DIMENSI METRIK GRAF DAN APLIKASINYA PADA
PEMASANGAN SENSOR KEBAKARAN
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Oleh:
Maria Meitia Eka Sulistiawati NIM: 173114026
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
THE METRIC DIMENSION OF A GRAPH AND ITS
APPLICATION TO FIRE SENSOR INSTALLATION
Paper
Presented as Fulfillment of the Requirements To Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Written by:
Maria Meitia Eka Sulistiawati Student ID: 173114026
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
vi
MOTTO
“Dream as if you will live forever and live as if you will die today.” (One Ok Rock)
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai saya, kedua orang tua dan keluarga saya, almamater yang saya banggakan, serta semua orang yang menyayangi, mendukung, dan senantiasa mendoakan saya.
ix
ABSTRAK
Dimensi metrik graf adalah banyak anggota terkecil dari himpunan pembeda graf tersebut. Himpunan pembeda adalah himpunan bagian dari titik-titik pada sebuah graf terhubung yang dapat memberikan koordinat berbeda kepada setiap titik pada graf tersebut. Salah satu bentuk pengaplikasian dari konsep dimensi metrik pada kehidupan sehari-hari adalah dalam pemasangan sensor kebakaran di sebuah ge-dung. Pada tulisan ini akan diterapkan konsep dimensi metrik pada pemasangan sensor kebakaran di Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma untuk mendapat jumlah sensor dan letak pemasangan yang optimal.
x
ABSTRACT
Metric dimension of a graph is the minimum number of elements of resolving set of the graph. Resolving set is a subset of the set of all vertices of a connected graph
that can give different coordinates to each point on that graph. One of metric
di-mension applications in daily life is the fire sensor installation in a building. In this paper metric dimension is applied to the fire sensor installation in the main building
of the 3rd Campus of Sanata Dharma University to get the optimal number of
sen-sors and installation location of the sensen-sors.
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
MOTTO ... vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... viii
ABSTRAK ... ix
ABSTRACT ... x
KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR TABEL ... xvii
DAFTAR NOTASI ... xviii
BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Perumusan Masalah ... 3 C. Batasan Masalah ... 4 D. Tujuan ... 4 E. Metode Penulisan ... 4 F. Manfaat Penulisan ... 4 G. Sistematika Penulisan ... 4
xiv
BAB II GRAF ... 6
A. Graf ... 6
B. Jalan, Lintasan, dan Jarak ... 9
C. Beberapa Jenis Graf ... 12
BAB III DIMENSI METRIK... 18
A. Dimensi Metrik ... 18
B. Dimensi Metrik Pada Beberapa Graf ... 29
BAB IV PENGAPLIKASIAN DIMENSI METRIK PADA PEMASANGAN SENSOR KEBAKARAN ... 44
A. Pembentukan Graf Terhubung ... 44
B. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Per Lantai ... 48
C. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Untuk Satu Bangunan .. 57
D. Hasil dan Pembahasan ... 58
BAB V PENUTUP ... 62
A. Kesimpulan ... 62
B. Saran ... 63
DAFTAR PUSTAKA ... 64
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Model Jembatan Könisberg ... 1
Gambar 1.2 Graf model Jembatan Könisberg ... 2
Gambar 2.1 Graf 𝐴 ... 7
Gambar 2.2 Graf 𝐵 ... 8
Gambar 2.3 Graf 𝐶 ... 9
Gambar 2.4 Graf 𝐸 ... 11
Gambar 2.5 Graf 𝐷 ... 11
Gambar 2.6 Graf Teratur ... 12
Gambar 2.7 Graf Lengkap... 13
Gambar 2.8 Graf Lingkaran ... 13
Gambar 2.9 Graf Lintasan ... 14
Gambar 2.10 Graf Bipartit ... 14
Gambar 2.11 Graf Bipartit Lengkap ... 15
Gambar 2.12 Graf Bintang ... 15
Gambar 2.13 Graf Sapu... 16
Gambar 2.14 Graf Kecebong ... 16
Gambar 2.15 Graf 𝐺 dan Graf 𝐻 ... 17
Gambar 3.1 Graf 𝐹 ... 18
Gambar 3.2 Graf 𝐻 ... 19
xvi
Gambar 3.4 Lintasan di antara titik 𝑢 − 𝑤 ... 24
Gambar 3.5 Graf Sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑 ... 35
Gambar 3.6 Graf 𝐺 ... 40
Gambar 4.1 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai basement ... 44
Gambar 4.2 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai ground ... 44
Gambar 4.3 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai satu ... 45
Gambar 4.4 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai dua ... 45
Gambar 4.5 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai tiga ... 46
Gambar 4.6 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai empat .. 46
Gambar 4.7 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma ... 56
xvii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Sisi dan titik graf Gambar 2.1 ... 7 Tabel 3.1 Himpunan titik dan himpunan pembeda dari Graf 𝐻 ... 19 Tabel 4.1 Daftar ruangan Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma ... 47 Tabel 4.2 Hasil pencarian dimensi metrik untuk beberapa graf secara analitik dan melalui program ... 57
xviii
DAFTAR NOTASI
𝐺(𝑉, 𝐸) : graf dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸
𝑉(𝐺) : himpunan titik pada graf 𝐺
𝐸(𝐺) : himpunan sisi pada graf 𝐺
𝑛(𝐺) : banyak titik pada graf 𝐺
𝑣𝑖 : titik ke-𝑖 pada graf 𝐺
𝑒𝑖 : sisi ke-𝑖 pada graf 𝐺
∈ : anggota himpunan
𝑑(𝑢, 𝑣) : panjang minimum lintasan 𝑢 − 𝑣
𝐾𝑛 : graf lengkap dengan 𝑛 titik
𝐶𝑛 : graf lingkaran dengan 𝑛 titik
𝑃𝑛 : graf lintasan dengan 𝑛 titik
𝐾𝑟,𝑠 : graf bipartit lengkap dengan himpunan titik beranggotakan 𝑟 dan
𝑠 titik
𝐾1,𝑠 : graf bintang dengan 𝑠 + 1 titik
𝐵𝑛,𝑑 : graf sapu dengan 𝑑 titik pada lintasan dan 𝑛 − 𝑑 titik bertetangga
dengan titik ujung lintasan
𝑇𝑛,𝑘 : graf kecebong yang terdiri atas lintasan 𝑃𝑘 dan graf lingkaran 𝐶𝑛
𝐾𝑛 : graf lengkap dengan 𝑛 titik
⊆ : sub himpunan
𝕫+ : himpunan bilangan bulat positif
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Teori graf adalah salah satu bagian dalam Matematika Diskret yang cukup banyak diaplikasikan di masa kini. Teori graf diperkenalkan oleh Leo-nhard Euler, seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada tahun 1736. Munculnya teori graf dimulai dari sebuah permasalahan yang kala itu cukup terkenal di Eropa, yaitu masalah Jembatan Könisberg. Masalah ini bermula ketika masyarakat kota Könisberg ingin melintasi tujuh jembatan yang menghubungkan empat bagian dari kota Könisberg dengan syarat semua jem-batan dilewati tepat satu kali dan mereka harus kembali ke titik awal lintasan (Douglass, 2001).
Gambar 1.1: Model Jembatan Könisberg
Euler yang tertarik pada masalah Jembatan Könisberg, kemudian men-coba merepresentasikan permasalahan tersebut ke dalam sebuah gambar yang terdiri atas titik dan garis. Representasi tersebut kemudian dikenal sebagai da-sar dari teori graf dan bukti bahwa tidak terdapat kemungkinan untuk melewati setiap jembatan tepat sekali hingga sampai kembali ke titik awal lintasan yang dikenal sebagai Teorema Euler.
Gambar 1.2: Graf model Jembatan Könisberg
Graf merupakan suatu konsep yang terdiri atas dua bagian utama yaitu titik (vertex) dan sisi (edge). Sebuah graf 𝐺 memiliki himpunan tak kosong titik yang dinotasikan dengan 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi yang dinotasikan dengan 𝐸(𝐺). Setiap sisi dari suatu graf menghubungkan paling banyak dua titik di antaranya.
Pengaplikasian teori graf dapat kita temui dalam berbagai bidang ke-hidupan, misalnya pada perancangan jalur transportasi, penyusunan jadwal, op-timalisasi jaringan komunikasi, perancangan jaringan elektronik, representasi jaringan pertemanan dalam media sosial, dll. Salah satu pengembangan teori graf yang dapat kita temui adalah dimensi metrik.
Konsep dimensi metrik pertama kali dicetuskan oleh Slater pada tahun 1975 sebelum akhirnya dikembangkan oleh Melter dan Harary pada tahun 1976. Misalkan G adalah sebuah graf terhubung yang memiliki himpunan ver-tex 𝑉(𝐺), maka untuk sebarang 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) didefinisikan 𝑑(𝑢, 𝑣) sebagai ja-rak antara titik 𝑢 dan 𝑣. Jaja-rak antara titik 𝑢 dan 𝑣 merupakan banyak sisi pada
lintasan terpendek yang menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣. Jika 𝑊 =
{𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, … , 𝑤𝑘} adalah himpunan bagian dari 𝑉(𝐺), maka representasi
metrik dari titik 𝑣 pada graf 𝐺 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤1),
𝑑(𝑣, 𝑤2), 𝑑(𝑣, 𝑤3), … , 𝑑(𝑣, 𝑤𝑘)), dan himpunan 𝑊 disebut himpunan
beda (resolving set) jika untuk 𝑢 ≠ 𝑣, 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊). Himpunan pem-beda kemudian dijadikan sebagai referensi dalam memberikan koordinat atau membedakan semua titik pada graf 𝐺. Dimensi metrik adalah banyak anggota minimum dari himpunan pembeda. Konsep dimensi metrik akan diaplikasikan
dalam salah satu permasalahan dunia nyata, salah satunya pada pemasangan sensor kebakaran.
Sensor kebakaran merupakan salah satu bagian penting dalam pem-bangunan sebuah gedung terlebih gedung bertingkat. Alat ini dirancang untuk mengetahui ruangan mana yang menjadi sumber api, sehingga pencegahan penyebaran api dapat segera dilakukan. Terdapat beberapa pertimbangan yang harus dicermati sebelum memutuskan berapa jumlah sensor kebakaran yang akan dipasang. Sensor kebakaran yang terlalu sedikit dapat menyebabkan kesu-litan dalam mendeteksi sumber api, sementara jumlah sensor kebakaran yang terlalu banyak akan memakan biaya yang besar dalam pengadaannya.
Pemasangan sensor kebakaran yang optimal sangat baik diaplikasikan dalam gedung-gedung bertingkat seperti gedung kampus. Salah satu gedung yang dapat kita teliti mengenai hal tersebut adalah Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma yang terdiri atas enam lantai utama yaitu Basement, Ground, lantai 1, lantai 2, lantai 3, dan lantai 4. Pemasangan sensor kebakaran yang optimal dapat menghemat biaya pengadaan dan tentunya mengoptimal-kan pengawasan terhadap bahaya kebakaran yang mungkin terjadi.
B. Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah se-bagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan dimensi metrik graf? 2. Bagaimana cara menentukan dimensi metrik suatu graf?
3. Bagaimana aplikasi dimensi metrik graf dalam pemasangan sensor keba-karan?
C. Batasan Masalah
Dimensi metrik pada tulisan ini akan dibahas tanpa memperhitungkan operasi pada graf. Selain itu pengaplikasian akan dilakukan untuk pemasangan sensor kebakaran setiap lantai dan untuk keseluruhan gedung tanpa memper-hatikan kemungkinan lainnya seperti setiap dua lantai atau setiap tiga lantai.
D. Tujuan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mempelajari dan menerap-kan teori graf terkhusus dimensi metrik dalam mengoptimalmenerap-kan pemasangan sensor kebakaran pada Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode penelitian kepustakaan, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku, jurnal, dan artikel yang berkaitan dengan dimensi metrik dan penerapannya.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengetahui cara mengoptimalkan pemasangan sensor kebakaran pada Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma.
G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II GRAF
A. Graf
B. Jarak, Lintasan, dan Jarak C. Macam-Macam Graf BAB III DIMENSI METRIK
A. Dimensi Metrik
B. Dimensi Metrik Pada Beberapa Graf
BAB IV PENGAPLIKASIAN DIMENSI METRIK PADA PEMASANGAN SENSOR KEBAKARAN
A. Pembentukan Graf Terhubung
B. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Per Lantai
C. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Untuk Satu Gedung D. Hasil dan Pembahasan
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
6
BAB II
GRAF
A. Graf
Definisi 2.1.1 (Vasudev, 2006)
Graf adalah sistem yang terdiri atas dua himpunan yaitu himpunan
tidak kosong titik dan himpunan sisi. Sisi pada graf adalah garis, tidak selalu garis lurus, yang menghubungkan dua titik pada graf tersebut. Titik-titik yang dihubungkan oleh sebuah sisi disebut titik ujung dari sisi tersebut. Sebuah sisi yang menghubungkan titik 𝑣 dan 𝑤 dinotasikan dengan 𝑣𝑤 atau 𝑤𝑣.
Himpunan titik adalah himpunan tak kosong yang terdiri atas titik-titik
pada graf 𝐺, biasa dilambangkan dengan 𝑉(𝐺). Himpunan sisi adalah
him-punan berhingga yang terdiri atas kumpulan sisi pada graf 𝐺 dan biasa
dilambangkan dengan 𝐸(𝐺).
Himpunan titik dari suatu graf 𝐺 biasa ditulis dengan 𝑉(𝐺) =
{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, … , 𝑣𝑛}, sementara himpunan sisinya dapat ditulis sebagai
𝐸(𝐺) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, … , 𝑒𝑛}. Graf 𝐺 dengan himpunan titik 𝑉(𝐺) dan
him-punan sisi 𝐸(𝐺) kemudian dinotasikan sebagai 𝐺(𝑉, 𝐸).
Definisi 2.1.2 (Chartrand et al, 2000)
Banyak titik pada graf 𝐺 disebut order dari 𝐺 dan biasanya dinotasikan dengan 𝑛(𝐺).
Contoh 2.1.1
Graf 𝐴 yang diperlihatkan pada Gambar 2.1 terdiri atas himpunan titik
yaitu 𝑉(𝐴) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6, 𝑣7}, himpunan sisi yaitu 𝐸(𝐴) =
Gambar 2.1: Graf 𝐴 Titik-titik ujung dari himpunan sisi 𝐸(𝐴) adalah:
Tabel 2.1 Sisi dan titik graf Gambar 2.1
Sisi Titik Ujung
𝑒1 𝑣1 dan 𝑣2 𝑒2 𝑣2 dan 𝑣3 𝑒3 𝑣3 dan 𝑣4 𝑒4 𝑣1 dan 𝑣4 𝑒5 𝑣1 dan 𝑣5 𝑒6 𝑣1 dan 𝑣6 𝑒7 𝑣4 dan 𝑣6 𝑒8 𝑣7 𝑒9 𝑣2 dan 𝑣3 Definisi 2.1.3 (Vasudev, 2006)
Sebuah sisi yang menghubungkan sebuah titik dengan dirinya sendiri disebut loop, dan jika dua buah titik dihubungkan oleh lebih dari dua sisi maka kedua titik tersebut memiliki sisi ganda. Graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki loop dan sisi ganda di dalamnya.
𝑣2 𝑣3 𝑣5 𝑣7 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒5 𝑒8 𝑒9
Contoh 2.1.2
1. Pada graf pada Gambar 2.1 terdapat satu buah loop yaitu 𝑒8 yang
menghubungkan 𝑣7 dengan dirinya sendiri. Selain itu graf 𝐴 juga
me-miliki sisi ganda yaitu 𝑒2 dan 𝑒9 yang menghubungkan 𝑣2 dan 𝑣3.
2.
Gambar 2.2: Graf 𝐵
Graf 𝐵 merupakan graf sederhana karena tidak terdapat loop dan sisi
ganda di dalamnya, sementara graf 𝐴 pada Gambar 2.1 merupakan graf tidak sederhana karena memiliki loop dan sisi ganda di dalamnya.
Definisi 2.1.4 (Wilson, 2010)
Titik 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) disebut bertetangga jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan keduanya. Sisi yang menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣 kemudian dikatakan bersinggungan dengan kedua titik tersebut.
Contoh 2.1.3
Perhatikan graf 𝐴 pada Gambar 2.1. Titik 𝑣1 bertetangga dengan
𝑣2, 𝑣4, 𝑣5, dan 𝑣6. Kemudian sisi 𝑒1, 𝑒4, 𝑒5, dan 𝑒6 dikatakan bersinggungan
dengan titik 𝑣1.
Definisi 2.1.5 (Wilson, 2010)
Derajat dari sebuah titik 𝑣 pada graf 𝐺 adalah banyaknya sisi yang
ber-singgungan dengan 𝑣, dan dituliskan dengan lambang deg (𝑣). Pada proses
𝑒1 𝑣2 𝑣3 𝑣1 𝑣4 𝑣5 𝑣6 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒6
penentuan derajat biasanya digunakan kesepakatan bahwa sebuah loop me-miliki derajat 2.
Contoh 2.1.4
Titik 𝑣1 pada graf 𝐴 (Gambar 2.1) memiliki empat sisi yang
ber-singgungan dengannya yaitu sisi 𝑒1, 𝑒4, 𝑒5, dan 𝑒6, maka deg(𝑣1) = 4.
B. Jalan, Lintasan, dan Jarak
Definisi 2.2.1 (Chartrand et al, 2000)
Misalkan 𝑢 dan 𝑣 merupakan titik pada graf 𝐺. Sebuah jalan 𝑊 dari
graf 𝐺 adalah sebuah barisan hingga selang seling antara titik dan sisi yang
diawali oleh titik 𝑢 dan diakhiri dengan titik 𝑣, dinotasikan sebagai 𝑊: 𝑢 =
𝑢0, 𝑒1, 𝑢1, 𝑒2, … , 𝑢𝑘−1, 𝑒𝑘, 𝑢𝑘 = 𝑣 dengan 𝑒𝑖 merupakan sisi yang
menghu-bungkan 𝑢𝑖−1 dengan 𝑢𝑖, untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘. Lebih lanjut jalan tersebut juga
disebut sebagai jalan 𝑢 − 𝑣. Banyak sisi yang terdapat pada barisan tersebut
disebut panjang dari jalan 𝑢 − 𝑣.
Contoh 2.2.1
Gambar 2.3: Graf 𝐶
Graf 𝐶 adalah graf dengan 𝑉(𝐶) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6} dan 𝐸(𝐶) =
{𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7, 𝑒8, 𝑒9}. Berikut beberapa jalan yang dapat dibentuk
pada graf 𝐶: 𝑣1 𝑒1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣6 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 𝑒8 𝑒9
1. Jalan 𝑣1− 𝑣4, 𝑊: 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒2, 𝑣3, 𝑒3, 𝑣4 merupakan jalan dengan pan-jang 3.
2. Jalan 𝑣4− 𝑣2, 𝑊: 𝑣4, 𝑒4, 𝑣5, 𝑒5, 𝑣6, 𝑒6, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣5, 𝑒8, 𝑣2 merupakan jalan dengan panjang 5.
3. Jalan 𝑣6− 𝑣4, 𝑊: 𝑣6, 𝑒5, 𝑣5, 𝑒8, 𝑣2, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒7, 𝑣5, 𝑒4, 𝑣4 merupakan jalan
dengan panjang 5.
Definisi 2.2.2 (Chartrand et al, 2000)
Jalan tertutup adalah jalan dengan titik awal dan titik akhir yang sama
(𝑢 = 𝑣) sementara jalan terbuka merupakan jalan dengan dengan titik awal dan titik akhir yang berbeda (𝑢 ≠ 𝑣). Sebuah jejak adalah jalan 𝑢 − 𝑣 dimana
tidak ada sisi yang berulang, sementara lintasan 𝑢 − 𝑣 (path) adalah sebuah
jalan dimana tidak ada pengulangan titik.
Contoh 2.2.2
Pada graf 𝐶 di contoh 2.2.1 dapat dibentuk jalan terbuka, jalan tertutup, jejak, dan path.
1. Jalan 𝑣1− 𝑣4, 𝑊: 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒2, 𝑣3, 𝑒3, 𝑣4 merupakan jalan terbuka.
2. Jalan 𝑣1− 𝑣1, 𝑊: 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒8, 𝑣5, 𝑒7, 𝑣1 merupakan jalan tertutup.
3. Jalan 𝑣6− 𝑣3, 𝑊: 𝑣6, 𝑒5, 𝑣5, 𝑒7, 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒8, 𝑣5, 𝑒4, 𝑣4, 𝑒3, 𝑣3
merupa-kan jejak.
4. Jalan 𝑣4 − 𝑣1, 𝑊: 𝑣4, 𝑒9, 𝑣2, 𝑒8, 𝑣5, 𝑒7, 𝑣1 merupakan lintasan.
Definisi 2.2.3 (Epp, 2011)
Graf 𝐺 dikatakan terhubung jika dan hanya jika untuk setiap dua titik 𝑢 dan 𝑣 pada 𝐺 terdapat sebuah jalan dari 𝑢 ke 𝑣.
Contoh 2.2.3
Gambar 2.4: Graf 𝐸
Graf 𝐸 merupakan graf terhubung karena untuk setiap dua titik terdapat sebuah jalan yang menghubungkan kedua titik tersebut.
1. Di antara titik 𝑣1 dan 𝑣2 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2.
2. Di antara titik 𝑣1 dan 𝑣3 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣1, 𝑒3, 𝑣3.
3. Di antara titik 𝑣1 dan 𝑣4 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣1, 𝑒4, 𝑣4.
4. Di antara titik 𝑣2 dan 𝑣3 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣2, 𝑒2, 𝑣3.
5. Di antara titik 𝑣2 dan 𝑣4 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣2, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒4, 𝑣4.
6. Di antara titik 𝑣3 dan 𝑣4 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣3, 𝑒3, 𝑣1, 𝑒4, 𝑣4.
Definisi 2.2.4 (Chartrand et al, 2000)
Untuk sebuah graf terhubung 𝐺 didefinisikan jarak antara sebarang dua titik 𝑢 dan 𝑣 sebagai panjang minimum lintasan 𝑢 − 𝑣 dari 𝐺 yang kemudian dinotasikan sebagai 𝑑(𝑢, 𝑣).
Definisi 2.2.5 (Ore, 1968)
Diameter dari graf 𝐺 adalah jarak terpanjang yang mungkin untuk sem-barang dua titik pada 𝐺.
Contoh 2.2.4 Gambar 2.5: Graf 𝐷 𝑣1 𝑒1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5 𝑒1 𝑣2 𝑣3 𝑣1 𝑣4 𝑒2 𝑒3 𝑒4
Semua jarak dari setiap pasangan dua titik yang berbeda pada graf 𝐷
yaitu 𝑑(𝑣1, 𝑣2) = 1, 𝑑(𝑣1, 𝑣3) = 2, 𝑑(𝑣1, 𝑣4) = 2, 𝑑(𝑣1, 𝑣5) = 1, 𝑑(𝑣2, 𝑣3) =
1, 𝑑(𝑣2, 𝑣4) = 1, 𝑑(𝑣2, 𝑣5) = 2, (𝑣3, 𝑣4) = 2, 𝑑(𝑣3, 𝑣5) = 3, 𝑑(𝑣4, 𝑣5) = 1.
Diameter dari graf 𝐷 adalah 3.
C. Beberapa Jenis Graf
Pada perkembangannya graf dibedakan ke dalam beberapa kelompok berdasarkan beberapa hal seperti ada atau tidaknya sisi ganda dan loop, arah sisinya, dan jumlah titik pada graf. Pada tulisan ini dibutuhkan beberapa macam graf yaitu graf lingkaran, graf lintasan, graf bintang, graf sapu, dan graf kecebong (tadpole).
Definisi 2.3.1 (Vasudev, 2006)
Graf regular atau graf teratur adalah sebuah graf dengan semua titik
pada graf memiliki derajat yang sama. Jika setiap titik pada graf 𝐺 memiliki
derajat 𝑟 maka graf 𝐺 disebut graf teratur berderajat 𝑟.
Contoh 2.3.1
Ketiga graf pada Gambar 2.6 merupakan graf teratur
Gambar 2.6: Graf Teratur
Definisi 2.3.2 (Vasudev, 2006)
Graf lengkap adalah graf teratur dengan derajat setiap titik adalah 𝑛 −
Contoh 2.3.2
Graf pada Gambar 2.7 merupakan graf lengkap dengan banyak titik berturut-turut 3, 4, dan 5.
Gambar 2.7: Graf Lengkap
Definisi 2.3.3 (Wilson, 2010)
Sebuah graf terhubung yang setiap titiknya berderajat 2 disebut graf
lingkaran dan dinotasikan dengan 𝐶𝑛 dimana 𝑛 merupakan banyak titik pada graf tersebut.
Contoh 2.3.3
Berikut merupakan contoh graf lingkaran:
Gambar 2.8: Graf Lingkaran
Definisi 2.3.4 (Wilson, 2010)
Graf yang diperoleh dari 𝐶𝑛 dengan cara menghilangkan salah satu
sisinya disebut graf lintasan dan dinotasikan dengan 𝑃𝑛 dimana 𝑛 merupakan
banyak titik pada graf tersebut. Titik dengan derajat satu biasa disebut titik ujung (titik awal atau titik akhir) pada sebuah lintasan.
𝐾3 𝐾4 𝐾5
Contoh 2.3.4
Berikut merupakan contoh graf lintasan:
Gambar 2.9: Graf Lintasan
Definisi 2.3.5 (Wilson, 2010)
Jika himpunan titik pada graf 𝐺 dapat dipartisi menjadi dua buah him-punan 𝐴 dan 𝐵 yang saling lepas atau asing, sehingga tiap-tiap sisi pada graf 𝐺 bersinggungan dengan satu titik pada 𝐴 dan satu titik pada 𝐵, maka 𝐺 disebut
graf bipartit. Titik-titik pada graf lintasan 𝑃𝑛 yang memiliki derajat 1 disebut titik-titik ujung
Contoh 2.3.5
Berikut contoh graf bipartit dimana titik pada himpunan 𝐴 diberi warna hitam sementara titik pada himpunan 𝐵 diberi warna putih.
Gambar 2.10: Graf Bipartit
Definisi 2.3.6 (Wilson, 2010)
Sebuah graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dimana setiap titik
pada 𝐴 terhubung ke setiap titik pada 𝐵 oleh tepat satu sisi. Graf bipartit
lengkap dinotasikan dengan 𝐾𝑟,𝑠 dimana 𝑟 merupakan banyak anggota
him-punan 𝐴 dan 𝑠 merupakan banyak anggota himhim-punan 𝐵.
Contoh 2.3.6
Titik-titik pada graf (Gambar 2.11) terbagi ke dalam dua himpunan di-mana titik pada himpunan 𝐴 akan diberi warna hitam sementara titik pada
him-punan 𝐵 akan diberi warna putih. Graf berikut dikatakan bipartit lengkap
ka-rena setiap titik pada himpunan 𝐴 terhubung ke setiap titik pada himpunan 𝐵 oleh tepat satu sisi.
Gambar 2.11: Graf Bipartit Lengkap
Definisi 2.3.7 (Chartrand et al, 2000)
Graf bipartit lengkap dengan salah satu himpunan berisi 1 titik atau 𝐾1,𝑠
dengan 𝑠 ≥ 3 disebut graf bintang.
Contoh 2.3.7
Berikut contoh graf bintang dimana titik pada himpunan 𝐴 diberi warna hitam sementara titik pada himpunan 𝐵 diberi warna putih.
Gambar 2.12: Graf Bintang
𝐾1,3 𝐾2,4 𝐾3,3
Definisi 2.3.8 (Morgan et al, 2011)
Graf sapu 𝐵𝑛,𝑑 adalah graf terhubung dengan 𝑛 titik yang terdiri atas
lintasan 𝑃𝑑 dan (𝑛 − 𝑑) titik lainnya bertetangga dengan hanya salah satu titik
ujung dari lintasan 𝑃𝑑.
Contoh 2.3.8
Berikut merupakan contoh graf sapu.
Gambar 2.13: Graf Sapu
Definisi 2.3.9 (Gallian, 2020)
Graf kecebong atau tadpole graph 𝑇𝑛,𝑘 adalah graf yang terdiri atas
graf lingkaran 𝐶𝑛 dan sebuah lintasan 𝑃𝑘, dimana titik awal atau titik akhir dari
lintasan tersebut bertetangga dengan sebuah titik pada graf lingkaran tersebut.
Contoh 2.3.9
Berikut merupakan contoh graf kecebong.
Gambar 2.14: Graf Kecebong (Tadpole)
𝐵5,2 𝐵8,3
Definisi 2.3.10 (Vasudev, 2006)
Jika 𝐺 dan 𝐻 adalah graf dengan 𝑉(𝐻) ⊆ 𝑉(𝐺) dan 𝐸(𝐻) ⊆ 𝐸(𝐺),
maka 𝐻 adalah subgraf dari 𝐺 dan 𝐺 adalah supergraf dari 𝐻.
Contoh 2.3.10
Gambar 2.15: Graf 𝐺 dan Graf 𝐻
Graf 𝐻 merupakan subgraf dari graf 𝐺 dan graf 𝐺 merupakan super-graf dari super-graf 𝐻.
𝑏 𝑐 𝑎 𝑑 𝑒 𝐺 𝐻 𝑏 𝑐 𝑎 𝑒
18
BAB III
DIMENSI METRIK
A. Dimensi MetrikTeori graf merupakan salah satu cabang ilmu Matematika yang banyak dikembangkan di masa kini. Salah satu pengembangan dari teori graf adalah dimensi metrik. Konsep dimensi metrik diperkenalkan oleh Slater pada tahun 1975 dan juga oleh Harary dan Melter pada tahun 1976. Dimensi metrik pada
graf bertujuan untuk memberikan koordinat kepada semua titik pada graf 𝐺,
dimana representasi atau koordinat satu titik berbeda dengan titik lainnya.
Definisi 3.1.1 (Chartrand et al, 2000)
Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung, 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, … , 𝑤𝑘} ⊆ 𝑉(𝐺),
𝑘 ∈ ℤ+, dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), maka representasi metrik dari titik 𝑣 terhadap
him-punan 𝑊 adalah k-tupple 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤1), 𝑑(𝑣, 𝑤2), 𝑑(𝑣, 𝑤3),
… , 𝑑(𝑣, 𝑤𝑘)). Himpunan 𝑊 disebut sebagai himpunan pembeda (resolving set)
jika untuk 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑢 ≠ 𝑣 maka 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊).
Contoh 3.1.1
Graf 𝐹 merupakan graf terhubung dengan 𝑉(𝐹) = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
Gambar 3.1: Graf 𝐹
Misalkan 𝑊1 = {𝑎, 𝑐} dan 𝑊2 = {𝑎, 𝑏}. Himpunan 𝑊1 = {𝑎, 𝑐} bukan
merupakan himpunan pembeda karena 𝑟(𝑑|𝑊1) = (𝑑(𝑑, 𝑎), 𝑑(𝑑, 𝑐)) = (1,1),
𝑏
𝑐 𝑎
𝑑
𝑟(𝑒|𝑊1) = (𝑑(𝑒, 𝑎), 𝑑(𝑒, 𝑐)) = (1,1), dan 𝑟(𝑑|𝑊1) = 𝑟(𝑒|𝑊1) padahal 𝑑 ≠
𝑒. Sementara untuk himpunan 𝑊2 = {𝑎, 𝑏} didapat 𝑟(𝑎|𝑊2) =
(𝑑(𝑎, 𝑎), 𝑑(𝑎, 𝑏)) = (0,2), 𝑟(𝑏|𝑊2) = (𝑑(𝑏, 𝑎), 𝑑(𝑏, 𝑏)) = (2,0),
𝑟(𝑐|𝑊2) = (𝑑(𝑐, 𝑎), 𝑑(𝑐, 𝑏)) = (2,1), 𝑟(𝑑|𝑊2) = (𝑑(𝑑, 𝑎), 𝑑(𝑑, 𝑏)) =
(1,2), 𝑟(𝑒|𝑊2) = (𝑑(𝑒, 𝑎), 𝑑(𝑒, 𝑏)) = (1,1). Karena untuk setiap pasang
sim-pul berbeda 𝑢 dan 𝑣, 𝑟(𝑢|𝑊2) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊2) maka 𝑊2 adalah himpunan
pem-beda.
Definisi 3.1.2 (Chartrand et al, 2000)
Himpunan pembeda dengan banyak anggota terkecil untuk suatu graf 𝐺 disebut himpunan pembeda minimum dan banyak anggota dari himpunan pembeda minimum disebut dimensi metrik dari 𝐺, dinotasikan dengan dim(𝐺).
Contoh 3.1.2
Gambar 3.2: Graf 𝐻
Graf 𝐻 merupakan graf dengan himpunan titik 𝑉(𝐻) = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}.
Tabel 3.1 Himpunan titik dan himpunan pembeda dari Graf 𝐻
𝑊 𝑟(𝑢|𝑊), 𝑢 ∈ 𝑉(𝐻) Apakah Himpunan Pembeda?
{𝑎} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1),
𝑟(𝑐|𝑊) = (2), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1) Bukan himpunan pembeda
{𝑏} 𝑟(𝑎|𝑊) = (1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (0),
𝑟(𝑐|𝑊) = (1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1) Bukan himpunan pembeda
{𝑐} 𝑟(𝑎|𝑊) = (2), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1),
𝑟(𝑐|𝑊) = (0), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1) Bukan himpunan pembeda
𝑏
𝑐
{𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1),
𝑟(𝑐|𝑊) = (1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (0) Bukan himpunan pembeda
{𝑎, 𝑏} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,0), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1) Himpunan pembeda {𝑎, 𝑐} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0,2), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (0,2), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1)
Bukan himpunan pembeda
{𝑎, 𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,0) Himpunan pembeda {𝑏, 𝑐} 𝑟(𝑎|𝑊) = (1,2), 𝑟(𝑏|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (1,0), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1) Himpunan pembeda {𝑏, 𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,0)
Bukan himpunan pembeda
{𝑐, 𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (2,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,0) Himpunan pembeda {𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1,2), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1,0), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,1) Himpunan pembeda {𝑎, 𝑏, 𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,0) Himpunan pembeda {𝑎, 𝑐, 𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0,2,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,0,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,0) Himpunan pembeda
{𝑏, 𝑐, 𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (1,2,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (0,1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (1,0,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,0) Himpunan pembeda {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1,2,1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1,0,1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1,0,1), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,1,0) Himpunan pembeda
Himpunan pembeda dengan banyak anggota 2 adalah {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑑}, {𝑏, 𝑐}, dan {𝑐, 𝑑} dimana 2 merupakan banyak anggota terkecil dari semua him-punan pembeda yang mungkin. Hal ini menyebabkan himhim-punan pembeda dengan banyak anggota 2 menjadi himpunan pembeda minimum. Maka di-mensi metrik dari graf 𝐻 adalah 2 atau dim(𝐻) = 2.
Teorema 3.1.1 (Chartrand et al, 2000)
Jika 𝐺 adalah graf terhubung dengan order 𝑛 ≥ 2 dan diameter 𝑑, maka dim(𝐺) ≤ 𝑛 − 𝑑.
Bukti
Misalkan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), dimana 𝑑(𝑢, 𝑣) = 𝑑, order dari graf 𝐺 adalah 𝑛,
dan misalkan 𝑣0, 𝑣1, … , 𝑣𝑑 merupakan titik-titik di lintasan 𝑢 − 𝑣 dimana 𝑢 =
𝑣0 dan 𝑣 = 𝑣𝑑. Misalkan 𝑊 = 𝑉(𝐺)/{𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑑} = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛−𝑑}
maka 𝑊 adalah himpunan dengan banyak anggota 𝑛 − 𝑑
Terlebih dahulu kita akan buktikan bahwa 𝑊 merupakan himpunan
pembeda. Kita ketahui bahwa titik-titik pada 𝐺 terbagi menjadi dua bagian
yaitu titik-titik di dalam 𝑊 dan 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑑. Representasi metrik setiap titik
pada 𝑊 terhadap 𝑊 adalah
𝑟(𝑤1|𝑊) = (0, 𝑑(𝑤1, 𝑤2), 𝑑(𝑤1, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛))
𝑟(𝑤2|𝑊) = (𝑑(𝑤2, 𝑤1), 0, 𝑑(𝑤2, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛))
𝑟(𝑤𝑛−1|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤2), … ,0, 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤𝑛))
𝑟(𝑤𝑛|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤2), … , 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤𝑛−1), 0)
Tidak ada representasi metrik untuk titik-titik pada 𝑊 terhadap 𝑊 yang sama.
Berikutnya untuk titik-titik 𝑉(𝐺)\𝑊 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑑} yang berada
pada lintasan 𝑢 − 𝑣, karena sebuah lintasan tidak akan memuat titik yang sama
maka jarak sebarang titik 𝑣𝑖 dengan titik awal lintasan 𝑢 − 𝑣 yaitu 𝑢 dapat
ditentukan dengan 𝑑(𝑣𝑖, 𝑣0) = 𝑖 dimana 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑. Misalkan 𝑢 = 𝑣0 untuk
suatu 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, maka representasi metrik setiap titik pada 𝑉(𝐺)\𝑊 terhadap 𝑊 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊) = (𝑑(𝑣1, 𝑤1), 𝑑(𝑣1, 𝑤2), … , 𝑑(𝑣1, 𝑣0), … , 𝑑(𝑣1, 𝑤𝑛))
𝑟(𝑣2|𝑊) = (𝑑(𝑣2, 𝑤1), 𝑑(𝑣2, 𝑤2), … , 𝑑(𝑣2, 𝑣0), … , 𝑑(𝑣2, 𝑤𝑛))
⋮
𝑟(𝑣𝑑|𝑊) = (𝑑(𝑣𝑑, 𝑤1), 𝑑(𝑣𝑑, 𝑤2), … , 𝑑(𝑣𝑑, 𝑤𝑘), … , 𝑑(𝑣𝑑, 𝑤𝑛))
Tidak ada representasi metrik untuk titik-titik pada 𝑉(𝐺)\𝑊 yang sama
karena 𝑑(𝑣𝑖, 𝑣0) ≠ 𝑑(𝑣𝑗, 𝑣0) untuk setiap 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑑, sehingga 𝑊
merupa-kan himpunan pembeda.
Karena 𝑊 merupakan salah satu himpunan pembeda dan mungkin ter-dapat himpunan pembeda lain yang memiliki banyak anggota lebih kecil, maka
dim(𝐺) ≤ 𝑛 − 𝑑.
Definisi 3.1.3 (Baskoro, 2020)
Dua titik berbeda 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 dikatakan titik kembar bila
Contoh 3.1.3
Gambar 3.3: Graf 𝐺
Titik 𝑣7 dan 𝑣8 adalah titik kembar karena 𝑑(𝑣7, 𝑥) = 𝑑(𝑣8, 𝑥) untuk setiap
setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺)\{𝑣7, 𝑣8}.
Lema 3.1.1
Bila 𝑢 dan 𝑣 adalah dua titik kembar pada graf terhubung 𝐺 dan 𝑊
merupakan himpunan pembeda dari 𝐺, maka 𝑢 ∈ 𝑊 atau 𝑣 ∈ 𝑊.
Bukti
Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung dan 𝑊 = {𝑥1, 𝑥2, . . , 𝑥𝑘} adalah
him-punan pembeda dari 𝐺. Akan dibuktikan bahwa 𝑢 ∈ 𝑊 atau 𝑣 ∈ 𝑊. Andaikan 𝑢 ∉ 𝑊 dan 𝑣 ∉ 𝑊, dengan kata lain 𝑊 ⊂ 𝑉(𝐺)\{𝑢, 𝑣}. Maka 𝑟(𝑢|𝑊) =
(𝑑(𝑢, 𝑥1), 𝑑(𝑢, 𝑥2), … , 𝑑(𝑢, 𝑥𝑘)) dan 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑥1), 𝑑(𝑣, 𝑥2), … ,
𝑑(𝑣, 𝑥𝑘)). Karena 𝑢 dan 𝑣 adalah dua titik kembar, maka 𝑑(𝑢, 𝑥𝑖) = 𝑑(𝑣, 𝑥𝑖)
untuk setiap 𝑥𝑖 ∈ 𝑊 ⊂ 𝑉(𝐺)\{𝑢, 𝑣}, maka 𝑟(𝑢|𝑊) = 𝑟(𝑣|𝑊) dimana 𝑢 ≠ 𝑣.
Akibatnya 𝑊 bukanlah himpunan pembeda, terjadi kontradiksi. Jadi 𝑢 ∈ 𝑊
atau 𝑣 ∈ 𝑊. 𝑣7 𝑣8 𝑣6 𝑣2 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣3 𝑣11
Lema 3.1.2 (Khuller et al, 1996)
Misal 𝐺 suatu graf terhubung dan titik 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) serta 𝑢𝑣 menya-takan sisi yang bersinggungan dengan titik 𝑢 dan titik 𝑣. Jika 𝑑 adalah panjang lintasan terpendek dari 𝑢 ke 𝑤 di 𝐺 maka panjang lintasan terpendek dari 𝑣 ke 𝑤 adalah 𝑚 dimana 𝑚 ∈ {𝑑 − 1, 𝑑, 𝑑 + 1}.
Bukti
Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung dan titik 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) serta 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺). Misalkan lintasan terpendek dari 𝑢 ke 𝑤 di 𝐺 memiliki panjang 𝑑. Jika titik 𝑣 berada pada lintasan 𝑢 − 𝑤 jelas bahwa panjang lintasan terpendek 𝑣 − 𝑤 adalah 𝑑 − 1.
Gambar 3.4: Lintasan di antara titik 𝑢 − 𝑤
Akan dibuktikan untuk 𝑣 tidak berada pada lintasan 𝑢 − 𝑤 lintasan ter-pendeknya memiliki panjang 𝑑 − 1, 𝑑, atau 𝑑 + 1. Misalkan 𝑑(𝑣, 𝑤) = 𝑘, jika 𝑘 ≤ 𝑑 − 2 maka terdapat lintasan 𝑢 − 𝑤 yang lebih pendek yaitu dengan
pan-jang 𝑘 + 1 dimana 𝑘 + 1 ≤ 𝑑 − 1 ≤ 𝑑, kontradiksi dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) = 𝑑.
Se-dangkan jika 𝑘 ≥ 𝑑 + 2 maka terdapat lintasan 𝑣 − 𝑤 yang lebih pendek
dengan panjang 𝑑 + 1, kontradiksi dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) = 𝑑. Jadi panjang lintasan
terpendek dari 𝑣 ke 𝑤 adalah 𝑚 dimana 𝑚 ∈ {𝑑 − 1, 𝑑, 𝑑 + 1}.
Teorema 3.1.2 (Khuller et al, 1996)
Misalkan graf 𝐺 adalah graf terhubung dengan dim(𝐺) = 2 maka G
tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf.
𝑑
𝑤 𝑢
Bukti
Andaikan 𝐺 adalah graf terhubung yang memuat 𝐾5 dan 𝑉(𝐾5) =
{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5}. Misalkan dim(𝐺) = 2 dan 𝑊 = {𝑚, 𝑛}, maka terdapat 3
kasus, yaitu:
1. Jika 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑉(𝐾5), maka representasi metrik dari titik-titik pada 𝐾5
terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (1,1) untuk 𝑣 ≠ 𝑚 ≠ 𝑛. Sehingga
terdapat 3 representasi metrik pada 𝑉(𝐾5) terhadap 𝑊 yang sama.
Terjadi kontradiksi karena 𝑊 adalah himpunan pembeda. Jadi G
tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf dari 𝐺.
2. Jika 𝑚 ∈ 𝑉(𝐾5), 𝑛 ∉ 𝑉(𝐾5), dan 𝑑(𝑚, 𝑛) = 𝑑. Representasi metrik
dari titik-titik pada 𝐾5 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (1, 𝑏) untuk
suatu 𝑏 bilangan bulat tak negatif dimana 𝑣 ≠ 𝑚. Menurut Lema
3.1.2 𝑏 ∈ {𝑧 − 1, 𝑧, 𝑧 + 1} sehingga representasi metrik yang
mungkin untuk keempat titik selain 𝑚 pada 𝐾5 adalah (1, 𝑧 − 1),
(1, 𝑧), dan (1, 𝑧 + 1). Pasti terdapat dua titik atau lebih dengan
rep-resentasi yang sama. Terjadi kontradiksi karena 𝑊 adalah
him-punan pembeda. Jadi G tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf dari 𝐺.
Hal yang sama juga berlaku untuk 𝑛 ∈ 𝑉(𝐾5) dan 𝑚 ∉ 𝑉(𝐾5).
3. Jika 𝑚, 𝑛 ∉ 𝑉(𝐾5), maka representasi metrik dari titik-titik pada
𝐾5 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣𝑖|𝑊) = (𝑎𝑖, 𝑏𝑖) dimana 𝑖 = 1,2,3,4,5
serta 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑖 bilangan bulat tak negatif. Misal 𝑑(𝑣, 𝑚) = 𝑦 dan
𝑦 = min (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) maka menurut Lema 3.1.2 𝑑(𝑢, 𝑚) ∈
{𝑦 − 1, 𝑦, 𝑦 + 1} dimana 𝑣 ∈ 𝑉(𝐾5) dan 𝑢 bersinggungan dengan
𝑣. Karena 𝑦 = min (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) maka 𝑑(𝑤, 𝑚) = 𝑎𝑖 ∈
{𝑦, 𝑦 + 1} untuk titik 𝑤 ∈ 𝑉(𝐾5). Hal tersebut juga akan berlaku
untuk 𝑏𝑖, sehingga 𝑎𝑖 ∈ {𝑦, 𝑦 + 1} dan 𝑏𝑖 ∈ {𝑧, 𝑧 + 1} untuk suatu
𝑦, 𝑧 > 0. Representasi metrik untuk setiap titik pada 𝐾5 terhadap 𝑊
berbeda yang mungkin untuk kelima titik tersebut hanyalah (𝑦, 𝑧), (𝑦, 𝑧 + 1), (𝑦 + 1, 𝑧), dan (𝑦 + 1, 𝑧 + 1). Pasti terdapat dua titik
yang memiliki representasi titik yang sama dan dim (𝐺) ≠ 2.
Ter-jadi kontradiksi, sehingga G tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf dari
𝐺.
Teorema 3.1.3
Jika 𝐺 adalah sebuah graf dengan dimensi metrik 2 dan 𝑊 = {𝑎, 𝑏}
adalah himpunan pembeda minimum, maka:
1. Hanya terdapat tepat satu lintasan terpendek 𝑃 dari 𝑎 ke 𝑏. 2. Derajat maksimum dari titik 𝑎 dan 𝑏 adalah 3.
3. Setiap titik di 𝑃 selain 𝑎 dan 𝑏 mempunyai derajat maksimum 5.
Bukti
Diberikan graf 𝐺 dengan dimensi metrik 2 dan 𝑊 = {𝑎, 𝑏} adalah himpunan pembeda.
1. Misalkan terdapat dua lintasan terpendek dengan panjang yang sama
yaitu 𝑃1 dan 𝑃2 yang menghubungkan titik 𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑊 = {𝑎, 𝑏}.
Misalkan titik 𝑢 ∈ 𝑉(𝑃1) dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝑃2) bertetangga dengan 𝑎 maka
representasi metrik titik 𝑢 dan 𝑣 terhadap 𝑊 sama, sehingga 𝑊 bukan
himpunan pembeda. Terdapat kontradiksi karena 𝑊 adalah himpunan
pembeda. Jadi lintasan terpendek dari 𝑎 ke 𝑏 haruslah tunggal.
2. Misalkan representasi titik 𝑎 terhadap 𝑊 adalah (0, 𝑥) dan titik
{𝑐1, 𝑐2, 𝑐3} bertetangga dengan 𝑎. Misalkan representasi titik 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3
terhadap 𝑊 berbentuk (𝑥𝑖, 𝑦𝑖). Untuk ketiga titik yang bertetangga
dengan 𝑎, 𝑥𝑖 = 1 dan menurut Lema 3.1.2 representasi semua tetangga
𝑎 terhadap 𝑊 pastilah satu di antara (1, 𝑥 − 1), (1, 𝑥), dan (1, 𝑥 + 1). Jadi derajat maksimum dari titik 𝑎 adalah 3.
Misalkan representasi titik 𝑏 terhadap 𝑊 adalah (𝑥, 0) dan titik
{𝑐1, 𝑐2, 𝑐3} bertetangga dengan 𝑎. Misalkan representasi titik 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3
terhadap 𝑊 berbentuk (𝑥𝑖, 𝑦𝑖). Untuk ketiga titik yang bertetangga
𝑎 terhadap 𝑊 pastilah satu di antara (𝑥 − 1,1), (𝑥, 1), dan (𝑥 + 1,1). Jadi derajat maksimum dari titik 𝑏 adalah 3.
3. Misalkan 𝑟(𝑧|𝑊) = (𝑝, 𝑞) adalah representasi metrik titik 𝑧 pada
linta-san terpendek 𝑎 − 𝑏 terhadap 𝑊 dan 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑥, maka 𝑝 + 𝑞 = 𝑥.
Maka menurut Lema 3.1.2 ada 8 representasi metrik yang mungkin un-tuk titik-titik yang merupakan tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yaitu (𝑝 − 1, 𝑞 − 1), (𝑝 − 1, 𝑞), (𝑝 − 1, 𝑞 + 1), (𝑝, 𝑞 − 1), (𝑝, 𝑞), (𝑝, 𝑞 + 1), (𝑝 + 1, 𝑞 − 1), (𝑝 + 1, 𝑞), (𝑝 + 1, 𝑞 + 1). Titik-titik yang merupakan
tetangga 𝑧 tidak memiliki representasi metrik terhadap 𝑊 yang
ber-bentuk (𝑝, 𝑞) karena jika terdapat titik dengan representasi metrik
(𝑝, 𝑞) membuat titik tersebut memiliki representasi yang sama dengan 𝑧 terhadap 𝑊, akibatnya 𝑊 bukanlah himpunan pembeda. Titik-titik yang merupakan tetangga 𝑧 juga tidak memiliki representasi metrik
ter-hadap 𝑊 yang berbentuk (𝑝 − 1, 𝑞 − 1) bukanlah representasi metrik
yang tepat terhadap 𝑊 karena jika terdapat titik dengan representasi
metrik terhadap 𝑊 yaitu (𝑝 − 1, 𝑞 − 1) maka terdapat lintasan dari ti-tik 𝑎 ke titi-tik 𝑢 yang merupakan tetangga dari 𝑧 yang panjangnya 𝑝 − 1 dan terdapat lintasan dari titik 𝑏 ke titik 𝑢 yang panjangnya 𝑞 − 1. Se-hingga terbentuk lintasan 𝑎 − 𝑏 lain yang memiliki panjang 𝑝 + 𝑞 − 2,
terjadi kontradiksi dengan 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Representasi metrik dari
tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yang tidak mungkin juga adalah (𝑝 − 1, 𝑞) ka-rena jika terdapat titik tersebut maka terdapat lintasan dari titik 𝑎 ke 𝑝 − 1 yang panjangnya 𝑝 − 1 dan terdapat lintasan dari titik 𝑏 ke titik 𝑞 yang panjangnya 𝑞, sehingga terbentuk lintasan 𝑎 − 𝑏 lain yang mem-iliki panjang 𝑝 + 𝑞 − 1. Hal tersebut bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Hal yang sama juga berlaku untuk representasi
metrik titik yang merupakan tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yaitu (𝑝 − 1, 𝑞),
yang menghasilkan lintasan 𝑎 − 𝑏 dengan panjang 𝑝 + 𝑞 − 1, hal ini
bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Ketiga repre-sentasi tersebut tidak tepat karena bertentangan dengan pernyataan
𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Jadi representasi metrik titik-titik yang merupakan
tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yang mungkin adalah (𝑝 − 1, 𝑞 + 1), (𝑝, 𝑞 +
1), (𝑝 + 1, 𝑞 − 1), (𝑝 + 1, 𝑞), (𝑝 + 1, 𝑞 + 1) dan setiap titik di 𝑃 selain 𝑎 dan 𝑏 mempunyai derajat maksimum 5 karena jika lebih dari 5 akan terbentuk dua atau lebih representasi metrik yang sama.
Teorema 3.1.4 (Khuller et al, 1996)
Jika 𝐺 merupakan graf terhubung dengan 𝑛 titik, diameter 𝑑 dan
dim(𝐺) = 𝑘, maka 𝑘 + 𝑑𝑘 ≥ 𝑛.
Bukti
Misalkan 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑘} merupakan himpunan pembeda dengan
banyak anggota 𝑘. Karena diameter dari 𝐺 adalah 𝑑 maka 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑥 dimana 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 dan sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉(𝐺). Representasi metrik setiap titik pada 𝑊 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑤1|𝑊) = (0, 𝑑(𝑤1, 𝑤2), 𝑑(𝑤1, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛)) 𝑟(𝑤2|𝑊) = (𝑑(𝑤2, 𝑤1), 0, 𝑑(𝑤2, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛)) ⋮ 𝑟(𝑤𝑛−1|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤2), … ,0, 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤𝑛)) 𝑟(𝑤𝑛|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤2), … , 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤𝑛−1), 0)
Tidak ada representasi metrik untuk titik-titik pada 𝑊 terhadap 𝑊 yang sama. 𝑑(𝑎, 𝑏) = 0 jika 𝑎 = 𝑏 hal tersebut hanya dapat terjadi untuk represen-tasi titik pada 𝑊 terhadap 𝑊 sehingga 𝑑(𝑦, 𝑧) = 𝑥 dimana 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 dan
se-barang 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉(𝐺)\𝑊. Representasi metrik untuk setiap titik pada 𝑉(𝐺)
ter-hadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤1), 𝑑(𝑣, 𝑤2), … , 𝑑(𝑣, 𝑤𝑘)) dimana 𝑣 ∈
𝑉(𝐺)\𝑊 sehingga terdapat 𝑑 × 𝑑 × … 𝑑 (sebanyak 𝑘) representasi metrik un-tuk titik-titik pada 𝑉(𝐺)\𝑊 terhadap 𝑊 yang mungkin dan berbeda. Jadi
B. Dimensi Metrik Pada Beberapa Graf
Dimensi metrik antara graf satu dengan graf lain tidak selalu sama. Berikut dimensi metrik dari beberapa jenis graf seperti graf lintasan, graf bin-tang, graf lingkaran, graf sapu, dan graf kecebong.
Teorema 3.2.1 (Chartrand et al, 2000)
Graf 𝐺 mempunyai dimensi metrik 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝑃𝑛.
Bukti
Akan dibuktikan bahwa jika graf 𝐺 memiliki dimensi metrik 1 maka 𝐺 = 𝑃𝑛.
Misalkan dim(𝐺) = 1 dan 𝑊 = {𝑢}, maka 𝑢 harus berderajat 1 karena jika
tidak maka tetangga 𝑢 mempunyai representasi yang sama yaitu (1). Andaikan
𝐺 bukan 𝑃𝑛 maka terdapat sebuah titik 𝑣 yang berderajat lebih dari atau sama
dengan 3. Misal tetangga titik 𝑣 adalah {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑟} dengan 𝑟 ≥ 3. Jika jarak
titik 𝑣 ke titik 𝑢 adalah 𝑑, maka representasi metrik tetangga dari titik 𝑣
ter-hadap 𝑊 adalah salah satu dari {𝑑 − 1, 𝑑, 𝑑 + 1}. Karena untuk empat atau
lebih titik hanya terdapat 3 dimensi metrik yang mungkin maka terdapat dua
atau lebih titik yang memiliki derajat sama. Terdapat kontradiksi dimana 𝑊
bukanlah himpunan pembeda minimum, maka 𝐺 = 𝑃𝑛.
Akan dibuktikan bahwa jika 𝐺 = 𝑃𝑛 maka dim(𝐺) = 1. Graf 𝐺 memiliki
di-ameter 𝑛 − 1. Menurut Teorema 3.1.1 dim(𝐺) ≤ 𝑛 − (𝑛 − 1) = 1. Maka
dim(𝐺) = 1.
Teorema 3.2.2 (Eka & Rahadjeng, 2012)
Bukti
Karena 𝐺 graf lengkap maka 𝑑(𝑢, 𝑣) = 1 untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺)
dengan 𝑢 ≠ 𝑣. Misalkan 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1} maka 𝑊1 merupakan
him-punan dengan banyak anggota 𝑛 − 1. Akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan
himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊1) = (0,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣2|𝑊1) = (1,0,1, … ,1,1) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (1,1,1, … ,0,1) 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,0) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,1)
Karena tidak ada dua atau lebih representasi metrik untuk titik pada 𝐺
terhadap 𝑊1 yang sama maka 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.
Misalkan 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−2} maka 𝑊2 merupakan himpunan
dengan banyak anggota 𝑛 − 2. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 merupakan
him-punan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊2) = (0,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣2|𝑊2) = (1,0,1, … ,1,1) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊2) = (1,1,1, … ,0,1) 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,0) 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,1)
Karena 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) dimana 𝑣𝑛−1 ≠ 𝑣𝑛, maka 𝑊2 bukan
merupakan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan pembeda dengan banyak anggota himpunan kurang dari 𝑛 − 2, akan terdapat
dua atau lebih representasi titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Hal tersebut
terjadi karena 𝑛 titik pada graf lengkap merupakan titik-titik kembar. Jarak an-tara titik kembar dengan titik lain akan sama. Maka jika terdapat lebih dari dua
titik kembar yang tidak termasuk ke dalam himpunan pembeda, titik-titik ter-sebut akan memiliki representasi yang sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑛 − 1.
Teorema 3.2.3
Himpunan pembeda minimum pada graf bintang 𝐾1,𝑛−1 tidak akan
memuat titik dengan derajat 𝑛 − 1.
Bukti
Misalkan 𝑢 merupakan titik yang berderajat 𝑛 − 1 dan 𝑣𝑖 merupakan
titik lainnya yang berderajat 1 dimana 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Misalkan 𝑢 ∈ 𝑊 dimana
𝑊 = {𝑢, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−3}, maka 𝑊 merupakan himpunan dengan banyak
ang-gota 𝑛 − 2. Akan kita periksa apakah 𝑊 merupakan himpunan pembeda dari
graf 𝐾1,𝑛−1.
Jarak titik 𝑢 terhadap titik lainnya yang berderajat satu adalah satu se-mentara jarak antara dua titik yang berderajat 𝑛 − 1 adalah dua. Maka repre-sentasi metrik dari setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 adalah
𝑟(𝑢|𝑊) = (0,1,1, … ,1) 𝑟(𝑣1|𝑊) = (1,0,2, … ,2) 𝑟(𝑣2|𝑊) = (1,2,0, … ,2) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊) = (1,2,2, … ,2,0) 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊) = (1,2,2, … ,2,2) 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊) = (1,2,2, … ,2,2)
Karena 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊) = 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊) dimana 𝑣𝑛−2 ≠ 𝑣𝑛−1, maka 𝑊
bukan merupakan himpunan pembeda. Ketika titik berderajat 𝑛 − 1 menjadi
anggota 𝑊, himpunan tersebut bukanlah himpunan pembeda.
Teorema 3.2.4 (Eka & Rahadjeng, 2012)
Bukti
Karena 𝐺 graf bintang maka terdapat satu titik yang memiliki derajat
𝑛 − 1 dan 𝑛 − 1 titik yang memiliki derajat 1. Misalkan 𝑢 merupakan titik
yang memiliki derajat 𝑛 − 1 dan 𝑣𝑖 merupakan titik lainnya yang berderajat 1
dimana 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Jarak antara titik yang memiliki derajat 𝑛 − 1 dengan titik yang memiliki derajat 1 yaitu 1, sedangkan jarak antara titik yang memiliki derajat 𝑛 − 1 dengan titik lainnya yang juga memiliki derajat 𝑛 − 1 adalah 2.
Misalkan 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−2} dimana 𝑣𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2
merupakan sebarang titik dengan derajat 1 maka banyak anggota himpunan 𝑊1
adalah 𝑛 − 2. Akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.
Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah
𝑟(𝑢|𝑊1) = (1,1,1, … ,1) 𝑟(𝑣1|𝑊1) = (0,2,2, … ,2) 𝑟(𝑣2|𝑊1) = (2,0,2, … ,2) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊1) = (2,2,2, … ,0,2) 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,0) 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,2)
Karena tidak ada dua atau lebih representasi metrik untuk titik pada 𝐺
terhadap 𝑊1 yang sama maka 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.
Misalkan 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−3} dimana 𝑣𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3
merupakan sebarang titik dengan derajat 1 maka banyak anggota himpunan 𝑊2
adalah 𝑛 − 3. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan himpunan
pem-beda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2 adalah
𝑟(𝑢|𝑊2) = (1,1,1, … ,1) 𝑟(𝑣1|𝑊2) = (0,2,2, … ,2) 𝑟(𝑣2|𝑊2) = (2,0,2, … ,2) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,0) 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,2)
𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,2)
Karena 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) dimana 𝑣𝑛−2 ≠ 𝑣𝑛−1, maka 𝑊2
bukan merupakan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk him-punan pembeda dengan banyak anggota himhim-punan kurang dari 𝑛 − 3, akan
ter-dapat dua atau lebih representasi metrik untuk titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang
sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑛 − 2.
Teorema 3.2.5 (Eka & Rahadjeng, 2012)
Jika 𝐺 adalah graf bipartit lengkap dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 4, maka
dim(𝐺) = 𝑛 − 2.
Bukti
Karena 𝐺 adalah graf bipartit lengkap maka 𝐺 dapat dipartisi menjadi
dua bagian. Misalkan 𝑉(𝐴) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑠} dan 𝑉(𝐵) = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡}
dengan 𝑠 + 𝑡 = 𝑛. Misalkan 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑠−1, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡−1} dan 𝑊1
merupakan himpunan dengan banyak anggota 𝑛 − 2. Akan dibuktikan bahwa
𝑊1 merupakan himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺
ter-hadap 𝑊1 adalah 𝑟(𝑣1|𝑊1) = (0,2,2, … ,2,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣2|𝑊1) = (2,0,2, … ,2,1,1, … ,1,1) ⋮ 𝑟(𝑣𝑠−1|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,0,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣𝑠|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,2,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑢1|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,0,2, … ,2,2) 𝑟(𝑢2|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,2,0, ,2 … ,2,2) ⋮ 𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,0) 𝑟(𝑢𝑡|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,2)
Karena tidak ada dua atau lebih representasi metrik pada titik-titik di 𝐺
Misalkan 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑠−1, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡−2} maka banyak anggota
dari 𝑊2 adalah 𝑛 − 3. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan himpunan
pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊2) = (0,2,2, … ,2,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣2|𝑊2) = (2,0,2, … ,2,1,1, … ,1,1) ⋮ 𝑟(𝑣𝑠−1|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,0,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣𝑠|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,2,1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑢1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,0,2, … ,2,2) 𝑟(𝑢2|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,0, ,2 … ,2,2) ⋮ 𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,0) 𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,2) 𝑟(𝑢𝑡|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,2)
Karena 𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊2) = 𝑟(𝑢𝑡|𝑊2) dimana 𝑢𝑡−1≠ 𝑢𝑡, maka 𝑊2 bukan
merupakan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan
pembeda dengan banyak anggota kurang dari 𝑛 − 2, akan terdapat dua atau
lebih representasi titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑛 − 2.
Teorema 3.2.6
Jika 𝐺 adalah graf sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑. Maka dim(𝐺) = 𝑑.
Bukti
Misalkan 𝐺 merupakan graf sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑. Pada graf tersebut terdapat
1 titik berderajat 𝑑 + 1 sebut 𝑣𝑛, 𝑑 + 1 titik berderajat 1 yaitu 𝑣1,
𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2,…, 𝑣𝑛+𝑑, dan 𝑛 − 2 titik berderajat 2 yaitu 𝑣2, 𝑣3,…, 𝑣𝑛−1. Titik
𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2,…, 𝑣𝑛+𝑑 merupakan titik kembar karena jarak antara sebarang titik
pada 𝐺 dengan 𝑑 titik tersebut sama, maka terdapat paling sedikit satu titik di antara 𝑑 titik tersebut pada 𝑊.
Gambar 3.5: Graf Sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑
Misalkan 𝑊1 = {𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑} maka banyak anggota himpunan
dari 𝑊1 adalah 𝑑. Akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.
Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊1) = (𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1) 𝑟(𝑣2|𝑊1) = (𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (2,2, … ,2,2) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1,1, … ,1,1) 𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊1) = (0,2, … ,2,2) 𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊1) = (2,0, … ,2,2) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊1) = (2,2, … ,0,2) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊1) = (2,2, … ,2,0)
Karena tidak ada dua atau lebih representasi metrik untuk titik pada 𝐺
terhadap 𝑊1 yang sama maka 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.
Misalkan 𝑊2 = {𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑−1} maka banyak anggota
him-punan dari 𝑊2 adalah 𝑑 − 1. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan
himpunan pembeda. Representasi metrik untuk setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2
adalah 𝑟(𝑣1|𝑊2) = (𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1) 𝑟(𝑣2|𝑊2) = (𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (2,2, … ,2,2) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) = (1,1, … ,1,1) 𝑣𝑛+1 𝑣𝑛+2 𝑣𝑛 𝑣𝑛+3 𝑣𝑛+𝑑 𝑣𝑛+4 𝑣2 𝑣𝑛−1 𝑣1 𝑣3
𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊2) = (0,2, … ,2,2) 𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊2) = (2,0, … ,2,2) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−2|𝑊2) = (2,2, … ,0,2) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊2) = (2,2, … ,2,0) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊2) = (2,2, … ,2,2)
Karena 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊2) dengan 𝑣𝑛−1 ≠ 𝑣𝑛+𝑑 maka 𝑊2
bukan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan pembeda dengan banyak anggota kurang dari 𝑑 − 2, akan terdapat dua atau lebih repre-sentasi metrik untuk titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑑 −
2.
Lebih lanjut akan dibuktikan bahwa pada himpunan pembeda minimum 𝐺 tidak akan termuat titik dengan derajat 𝑑 atau lebih dari 1 titik pada 𝐴 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛}
Misalkan 𝑊3 = {𝑣𝑛, 𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑−1}, maka representasi metrik
setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊3 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊3) = (𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1) 𝑟(𝑣2|𝑊3) = (𝑛 − 1, 𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊3) = (1,2,2, … ,2) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊3) = (0,1,1, … ,1) 𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊3) = (1,0,2, … ,2,2) 𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊3) = (1,2,0, … ,2,2) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−2|𝑊3) = (1,2,2, … ,0,2) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊3) = (1,2,2, … ,2,0) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊3) = (1,2,2, … ,2,2)
Karena 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊3) = 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊3) dimana 𝑣𝑛−1 ≠ 𝑣𝑛+𝑑 maka 𝑊3
bukanlah himpunan pembeda, sehingga titik 𝑣𝑝+2 bukan merupakan anggota
Selanjutnya akan dibuktikan jika himpunan pembeda minimum pada
graf 𝐺 tidak memuat dua atau lebih titik pada 𝐴. Misalkan 𝑊4 =
{𝑣𝑎, 𝑣𝑏, 𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑−2}, dengan 𝑣𝑎, 𝑣𝑏∈ 𝐴. Representasi metrik setiap
titik pada 𝐺 terhadap 𝑊4 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊4) = (|𝑎 − 1|, |𝑏 − 1|, 𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1, 𝑛 + 1) 𝑟(𝑣2|𝑊4) = (|𝑎 − 2|, |𝑏 − 2|, 𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛, 𝑛) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 1|, |𝑏 − 𝑝 − 1|, 2,2, … ,2,2,2) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 2|, |𝑏 − 𝑝 − 2|, 1,1, … ,1,1,1) 𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,0, … ,2,2,2) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−3|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,0,2) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−2|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,2,0) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,2,2) 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,2,2)
Karena 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊4 ) = 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊4 ) dimana 𝑣𝑛+𝑑 ≠ 𝑣𝑛+𝑑−1 maka
𝑊4 bukanlah himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan
pembeda yang memuat lebih dari dua titik pada lintasan 𝑣1− 𝑣𝑛−1, akan
ter-dapat dua atau lebih representasi titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Jadi
him-punan pembeda minimum tidak akan memuat dua atau lebih titik pada 𝑃𝑝.
Teorema 3.2.7 (Eka & Rahadjeng, 2012)
Jika 𝐺 adalah graf lingkaran dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 3, maka dim(𝐺) = 2.
Bukti
Misalkan 𝐺 merupakan graf lingkaran dengan 𝑛 titik. Akan buktikan
untuk graf lingkaran dengan 𝑛 ganjil dan 𝑛 genap bahwa dim(𝐺) = 2.
Untuk graf lingkaran 𝐺 dengan 𝑛 ganjil. Misalkan 𝑊1 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛},
akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan himpunan pembeda. Representasi
𝑟(𝑣1|𝑊1) = (2,1) 𝑟(𝑣2|𝑊1) = (3,2) 𝑟(𝑣3|𝑊1) = (4,3) ⋮ 𝑟 (𝑣𝑛−3 2 |𝑊1) = (𝑛−1 2 , 𝑛−3 2 ) 𝑟 (𝑣𝑛−1 2 |𝑊1) = (𝑛−1 2 , 𝑛−1 2 ) 𝑟 (𝑣𝑛+1 2 |𝑊1) = (𝑛−3 2 , 𝑛−1 2 ) 𝑟 (𝑣𝑛+3 2 |𝑊1) = ( 𝑛−5 2 , 𝑛−3 2 ) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (1,2) 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (0,1) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1,0)
Karena tidak ada representasi metrik titik-titik pada 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊1
yang sama maka 𝑊1 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛} merupakan himpunan pembeda.
Misalkan 𝑊2 = {𝑣𝑛}, akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan
himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊2
adalah 𝑟(𝑣1|𝑊2) = (1) 𝑟(𝑣2|𝑊2) = (2) 𝑟(𝑣3|𝑊2) = (3) ⋮ 𝑟 (𝑣𝑛−3 2 |𝑊2) = ( 𝑛−3 2 ) 𝑟 (𝑣𝑛−1 2 |𝑊2) = (𝑛−1 2 ) 𝑟 (𝑣𝑛+1 2 |𝑊2) = (𝑛−1 2 ) 𝑟 (𝑣𝑛+3 2 |𝑊2) = ( 𝑛−3 2 ) ⋮
𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = (2)
𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (1)
𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) = (0)
Karena 𝑟(𝑣1|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) dimana 𝑣1 ≠ 𝑣𝑛−1 maka 𝑊2 bukan
himpunan pembeda dan dim(𝐺) = 2 untuk lingkaran dengan 𝑛 ganjil.
Untuk graf lingkaran 𝐺 dengan 𝑛 genap. Misalkan 𝑊3 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛},
akan dibuktikan bahwa 𝑊3 merupakan himpunan pembeda. Representasi titik
setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊3 adalah
𝑟(𝑣1|𝑊3) = (2,1) 𝑟(𝑣2|𝑊3) = (3,2) 𝑟(𝑣3|𝑊3) = (4,3) ⋮ 𝑟 (𝑣𝑛−2 2 |𝑊3) = ( 𝑛 2, 𝑛−2 2 ) 𝑟 (𝑣𝑛 2|𝑊3) = ( 𝑛−2 2 , 𝑛 2) 𝑟 (𝑣𝑛+2 2 |𝑊3) = (𝑛−4 2 , 𝑛−2 2 ) ⋮ 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊3) = (1,2) 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊3) = (0,1) 𝑟(𝑣𝑛|𝑊3) = (1,0)
Karena tidak ada representasi metrik pada 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊3 yang sama
maka 𝑊3 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛} merupakan himpunan pembeda.
Misalkan 𝑊4 = {𝑣𝑛}, akan dibuktikan bahwa 𝑊4 bukan merupakan
himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊4
adalah
𝑟(𝑣1|𝑊4) = (1)
𝑟(𝑣2|𝑊4) = (2)
𝑟(𝑣3|𝑊4) = (3)
