukkan bahwa { } dan

⌊ ⌋ adalah himpunan penentu dari

Ambil dengan selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

representasi dari dan terhadap berbeda. Pembuktian ini akan dibagi dalam beberapa kasus dan sub kasus.

(52)

A. atau

Jika maka ( ) dan ( ) untuk suatu Jadi, jika

maka

Jika maka ( ) dan ( ) untuk suatu Jadi, jika

maka

B. dan

B.1. atau

Jika maka ( ) untuk setiap Hal ini menunjukkan bahwa

Begitu pula jika maka ( ) untuk setiap Hal ini menunjukkan bahwa

B.2. dan

B.2.1. atau

Jika maka Jadi titik yang mungkin mempunyai representasi yang sama dengan adalah atau

karena Namun demikian,

tetapi begitu pula tetapi

. Oleh karena itu, representasi dan begitu pula representasi dan terhadap berbeda.

Jika maka Jadi titik yang mungkin mempunyai representasi yang sama dengan adalah atau

karena Namun demikian,

(53)

. Oleh karena itu, representasi dan begitu pula representasi dan terhadap berbeda.

B.2.2. dan

B.2.2.1. atau

Jika maka sehingga titik yang mungkin mempunyai representasi yang sama dengan terhadap adalah dan untuk setiap , dan

, karena Akan tetapi

dan

Oleh karena itu, . Pada sisi lain,

( ) untuk setiap , sedangkan ( )

atau untuk suatu dengan

Oleh karena itu, tidak mempunyai representasi yang sama dengan salah satu untuk dan

Dengan demikian,

Begitu pula, jika maka akan menunjukkan bahwa

B.2.2.2. dan

B.2.2.2.1. dan untuk dan genap.

Tanpa mengurangi berlaku umumnya pembuktian, bisa dimisalkan Karena genap, maka

(54)

sedangkan Jadi,

B.2.2.2.2. dan .

Jika ganjil maka , sehingga

tetapi Jika genap, maka dan

ganjil, sehingga

sedangkan

atau Jadi,

B.2.2.2.3. dan .

Jika genap, maka ganjil dan , sehingga tetapi

Oleh karena itu,

B.2.2.2.4. dan untuk dan ganjil.

Tanpa mengurangi berlaku umumnya pembuktian, bisa dimisalkan Karena ganjil, maka

genap sehingga Dapat dilihat bahwa

sedangkan

Jadi,

B.2.2.2.5. dan .

Jika genap maka , sehingga

tetapi Jika ganjil, maka dan

(55)

sedangkan

atau Jadi,

B.2.2.2.6. dan .

Jika ganjil, maka genap dan , sehingga tetapi

Oleh karena itu,

Dari keseluruhan kasus dan sub kasus terlihat bahwa untuk setiap

dengan diperoleh Akibatnya, adalah himpunan penentu bagi

Dengan cara yang serupa, hal ini dapat dilakukan untuk empat kasus lainnya, yaitu dan dengan

⌊ ⌋

Karena ⌊ ⌋ dan ⌊ ⌋ maka ⌊ ⌋

Teorema 7. ⌊ ⌋ untuk dan

Bukti:

Berdasarkan teorema 6 diperoleh ⌊ ⌋ serta hasil penelitian Buczkowski dkk, pada tahun 2003, diperoleh ⌊ ⌋ untuk dan

(56)

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil yang diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa dimensi metrik graf helm adalah

i.

ii. ⌊ ⌋

iii. ⌊ ⌋

4.2 Saran

Bagi yang ingin mengkaji tentang dimensi metrik suatu graf, penulis menyarankan untuk menggunakan program agar memudahkan pencarian dimensi metrik suatu graf tanpa harus mencoba satu persatu titik-titik pada graf tersebut. Selain itu, penulis berharap akan ada yang tertarik untuk mengembangkan graf helm.

(57)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Buczkowski, P., Chartrand, G., Poisson, C., dan Zhang, P. (2003), ‘On k-

Dimensional Graphs and Their Bases’, Period. Math. Hungar. 46(1), 9-15.

[2] Chartrand, G. dan Lesniak, L. (1986). Graph and Digraph second Edition. California: Wadsworth. Inc.

[3] Chartrand, G., Eroh, L., Johnson, M. dan Oellermann, O. (2000a),

‘Resolvability in Graphs and the Metric Dimension of a Graph’, Discrete

Appl. Math. 105, 99-113.

[4] Chartrand, G. dan Zhang, P. (2005). Introduction to Graph Theory. McGraw-Hill Companies, Inc.

[5] Harary, F. (1969). Graph Teory. Wesley Publishing Company,Inc.

[6] Harary, F. dan Melter, R. (1976), ‘On the Metric Dimension of a Graph’, Ars

Combin. 2, 191 – 195.

[7] Ghofur, Abdul. (2008). Pewarnaan Titik Pada Graf Yang Berkaitan dengan

Sikel. Malang : UIN.Skripsi ,tidak diterbitkan.

[8] Robert F. Bailey and Peter J. Cameron. (2000). “Base size, metric dimension and other invariants of groups and graphs”.

http://www.math.uregina.ca/~bailey/papers/basesize_metdim.pdf. Diakses